Analysis 2 – Reihen und uneigentliche Integrale

Definitionen

Reihe: Sei \(\{a_k\}_{k \in \natural }\) eine Folge mit \(a_k \in \field ^p\), wobei \(\field \in \{\real , \complex \}\). \(S_n = a_1 + \dotsb + a_n = \sum _{k=1}^n a_k\) ist die \(n\)-te Partialsumme. Dann konvergiert die Reihe \(\sum _{k=1}^\infty a_k\) genau dann, wenn der Grenzwert \(\sum _{k=1}^\infty a_k := \lim _{n \to \infty } S_n\) existiert.

uneigentliches Integral: Sei \(f: \left [0, +\infty \right [ \rightarrow \field ^p\) auf \([0, r]\) für alle \(r > 0\) Riemann-integrierbar.
Dann konvergiert das uneigentliche Integral \(\int _0^{+\infty } f(x)\dx \) genau dann, wenn der Grenzwert \(\int _0^{+\infty } f(x)\dx := \lim _{r \to +\infty } \int _0^r f(x)\dx \) existiert.

Analog definiert man \(\sum _{k=k_0}^\infty a_k\), \(\sum _{k=-\infty }^{k_0} a_k\), \(\int _{y_0}^{+\infty } f(x)\dx \) und \(\int _{-\infty }^{y_0} f(x)\dx \) für \(k_0 \in \integer \), \(y_0 \in \real \).

Reihe vom Typ \(\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\): \(\sum _{k=-\infty }^{+\infty } a_k\) konvergiert genau dann, wenn sowohl \(\sum _{k=k_0}^{+\infty } a_k\) als auch \(\sum _{k=-\infty }^{k_0-1} a_k\) (unabhängig voneinander) konvergieren.
Dann ist \(\sum _{k=-\infty }^{+\infty } a_k := \sum _{k=-\infty }^{k_0-1} a_k + \sum _{k=k_0}^{+\infty } a_k\).
(Diese Definition ist unabhängig von der konkreten Wahl von \(k_0 \in \integer \).)

uneig. Integral vom Typ \(\int _{-\infty }^{+\infty }\): Sei \(f: \real \rightarrow \field ^p\) mit \(f \in \R [-R_1, R_2]\) für alle \(R_1, R_2 > 0\).
\(\int _{-\infty }^{+\infty } f(x)\dx \) konvergiert genau dann, wenn sowohl \(\int _{y_0}^{+\infty } f(x)\dx \) als auch \(\int _{-\infty }^{y_0} f(x)\dx \) konvergieren. Dann ist \(\int _{-\infty }^{+\infty } f(x)\dx := \int _{-\infty }^{y_0} f(x)\dx + \int _{y_0}^{+\infty } f(x)\dx \).
(Diese Definition ist unabhängig von der konkreten Wahl von \(y_0 \in \real \).)

uneigentliches Integral mit Definitionslücke:
Sei \(f: \left [a,b\right [ \cup \left ]b,c\right ] \rightarrow \field ^p\), \(a < b < c\), wobei \(f \in \R [a, b - \varepsilon _1]\) und \(f \in \R [b + \varepsilon _2, c]\) \(\forall _{\varepsilon > 0}\).
Dann ist \(\int _a^b f(x)\dx := \lim _{\varepsilon _1 \to 0+0} \int _a^{b-\varepsilon _1} f(x)\dx \) sowie \(\int _b^c f(x)\dx := \lim _{\varepsilon _2 \to 0+0} \int _{b+\varepsilon _2}^c f(x)\dx \).
Das uneigentliche Integral \(\int _a^c f(x)\dx \) konvergiert genau dann, wenn sowohl \(\int _a^b f(x)\dx \) als auch \(\int _b^c f(x)\dx \) konvergieren. Dann ist \(\int _a^c f(x)\dx := \int _a^b f(x)\dx + \int _b^c f(x)\dx \).

