Theoretische und methodische Grundlagen des Visual Computing – Integralrechnung

Funktionen einer Variablen

Stammfunktion: Sei \(f\colon [a, b] \to \real \) eine Funktion. Dann heißt \(F\colon [a, b] \to \real \) mit \(F \in \C ^1([a, b])\) Stammfunktion, falls \(F’ = f\).

unbestimmtes Integral: Das unbestimmte Integral \(\int f(x) \dx \) bezeichnet die Gesamtheit aller Stammfunktionen von \(f\). Es gilt \(\int f(x) g’(x) \dx = f(x) g(x) - \int f’(x) g(x) \dx \) (partielle Integration) und \(\int f(g(x)) g’(x) \dx = (\int f(y) \dy )|_{y = g(x)}\) (Substitution).

Riemann-Integral: Eine Funktion \(f\colon [a, b] \to \real \) ist Riemann-integrierbar, falls jede Riemann-Summe unabhängig von der Zerlegung denselben Grenzwert \(\int _a^b f(x) \dx \) besitzt.

Summenfunktion: \(F\colon [a, b] \to \real \) mit \(F(x) := \int _a^x f(t) \dt \) heißt Summenfunktion von \(f\).

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
Ist \(G\) eine Stammfunktion von \(f\), dann gilt \(\int _a^b f(x) \dx = G(b) - G(a)\).
Die Summenfunktion \(F(x)\) ist eine Stammfunktion von \(f(x)\), d. h. \(\frac {\d }{\dx } (\int _a^x f(t) \dt ) = f(x)\).

Rotationsvolumen: \(V = \pi \int _a^b (f(x))^2 \dx \)

Bogenlänge eines Funktionsgraphen: \(s = \int _a^b \sqrt {1 + (f’(x))^2} \dx \)

Funktionen mehrerer Variablen

Riemann-Integral in zwei Variablen: Eine beschr. Fkt. \(f\colon D \to \real \) mit \(D := [a, b] \times [c, d]\) ist Riemann-integrierbar, falls jede Riemann-Summe unabhängig von der Zerlegung denselben Grenzwert \(\iint _D f(x, y) \d (x,y)\) besitzt.
Wenn \(f\), \(f(\cdot , y)\) und \(f(x, \cdot )\) Riemann-integrierbar sind, dann gilt
\(\iint _D f(x, y) \d (x,y) = \int _a^b (\int _c^d f(x, y) \dy ) \dx = \int _c^d (\int _a^b f(x, y) \dx ) \dy \).

Normalgebiet: Eine Teilmenge \(D \subset \real ^2\) heißt

Normalgebiet vom Typ I, falls \(D = \{(x, y) \in \real ^2 \;|\; x \in [a, b],\; y \in [u(x), o(x)]\}\)
für zweifach stetig diffb. Randfunktionen \(u\) und \(o\), und
Normalgebiet vom Typ II, falls \(D = \{(x, y) \in \real ^2 \;|\; y \in [c, d],\; x \in [l(y), r(y)]\}\)
für zweifach stetig diffb. Randfunktionen \(l\) und \(r\).

Es gilt \(\iint _D f(x, y) \d (x,y) = \int _a^b (\int _{u(x)}^{o(x)} f(x, y) \dy ) \dx \) für Typ-I-Normalgebiete (analog Typ II).

Diffeomorphismus: Eine Abbildung \(\vec {F}\colon D \to B\) mit \(D, B \subset \real ^2\) offen heißt Diffeomorphismus, falls \(\vec {F}\) bijektiv, diffb. und \(\vec {F}^{-1}\) diffb. ist.

Transformationssatz: Seien \(D, B \subset \real ^2\) beschränkt und offen, \(\vec {F}\colon D \to B\) ein Diffeomorpismus und \(f\colon B \to \real \) beschränkt. Wenn \(f\) und \(f(\vec {F}) |\det \D \vec {F}|\) Riemann-integrierbar sind, dann gilt \(\iint _B f(x, y) \d (x, y) = \iint _D f(\vec {F}(u, v)) |\det \D \vec {F}(u, v)| \d (u,v)\).

