Lineare Kontrolltheorie – H₂-optimale Regelung

Die H₂-Norm und ihre deterministische Interpretation

Gegeben sei das LTI-System \(\dot {x} = Ax + Bw\), \(z = Cx\) mit der Übertragungsmatrix
\(T(s) = C(sI - A)^{-1}B\) der Dimension \(p \times q\). Hier ist \(w\) ein Störeingang und \(z\) ein Ausgang, der möglichst klein sein soll. Eine Quantifizierung des Einflusses des Eingangs \(w\) auf den Ausgang \(z\) kann mithilfe der sog. \(H_2\)-Norm der Übertragungsmatrix erfolgen.

\(H_2\)-Norm: Sei \(T\) eine stabile Übertragungsmatrix.
Dann ist \(\norm {T}_2 := \sqrt {\frac {1}{2\pi } \int _{-\infty }^\infty \norm {T(\iu \omega )}_F^2 d\omega }\) die \(H_2\)-Norm von \(T\).

Dabei ist \(\norm {\cdot }_F\) die Frobenius-Matrixnorm, d. h. \(\norm {A}_F := \sqrt {\sum _{i,j} |a_{ij}|^2}\) für \(A := (a_{ij})_{i,j}\).
Es gilt \(\Spur (A^\ast A) = \sum _j (A^\ast A)_{j,j} = \sum _j (\sum _i \overline {a_{ij}} a_{ij}) = \norm {A}_F^2\).

Hardy-Raum \(H_2^{p \times q}\): Der Hardy-Raum \(H_2^{p \times q}\) besteht aus allen Matrizen \(S\) der Dimension \(p \times q\), deren Elemente analytische Funktionen auf \(\complex ^+\) sind, sodass
\(\norm {S}_2^2 := \sup _{r > 0} \frac {1}{2\pi } \int _{-\infty }^\infty \norm {S(r + \iu \omega )}_F^2 d\omega < \infty \).

Für solche Funktionen kann man zeigen, dass \(\widehat {T}(\iu \omega ) := \lim _{r \to 0+0} S(r + \iu \omega )\) für fast alle \(\omega \in \real \) existiert, dass \(\omega \mapsto \widehat {T}(\iu \omega )\) über \(\real \) quadrat-integrierbar ist und dass \(\norm {S}_2\) gleich der \(H_2\)-Norm \(\lVert \widehat {T}\rVert _2\) von \(\widehat {T}\) ist.

\(RH_2^{p \times q}\): Mit \(RH_2^{p \times q}\) wird der Vektorraum aller reellen, rationalen, echt properen und stabilen Übertragungsmatrizen der Größe \(p \times q\) bezeichnet. \(RH_2^{p \times q}\) ist ein dichter Unterraum von \(H_2^{p \times q}\).

Für alle \(F \in L_2^{p \times q}[0, \infty ) := L_2([0, \infty ), \real ^{p \times q})\) ist die Fourier-Transformation definiert durch
\(\widehat {F}(\iu \omega ) := \int _0^\infty e^{-\iu \omega t} F(t)\dt \). Man kann zeigen, dass \(\widehat {F} \in H_2^{p \times q}\). Nach dem Satz von Plancherel gilt
\(\int _0^\infty \norm {F(t)}_F^2 \dt = \frac {1}{2\pi } \int _{-\infty }^\infty \lVert \widehat {F}(\iu \omega )\rVert _F^2 d\omega \). Mit anderen Worten ist die Fouriertransformation eine lineare Isometrie \(L_2^{p \times q}[0, \infty ) \rightarrow H_2^{p \times q}\). Eine Version des Satzes von Paley-Wiener besagt, dass diese Abbildung sogar surjektiv ist. Daher ist die Fourier-Transformation eine isometrische Isomorphie zwischen \(L_2^{p \times q}[0, \infty )\) und \(H_2^{p \times q}\).

Man kann die \(H_2\)-Norm einer stabilen Übertragungsmatrix algebraisch anhand einer Zustandsraum-Realisierung berechnen.