Hauptwert von Cauchy:
Sei \(f: \left [a,b\right [ \cup \left ]b,c\right ] \rightarrow \field ^p\), \(a < b < c\), wobei \(f \in \R [a, b - \varepsilon ]\) und \(f \in \R [b + \varepsilon , c]\) \(\forall _{\varepsilon > 0}\).
Dann ist \(\vp \int _a^c f(x)\dx = \fint _a^c f(x)\dx := \lim _{\varepsilon \to 0+0} \left (\int _a^{b-\varepsilon } f(x)\dx + \int _{b+\varepsilon }^c f(x)\dx \right )\).

Hauptwert bei \(\int _{-\infty }^{+\infty }\): Sei \(f: \real \rightarrow \field ^p\) mit \(f \in \R [-R, R]\) für alle \(R > 0\).
Dann ist \(\vp \int _{-\infty }^{+\infty } f(x)\dx := \lim _{R \to +\infty } \int _{-R}^R f(x)\dx \).

Hauptwert bei \(\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\): \(\vp \sum _{k=\infty }^{+\infty } a_k := \lim _{N \to +\infty } \sum _{k=-N}^{+N} a_k\)

Falls \(\sum _{k=-\infty }^{+\infty } a_k\) (im üblichen Sinn) konvergiert, so konvergiert auch \(\vp \sum _{k=-\infty }^{+\infty } a_k = \sum _{k=-\infty }^{+\infty } a_k\).
Analog: Falls \(\int _{-\infty }^{+\infty } f(x)\dx \) konvergiert, so konvergiert auch \(\vp \int _{-\infty }^{+\infty } f(x)\dx = \int _{-\infty }^{+\infty } f(x)\dx \).

Einfache Aussagen zu Reihen und uneigentlichen Integralen

Satz (Konvergenz-Kriterium von Cauchy bei Reihe): Sei \(a_k \in \field ^p\) für \(k \in \natural \).
Dann gilt: \(\sum _{k=1}^{+\infty } a_k\) konvergiert \(\;\Leftrightarrow \;\) \(\forall _{\varepsilon > 0} \exists _{N_\varepsilon } \forall _{m \ge n \ge N_\varepsilon }\; \big \Vert \sum _{k=n+1}^m a_k \big \Vert < \varepsilon \).

Satz (Konvergenz-Kriterium von Cauchy bei uneig. Integral):
Sei \(f: \left [0,+\infty \right [ \rightarrow \field ^p\), \(f \in \R [0, R]\) für alle \(R > 0\).
Dann gilt: \(\int _0^{+\infty } f(x)\dx \) konvergiert \(\;\Leftrightarrow \;\) \(\forall _{\varepsilon > 0} \exists _{R_\varepsilon } \forall _{R’’ \ge R’ \ge R_\varepsilon }\; \big \Vert \int _{R’}^{R’’} f(x)\dx \big \Vert < \varepsilon \).

Folgerung: Konvergiert \(\sum _{k=1}^\infty a_k\), so ist \(\lim _{k \to \infty } a_k = 0\). Die Umkehrung gilt i. A. nicht.
Außerdem kann man aus \(\int _0^{+\infty } f(x)\dx \) konvergiert i. A. nicht folgern, dass \(\lim _{x \to +\infty } f(x) = 0\).

Anmerkung: \(\sum _{k=1}^{+\infty } a_k\) konvergent \(\;\Leftrightarrow \; \sum _{k=k_0}^{+\infty } a_k\) konvergent,
\(\int _0^{+\infty } f(x)\dx \) konvergent \(\;\Leftrightarrow \; \int _C^{+\infty } f(x)\dx \) konvergent.

Satz (Linearität bei Integral): Seien \(f_1, f_2: \left [0,+\infty \right [ \rightarrow \field ^p\) mit \(\forall _{R > 0}\; f_1, f_2 \in \R [0,R]\).
Falls \(\int _0^{+\infty } f_1(x)\dx \) und \(\int _0^{+\infty } f_2(x)\dx \) konvergieren, so konvergiert auch
\(\int _0^{+\infty } (\alpha _1 f_1(x) + \alpha _2 f_2(x))\dx = \alpha _1 \cdot \int _0^{+\infty } f_1(x)\dx + \alpha _2 \cdot \int _0^{+\infty } f_2(x)\dx \).

