Trigonometrische Approximation und Fourier-Reihen

trigonometrische Approximation: Gegeben sei eine \(2\pi \)-periodische, stückweise stetige Funktion \(f\colon \real \to \real \), d. h. \(\forall _{x \in \real }\; f(x + 2\pi ) = f(x)\), sodass für alle \(x_0 \in \real \) die Grenzwerte
\(\lim _{h \to 0+0} f(x_0 - h) = y_0^-\) und \(\lim _{h \to 0+0} f(x_0 + h) = y_0^+\) existieren.
Gesucht ist \(g_n(x) := \frac {1}{2} a_0 + \sum _{k=1}^n (a_k\cos (kx) + b_k\sin (kx))\), sodass
\(F := \norm {g_n - f}_{L^2}^2 = \int _{-\pi }^\pi (g_n - f)^2 \dx \to \min \).
Durch \(\partial _{a_0} F = \partial _{a_j} F = \partial _{b_j} F \overset {!}{=} 0\) für \(j = 1, \dotsc , n\) erhält man folgende Formeln.

reelle Fourier-Reihe:
Seien \(a_k := \frac {1}{\pi } \int _{-\pi }^\pi f(x)\cos (kx) \dx \) für \(k \in \natural _0\) und \(b_k := \frac {1}{\pi } \int _{-\pi }^\pi f(x)\sin (kx) \dx \) für \(k \in \natural \).
Das reelle Fourier-Polynom ist gegeben durch \(g_n(x) := \frac {1}{2} a_0 + \sum _{k=1}^n (a_k\cos (kx) + b_k\sin (kx))\).
Die reelle Fourier-Reihe ist gegeben durch \(g(x) := \frac {1}{2} a_0 + \sum _{k=1}^\infty (a_k\cos (kx) + b_k\sin (kx))\).

komplexe Fourier-Reihe: Durch Einsetzen von \(\cos (kx) = \frac {e^{\iu kx} + e^{-\iu kx}}{2}\) und \(\sin (kx) = \frac {e^{\iu kx} - e^{-\iu kx}}{2\iu }\) in die reelle Fourier-Reihe erhält man die komplexe Fourier-Reihe \(g(x) = \sum _{k\in \integer } c_k e^{\iu kx}\) mit \(c_k := \frac {2}{\pi } \int _{-\pi }^\pi f(x) e^{-\iu kx} \dx \) bzw. \(c_0 := \frac {a_0}{2}\) für \(k = 0\), \(c_k := \frac {a_k - \iu b_k}{2}\) und \(c_{-k} := \frac {a_k + \iu b_k}{2}\) für \(k \in \natural \).

Satz (Konvergenz der Fourier-Reihe): Gegeben sei eine \(2\pi \)-periodische, stückweise stetige Funktion \(f\colon \real \to \real \) mit stückweise stetiger Ableitung.
Dann konvergiert die Fourier-Reihe \(g(x) := \frac {1}{2} a_0 + \sum _{k=1}^\infty (a_k\cos (kx) + b_k\sin (kx))\) in \(x_0 \in \real \)

  • gegen \(f(x_0)\), wenn \(f\) stetig in \(x_0\) ist, und

  • gegen \(\frac {y_0^- + y_0^+}{2}\), wenn \(x_0\) eine Sprungstelle von \(f\) ist.

Gibbs-Phänomen: Anhand der Rechteck-Funktion \(f := \chi _{[-\pi /2,\pi /2]}\) erkennt man, dass die Fourier-Reihe zwar punktweise f. ü. konvergiert, die \(L^\infty \)-Norm der Differenz aber nicht konvergiert, weil \(g_n(x_0) \to 1.08949\) für \(n \to \infty \) und \(x_0 = x_0(n)\) der Maximalstelle von \(g_n\).

Fourier-Transformation

Fourier-Transformation: Sei \(f \in L^1(\real ) := L^1(\real , \complex )\).
Dann ist \((\F (f))(k) = F(k) := \int _\real f(x)e^{-\iu kx} \dx \) die Fourier-Transformation.

inverse Fourier-Transformation: Sei \(f \in L^1(\real )\) mit \(F = \F (f) \in L^1(\real )\).
Dann ist \(f(x) = \frac {1}{2\pi } \int _\real F(k) e^{\iu kx}\d k\) die inverse Fourier-Transformation.