Satz (algebraische Berechnung der \(H_2\)-Norm):
Seien \(A\) eine Hurwitz-Matrix und \(T(s) = C(sI - A)^{-1}B\). Dann gilt:

\(\norm {T}_2^2 = \Spur (C P_c C^T)\), wobei \(P_c\) die Regelbarkeits-Gram-Matrix ist
(d. h. die Lösung von \(AP_c + P_c A^T + BB^T = 0\) bzw. \(P_c = \int _0^\infty e^{At} B B^T e^{A^T t} \dt \))
\(\norm {T}_2^2 = \Spur (B^T P_o B)\), wobei \(P_c\) die Beobachtbarkeits-Gram-Matrix ist
(d. h. die Lösung von \(A^T P_o + P_o A + C^T C = 0\) bzw. \(P_o = \int _0^\infty e^{A^T t} C^T C e^{At} \dt \))

Satz (Ungleichungs-Charakterisierung): \(A\) ist eine Hurwitz-Matrix und \(\norm {T}_2^2 < \gamma \) genau dann, wenn \(\exists _{X \pd }\; A^T X + XA + C^T C \nd ,\; \Spur (B^T X B) \prec \gamma \).

deterministische Interpretation: Seien \(B_1, \dotsc , B_q\) die Spalten von \(B\) und \(z_k(t) = Ce^{At} B_k\) die Antworten von \(\dot {x} = Ax + Bw\), \(z = Cx\) auf einen Impuls im \(k\)-ten Eingang.
Es gilt \(\sum _{k=1}^q \int _0^\infty \norm {z_k(t)}^2 \dt = \sum _{k=1}^q B_k^T \left [\int _0^\infty e^{A^T t} C^T C e^{At} \dt \right ] B_k = \sum _{k=1}^q B_k^T P_o B_k = \Spur (B^T P_o B)\).
Daher ist \(\sum _{k=1}^q \int _0^\infty \norm {z_k(t)}^2 \dt = \norm {T}_2^2\) nach dem obigen Satz, also ist das Quadrat der \(H_2\)-Norm die Summe der Energien der Einschwinganteile der Impulsantworten.

Wiederholung: Grundbegriffe der Statistik

Zufallsvektor: Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden durch Zufallsvektoren (random vectors) \(x = \smallpmatrix {x_1 & \cdots & x_n}^T\) modelliert, die Vektoren von Zufallsvariablen \(x_1, \dotsc , x_n\) sind.

Verteilungsfunktion: Die Verteilungsfunktion (distribution function) \(F_x\colon \real ^n \rightarrow \real \) eines Zufallsvektors \(x\) bestimmt diesen vollständig. Dabei gilt für alle \(\smallpmatrix {\xi _1 & \cdots & \xi _n}^T \in \real ^n\), dass die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(x_1 \le \xi _1, \dotsc , x_n \le \xi _n\) gleich \(F_x(\xi _1, \dotsc , \xi _n)\) ist.

Dichte: Eine Verteilungsfunktion \(F_x(\xi _1, \dotsc , \xi _n)\) besitzt die Dichte (density) \(f_x\colon \real ^n \rightarrow \real \), falls \(F_x(\xi _1, \dotsc , \xi _n) = \int _{-\infty }^{\xi _1} \!\!\!\dotsb \int _{-\infty }^{\xi _n} f_x(\tau _1, \dotsc , \tau _n) \d \tau _n \dotsb \d \tau _1\) für alle \(\xi \in \real ^n\).

normalverteilt: Ein Zufallsvektor \(x\) heißt normalverteilt/Gauß-verteilt (Gaußian), falls seine Verteilungsfunktion die Dichte \(f_x(\tau ) = \frac {1}{\sqrt {(2\pi )^n \det (R)}} \exp \!\left (\frac {1}{2} (\tau - m)^T R^{-1} (\tau - m)\right )\) besitzt, wobei \(m \in \real ^n\) und \(R \in \real ^{n \times n}\) symmetrisch und positiv definit.

Erwartungswert: Sei \(g\colon \real ^n \rightarrow \real ^{k \times \ell }\) Borel-messbar. Wenn \(x = \smallpmatrix {x_1 & \cdots & x_n}^T\) die Dichte
\(f_x(\tau _1, \dotsc , \tau _n)\) besitzt, dann ist der Erwartungswert (expectation) von \(g(x_1, \dotsc , x_n)\) definiert als
\(\EE [g(x_1, \dotsc , x_n)] := \int _{-\infty }^{+\infty } \!\!\!\dotsb \int _{-\infty }^{+\infty } g(\tau _1, \dotsc , \tau _n) f_x(\tau _1, \dotsc , \tau _n) \d \tau _n \dotsb \d \tau _1 \in \real ^{k \times \ell }\).