Satz (Linearität bei Reihe): Falls \(\sum _{k=1}^{+\infty } a^{(1)}_k\) und \(\sum _{k=1}^{+\infty } a^{(2)}_k\) konvergieren, so konvergiert auch \(\sum _{k=1}^{+\infty } (\alpha _1 a^{(1)}_k + \alpha _2 a^{(2)}_k) = \alpha _1 \cdot \sum _{k=1}^{+\infty } a^{(1)}_k + \alpha _2 \cdot \sum _{k=1}^{+\infty } a^{(2)}_k\).

Reihen mit nicht-negativen Summanden, Umordnungssatz

Sei \(a_k \in \real \), \(a_k \ge 0\) für alle \(k \in \natural \). Dann ist \(S_n = \sum _{k=1}^n a_k\) monoton steigend.
Entweder ist nun \(\{S_n\}\) beschränkt, d. h. konvergent, oder \(\{S_n\}\) divergiert bestimmt gegen \(+\infty \).
Konvergiert \(\{S_n\}\), so ist \(S := \sum _{k=1}^{+\infty } a_k = \lim _{n \to \infty } S_n = \sup _{n \in \natural } S_n\).

Vergleichssatz: Seien \(0 \le b_k \le a_k\) für alle \(k \in \natural \). Dann ist \(0 \le \sum _{k=1}^\infty b_k \le \sum _{k=1}^\infty a_k\),
d. h. konvergiert \(\sum _{k=1}^\infty a_k\), so konvergiert auch \(\sum _{k=1}^\infty b_k\).

Umordnungssatz: Seien \(a_k \ge 0\) für \(k \in \natural \) sowie \(b_k = a_{\varphi (k)}\), wobei \(\varphi : \natural \rightarrow \natural \) bijektiv ist.
Dann ist \(\sum _{k=1}^\infty b_k = \sum _{k=1}^\infty a_k\).

Umordnungssatz von Riemann: Seien \(a_k \in \real \) mit \(\lim _{k \to \infty } a_k = 0\) und beide Reihen \(\sum _{k=1}^\infty a_k^+\) sowie \(\sum _{k=1}^\infty a_k^-\) divergent, wobei \(a_k^+ = \max \{0, a_k\}\) und \(a_k^- = \min \{0, a_k\}\).
Dann gilt \(\forall _{r \in \real \cup \{+\infty \} \cup \{-\infty \}} \exists _{\varphi _r: \natural \rightarrow \natural \text { bijektiv}}\; \sum _{k=1}^\infty a_{\varphi _r(k)} = r\).

Anschaulich kann eine Reihe einer Folge \(\{a_k\}\) mit diesen Voraussetzungen durch Umordnung der Folgenglieder jeden Grenzwert annehmen (auch bestimmt divergieren).

Reihen über abzählbar unendliche Mengen: Seien \(A\) abzählbar unendlich (d. h. es gibt eine Bijektion \(\varphi : A \rightarrow \natural \)) sowie für jedes \(\alpha \in A\) ein \(a_\alpha \in \real \) mit \(a_\alpha \ge 0\) gegeben.
Dann ist \(\sum _{\alpha \in A} a_\alpha := \sum _{k=1}^\infty a_{\varphi ^{-1}(k)}\) wegen des Umordnungssatzes unabhängig von \(\varphi \) definiert.

Typische Anwendungen: Sind \(A\) und \(B\) abzählbar, so sind auch \(A \cup B\), \(A \times B\) und \(A^n\) abzählbar und \(\sum _{(\alpha ,\beta ) \in A \times B} a_{\alpha ,\beta }\) mit \(a_{\alpha ,\beta } \ge 0\) ist wohldefiniert.

Satz: Sei \(A\) abzählbar.