Polarkoordinaten: \(r \ge 0\), \(\varphi \in [0, 2\pi )\), \(\smallpmatrix {x\\y} = \vec {F}(r, \varphi ) = \smallpmatrix {r\cos \varphi \\r\sin \varphi }\), \(|\det \D \vec {F}(r, \varphi )| = r\)

Kugelkoordinaten: \(r \ge 0\), \(\vartheta \in (0, \pi )\), \(\varphi \in [0, 2\pi )\),
\(\smallpmatrix {x\\y\\z} = \vec {F}(r, \vartheta , \varphi ) = \smallpmatrix {r\sin \vartheta \cos \varphi \\r\sin \vartheta \sin \varphi \\r\cos \vartheta }\), \(|\det \D \vec {F}(r, \vartheta , \varphi )| = r^2 \sin \vartheta \)

Kurven- und Arbeitsintegral

reguläre Parametrisierung: Eine \(\C ^1\)-Abbildung \(\vec {\alpha }\colon I \to \real ^n\) einer Kurve auf einem Intervall \(I \subset \real \) heißt regulär, falls \(\forall _{t \in I}\; |\vec {\alpha }’(t)| > 0\). Das Bild \(\vec {\alpha }(I)\) heißt Spur von \(\vec {\alpha }\).

Helix: \(\vec {\alpha }\colon \real \to \real ^3\), \(\vec {\alpha }(t) := (r \cos t, r \sin t, ht)^\tp \) für \(r, h \ge 0\) ist regulär, wenn \(r > 0\) oder \(h > 0\).

Zykloide: \(\vec {\alpha }\colon \real \to \real ^2\), \(\vec {\alpha }(t) := (t - \sin t, 1 - \cos t)^\tp \) ist nicht regulär für \(t \in 2\pi \integer \).

\(\C ^r\)-Kurve: Eine Menge \(S \subset \real ^n\) heißt \(\C ^r\)-Kurve, falls \(S\) die Spur einer injektiven, regulären \(\C ^r\)-Abbildung \(\vec {\alpha }\colon [a, b] \to \real ^n\) mit \(r \in \natural \) und \(a < b\) ist. In diesem Fall heißt \(\vec {\alpha }\) \(\C ^r\)-Parametrisierung.
Gilt \(|\vec {\alpha }’(t)| \equiv 1\), dann heißt \(\vec {\alpha }\) Bogenlängen-Parametrisierung.
Für jede orientierte \(\C ^1\)-Kurve gibt es eine eindeutige Bogenlängen-Parametrisierung (bis auf Verschiebung des Parameters).

Kurvenintegral: Sei \(f\colon S \to \real \) eine Funktion auf einer \(\C ^1\)-Kurve \(S\).
Dann ist das Kurvenintegral von \(f\) entlang \(S\) definiert durch \(\int _S f(\vec {x}) ds := \int _a^b f(\vec {\alpha }(t)) \cdot |\vec {\alpha }’(t)| \dt \), wobei \(\vec {\alpha }\colon [a, b] \to \real ^n\) eine beliebige reguläre \(\C ^1\)-Parametrisierung von \(S\) und \(f(\vec {\alpha }(\cdot ))\) stetig ist.
Das Kurvenintegral ist linear und unabhängig von der Parametrisierung (Richtung identisch).

Beispiel: Vektorfelder kann man durch eine Kurvenintegral-Faltung darstellen durch
\(I(\vecs {x}{0}) = \int _{-L}^L k(s) T(\vec {\beta }(s)) \ds \) mit Integralkern \(k\), Rauschtextur \(T\) und \(\beta \) der Bogenlängen-Parametrisierung.

Bogenlänge: Sei \(\vec {\alpha }\colon [a, b] \to \real ^n\) eine \(\C ^1\)-Parametrisierung einer \(\C ^1\)-Kurve \(S\).
Dann heißt \(L(S) := \int _a^b |\vec {\alpha }’(t)| \dt \) Bogenlänge von \(S\).
Ist \(\vec {\alpha }\) die Bogenlängen-Parametrisierung, so ist \(t - a\) die Bogenlänge von \(\vec {\alpha }([a, t])\).