Für \(g(\tau ) = \tau \) erhält man den Erwartungswert \(\EE [x]\) von \(x\). Für \(g(\tau , \sigma ) = (\tau - \EE [x]) (\sigma - \EE [y])^T\) erhält man die Kovarianz-Matrix.

Kovarianz-Matrix: \(\cov (x, y) := \EE [(x - \EE [x]) (y - \EE [y])^T]\) heißt Kovarianz-Matrix (covariance matrix) der Zufallsvektoren \(x\) und \(y\).

Autokovarianz-Matrix: \(\cov (x, x) = \EE [(x - \EE [x]) (x - \EE [x])^T] = \EE [xx^T] - \EE [x]\EE [x]^T \psd \) heißt Autokovarianz-Matrix (auto-covariance matrix) von \(x\).

Varianz: \(\Spur (\cov (x, x)) = \EE [x^T x] - \EE [x]^T \EE [x] \ge 0\) heißt Varianz (variance) von \(x\).

Wiener-Prozesse

Wiener-Prozess: Ein Wiener-Prozess (Wiener process) \(W(\cdot )\) mit Intensität \(1\) ist eine Abbildung \(t \mapsto W(t)\), sodass für alle \(t \ge 0\) das Bild \(W(t)\) eine Zufallsvariable ist und gilt:

Initialisierung bei \(0\): \(W(0) = 0\) fast sicher
unabhängige Zuwächse: Für alle \(0 \le t_1 \le t_2 \le t_3 \le t_4\) sind die Zufallsvariablen
\(W(t_2) - W(t_1)\) und \(W(t_4) - W(t_3)\) unabhängig.
normalverteilte Zuwächse: Für alle \(0 \le t_1 \le t_2\) ist der Zuwachs \(W(t_2) - W(t_1)\) normalverteilt mit Erwartungswert \(0\) und Varianz \(1 \cdot (t_2 - t_1)\).

Eigenschaften eines Wiener-Prozesses:

Die Pfade sind stetig mit Wahrscheinlichkeit \(1\).
\(W(t)\) ist für \(t > 0\) normalverteilt mit Dichte \(f_{W(t)}(\tau ) = \frac {1}{\sqrt {2\pi t}} e^{-\frac {\tau ^2}{2t}}\) (EW \(0\), Varianz \(t\)).
Der Prozess \(W\) ist ebenfalls normalverteilt, d. h. für alle \(k \in \natural \) und \(t_1, \dotsc , t_k > 0\) paarweise verschieden ist der Zufallsvektor \(\smallpmatrix {W(t_1) & \cdots & W(t_k)}^T\) normalverteilt.

Integral mit Wiener-Prozessen: Für \(f \in L_2([a, b], \real )\) mit \(0 \le a \le b\) ist \(\int _a^b f(t) dW(t)\) analog zum Lebesgue-Stieltjes-Integral wie folgt definiert:

Für Treppenfunktionen \(s(\cdot )\) mit Werten \(s_1, \dotsc , s_N\) auf den Intervallen \([t_k, t_{k+1})\),
\(k = 1, \dotsc , N\) (mit \(a = t_1 < \dotsb < t_{N+1} = b\)) sei \(\int _a^b s(t) dW(t) := \sum _{k=1}^N s_k [W(t_{k+1}) - W(t_k)]\).
Für \(s_\nu \to f\) in \(L_2([a, b], \real )\) sei \(I := \int _a^b f(t) dW(t) := \lim _{n \to \infty } I_\nu \) mit \(I_\nu := \int _a^b s_\nu (t) dW(t)\) in dem Sinne, dass \(\EE [(I - I_\nu )^2] \to 0\) für \(\nu \to \infty \).