\(\forall _{\alpha \in A}\; 0 \le a_\alpha \le b_\alpha \quad \Rightarrow \quad 0 \le \sum _{\alpha \in A} a_\alpha \le \sum _{\alpha \in A} b_\alpha \)
\(0 \le a_\alpha , b_\alpha , c_1, c_2 \quad \Rightarrow \quad \sum _{\alpha \in A} (c_1 a_\alpha + c_2 b_\alpha ) = c_1 \sum _{\alpha \in A} a_\alpha + c_2 \sum _{\alpha \in A} b_\alpha \)
\(A’ \subset A\), \(a_\alpha \ge 0\), \(a’_\alpha = a_\alpha \) für \(\alpha \in A’\), sonst \(a’_\alpha = 0\)
\(\Rightarrow \quad \sum _{\alpha \in A’} a_\alpha = \sum _{\alpha \in A’} a’_\alpha = \sum _{\alpha \in A} a’_\alpha \le \sum _{\alpha \in A} a_\alpha \)
\(A_1, A_2 \subset A\) (d. h. \(A_1, A_2\) ebenfalls abzählbar), \(A = A_1 \cup A_2\) mit \(A_1 \cap A_2 = \emptyset \), \(a_\alpha \ge 0\)
\(\Rightarrow \quad \sum _{\alpha \in A} a_\alpha = \sum _{\alpha \in A_1} a_\alpha + \sum _{\alpha \in A_2} a_\alpha \)
\(a_\alpha \ge 0 \quad \Rightarrow \quad \sum _{\alpha \in A} a_\alpha = \sup _{\widetilde {A} \subset A,\; \widetilde {A} \text { endlich}} \sum _{a \in \widetilde {A}} a_\alpha \)

Satz (Doppelreihen): Seien \(A, B\) abzählbar und \(a_{\alpha ,\beta } \ge 0\) für \((\alpha ,\beta ) \in A \times B\).
Dann ist \(\sum _{(\alpha ,\beta ) \in A \times B} a_{\alpha ,\beta } = \sum _{\alpha \in A} \Big (\sum _{\beta \in B} a_{\alpha ,\beta }\Big ) = \sum _{\beta \in B} \Big (\sum _{\alpha \in A} a_{\alpha ,\beta }\Big )\).

Satz: Seien \(a_k, b_k \ge 0\). Dann ist \(\sum _{(m,n) \in \natural \times \natural } a_m b_n = \left (\sum _{m=1}^\infty a_m\right ) \left (\sum _{n=1}^\infty b_n\right )\).

Konvergenzkriterien für Reihen mit nicht-negativen (positiven) Summanden

Satz 1: Seien \(c > 0\) sowie \(0 \le a_k \le c \cdot b_k\) für \(k \in \natural \). Dann folgt aus \(\sum _{k=1}^\infty b_k\) konvergent, dass \(\sum _{k=1}^\infty a_k\) konvergent ist sowie aus \(\sum _{k=1}^\infty a_k\) divergent, dass \(\sum _{k=1}^\infty b_k\) divergent ist.

Satz 2: Seien \(a_k, b_k > 0\) sowie \(\frac {a_{k+1}}{a_k} \le \frac {b_{k+1}}{b_k}\) für alle \(k \in \natural \). Dann lässt sich Satz 1 anwenden.
(Es genügt schon \(k \ge k_0\).)

Wurzelkriterium von Cauchy: Sei \(a_k \ge 0\) für \(k \ge k_0\).

\(\sqrt [k]{a_k} \le q < 1\) für \(k \ge k_0\) \(\quad \Rightarrow \quad \sum _{k=1}^\infty a_k\) konvergent
\(\sqrt [k]{a_k} \ge 1\) für \(k \ge k_0\) \(\quad \Rightarrow \quad \sum _{k=1}^\infty a_k\) divergent

Quotientenkriterium von d’Alembert: Sei \(a_k > 0\) für \(k \ge k_0\).