Länge eines Funktionsgraphen: Der Graph einer Funktion \(f \in \C ^1(I)\) auf einem Intervall \(I \subset \real \) kann parametrisiert werden durch \(\vec {\alpha }(x) := (x, f(x))^\tp \). Somit erhält man als Länge des Funktionsgraphen \(L(f) := \int _I \sqrt {1 + (f’(x))^2} \dx \) (siehe weiter oben).

Arbeitsintegral: Sei \(\vec {f}\colon \D \to \real ^n\) ein Vektorfeld auf \(D \subset \real ^n\) und \(S \subset D\) eine \(\C ^1\)-Kurve.
Dann ist das Arbeitsintegral von \(\vec {f}\) entlang \(S\) definiert durch \(\int _S \vec {f} \cdot \d \vec {x} := \int _a^b \vec {f}(\vec {\alpha }(t)) \cdot \vec {\alpha }’(t) \dt \), wobei \(\vec {\alpha }\colon [a, b] \to \real ^n\) eine beliebige reguläre \(\C ^1\)-Parametrisierung von \(S\) ist.
Das Kurvenintegral ist linear und unabhängig von der Parametrisierung (Richtung identisch).
Wegen \(\int _a^b \vec {f}(\vec {\alpha }(t)) \cdot \vec {\alpha }’(t) \dt = \int _a^b g(\vec {\alpha }(t)) \cdot |\vec {\alpha }’(t)| \dt \) für \(g(\vec {\alpha }(t)) := \vec {f}(\vec {\alpha }(t)) \cdot \frac {\vec {\alpha }’(t)}{|\vec {\alpha }’(t)|}\) ist das Arbeitsintegral gleich dem Kurvenintegral über die zu \(S\) tangentiale Komponente von \(\vec {f}\).

Oberflächen- und Flussintegral

Oberflächenparametrisierung: Eine Oberflächenparametr. ist eine injektive \(\C ^r\)-Abbildung \(\vec {\phi }\colon U \to \real ^3\) auf einem Gebiet \(U \subset \real ^2\), sodass \(\partial _1 \vec {\phi }(\vec {u}), \partial _2 \vec {\phi }(\vec {u}) \in \real ^3\) linear unabhängig sind.

\(\C ^r\)-Flächenstück: Eine Menge \(M \subset \real ^3\) heißt Flächenstück, falls \(M = \vec {\phi }(U)\) für eine \(\C ^r\)-Oberflächenparametrisierung \(\vec {\phi }\colon U \to \real ^3\) mit \(\vec {\phi }^{-1}\) stetig.

Oberflächenintegral: Sei \(f\colon M \to \real \) eine Funktion auf einem \(\C ^1\)-Flächenstück \(M \subset \real ^3\). Dann ist das Oberflächenintegral von \(f\) auf \(M\) definiert durch
\(\iint _M f(\vec {x}) \d o := \iint _U f(\vec {\phi }(\vec {u})) \cdot \sqrt {g(\vec {u})} \du _1 \du _2\), wobei \(\vec {\phi }\colon U \to \real ^3\) eine beliebige Oberflächenparametrisierung von \(M\) und \(g := \left |\smallpmatrix {g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}}\right |\) mit \(g_{ik} := \partial _i \vec {\phi } \cdot \partial _k \vec {\phi }\) ist. Es gilt \(\sqrt {g(\vec {u})} = |\partial _1 \vec {\phi } \times \partial _2 \vec {\phi }|\).

Fläche: Die Fläche eines \(\C ^1\)-Flächenstücks \(M \subset \real ^3\) ist definiert durch
\(A(M) := \iint _U \sqrt {g(\vec {u})} \du _1 \du _2\), wobei \(\vec {\phi }\colon U \to \real ^3\) eine beliebige Oberflächenparametrisierung von \(M\) ist.

gleich orientiert: Sei \(M \subset \real ^3\) ein Flächenstück. Dann heißen zwei Parametrisierungen \(\vec {\phi }\) und \(\vec {\psi }\) von \(M\) gleich orientiert, falls die Parametertransformation \(\vec {h}\) mit \(\vec {\phi } = \vec {\psi } \circ \vec {h}\) die Beziehung \(\det \D \vec {h} > 0\) erfüllt. Andernfalls heißen \(\vec {\phi }\) und \(\vec {\psi }\) verschieden orientiert.

orientiertes Flächenstück: Sei \(M \subset \real ^3\) ein Flächenstück. Dann heißt \(M\) orientiert, falls man zwischen positiven/negativen Parametrisierungen unterscheidet.

