Analysis 1
- Einige Grundbegriffe der Mathematik
- Elemente der Aussagenlogik
- Der Begriff der Menge
- Relationen und Äquivalenzrelationen
- Abbildungen und Funktionen
- Geordnete Mengen
- Die natürlichen Zahlen
- Die reellen Zahlen
- Rechenoperationen auf den reellen Zahlen
- Das Axiomensystem der reellen Zahlen
- Mächtigkeit von Mengen
- Die komplexen Zahlen
- Zur Faktorisierung von Polynomen
- Metrik und Topologie in den Räumen ℝ, ℂ, ℝⁿ, ℂⁿ
- Konvergenz in ℝ
- ℝ als metrischer Raum
- Maximum, Minimum, Infimum, Supremum
- Die Eulersche Zahl e
- Einige wichtige Grenzwerte
- Der euklidische Raum ℝⁿ
- Der Raum ℂⁿ
- Konvergenz im ℝⁿ und ℂⁿ
- Offene und abgeschlossene Mengen
- Grenzwerte von Funktionen
- Die komplexe Exponentialfunktion und die Eulersche Formel
- Stetige Funktionen
- Kompakte Mengen
- Gleichmäßige Stetigkeit
- Der Raum der stetigen Funktionen
- Zur Differentialrechnung von Funktionen einer Variablen
- Die Definition der Ableitung
- Die Landau-Symbole
- Das Rechnen mit Ableitungen
- Ableitungen wichtiger Funktionen
- Die Sätze von Fermat, Rolle, Cauchy und Lagrange
- Hauptsatz der Differentialrechnung
- Ableitungen höherer Ordnung
- Der Satz von Taylor
- Monotonie und Extremwerte von Funktionen
- Konvexe und konkave Funktionen
- Das Auflösen von Unbestimmtheiten vom Typ 0/0 und ∞/∞
- Weitere Anwendungen der Differentialrechnung
- Der Satz von Darboux
- Nullstellenberechnung
- Zur Integralrechnung von Funktionen einer Variablen
- Das Riemann-Integral
- Eigenschaften des Riemann-Integrals
- Die Formel von Newton-Leibniz
- Zur Integration rationaler Funktionen
- Die Mittelwertsätze der Integralrechnung
- Zur Substitution der Integrationsvariablen
- Das Restglied in der Formel von Taylor
- Interpolationsformel von Lagrange
- Anwendungen der Differential- und Integralrechnung
- Interpolationsformeln und numerische Integration
Analysis 2
- Reihen und uneigentliche Integrale
- Definitionen
- Einfache Aussagen zu Reihen und uneigentlichen Integralen
- Reihen mit nicht-negativen Summanden, Umordnungssatz
- Konvergenzkriterien für Reihen mit nicht-negativen (positiven) Summanden
- Konvergenzkriterien in Limesform
- Absolute und bedingte Konvergenz
- Nicht absolut konvergente Reihen
- Unendliche Produkte
- Die Summierung divergenter Reihen
- Funktionenfolgen, Funktionenreihen, parameterabhängige Integrale
- Das Prinzip der Gleichmäßigkeit
- Satz zum Vertauschen von Grenzwerten
- Zur Stetigkeit der Grenzfunktion und zum Vertauschen von Grenzwerten vom Typ n → ∞ und x → ξ
- Zur Stetigkeit der Grenzfunktion zweier Variablen
- Zum Vertauschen von Grenzwert und Riemann-Integral
- Zum Vertauschen von Grenzwert und Ableitung
- Differenzieren und Integrieren von parameterabhängigen Integralen
- Stetigkeit und Diff.barkeit von Integralen mit parameterabh. Grenzen
- Zum Vertauschen von Grenzwert und uneigentlichem Integral
- Potenzreihen
- Der Satz von Stone und Weierstraß
- Die Eulerschen Integrale
- Zusatz: Ein analytischer Beweis des Hauptsatzes der Algebra
- Differentialrechnung von Funktionen mehrerer Veränderlicher
- Endlich und unendlich-dimensionale Vektorräume
- Der Raum der stetigen linearen Operatoren
- Die Frechet-Ableitung
- Die Gateaux-Ableitung
- Der Hauptsatz der Differentialrechnung
- Gateaux- und Frechet-Ableitungen zwischen ℝⁿ und ℝ^m
- Ableitungen höherer Ordnung
- Die Taylorsche Formel
- Der Fixpunktsatz von Banach
- Der Satz über implizite Funktionen
- Extremwerte von Funktionen mehrerer Variablen
- Funktionen von konstantem Rang, Mannigfaltigkeiten
- Extremwerte unter Nebenbedingungen
Analysis 3
- Elemente der Integrationstheorie
- Zur Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen
- Motivation
- Die Methode von Euler
- Lokale Existenz und Eindeutigkeit der Lösung des Cauchy-Problems
- Der Satz von Peano
- Stetigkeit der Lösung des Cauchy-Problems bzgl. den Anfangsdaten
- Differenzierbarkeit der Lösung nach den Anfangsbedingungen
- Bewegungsintegrale und Erhaltungsgrößen
- Trennbare Veränderliche und lineare DGLs niedriger Ordnung
- Existenz und Eindeutigkeit der Lösung linearer DGLs
- Struktur der Lösungen der homogenen Gleichung
- Die Wronski-Determinante und die Formel von Liouville
- Der Evolutionsoperator
- Lineare autonome Systeme
- Lineare DGLs höherer Ordnung
- Die Laplace-Transformation
- Zum Langzeitverhalten autonomer Systeme
- Zusatz: Übersicht über die behandelten Arten von DGLs
- Oberflächen- und Volumenintegrale, Elemente der Vektoranalysis
Analysis 4
- Funktionen in einer komplexen Variablen
- Die Topologie der erw. kompl. Zahlenebene und die Möbius-Transf.