Eigenschaften des Integrals: Das Integral ist eine normalverteilte Zufallsvariable.
Für \(x, y \in L_2([a, b], \real )\) gilt \(\EE [\int _a^b x(t) dW(t)] = 0\) und
\(\EE [(\int _a^b x(t) dW(t)) (\int _a^b y(t) dW(t))] = \int _a^b x(t) y(t) \dt \). Wenn \(\widehat {W}\) ein von \(W\) unabhängiger Wiener-Prozess ist, dann gilt \(\EE [(\int _a^b x(t) d\widehat {W}(t)) (\int _a^b y(t) dW(t))] = 0\).

mehrdimensionaler Wiener-Prozess: Ein \(q\)-dimensionaler Wiener-Prozess
\(W = \smallpmatrix {W_1 & \cdots & W_q}^T\) ist ein Vektor von \(q\) Wiener-Prozessen \(W_1, \dotsc , W_q\), die paarweise unabhängig sind.

mehrdimensionale Integrale: Wenn \(X\) und \(Y\) matrixwertige Abbildungen von Dimension \(p \times q\) sind, die quadratintegrierbare Elemente auf \([a, b]\) haben (\(0 \le a \le b\)), dann sind die Zufallsvektoren \(x = \int _a^b X(t) dW(t)\) und \(y = \int _a^b Y(t) dW(t)\) der Dimension \(p\) elementweise definiert. Es gilt \(\EE [x] = \EE [y] = 0\) und \(\EE [xy^T] = \int _a^b X(t) Y(t)^T \dt \).

Weißes Rauschen und die stochastische Interpretation der H₂-Norm

weißes Rauschen: Sei wieder \(\dot {x} = Ax + Bw\), \(z = Cx\) gegeben. Man betrachtet die Störung \(w\) oft als weißes Rauschen, d. h. als ein nicht-reguläres Signal mit einem flachem Spektrum (alle Frequenzen kommen gleich oft vor). \(w\) kann man dann als Ableitung \(\dot {W}\) eines Wiener-Prozesses verstehen. In diesem Sinne kann man \(W\) durch Integration von weißem Rauschen erhalten, d. h. \(W(t) = \text {„}\int _0^t \dot {W}(\tau ) \d \tau \text {“} = \int _0^t dW(\tau )\) für \(t \ge 0\). Der mittlere Ausdruck ist mathematisch sinnlos, allerdings kann man nun definieren, was die Zustandsantwort eines linearen Systems zu einem Weißen-Rauschen-Eingang und einer Zufalls-Anfangsbedingung \(\xi \) ist.

Antwort auf weißes Rauschen: Sei \(\xi \) normalverteilt und unabhängig von \(W(t)\) für alle \(t \ge 0\). Dann ist die Antwort (response) des linearen Systems \(\dot {x} = Ax + B\dot {W}\), \(x(0) = \xi \) definiert durch \(x(t) := e^{At}\xi + \int _0^t e^{A(t-\tau )}B dW(\tau )\) für \(t \ge 0\).

\(x(\cdot )\) ist nach obigen Bemerkungen ein normalverteilter Prozess.

Satz (Antwort auf weißes Rauschen): Sei \(x(\cdot )\) die Antwort von \(\dot {x} = Ax + B\dot {W}\), \(x(0) = \xi \). Dann gilt \(\EE [x(t)] = e^{At}\EE [\xi ]\) für \(t \ge 0\) und
\(\cov (x(t_1), x(t_2)) = e^{At_1} \cov (\xi , \xi ) e^{A^T t_2} + \int _0^{t_1} e^{A(t_1 - \tau )} BB^T e^{A^T (t_2 - \tau )} \d \tau \) für \(0 \le t_1 \le t_2\).

Für \(A = 0\) und \(\xi = 0\) erhält man \(x(t) = BW(t)\) und daher \(\EE [BW(t)] = 0\) sowie
\(\EE [BW(t) W(t)^T B^T] = tBB^T\).

Folgerung (stochastische Interpretation der \(H_2\)-Norm): Seien \(A\) eine Hurwitz-Matrix und \(x(\cdot ), z(\cdot )\) die Zustands- und Ausgangsantworten von \(\dot {x} = Ax + B\dot {W}\), \(z = Cx\), \(x(0) = \xi \).
Dann gilt \(\EE [x(t)] \to 0\) und \(\EE [z(t)] \to 0\) für \(t \to \infty \). Außerdem gilt
\(\lim _{t \to \infty } \cov (x(t), x(t)) = P_c\) (asym. Autokovarianz-Matrix des Zustands) sowie
\(\lim _{t \to \infty } \Spur (\cov (z(t), z(t))) = \norm {T}_2^2\) (asym. Varianz des Ausgangs).