Einheitsnormalenfeld: Sei \(M \subset \real ^3\) ein \(\C ^1\)-Flächenstück. Dann heißt \(\vec {n}\colon M \to \real ^3\),
\(\vec {n}(\vec {x}) := \pm \frac {\partial _1 \vec {\phi } \times \partial _2 \vec {\phi }} {|\partial _1 \vec {\phi } \times \partial _2 \vec {\phi }|}(\vec {u})\) für \(\vec {x} = \vec {\phi }(\vec {u})\) Einheitsnormalenfeld von \(M\), wobei das positive (negative) Vorzeichen für positive (negative) Parametrisierungen \(\vec {\phi }\) verwendet wird.

Flussintegral: Sei \(\vec {f}\colon M \to \real \) ein Vektorfeld auf einem \(\C ^1\)-Flächenstück \(M \subset \real ^3\).
Dann ist das Flussintegral von \(\vec {f}\) durch \(M\) definiert durch
\(\iint _M \vec {f}(\vec {x}) \cdot \d \vec {o} := \pm \iint _U \vec {f}(\vec {\phi }(\vec {u})) \cdot (\partial _1 \vec {\phi }(\vec {u}) \times \partial _2 \vec {\phi }(\vec {u})) \du _1 \du _2\),
wobei \(\vec {\phi }\colon U \to \real ^3\) eine beliebige Oberflächenparametrisierung von \(M\) ist und das positive (negative) Vorzeichen für positive (negative) Parametrisierungen \(\vec {\phi }\) verwendet wird.

Satz von Gauß: Seien \(V \subset \real ^3\) kompakt mit stückweise glattem Rand \(\partial V\), der durch ein äußeres Einheitsnormalenfeld \(\vec {n}\) orientiert ist, und \(\vec {f}\colon U \to \real ^3\) ein Vektorfeld \(U \supset V\) offen.
Dann gilt \(\iiint _V \div \vec {f} \d (x, y, z) = \iint _{\partial V} \vec {f} \cdot \vec {n} \d o\).

Numerische Integration und Monte Carlo

Newton-Cotes-Formeln: Seien \(f\colon [a, b] \to \real \) eine Funktion, \(N \in \natural \), \(\Delta x := \frac {b - a}{N}\) und \(x_j := a + j \Delta x\) für \(j = 0, \dotsc , N\). Dann lässt sich \(\int _a^b f(x) \dx \) approximieren durch

\(F_N := \sum _{j=0}^{N-1} f(a + (j+1/2) \Delta x) \cdot \Delta x\) (Riemann-Summe),
\(F_N := \left (\frac {f(a) + f(b)}{2} + \sum _{j=1}^{N-1} f(x_j)\right ) \cdot \Delta x\) (Trapezregel) und
\(F_N := \left (f(a) + f(b) + \sum _{j=1}^{N-1} (3 - (-1)^j) f(x_j)\right ) \cdot \frac {\Delta x}{3}\) (Simpson-Regel).

Treffermethode (Monte Carlo): Sei \(f\colon [a, b] \to \real \) eine Abbildung mit \(f \ge 0\). Die Approximation von \(\int _a^b f(x) \dx \) mithilfe der Treffermethode geschieht wie folgt:

Wähle eine Funktion \(g\colon [a, b] \to \real \) mit \(f \le g\), deren Integral \(A := \int _a^b g(x) \dx \) bekannt ist.
Wähle \(n_{\text {trials}} \in \natural \) und setze \(n_{\text {accept}} := 0\).
Wiederhole \(n_{\text {trials}}\) Mal:
- Wähle gleichverteilt Zufallszahlen \(x \in [a, b]\) und \(\xi \in [0, 1]\).
- Wenn \(\xi \cdot g(x) \le f(x)\) gilt, dann setze \(n_{\text {accept}} \leftarrow n_{\text {accept}} + 1\).
\(F := A \cdot \frac {n_{\text {accept}}}{n_{\text {trials}}}\) ist eine Schätzung für \(\int _a^b f(x) \dx \).

