Definition der Determinante

Permutation:  Eine Permutation ist eine bijektive Abbildung einer Menge in sich. Die Menge aller Permutationen der Zahlen \(1, \ldots , n\) bezeichnet man als die symmetrische Gruppe \(\perm _n\).
\(\perm _n\) wird mit der Komposition zu einer Gruppe mit \(n!\) Elementen.
Man schreibt \(\pi =\) \(\begin {pmatrix}1 & \cdots & n \\ \pi (1) & \cdots & \pi (n)\end {pmatrix}\) für eine Permuation \(\pi \in \perm _n\).
Eine Transposition ist eine Vertauschung von zwei Zahlen.
Jede Permutation kann als Verkettung von Transpositionen dargestellt werden.
Man kann zeigen, dass die Anzahl der Transpositionen modulo \(2\) für eine Permutation eindeutig festgelegt ist. Für eine gerade bzw. ungerade Permutation sei \(\sign (\pi ) = 1\) bzw. \(\sign (\pi ) = -1\) das Signum (Vorzeichen) der Permutation.

Determinante:  Sei \(A = (\alpha _{ij}) \in M_n(K)\) eine quadratische \(n \times n\)-Matrix.
Dann ist die Determinante \(\det A = |A|\) definiert als \(\det A = \sum _{\pi \in \perm _n} \sign (\pi ) \alpha _{1 \pi (1)} \cdots \alpha _{n \pi (n)}\).

Folgerung: In jedem Summanden \(T_\pi \) von \(\det A\) kommt aus jeder Zeile/Spalte genau ein Faktor vor. Für jedes Produkt von Elementen aus \(A\), in dem aus jeder Zeile/Spalte genau ein Faktor vorkommt, gibt es einen Summanden, der bis aufs Vorzeichen gleich ist.

Satz (Regel von Sarrus): Sei \(A \in M_{3 \times 3}(K)\). Dann erhält man \(\det A\), indem man die ersten zwei Spalten rechts neben die Matrix schreibt, die sechs aufsteigenden und absteigenden Diagonalen einzeichnet, die Produkte über diese Diagonalen bildet, Produkte aufsteigender Diagonalen mit negativem Vorzeichen versieht und aufsummiert.

Rechenregeln

Lemma (Nullzeile/-spalte): Enthält eine Zeile oder Spalte von \(A\) nur Nullen, so ist \(\det A = 0\).

monomiale Matrix:  Eine quadratische Matrix heißt monomial, falls in jeder Zeile und Spalte genau ein von Null verschiedener Eintrag vorkommt.
Sind diese Einträge alle \(1\), so spricht man von einer Permutationsmatrix.

Folgerung: Die Determinante einer monomialen Matrix ist bis aufs Vorzeichen gleich dem Produkt ihrer nicht-verschwindenden Einträge.

Satz (Rechenregeln): Für \(A, B \in M_n(K)\) gilt \(\det A^t = \det A\) und \(\det (AB) = (\det A)(\det B)\). Ist \(A\) invertierbar, dann ist \(\det (A^{-1}) = (\det A)^{-1}\).   Außerdem ist \(\det (AB) = \det (BA)\).

Satz (Elementaroperationen): Addiert man zu einer Zeile/Spalte ein Vielfaches einer anderen, so ändert sich \(\det A\) nicht. Vertauscht man zwei Zeilen/Spalten, so ändert sich das Vorzeichen von \(\det A\). Multipliziert man eine Zeile/Spalte mit einem \(\lambda \), so wird \(\det A\) mit \(\lambda \) multipliziert.

Satz (Matrix invertierbar \(\Leftrightarrow \det \not = 0\)):
Eine quadratische Matrix \(A\) ist genau dann invertierbar, wenn \(\det A \not = 0\).

Folgerung: Für eine quadratische Matrix \(A\) mit zwei identischen Zeilen/Spalten gilt \(\det A = 0\).

Kofaktor:  Der Kofaktor \(A_{ij}\) vom \((i, j)\)-ten Eintrag \(\alpha _{ij}\) von \(A\) (\(1 \le i, j \le n\)) ist die \((n-1) \times (n-1)\)-Matrix, die man erhält, wenn man aus \(A\) die \(i\)-te Zeile und \(j\)-te Spalte streicht.

Satz (Laplace-Entwicklung): Sei \(A = (\alpha _{ij}) \in M_n(K)\) mit \(k \in \{1, \ldots , n\}\). Dann ist
\(\det A = \sum _{i=1}^n (-1)^{i+k} \alpha _{ik} \det (A_{ik})\) (Entwicklung nach der \(k\)-ten Spalte) bzw.
\(\det A = \sum _{j=1}^n (-1)^{k+j} \alpha _{kj} \det (A_{kj})\) (Entwicklung nach der \(k\)-ten Zeile).