Somit ist \(\norm {T}_2^2\) die asymptotische Varianz \(\lim _{t \to \infty } (\EE [z(t)^T z(t)] - \EE [z(t)]^T \EE [z(t)])\) des Ausgangs eines stabilen linearen Systems, das durch weißes Rauschen angetrieben wird.

Farbiges Rauschen und Spektralfaktorisierung

farbiges Rauschen: \(\widetilde {w}\) heißt farbiges Rauschen (colored noise), falls es \((\widetilde {A}, \widetilde {B}, \widetilde {C})\) gibt mit \(\widetilde {A}\) einer Hurwitz-Matrix, sodass \(\widetilde {w}\) der Ausgang von \(\dotwidetilde {x} = \widetilde {A} \widetilde {x} + \widetilde {B} \dot {W}\), \(\widetilde {w} = \widetilde {C} \widetilde {x}\), \(\widetilde {x}(0) = 0\) ist.

Man spricht auch davon, dass man \(\widetilde {w}\) durch Filterung (filtering) von weißem Rauschen mit dem Farbfilter (coloring filter) \(\widetilde {T}(s) = \widetilde {C} (sI - \widetilde {A})^{-1} \widetilde {B}\) erhält.
Weil \(\widetilde {w}(t) = \int _0^t \widetilde {C} e^{\widetilde {A}(t - \tau )} \widetilde {B} dW(\tau )\) unabhängig von der Realisierung ist, kann man annehmen, dass \((\widetilde {A}, \widetilde {B}, \widetilde {C})\) minimal ist, d. h. \(\widetilde {T}\) legt die Eigenschaften von \(\widetilde {w}\) fest (und nicht die Realisierung).

Für \(t \ge 0\) gilt \(\EE [\widetilde {w}(t)] = 0\). Wenn \(\tau \in \real \) fest ist, dann betrachtet man die asymptotische Kovarianz-Matrix von \(\widetilde {w}(t)\) und \(\widetilde {w}(t + \tau )\), d. h. \(R(\tau ) := \lim _{t \to \infty } \EE [\widetilde {w}(t + \tau ) \widetilde {w}(t)^T]\).

Satz (algebraische Berechnung von \(R(\tau )\)): Seien \(\widetilde {A}\) eine Hurwitz-Matrix und \(\widetilde {P}\) die Regelbarkeits-Gram-Matrix von \((\widetilde {A}, \widetilde {B})\) (d. h. die eindeutige Lösung von \(\widetilde {A} \widetilde {P} + \widetilde {P} \widetilde {A}^T + \widetilde {B} \widetilde {B}^T = 0\)).
Dann gilt \(R(\tau ) = \widetilde {C} e^{\widetilde {A}\tau } \widetilde {P} \widetilde {C}^T\) für \(\tau \ge 0\) und \(R(\tau ) = \widetilde {C} \widetilde {P} e^{-\widetilde {A}^T\tau } \widetilde {C}^T\) für \(\tau < 0\).

Insbesondere gilt \(R(-\tau )^T = R(\tau )\). Weil \(\widetilde {A}\) eine Hurwitz-Matrix ist, fällt \(R(\tau )\) für \(\tau \rightarrow \pm \infty \) exponentiell ab und hat daher eine wohldefinierte Fourier-Transformierte.

Spektraldichte:
Die Fourier-Transformierte \(\widehat {R}\) von \(R\) heißt Spektraldichte (spectral density) des Prozesses \(\widetilde {w}\).

Satz (Spektraldichte): Die Spektraldichte von \(\widetilde {w}\) ist gegeben durch \(\widehat {R}(\iu \omega ) = \widetilde {T}(\iu \omega ) \widetilde {T}(\iu \omega )^\ast \).
Insbesondere ist \(\widehat {R}(\iu \omega )\) hermitesch und positiv semidefinit für alle \(\omega \in \real \).