Üblicherweise berechnet man \(m \in \natural \) Approximationen \(F_i\) und verwendet stattdessen den Durchschnitt \(\frac {1}{m} (\sum _{i=1}^m F_i)\). Zur Fehlerabschätzung kann man die empirische Standardabweichung \(\sqrt {\frac {1}{m} \sum _{i=1}^m F_i^2 - \frac {1}{m^2} (\sum _{i=1}^m F_i)^2}\) verwenden.

Monte-Carlo-Schätzer für gleichverteilte ZVs:
Seien \(N\) auf \([a, b]\) gleichverteilte Zufallsvariablen \(X_1, \dotsc , X_N\) gegeben.
Der Monte-Carlo-Schätzer für \(\int _a^b f(x) \dx \) ist durch \(F_N := \frac {b - a}{N} \sum _{i=1}^N f(X_i)\) definiert.
Ist \(f_X(x) := \frac {1}{b-a}\) die Dichtefunktion der \(X_i\), dann folgt, dass
\(\EE [F_N] = \frac {b - a}{N} \sum _{i=1}^N \EE [f(X_i)] = (b-a) \cdot \EE [f(X_1)] = (b-a) \int _a^b f(x)f_{X_1}(x) \dx = \int _a^b f(x) \dx \)
(vergleiche mit dem Mittelwertsatz \(\exists _{\xi \in [a, b]}\; \int _a^b f(x) \dx = (b-a) \cdot f(\xi )\)).

Monte-Carlo-Schätzer für allgemeine ZVs:
Seien \(N\) i.i.d. Zufallsvariablen \(X_1, \dotsc , X_N\) mit Werten auf \([a, b]\) und Dichte \(f_X\) gegeben.
Der Monte-Carlo-Schätzer für \(\int _a^b f(x) \dx \) ist durch \(F_N := \frac {1}{N} \sum _{i=1}^N \frac {f(X_i)}{f_X(X_i)}\) definiert.
Dann folgt \(\EE [F_N] = \frac {1}{N} \sum _{i=1}^N \EE [\frac {f(X_i)}{f_X(X_i)}] = \EE [\frac {f(X_1)}{f_X(X_1)}] = \int _a^b \frac {f(x)}{f_X(x)} f_X(x) \dx = \int _a^b f(x) \dx \).

Monte-Carlo-Schätzer für mehrere Dimensionen: Zur Berechnung von dreidimensionalen Integralen \(I = \int _{x_0}^{x_1} \int _{y_0}^{y_1} \int _{z_0}^{z_1} f(x, y, z) \dz \dy \dx \) verfährt man analog, d. h.
\(I \approx \frac {(x_1 - x_0) (y_1 - y_0) (z_1 - z_0)}{N} \sum _{i=1}^N f(X_i, Y_i, Z_i)\).

Realisierungen von Zufallsvariablen

Realisierung einer Zufallsvariable: Sei \(X\) eine reelle Zufallsvariable mit Dichte \(f_X\).
Dann kann eine Realisierung \(x\) von \(X\) wie folgt bestimmt werden:

Berechne die Verteilungsfunktion \(F_X(x) = \int _{-\infty }^x f_X(x’) \dx ’\).
Berechne die Inverse \(F_X^{-1}\colon [0, 1] \to \real \).
Erzeuge eine gleichverteilte Zufallszahl \(\xi \in [0, 1]\).
Berechne \(x = F_X^{-1}(\xi )\).

Transformation zwischen Zufallsvariablen: Seien \(X\) eine reelle Zufallsvariable mit Dichte \(f_X\) und \(T\colon \real \to \real \), \(x \mapsto y = T(x)\), eine bijektive Funktion, deren Ableitung nur ein VZ hat.
Dann lässt sich die Dichte von \(Y := T(X)\) wie folgt bestimmen: Für die Verteilungsfunktionen gilt \(F_Y(y) = F_Y(T(x)) = F_X(x)\) (weil \(F_Y(T(x)) = \PP (T(X) \le T(x)) = \PP (X \le x) = F_X(x)\)) für \(y = T(x)\). Durch Anwendung von \(\frac {\d }{\dx }\) folgt \(f_Y(y) |T’(x)| = f_X(x)\), also \(f_Y(y) = \frac {f_X(x)}{|T’(x)|}\).