\(\frac {a_{k+1}}{a_k}\) \(\le q < 1\) für \(k \ge k_0\) \(\quad \Rightarrow \quad \sum _{k=1}^\infty a_k\) konvergent
\(\frac {a_{k+1}}{a_k}\) \(\ge 1\) für \(k \ge k_0\) \(\quad \Rightarrow \quad \sum _{k=1}^\infty a_k\) divergent

Reihen als uneigentliche Integrale: Seien \(a_k \in \real \) für \(k \in \natural \). Definiere \(f: \left [0,+\infty \right [\), \(f(x) = a_k\) für \(x \in \left ]k-1,k\right ]\) sowie \(f(0) = 0\). Dann ist \(\sum _{k=1}^n a_k = \int _0^n f(x)\dx \) sowie \(\int _0^{n+r} f(x)\dx \) liegt zwischen \(S_n\) und \(S_{n+1}\) mit \(n \in \natural \), \(r \in \left ]0,1\right [\). Daher ist \(\sum _{k=1}^\infty a_k = \int _0^\infty f(x)\dx \).

Vergleichssatz bei uneig. Integralen: Seien \(f, g: [0,+\infty ] \rightarrow \real \) mit \(f, g \in \R [0, R]\) für alle \(R > 0\) sowie \(0 \le f(x) \le g(x)\) für alle \(x > 0\). Dann folgt aus \(\int _0^{+\infty } g(x)\dx \) konvergent, dass \(\int _0^{+\infty } f(x)\dx \) konvergent ist, sowie aus \(\int _0^{+\infty } f(x)\dx \) divergent, dass \(\int _0^{+\infty } g(x)\dx \) divergent ist.

Integralkriterium von Maclaurin und Cauchy: Seien \(a_k \ge 0\) für \(k \in \natural \),
\(f: \left [1,+\infty \right [ \rightarrow \real \), wobei \(f(x) \ge 0\) und \(\forall _{R > 1}\; f \in \R [1,R]\), \(f\mf \) und \(f(k) = a_k\) für \(k \in \natural \).
Dann konvergiert \(\int _1^{+\infty } f(x)\dx \) genau dann, wenn \(\sum _{k=1}^\infty a_k\) konvergiert.
Außerdem gilt dann \(\sum _{k=2}^\infty a_k \le \int _1^{+\infty } f(x)\dx \le \sum _{k=1}^\infty a_k\).

Bspw. konvergiert die harmonische Reihe \(\sum _{k=1}^\infty \frac {1}{k^\alpha }\), \(\alpha > 0\) genau dann, wenn \(\alpha > 1\) ist.

Satz (es gibt keine universelle Vergleichsfunktion):
Seien \(0 < p_k \le s_k\) für \(k \in \natural \) mit \(s_k \to 0\) sowie \(\sum _{k=1}^\infty p_k\) konvergent und \(\sum _{k=1}^\infty s_k\) divergent.
Dann gibt es \(0 < p_k’\) mit \(\sum _{k=1}^\infty p_k’\) konvergent, aber \(\lim _{k \to \infty }\) \(\frac {p_k}{p_k’}\) \(= 0\), sowie
\(0 < s_k’\) mit \(\sum _{k=1}^\infty s_k’\) divergent, aber \(\lim _{k \to \infty }\) \(\frac {s_k’}{s_k}\) \(= 0\).

Kriterium von Raabe: Seien \(a_n > 0\) sowie \(R_n = n \cdot \Big (\)\(\frac {a_n}{a_{n+1}}\) \(-\; 1\Big )\) für \(n \in \natural \).

\(R_n \ge r > 1\) für \(n \ge N\) \(\quad \Rightarrow \quad \sum _{k=1}^\infty a_k\) konvergent
\(R_n \le 1\) für \(n \ge N\) \(\quad \Rightarrow \quad \sum _{k=1}^\infty a_k\) divergent

Kriterium von Kummer: Seien \(a_k > 0\), \(c_k > 0\) mit \(K_n = c_n \;\cdot \) \(\frac {a_n}{a_{n+1}}\) \(-\; c_{n+1}\) für \(k \in \natural \), wobei \(\sum _{k=1}^\infty \) \(\frac {1}{c_k}\) divergiert.