Bestimmung von Farbfiltern: Die Bestimmung von Farbfiltern in der Praxis läuft folgendermaßen ab. Zunächst schätzt man durch Messungen statistisch die Spektraldichte \(\widehat {R}(\iu \omega )\) des Prozesses. Anschließend approximiert man die experimentell ermittelte Spektraldichte durch \(G(\iu \omega )\), wobei \(G(s)\) eine reell-rationale, echt propere Funktion ohne Pole auf \(\complex ^0\) ist, sodass \(G(\iu \omega ) = G(\iu \omega )^\ast \) und \(G(\iu \omega ) \psd \) für alle \(\omega \in \real \). Schließlich erhält man den Farbfilter durch Spektralfaktorisierung (spectral factorization).

Satz (Spektralfaktorisierung): Sei \(G(s)\) eine reell-rationale, echt propere Funktion ohne Pole auf \(\complex ^0\), sodass \(G(\iu \omega ) = G(\iu \omega )^\ast \) und \(G(\iu \omega ) \psd \) für alle \(\omega \in \real \).
Dann gibt es eine echt propere und stabile Übertragungsmatrix \(T\) mit \(G(s) = T(s) T(-s)^T\).

Insbesondere gilt also \(G(\iu \omega ) = T(\iu \omega ) T(\iu \omega )^\ast \), d. h. \(T\) ist ein Farbfilter zur Modellierung von Rauschen mit der Spektraldichte \(G\), wie gewünscht. Man nennt \(T\) einen Spektralfaktor (spectral factor) von \(G\).

Antwort auf farbiges Rauschen: Die Antwort des linearen Systems
\(\dot {x} = Ax + B\widetilde {w}\), \(z = Cx + D\widetilde {w}\), \(x(0) = \xi \), das durch farbiges Rauschen betrieben wird, ist definiert durch den Ausgang von \(\smallpmatrix {\dot {x} \\ \dotwidetilde {x}} = \smallpmatrix {A & B\widetilde {C} \\ 0 & \widetilde {A}} \smallpmatrix {x \\ \widetilde {x}} + \smallpmatrix {0 \\ \widetilde {B}} \dot {W}\), \(z = \smallpmatrix {C & D\widetilde {C}} \smallpmatrix {x \\ \widetilde {x}}\), \(\smallpmatrix {x(0) \\ \widetilde {x}(0)} = \smallpmatrix {\xi \\ 0}\).

Die Antwort eines linearen Systems auf farbiges Rauschen wird also auf die Antwort auf weißes Rauschen und auf die Reihenschaltung des Systems und des Farbfilters reduziert.

Das H₂-Regelungsproblem und LQG-Regelung

Gegeben sei wieder die verallgemeinerte Anlage \(\dot {x} = Ax + B_w w + Bu\), \(z = C_z x + D_{zw} w + D_z u\), \(y = Cx + D_w w + Du\) mit einem Störeingang \(w\) (der nicht beeinflusst werden kann), einem Steuereingang \(u\), einem Leistungsausgang \(z\) (der gegen Null gehen soll) und einem Messausgang \(y\). Das Ziel ist es, einen Rückführungsregler zu finden, der das System stabilisiert und die \(H_2\)-Norm der Übertragungsmatrix des geschlossenen Regelkreises minimiert. Der Einfachheit halber nimmt man \(D_{zw} = 0\) und \(D = 0\) an.

\(H_2\)-Regelungsproblem: Seien ein System durch \(\dot {x} = Ax + B_w w + Bu\), \(z = C_z x + D_z u\), \(y = Cx + D_w w\) und ein Regler durch \(\dot {x}_K = A_K x_K + B_K y\), \(u = C_K x_K\) gegeben. Das geregelte System \(\dot {\xi } = \A \xi + \B w\), \(z = \C \xi \) lässt sich mit \(\A := \smallpmatrix {A & BC_K \\ B_K C & A_K}\), \(B := \smallpmatrix {B_w \\ B_K D_w}\) und \(C := \smallpmatrix {C_z & D_z C_K}\) beschreiben. Die Aufgabe ist es, \(A_K, B_K, C_K\) so zu finden, dass \(\A \) eine Hurwitz-Matrix ist und \(\norm {\C (sI - \A )^{-1} \B }_2\) minimal ist. Dieses Problem heißt \(H_2\)-Regelungsproblem (\(H_2\)-control problem).