- Mehrwertige Abbildungen und Riemannsche Flächen
- Differenzierbarkeit
- Gebiete
- Kurvenintegrale
- Der Integralsatz von Cauchy
- Die Integralformel von Cauchy
- Nullstellen analytischer Funktionen
- Das Maximumsprinzip
- Singularitäten
- Residuensatz und Residuenkalkül
- Das Zählen von Pol- und Nullstellen
- Harmonische Funktionen
- Fourieranalysis und trigonometrische Reihen
- Distributionen
- Der Raum der Testfunktionen D
- Distributionen über D
- Reguläre und singuläre Distributionen
- Koordinatentransformation
- Differentiation von Distributionen
- Stammfunktion einer Distribution
- Wichtige Beispiele
- Tensorprodukt von Distributionen
- Faltung von Distributionen
- Fundmentallösungen für PDE
- Der Raum der temperierten Distributionen S’
- Die Fourier-Transformation für temperierte Distributionen
- Die Fourier-Transformation zur Berechnung von Fundamentallösungen
Funktionalanalysis 1
- Skalarprodukte, Normen und Metriken
- Topologie in Skalarprodukt-, normierten und metrischen Räumen
- Lineare Abbildungen in normierten Räumen
- Differentiation und Integration in Banachräumen
- Orthogonale Projektionen
- Anwendungen bei elliptischen RWP und Sobolevräume
- Der Spektralsatz für kompakte, selbstadjungierte Operatoren
- Der Satz von Hahn-Banach und die Hauptsätze der Banachraumtheorie
- Kompakte Operatoren und adjungierte Operatoren auf Banachräumen
- Lokalkonvexe und schwache Topologien
Funktionalanalysis 2
- Einbettungssätze für Sobolev- und Hölderräume
- Elliptische L²-Regularitätstheorie
- Elliptische Regularitätstheorie in Hölderräumen (Schaudertheorie)
- Operatorhalbgruppen
- Die Sätze von Hille-Yosida und Lumer-Phillips
- Analytische Halbgruppen
- Abstrakte Cauchyprobleme
- Der Satz von Stone
- Überblick über zentrale Resultate zu stark stetigen Halbgruppen
Lineare Algebra und Analytische Geometrie 1
- Grundlagen
- Analytische Geometrie der Ebene und des Raums
- Reelle Vektorräume
- Struktur von Vektorräumen
- Lineare Transformationen
- Lineare Gleichungssysteme
- Determinanten
- Eigenwerte und-vektoren
- Euklidische und unitäre Vektorräume
Lineare Algebra und Analytische Geometrie 2
- Mehr über Faktorräume und Körper
- Etwas multilineare Algebra
- Die Jordansche Normalform
- Ringe und Moduln
- Moduln über Hauptidealringen
- Anwendungen
Algebra
Topologie
- Allgemeine Topologie
- Geometrische Topologie
- Algebraische Topologie
Wahrscheinlichkeitstheorie
- Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie
- Zufallsexperimente
- Wahrscheinlichkeitsmaße
- Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume
- Kombinatorik
- Bedingte Wahrscheinlichkeiten
- Unabhängigkeit von Ereignissen
- Zufallsvariablen in diskreten Wahrscheinlichkeitsräumen
- Erwartungswert in diskreten Wahrscheinlichkeitsräumen
- Varianz in diskreten Wahrscheinlichkeitsräumen
- Maß- und Integrationstheorie
- Die erweiterte Zahlengerade extreal
- Die Borel-sigma-Algebra
- Fortsetzung von Maßen
- Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf ℝ
- Beispiele für Wahrscheinlichkeitsmaße mit Dichte
- Messbare Abbildungen
- Zufallsvariablen und ihre Verteilungen
- Das Lebesgue-Integral
- Grenzwertsätze für das Lebesgue-Integral
- Integration in ℝ und ℝⁿ
- Integration auf diskreten Maßräumen
- Erwartungswerte von Zufallsvariablen
- k-te Momente, Varianz und Streuung von Zufallsvariablen
- Grenzwertsätze der Wahrscheinlichkeitstheorie
Mathematische Statistik
- Zusatz: Wahrscheinlichkeitstheorie
- Wahrscheinlichkeitsräume
- Kombinatorik
- Diskrete Zufallsvariablen
- Diskrete Verteilungen
- Maß- und Integrationstheorie
- Kontinuierliche Zufallsvariablen