\(K_n \ge \delta > 0\) \(\quad \Rightarrow \quad \sum _{k=1}^\infty a_k\) konvergent
\(K_n \le 0\) \(\quad \Rightarrow \quad \sum _{k=1}^\infty a_k\) divergent

Konvergenzkriterien in Limesform

oberer/unterer Grenzwert: Sei \(\{x_n\}_{n \in \natural }\) eine reelle Folge (\(x_k \in \real \)). Es gilt \(\{y_n\}\mf \), \(\{z_n\}\ms \), wobei \(y_n := \sup _{k \ge n} x_k\), \(z_n := \inf _{k \ge n} x_k\). Der Grenzwert \(\limsup _{k \to \infty } x_k = \varlimsup _{k \to \infty } x_k := \lim _{n \to \infty } y_n\) bzw. \(\liminf _{k \to \infty } x_k = \varliminf _{k \to \infty } x_k := \lim _{n \to \infty } z_n\) heißt oberer bzw. unterer Grenzwert.

Satz: \(\{a_k\}\) konvergiert \(\;\Leftrightarrow \;\) \(\liminf _{k \to \infty } a_k = \limsup _{k \to \infty } a_k =: A\) (dann ist \(\lim _{k \to \infty } a_k = A\)).
Es gilt stets \(\liminf _{k \to \infty } a_k \le \limsup _{k \to \infty } a_k\).

Vergleichssatz in Limesform:
Seien \(a_k \ge 0\) und \(b_k > 0\) für \(k \in \natural \) sowie \(\limsup _{k \to \infty }\) \(\frac {a_k}{b_k}\) \(< +\infty \).
Dann folgt aus \(\sum _{k=1}^\infty b_k\) konvergent, dass \(\sum _{k=1}^\infty a_k\) konvergent ist, sowie aus \(\sum _{k=1}^\infty a_k\) divergent folgt, dass \(\sum _{k=1}^\infty b_k\) divergent ist.

Wurzelkriterium von Cauchy in Limesform:
Sei \(a_k \ge 0\) für \(k \in \natural \). Dann folgt aus \(\limsup _{k \to \infty } \sqrt [k]{a_k} < 1\), dass \(\sum _{k=1}^\infty a_k\) konvergent ist, sowie aus \(\liminf _{k \to \infty } \sqrt [k]{a_k} > 1\) folgt, dass \(\sum _{k=1}^\infty a_k\) divergent ist.

Quotientenkriterium von d’Alembert in Limesform:
Sei \(a_k > 0\) für \(k \in \natural \). Dann folgt aus \(\limsup _{k \to \infty }\) \(\frac {a_{k+1}}{a_k}\) \(< 1\), dass \(\sum _{k=1}^\infty a_k\) konvergent ist, sowie aus \(\liminf _{k \to \infty }\) \(\frac {a_{k+1}}{a_k}\) \(> 1\) folgt, dass \(\sum _{k=1}^\infty a_k\) divergent ist.

Absolute und bedingte Konvergenz

bedingte Konvergenz: Seien \(a_n \in \field ^p\) mit \(\field \in \{\real , \complex \}\).
Dann heißt Konvergenz von \(\sum _{k=1}^\infty a_k = \lim _{n \to \infty } \sum _{k=1}^n a_k\) bedingte Konvergenz.

absolute Konvergenz (Reihe): \(\sum _{k=1}^\infty a_k\) konvergiert absolut, falls \(\sum _{k=1}^\infty \Vert a_k \Vert \) konvergiert.

Manchmal bedeutet „absolute Konvergenz“ die Konvergenz von \(\sum _{k=1}^\infty |a_k|\) für \(a_k \in \field \) und „normale Konvergenz“ die Konvergenz von \(\sum _{k=1}^\infty \Vert a_k \Vert \) für \(a_k \in \field ^n\).

absolute Konvergenz (Integral): Sei \(f: \left [0,+\infty \right [ \rightarrow \field ^p\) mit \(f \in \R [0,R]\) für alle \(R > 0\).
\(\int _0^{+\infty } f(x)\dx \) konvergent absolut, falls \(\int _0^{+\infty } \Vert f(x) \Vert \dx \) konvergiert.