Herleitung der LQG-Regelung: Sei das System \(\dot {x} = Ax + B_1 \dot {W}_1 + Bu\) mit Steuereingang \(u\) und Prozessrauschen \(B_1 \dot {W}_1\) gegeben, außerdem seien die Messungen \(Cx\) durch weißes Rauschen \(\dot {W}_2\) gestört, d. h. \(y = Cx + D_2 \dot {W}_2\) (mit unabhängigen Wiener-Prozessen \(W_1, W_2\)). Wie bei der LQ-Regelung will man Linearkombinationen \(C_1 x\) und \(D_1 u\) der Zustände bzw. der Steuerung klein halten, d. h. man wählt \(z = \smallpmatrix {C_1 x \\ D_1 u}\) als Leistungsausgang. Das Ziel der LQG-Regelung ist es, einen stabilisierenden Regler zu finden, der die asymptotische Varianz
\(\lim _{t \to \infty } \Spur (\cov (z(t), z(t)))\) des Leistungsausgangs minimiert.

LQG-Regelung:
Sei das System \(\dot {x} = Ax + \smallpmatrix {B_1 & 0} w + Bu\), \(z = \smallpmatrix {C_1 \\ 0} x + \smallpmatrix {0 \\ D_1} u\), \(y = Cx + \smallpmatrix {0 & D_2} w\) gegeben.
Die Aufgabe ist es, einen stabilisierenden Ausgangsrückführungs-Regler zu finden, der die asymptotische Varianz von \(z\) für weißes Rauschen \(w\) minimiert.
Dieses Problem heißt LQG-optimales Regelungsproblem (linear-quadratic-Gaußian).

Nach obiger Folgerung gilt \(\lim _{t \to \infty } \Spur (\cov (z(t), z(t))) = \norm {T}_2^2\) mit \(T\) der Übertragungsmatrix des geschlossenen Regelkreises, d. h. LQG-Regelung ist im \(H_2\)-Regelungsproblem enthalten.

Wenn \(\dot {W}_1\) kein weißes, sondern farbiges Rauschen \(\widetilde {w}_1\) ist, dann muss man den Farbfilter
\(T(s) = \widetilde {C} (sI - \widetilde {A})^{-1} \widetilde {B}\) in die verallgemeinerte Anlage einbauen und dann das \(H_2\)-Problem für die entstehende gewichtete verallgemeinerte Anlage lösen.

Herleitung eines Zustandsrückführungs-Reglers: Sei zunächst \(y = x\), d. h.
\(\dot {x} = Ax + B_w w + Bu\), \(z = C_z x + D_z u\). Der Regler \(u = -Fx\) führt zum geschlossenen Regelkreis \(\dot {x} = (A - BF)x + B_w w\), \(z = (C_z - D_z F)x\). Das Ziel ist die Minimierung von
\(\norm {(C_z - D_z F)(sI - A + BF)^{-1} B_w}_2\) über alle \(F\), sodass \(\Eig (A - BF) \subset \complex ^-\).

Satz (\(H_2\)-optimale Regelung durch Zustandsrückführung): Seien

\((A, B)\) stabilisierbar,
\((A, C_z)\) habe keine unbeobachtbaren Eigenwerte in \(\complex ^0\) und
\(D_z^T \smallpmatrix {C_z & D_z} = \smallpmatrix {0 & I}\).

Außerdem sei \(P\) die stabilisierende Lösung der ARE \(A^T P + PA - PBB^T P + C_z^T C_z = 0\).
Dann gilt für \(\gamma _\opt := \min _{F,\;\Eig (A-BF)\subset \complex ^-} \norm {(C_z - D_z F)(sI - A + BF)^{-1} B_w}_2^2\), dass
\(\gamma _\opt = \Spur (B_w^T P B_w)\), wobei der optimale Wert für \(F = B^T P\) angenommen wird.

Kalman-Filter und H₂-optimale Beobachter

Gegeben sei wieder \(\dot {x} = Ax + B_w w + Bu\), \(z = C_z x + D_z u\), \(y = Cx + D_w w\). Wenn \(w = 0\) gilt, dann ist \(\dotwidehat {x} = A\widehat {x} + Bu + L(y - \widehat {y})\), \(\widehat {z} = C_z \widehat {x} + D_z u\), \(\widehat {y} = C\widehat {x}\) ein Beobachter für dieses System, wobei \(L\) so gewählt ist, dass \(A - LC\) eine Hurwitz-Matrix ist (dann rekonstruiert der Beobachter den Zustand des Systems asymptotisch).