Eigenschaften der Fourier-Transformation:

Eigenschaft Funktion Fourier-Transformierte
Fourier-Transformation \(f(x)\) \(F(k)\)
inverse Fourier-Transformation \(F(x)\) \(2\pi f(-k)\)
Faltung \((f_1 \ast f_2)(x)\) \(F_1(k) F_2(k)\)
Multiplikation \(f_1(x) f_2(x)\) \(\frac {1}{2\pi } (F_1 \ast F_2)(k)\)
Translation \(f(x - a)\) \(e^{-\iu ak} F(k)\)
Modulation \(e^{\iu ax} f(x)\) \(F(k - a)\)
Skalierung \(f(x/a)\) \(|a| F(ak)\)
Ableitung \(f^{(p)}(x)\) \((\iu k)^p F(k)\)
Frequenzableitung \((-\iu x)^p f(x)\) \(F^{(p)}(k)\)
komplexes Konjugat \(\overline {f(x)}\) \(\overline {F(-k)}\)
hermitesche Symmetrie \(f(x) \in \real \) \(F(k) = \overline {F(-k)}\)

Diracsche Delta-Distribution

Dirac-Delta: Die diracsche Delta-Distribution \(\delta \) ist eine Distribution, die eine stetige Funktion \(\phi \) im Punkt \(t = 0\) auswertet, d. h. \(\int _\real \phi (t) \delta (t) \dt := \phi (0)\) (keine Funktion, da \(\int _\real \delta (t) \dt = 1\)). Für die Auswertung in \(u \in \real \) schreibt man \((\phi \ast \delta )(u) = \int _\real \phi (t) \delta (u - t) \dt := \phi (u)\). Die Ableitung ist gegeben durch \(\int _\real \phi (t) \delta ^{(n)}(t) \dt := (-1)^n \phi ^{(n)}(0)\).

Delta-Folgen: Delta-Folgen approximieren \(\delta \), z. B. die Glockenkurve \(\delta _\varepsilon (x) := \frac {1}{\sqrt {2\pi \varepsilon }} e^{-x^2/(2\varepsilon )}\) und die Lorentz-Kurve \(\delta _\varepsilon (x) := \frac {1}{\pi } \cdot \frac {\varepsilon }{x^2 + \varepsilon ^2}\) (erfüllen jeweils \(\int _\real \delta _\varepsilon (x) \dx = 1\)).

Fourier-Transformation mit dem Dirac-Delta:

Funktion \(f(x)\)

Fourier-Transformierte \(F(k)\)

\(\delta (x - a)\)

\(e^{-\iu ka}\)

\(c\)

\(c \delta (k)\)

\(\cos (k_0 x)\)

\(\frac {1}{2} (\delta (k - k_0) + \delta (k + k_0))\)

\(\sin (k_0 x)\)

\(\frac {1}{2\iu } (\delta (k - k_0) - \delta (k + k_0))\)

Sampling-Theorem

In diesem Abschnitt wird eine andere Definition für die Fourier-Transformation benutzt, nämlich \((\F (f))(k) = F(k) := \int _\real f(x) e^{-2\pi \iu kx} \dx \) (bzw. \(f(x) = \int _\real F(k) e^{2\pi \iu kx} \d k\)).

Delta-Kamm: Die Transformation eines kontinuierlichen Signals \(f\) in ein diskretes Signal \(\widehat {f}\) kann man mit dem Delta-Kamm \(c(x) := \sum _{n \in \integer } \delta (x - n\Delta x)\) darstellen durch
\(\widehat {f}(x) := f(x) c(x) = \sum _{n \in \integer } f(n\Delta x) \delta (x - n\Delta x)\), wobei \(\Delta x\) die Sampling-Gitterweite ist.
Dabei besitzt \(\widehat {f}(x)\) die Fourier-Transformierte \(\widehat {F}(k) = \frac {1}{\Delta x} \sum _{n \in \integer } F(k - \frac {n}{\Delta x})\).

Rekonstruktion des originalen Signals:
Um \(f(x)\) aus \(\widehat {F}(k)\) zu rekonstruieren, verfährt man wie folgt.

  • Multipliziere \(\widehat {F}(k)\) mit der Rechtecksfunktion \(R(k) := \Delta x \cdot \chi _{[-k_c,k_c]}(k)\)
    (es gilt \(F(k) = \widehat {F}(k) R(k)\) genau dann, wenn \(f\) bandbegrenzt durch \(k_c\) ist).

  • Wende die inverse FT auf \(\widehat {F}(k) R(k)\) an, d. h.
    \(\F ^{-1}(\widehat {F}(k) R(k)) = \sum _{n \in \integer } f(n\Delta x) 2k_c \Delta x \sinc (2k_c (x - n\Delta x))\) mit \(\sinc (x) := \frac {\sin (\pi x)}{\pi x}\).