Analog lässt sich absolute Konvergenz von uneig. Integralen mit Definitionslücke definieren.

Satz: Konvergiert \(\sum _{k=1}^\infty a_k\) bzw. \(\int _0^{+\infty } f(x)\dx \) absolut, so konvergiert die Reihe bzw. das uneigentliche Integral auch bedingt.

Anmerkung: \(\sum _{k=1}^\infty a_k\) konvergiert absolut, falls \(\sum _{k=1}^\infty \Re (a_k)\) und \(\sum _{k=1}^\infty \Im (a_k)\) absolut konvergieren (falls \(a_k \in \complex \)). \(\sum _{k=1}^\infty a_k\) konvergiert absolut, falls \(\sum _{k=1}^\infty \pi _\ell (a_k)\) für alle \(\ell = 1, \dotsc , p\) absolut konvergiert (falls \(a_k \in \field ^p\)).

Satz: Seien \(a_k \in \real \), \(a_k^+ = \max \{0, a_k\} \ge 0\) und \(a_k^- = \min \{0, a_k\} \le 0\).
Dann konvergiert \(\sum _{k=1}^\infty a_k\) absolut genau dann, wenn \(\sum _{k=1}^\infty a_k^+\) und \(\sum _{k=1}^\infty a_k^-\) konvergieren.

Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen: Seien \(a_k \in \field ^p\) und \(\sum _{k=1}^\infty a_k\) konvergiert absolut. Dann ist \(\sum _{k=1}^\infty a_k = \sum _{k=1}^\infty a_{\varphi (k)}\) für jede Bijektion \(\varphi : \natural \rightarrow \natural \).

Beispiel: \(\zeta (s) = \sum _{k=1}^\infty \frac {1}{k^s}\) für \(s = \sigma + it \in \complex \) (\(\sigma , t \in \real \)) konvergiert absolut für \(\sigma > 1\) und divergiert für \(\sigma \le 1\). Bis heute ist es ein ungelöstes Problem, ob alle Nullstellen dieser Riemannschen Zetafunktion den Realteil \(\frac {1}{2}\) besitzen (Riemannsche Vermutung).

Nicht absolut konvergente Reihen

Abelsche Summation: Seien \(\alpha _m, \beta _m \in \real \) und \(B_n = \sum _{k=1}^n \beta _k\). Dann ist \(\beta _n = B_n - B_{n-1}\).
Dann gilt \(S_m = \sum _{k=1}^m \alpha _k \beta _k = \alpha _m B_m + \sum _{k=1}^{m-1} (\alpha _{k+1} - \alpha _k) B_k\) (partielle Summation).

Abelsches Kriterium: Seien \(a_k, b_k \in \real \), \(\sum _{k=1}^\infty b_k\) konvergiere bedingt und \(\{a_k\}\) sei monoton und beschränkt. Dann konvergiert auch \(\sum _{k=1}^\infty a_k b_k\) bedingt.

Kritierium von Dirichlet: Sei \(\{a_k\}\) monoton, \(\lim _{n \to \infty } a_n = 0\) sowie \(\{B_n\}\) beschränkt mit \(B_n = \sum _{k=1}^n b_k\). Dann konvergiert \(\sum _{k=1}^\infty a_k b_k\).

Satz von Leibniz: \(a_k > 0\), \(\{a_k\}\) monoton und \(\lim _{k \to \infty } a_k = 0\) \(\;\Rightarrow \; \sum _{k=1}^\infty (-1)^k a_k\) konvergent.