Kalman-Filter: Wenn \(w\) nicht verschwindet und stattdessen weißes Rauschen ist, dann ist \(\text {(err)} := \lim _{t \to \infty } \EE [(z(t) - \widehat {z}(t))^T (z(t) - \widehat {z}(t))]\) ein Maß dafür, wie gut \(\widehat {z}\) den Leistungsausgang \(z(t)\) für \(t \to \infty \) approximiert. Ein Beobachter, der (err) minimiert, heißt Kalman-Filter für die verallgemeinerte Anlage.

Indem man den Zustandsfehler \(\xi = x - \widehat {x}\) betrachtet, kann man leicht die Beschreibung
\(\dot {\xi } = (A - LC)\xi + (B_w - LD_w) w\), \(z - \widehat {z} = C_z \xi \) für die Übertragungsmatrix von \(w\) nach \(z - \widehat {z}\) herleiten.

\(H_2\)-Beobachterproblem: Die Aufgabe ist es, \(L\) so zu finden, dass \(A - LC\) eine Hurwitz-Matrix ist und die \(H_2\)-Norm der Übertragungsmatrix von \(w\) nach \(z - \widehat {z}\) minimal ist.
Dieses Problem heißt \(H_2\)-Beobachterproblem (\(H_2\)-optimal observer synthesis problem).

Satz (\(H_2\)-optimaler Beobachter): Seien

\((A, C)\) entdeckbar,
\((A, B_w)\) habe keine unregelbaren Eigenwerte in \(\complex ^0\) und
\(D_w \smallpmatrix {B_w^T & D_w^T} = \smallpmatrix {0 & I}\).

Außerdem sei \(Q\) die stabilisierende Lösung der ARE \(AQ + QA^T - QC^T CQ + B_w B_w^T = 0\).
Dann gilt für \(\gamma _\opt := \min _{L,\;\Eig (A-LC)\subset \complex ^-} \norm {C_z (sI - A + LC)^{-1} (B_w - LD_w)}_2^2\), dass
\(\gamma _\opt = \Spur (C_z Q C_z^T)\), wobei der optimale Wert für \(L = QC^T\) angenommen wird.

Wegen der stochastischen Interpretation der \(H_2\)-Norm minimieren \(H_2\)-optimale Beobachter die asymptotische Varianz von \(z - \widehat {z}\), wenn \(w\) weißes Rauschen ist. Damit ist der optimale Beobachter der Kalman-Filter.

H₂-optimale Regelung mit Ausgangsrückführung

Satz (Lösung des \(H_2\)-Regelungsproblems): Seien

\((A, B)\) stabilisierbar und \((A, C)\) entdeckbar,
\((A, C_z)\) habe keine unbeobachtbaren Eigenwerte in \(\complex ^0\) und
\((A, B_w)\) habe keine unregelbaren Eigenwerte in \(\complex ^0\) und
\(D_z^T \smallpmatrix {C_z & D_z} = \smallpmatrix {0 & I}\) und \(D_w \smallpmatrix {B_w^T & D_w^T} = \smallpmatrix {0 & I}\).

Außerdem sei \(P\) die stabilisierende Lösung der ARE \(A^T P + PA - PBB^T P + C_z^T C_z = 0\) sowie \(Q\) die stabilisierende Lösung der ARE \(AQ + QA^T - QC^T CQ + B_w B_w^T = 0\)
Dann löst der Regler \(\dot {x}_K = (A - BB^T P - QC^T C) x_K + QC^T y\), \(u = -B^T P x_K\) das \(H_2\)-Regelungsproblem und die zugehörige optimale \(H_2\)-Norm des geschlossenen Regelkreises ist gleich
\(\sqrt {\Spur (B_w^T P B_w) + \Spur (B^T PQPB)}\).

Die erste Voraussetzung ist notwendig für die Existenz eines stabilisierenden Reglers. Die zweite Voraussetzung ist notwendig für die Existenz der stabilisierenden Lösungen \(P\) und \(Q\) der AREs. Bei der dritten Voraussetzung ist nur wichtig, dass \(D_z\) und \(D_w\) vollen Spalten- bzw. Zeilenrang besitzen (die anderen Eigenschaften vereinfachen nur die Formeln).