Satz (\(\det \)-Abbildung): Die Abbildung \(\det : M_n(K) \rightarrow K\), \(A \mapsto \det A\) ist multiplikativ und surjektiv. Daher ist \(\det : \GL _n(K) \rightarrow K^\ast \) ein Gruppenepimorphismus.

spezielle lineare Gruppe:  Der Kern von \(\det \) eingeschränkt auf \(\GL _n(K)\) heißt spezielle lineare Gruppe \(\SL _n(K)\), d. h. \(\SL _n(K)\) ist die Menge aller \(n \times n\)-Matrizen mit Determinante \(1\).

ähnliche Matrizen:  Zwei \(n \times n\)-Matrizen \(A\) und \(B\) heißen ähnlich, falls es eine invertierbare \(n \times n\)-Matrix \(P\) gibt mit \(B = P^{-1} A P\). Man schreibt dann \(A \sim B\) und \(\sim \) ist Äquivalenzrelation.

Satz (Determinante ähnlicher Matrizen): Für zwei ähnliche Matrizen \(A \sim B\) gilt \(\det A = \det B\).

Determinante von Endomorphismen:  Sei \(f \in \End _K(V)\).
Dann ist die Determinante \(\det f\) von \(f\) definiert als \(\det f = \det A\), wobei \(A = \hommatrix {f}{B}{B}\) für eine beliebige Basis \(\basis {B}\) von \(V\) ist (laut obigem Satz ist die Determinante bei jeder Basis gleich).

Eine Anwendung

Adjunkte:  Sei \(A \in M_n(K)\) eine quadratische Matrix.
Dann ist die Adjunkte von \(A\) die \(n \times n\)-Matrix \(\adj A =\) \(\begin {pmatrix} (-1)^{1+1} |A_{11}| & \cdots & (-1)^{n+1} |A_{n1}| \\ \vdots & & \vdots \\ (-1)^{1+n} |A_{1n}| & \cdots & (-1)^{n+n} |A_{nn}| \end {pmatrix}\).

Satz (Adjunkte und Determinante): Sei \(A \in M_n(K)\) eine quadratische Matrix.
Dann ist \(A \cdot \adj (A) = \det (A) \cdot E_n\).   Ist \(A\) invertierbar, dann ist \(A^{-1} = (\det A)^{-1} \cdot \adj (A)\).

Satz (Cramersche Regel): Sei \(\lgs {G}: Ax = b\) mit \(A = (\alpha _{ij}) \in M_n(K)\) und \(b = \) \(\begin {pmatrix}\beta _1 \\ \vdots \\ \beta _n\end {pmatrix}\) \(\in K^n\) ein LGS. Zusätzlich sei \(\det A \not = 0\).
Dann ist (math image) eindeutig lösbar und die Lösung ist \(x = A^{-1} b = (\det A)^{-1} \cdot \adj A \cdot b\).

Zusätzliches: Nullstellen von Polynomen

Nullstelle:  \(\alpha \in K\) ist eine Nullstelle des Polynoms \(h(t) \in K[t]\), falls \(h(\alpha ) = 0\) ist.

Satz (Polynomdivision): Seien \(h(t) \in K[t]\) (\(h(t) \not = 0\)) und \(\alpha \) eine Nullstelle von \(h\).
Dann gibt es ein Polynom \(g(t)\) mit \(\deg g = \deg h - 1\), sodass \(h(t) = g(t) (t - \alpha )\).

Satz (Aufspaltung in Linearfaktoren durch Polynomdivision): Sind \(\alpha _1, \ldots , \alpha _k\) genau die Nullstellen von \(h\), dann gibt es \(\nu _1, \ldots , \nu _k \in \natural \), sodass \(h(t) = g_1(t) (t - \alpha _1)^{\nu _1} \cdots (t - \alpha _k)^{\nu _k}\), wobei \(g_1(t)\) ein Polynom ohne Nullstellen in \(K\) ist mit \(\deg g_1 = \deg h - \nu _1 - \cdots - \nu _k\).
\(m_{\alpha _i}(h(t)) := \nu _i\) heißt Vielfachheit der Nullstelle \(\alpha _i\) (\(1 \le i \le k\)).

Folgerung: Ein Polynom vom Grad \(n\) hat höchstens \(n\) verschiedene Nullstellen.

algebraisch abgeschlossen:  Ein Körper \(K\) heißt algebraisch abgeschlossen, falls jedes Polynom \(p \in K[x]\) mit \(\deg p \ge 1\) eine Nullstelle besitzt.

Fakt (Hauptsatz der Algebra): \(\complex \) ist algebraisch abgeschlossen.

Folgerung: Jedes Polynom \(p \in K[x]\) mit \(\deg p \ge 1\) über einem algebraisch abgeschlossenen Körper \(K\) ist Produkt aus Linearfaktoren. Ein lineares Polynom ist ein Polynom vom Grad \(1\).