Transformation zwischen Zufallsvektoren: Seien \(X\) ein reeller \(n\)-Zufallsvektor mit Dichte \(f_X\) und \(T\colon \real ^n \to \real ^n\), \(\vec {x} \mapsto \vec {y} = T(\vec {x})\), eine bijektive Abbildung, deren Funktionaldeterminante nur ein VZ hat. Dann ist die Dichte von \(Y := T(X)\) durch \(f_Y(\vec {y}) = \frac {f_X(\vec {x})}{|J_T(\vec {x})|}\) für \(\vec {y} = T(\vec {x})\) gegeben, wobei im Nenner der Betrag der Funktionaldeterminante steht.

Beispiel: Für Polarkoordinaten gilt \(f_{\text {cart}}(x, y) = f_{\text {polar}}(r, \varphi ) / r\).

Realisierungen eines \(2\)-Zufallsvektors: Sei \((X, Y)\) ein reeller \(2\)-Zufallsvektor mit Dichte \(f_{(X,Y)}\). Dann kann eine Realisierung \((x, y)\) von \((X, Y)\) wie folgt bestimmt werden:

Sind \(X\) und \(Y\) unabhängig, dann gilt \(f_{(X,Y)}(x, y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)\) und man kann die Realisierungen einzeln berechnen.
Falls \(X\) und \(Y\) nicht unabhängig sind:
- Berechne die Randdichte \(f_X(x) := \int _\real f_{(X,Y)}(x, y) \dy \).
- Berechne die Dichte \(f_Y(y\;|\;X=x) := \frac {f_{(X,Y)}(x, y)}{f_X(x)}\) der bedingten Verteilung.
- Berechne eine Realisierung mittels \(f_X(x)\) und danach mittels \(f_Y(y\;|\;X=x)\).

Beispiel: Es werden auf dem 2D-Einheitskreis gleichverteilte Punkte in Polarkoordinaten gesucht. Für die Dichte in kartesischen Koordinaten gilt also \(f_{\text {cart}}(x, y) = \frac {1}{\pi }\). Durch Transformation erhält man in Polarkoordinaten \(f_{(R,\Phi )}(r, \varphi ) = \frac {r}{\pi }\).
Die Randdichte von \(R\) ist \(f_R(r) = \int _0^{2\pi } f_{(R,\Phi )}(r, \varphi ) \d \varphi = 2r\).
Die Dichte der bedingten Verteilung ist \(f_\Phi (\varphi \;|\;R = r) = \frac {f_{(R,\Phi )}(r, \varphi )}{f_R(r)} = \frac {1}{2\pi }\).
Jetzt bestimmt man die Verteilungsfunktionen \(F_R(r) = \int _0^r 2r’ \dr ’ = r^2\) und
\(F_\Phi (\varphi \;|\;R = r) = \int _0^\varphi \frac {1}{2\pi } \d \varphi ’ = \frac {\varphi }{2\pi }\).
Durch Invertierung erhält man \(r = F_R^{-1}(\xi _1) = \sqrt {\xi _1}\) und \(\varphi = F_\Phi ^{-1}(\xi _2\;|\;R = r) = 2\pi \xi _2\).
(Vergleiche mit dem naiven Ansatz \(r = \xi _1\) und \(\varphi = 2\pi \xi _2\) mit \(\xi _1, \xi _2 \in [0, 1]\).)

Anwendung von Monte-Carlo-Integration: Lösung der Rendering-Gleichung
\(L_o(x, \vecs {\omega }{o}) = L_e(x, \vec {\omega }) + \int _\Omega f_r(x, \vecs {\omega }{i}, \vecs {\omega }{o}) L_i(x, \vecs {\omega }{i}) (\vecs {\omega }{i} \cdot \vec {n}) d\vecs {\omega }{i}’\).