- Kontinuierliche Verteilungen
- Schätzer für Erwartungswert und Varianz
- Weitere kontinuierliche Verteilungen
- Mehrdimensionale Zufallsvariablen
- Bedingte Verteilungen
- Ungleichungen
- Grenzwertbegriffe
- Grenzwertsätze
- Charakteristische Funktionen
- Statistische Modelle
- Schätzmethoden
- Vergleich von Schätzern: Optimalitätstheorie
- Konfidenzintervalle und Hypothesenthests
- Optimale Tests und Likelihood-Quotienten-Tests
- Lineare Modelle
Lineare Kontrolltheorie
- Einführung in dynamische Systeme
- Lösungen von linearen Systemen
- Regelbarkeit und Stabilisierbarkeit
- Beobachtbarkeit und das Separationsprinzip
- LQ-optimale Regelung
- Realisationstheorie und Modellreduktion
- Nachführung und Störunterdrückung
- Einführung: Nachführung eines Wasserkochers
- Verschiedene Möglichkeiten zur Nachführung
- Das Nachführungsproblem
- Das Regulationsproblem
- Lösungen des Regulationsproblems
- Signalmodelle und nicht-konstante Störungen
- Verallgemeinerte Eigenräume und unentdeckbarer Unterraum
- Notwendige Bedingungen
- Prinzip des internen Modells
- H₂-optimale Regelung
- Die H₂-Norm und ihre deterministische Interpretation
- Wiederholung: Grundbegriffe der Statistik
- Wiener-Prozesse
- Weißes Rauschen und die stochastische Interpretation der H₂-Norm
- Farbiges Rauschen und Spektralfaktorisierung
- Das H₂-Regelungsproblem und LQG-Regelung
- Kalman-Filter und H₂-optimale Beobachter
- H₂-optimale Regelung mit Ausgangsrückführung
Numerische Lineare Algebra
- Computerarithmetik
- Lineare Gleichungssysteme
- Eigenwertprobleme
- Ausgleichsprobleme
- Lineare Optimierung
- Iterative Methoden
- Zusatz: Programmieren in MATLAB
Numerische Mathematik 1
- Approximation
- Interpolation mit Polynomen
- Lagrange-Form und 4-Punkt-Formel
- Schema von Aitken-Neville
- Polynome in Newton-Form, Horner-Schema
- Hermite-Interpolation
- Dividierte Differenzen
- Integraldarstellung Dividierter Differenzen
- Newton-Form und Dividerte Differenzen
- Fehler bei der Interpolation glatter Funktionen
- Polynominterpolation mit MATLAB
- Orthogonale Polynome
- Diskrete Fourier-Transformation
- Splines
- B-Splines
- Knotenfolge
- Rekursion für B-Splines
- Stetige Abhängigkeit vom Knotenvektor
- Ableitung von B-Splines
- Uniforme B-Splines
- Marsden-Identität
- Splines
- Auswertung von Splines (de-Boor-Algorithmus)
- Ableitung von Splines
- Schoenberg-Schema
- Quasi-Interpolant
- Fehler der Quasi-Interpolation
- Lösbarkeit von Interpolationsproblemen mit B-Splines
- Interpolation mit Polynomen
- Integration
- Nicht-lineare Gleichungen und Optimierung
Numerische Mathematik 2
- Anfangswertprobleme für gewöhnliche Differentialgleichungen
- Randwertprobleme für gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung
- Definitionen und Beispiele
- Die Finite-Differenzen-Methode in einer Dimension
- Die Finite-Elemente-Methode in einer Dimension
- Einführung und Motivation
- Klassische und schwache Lösung
- Sobolev-Räume in einer Dimension
- Existenz und Eindeutigkeit der schwachen Lösung
- Finite-Elemente-Diskretisierung in einer Dimension
- Konvergenz der FEM
- Adaptive Verfahren
- Numerische Stabilität der FEM
- Numerischer Aufwand und schnelle Löser für die FEM
Partielle Differentialgleichungen
- Zusätzliches
- Modellierung mit PDEs
- PDE-Klassen und klassische Lösungen
- Schwache Lösungskonzepte und Sobolev-Räume
- Motivation und Distributionslösung
- Schwache Ableitungen und Sobolev-Räume
- Schwache Lösungen für elliptische Probleme
- Motivation
- Stetigkeit und Koerzivität
- Schwache Formen elliptischer Probleme
- Orthogonale Projektion und Rieszscher Darstellungssatz