Kritierium von Dirichlet für uneigentliche Integrale: Sei \(a: \left [0, +\infty \right [ \rightarrow \left [0, +\infty \right [\) eine stetige und differenzierbare Funktion sowie \(a\mf \) und \(\lim _{x \to +\infty } a(x) = 0\).
Außerdem sei \(b: \left [0, +\infty \right [ \rightarrow \real \) auf jedem endlichen Intervall Riemann-integrierbar, wobei \(|\int _{x_1}^{x_2} b(x)\dx | \le C\) für alle \(x_2 \ge x_1 \ge 0\). Dann ist \(\int _0^{+\infty } a(x)b(x)\dx \) konvergent.

Unendliche Produkte

Seien \(a_k \in \complex \) mit \(a_k \not = 0\). Dann heißt \(P_n = \prod _{k=1}^n a_k\) das \(n\)-te Partialprodukt.

unendliches Produkt: \(\prod _{k=1}^\infty a_k\) konvergiert, falls es einen Grenzwert gibt mit \(\lim _{n \to \infty } P_n \not = 0\).
Gibt es keinen Grenzwert \(\lim _{n \to \infty } P_n\), dann divergiert \(\prod _{k=1}^\infty a_k\).
Gibt es einen Grenzwert \(\lim _{n \to \infty } P_n = 0\), dann divergiert \(\prod _{k=1}^\infty a_k\) bestimmt gegen \(0\).

Satz: Wenn \(\prod _{k=1}^\infty a_k\) konvergiert, dann ist \(\lim _{k \to \infty } a_k = 1\).

Satz: \(\prod _{k=1}^\infty a_k\) konvergiert genau dann, wenn \(\sum _{k=1}^\infty \Ln a_k\) konvergiert.

Die Summierung divergenter Reihen

Man will den Begriff der Konvergenz einer Reihe so verallgemeinern, sodass Linearität (Reihe lässt sich auseinander ziehen) und Regularität (eine im üblichen Sinne konvergente Reihe muss auch im neuen Sinn konvergieren und die Werte sind gleich) gilt.

Potenzreihenmethode nach Poisson-Abel: Sei \(a_k \in \complex \) gegeben. Für \(0 < x < 1\) definiert man \(f(x) = \sum _{k=1}^\infty a_k x^k\). Sei \(f(x)\) konvergent für alle \(x \in \left ]0,1\right [\) und es existiere der Grenzwert \(S_{PA} = \lim _{x \to 1-0} f(x)\). Der Grenzwert \(S_{PA}\) heißt Summe nach Poisson-Abel.

Satz von Abel: Die Potenzreihenmethode ist regulär, d. h. wenn \(\sum _{k=1}^\infty a_k\) konvergiert, dann konvergiert auch \(S_{PA}\) sowie \(S_{PA} = \lim _{x \to 1-0} \sum _{k=1}^\infty a_k x^k = \sum _{k=1}^\infty a_k\).

Satz von Tauber: Sei \(S_{PA} = \lim _{x \to 1-0} f(x)\) konvergent und \(\lim _{n \to \infty }\) \(\frac {a_1 + 2a_2 + \dotsb + na_n}{n}\) \(= 0\).
Dann ist auch \(\sum _{k=1}^\infty a_k\) konvergent (gegen \(S_{PA}\)).

Methode der arithmetischen Mittel nach Cesaro:
Ist \(S_n = \sum _{k=1}^n a_k\), dann definiert man \(S_C := \lim _{m \to \infty }\) \(\frac {S_1 + \dotsb + S_m}{m}\).

Lemma (Regularität): Sei \(\{b_k\}\) mit \(b = \lim _{k \to \infty } b_k\). Dann ist \(\lim _{n \to \infty }\) \(\frac {b_1 + \dotsb + b_n}{n}\) \(= b\).

Satz von Frobenius: Konvergiert \(S_C\), dann konvergiert auch \(S_{PA}\) und \(S_{PA} = S_C\).

Satz von Hardy: Seien \(S_C\) konvergent sowie \(|a_k| \cdot k \le C\) für alle \(k \in \natural \).
Dann ist \(\sum _{k=1}^\infty a_k\) konvergent (gegen \(S_C\)).