Sampling-Theorem: Sei \(f(\cdot )\) eine Funktion. Gibt es eine Abschneidefrequenz \(k_c > 0\) mit
\(\forall _{|k| \ge k_c}\; F(k) = 0\), dann kann \(f\) aus der gesampelten Funktion \(\widehat {f}\) exakt rekonstruiert werden, wenn \(k_c \le \frac {1}{2 \Delta x} = \frac {k_s}{2}\) mit der Samplerate \(k_s := \frac {1}{\Delta x}\) und der Nyquist-Frequenz \(\frac {k_s}{2}\).
In diesem Fall gilt \(f(x) = \sum _{n \in \integer } f(n\Delta x) 2k_c \Delta x \sinc (2k_c (x - n\Delta x))\).

Aliasing: Wenn \(f(x)\) unterabgetastet wird, d. h. \(k_s \not \ge 2k_c\), dann besitzt die rekonstruierte Funktion Artefakte, sog. Aliasing-Effekte.

Diskrete Fourier-Transformation

diskrete 1D-Fourier-Transformation:
Seien \(\vec {g} := (g_n)_{n=0}^{N-1} \in \complex ^N\) und \(\omega _N := e^{2\pi \iu /N}\) die \(N\)-te Einheitswurzel.
Dann heißt \(G_v := \sum _{n=0}^{N-1} \omega _N^{-vn} g_n\) für \(v = 0, \dotsc , N - 1\) diskrete Fourier-Transf. (DFT).
\(g_n = \frac {1}{N} \sum _{v=0}^{N-1} \omega _N^{vn} G_v\) für \(n = 0, \dotsc , N - 1\) heißt inverse DFT.
Es gilt \(G_v = \sqrt {N} \innerproduct {\vecs {b}{v}, \vec {g}}\) und \(g_n = \frac {1}{\sqrt {N}} \innerproduct {\vecs {b}{-n}, \vec {G}}\) mit den Basisvektoren
\(\vecs {b}{v} := \frac {1}{\sqrt {N}} (\omega _N^0, \omega _N^{v}, \dotsc , \omega _N^{(N-1)v})^\tp \), wobei \(\innerproduct {\vec {x}, \vec {y}} := \vec {x}^\ast \vec {y}\) mit \(\vec {x}^\ast := \overline {\vec {x}^\tp }\).

diskrete 2D-Fourier-Transformation: Sei \(g := (g_{m,n})_{m,n=0}^{M-1,N-1} \in \complex ^{M \times N}\).
Dann heißt \(G_{u,v} := \sum _{m=0}^{M-1} \sum _{n=0}^{N-1} \omega _M^{-um} \omega _N^{-vn} g_{m,n}\) für \(u = 0, \dotsc , M - 1\), \(v = 0, \dotsc , N - 1\) diskrete 2D-Fourier-Transf. (2D-DFT). \(g_{m,n} = \frac {1}{MN} \sum _{u=0}^{M-1} \sum _{v=0}^{N-1} \omega _M^{um} \omega _N^{vn} G_{u,v}\) heißt inverse 2D-DFT.
Es gilt \(G_{u,v} = \sqrt {MN} \innerproduct {B_{u,v}, g}\) und \(g_{m,n} = \frac {1}{\sqrt {MN}} \innerproduct {B_{-m,-n}, G}\) mit den Basismatrizen
\(B_{u,v} := \frac {1}{\sqrt {MN}} (\omega _M^0, \omega _M^u, \dotsc , \omega _M^{(M-1)u})^\tp (\omega _N^0, \omega _N^v, \dotsc , \omega _N^{(N-1)v})\),
wobei \(\innerproduct {G, H} := \sum _{m=0}^{M-1} \sum _{n=0}^{N-1} \overline {g_{m,n}} h_{m,n}\).

Eigenschaften:

  • 1D-Periodizität: \(G_{v+\ell N} = G_v\), \(g_{n+\ell N} = g_n\) für alle \(\ell \in \integer \)

  • 2D-Periodizität: \(G_{u+kM,v+\ell N} = G_{u,v}\), \(g_{m+kM,n+\ell N} = g_{m,n}\) für alle \(k, \ell \in \integer \)

  • 1D-DFT einer reellen Folge ist hermitesch: \(g_n \in \real \implies \overline {G_v} = G_{-v} = G_{N-v}\)

  • 1D-DFT einer hermiteschen Folge ist reell: \(g_{N-n} = g_{-n} = \overline {g_n} \implies G_v \in \real \)

  • 2D-Faltungssatz: 2D-DFT von \(f_{m,n} = \sum _{m’=0}^{M-1} \sum _{n’=0}^{N-1} h_{m’,n’} g_{m-m’,n-n’}\) ist \(MN \cdot (H \cdot G)\)