- Existenz und Eindeutigkeit für das Poisson-Problem
- Existenz und Eindeutigkeit für das allg. ell. Problem
- Eigenschaften der Lösung
- Verallgemeinerte Randbedingungen
- Regularität
- Finite-Elemente-Methode
Approximation und geometrische Modellierung
Finite Elemente
- Grundlegende Konzepte der Finite-Elemente-Methode
- B-Splines
- Finite-Elemente-Basen
- Randwertprobleme
- Implementierung
- Mehrgitter-Verfahren
- Approximation mit gewichteten Splines
Programmierung und Software-Entwicklung
- Kurze Einführung in die Sprache Ada
- Algorithmen und Sprachen
- Daten, ihre Strukturierung und Organisation
- Begriffe der Programmierung
- Komplexität von Algorithmen und Programmen
Datenstrukturen und Algorithmen
- Sortieren
- Graphalgorithmen
- Suchbäume und (2, 4)-Bäume
- Dynamisches Programmieren
- Minimale Spannbäume (MST)
Formale Sprachen und Automatentheorie
Berechenbarkeit und Komplexität
- Grundlagen
- Turingmaschinen
- Berechenbarkeit und Entscheidbarkeit
- Reduktionen
- Die Sätze von Rice
- Das Halteproblem
- Das Postsche Korrespondenzproblem
- Fleißige Biber
- Primitive Biber und primitiv-rekursive Funktionen
- Die Sprachen IMP, WHILE und LOOP
- μ-rekursive Funktionen
- Zusatz: Prädikatenlogik erster Stufe
- Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz
- Komplexität
- Komplexitätsklassen
- Algorithmische Probleme
- Beziehungen zwischen den Komplexitätsklassen
- Der Satz von Savitch
- Hierarchiesätze
- Lückensatz von Borodin
- Der Satz von Immerman und Szelepcsényi
- Polynomialzeit-Reduktionen
- Matching und Fluss als Beispiel für eine Polynomialzeit-Reduktion
- Logspace-Reduktionen
- Zusatz: Aussagenlogik
- Schwierige und vollständige Probleme
- NL-vollständige Probleme
- NP-vollständige Probleme
- PSPACE-vollständige Probleme
Algorithmische Geometrie
- Geometrische Suchstrukturen
- Konvexe Hüllen
- Planare Unterteilungen
- Delaunay-Triangulierungen und Voronoi-Diagramme
- Hyperebenenarrangements und Dualität
- Lineare Programmierung
Diskrete Optimierung
- Netzwerkfluss-Probleme
- Lineare Programmierung
- LP-basierte Approximationen für NP-schwere Probleme
- Nicht-LP-basierte Approximationen
Kryptografische Verfahren
- Einführung und Wiederholung
- Symmetrische Verschlüsselungsverfahren
- Asymmetrische Verschlüsselungsverfahren
- Miller-Rabin-Test
- Einfache zahlentheoretische Algorithmen
- Faktorisierung
- Diskreter Logarithmus
- Wurzelziehen in endlichen Körpern
- Multiplikation
- Kryptografische Hashfunktionen
- Digitale Signaturen
- Protokolle
- Elliptische Kurven
Theoretische und methodische Grundlagen des Visual Computing
- Einführung in OpenGL
- Affine Geometrie
- Projektive Geometrie
- Differentiationsrechnung
- Integralrechnung
- Gewöhnliche Differentialgleichungen
- Partielle Differentialgleichungen
- Interpolation auf Gittern
- Interpolation unregelmäßig verteilter Daten
- Approximation
- Fourier-Analysis
- Wavelets
Modellbildung und Simulation
Optische Phänomene in Natur und Alltag
- Schatten und Perspektive
- Farbe
- Streuung
- Brechung
- Reflexion
- Interferenz und Beugung
- Auge und Wahrnehmung
- Lichtquellen
- Polarisation und Moiré
Geowissenschaftliche Grundlagen der Planetenforschung
- Entstehung der Erde
- Aufbau der Erde
- Evolution des Lebens
- Biologische Zeitenwende vor 542 Millionen Jahren
- Beschwerlicher Landgang vor 350 Millionen Jahren
- Reptilien
- Großes Sterben vor 251 Millionen Jahren
- Jura- und Kreidezeit und Vögel
- Explosion im Treibhaus vor 65 Millionen Jahren
- Erdneuzeit: Zeitalter der Säugetiere
- Stammbaum des Lebens
- Plattentektonik und Klima
- Energie
- Geophysik des Erdkörpers
- Plattentektonik
- Vulkanite