Algebra – Ringe | Vorlesungsmitschriebe

Ringe, Ideale, Restklassenringe und Körper

Ring: Ein Ring \((R, +, \cdot )\) ist eine Menge \(R\) mit zwei Abbildungen \(+\colon R \times R \rightarrow R\), \((a, b) \mapsto a + b\) und \(\cdot \colon R \times R \rightarrow R\), \((a, b) \mapsto a \cdot b\), sodass gilt:

\((R, +)\) ist eine abelsche Gruppe (mit neutralem Element \(0\), zu \(a\) inversem Element \(-a\)).
Assoziativität von \(\cdot \): \(\forall _{a, b, c \in R}\; a(bc) = (ab)c\)
Distributivität von \(\cdot \) bzgl. \(+\): \(\forall _{a, b, c \in R}\; a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c),\; (a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c)\)
neutrales Element von \(\cdot \): \(\exists _{1 \in R} \forall _{a \in R}\; a \cdot 1 = a = 1 \cdot a\)

Im Folgenden wird zusätzlich \(0 \not = 1\) verlangt (sonst wäre \(R = \{0\}\) zugelassen).

kommutativ: Ein Ring \((R, +, \cdot )\) heißt kommutativ, falls \(\forall _{a, b \in R}\; a \cdot b = b \cdot a\).

Ringhomomorphismus: Seien \(R\) und \(S\) Ringe. Eine Abbildung
\(\varphi \colon R \rightarrow S\) heißt Ringhomomorphismus, falls gilt:

\(\varphi \colon (R, +) \rightarrow (S, +)\) ist ein Homomorphismus von abelschen Gruppen.
\(\forall _{a, b \in R}\; \varphi (a \cdot b) = \varphi (a) \cdot \varphi (b)\)
\(\varphi (1_R) = 1_S\)

Bemerkung: \(\{0\}\) ist kein Ring, da kein Einselement vorhanden ist.
Für jeden Ring \(R\) und \(a \in R\) gilt \(0 \cdot a = (0 + 0) \cdot a = 0 \cdot a + 0 \cdot a\), also \(0 \cdot a = 0\).

Beispiel: Beispiele für bekannte Ringe sind \((\integer , +, \cdot )\), \((\rational , +, \cdot )\), \((\real , +, \cdot )\) und \((\complex , +, \cdot )\).
\((\Mat (n \times n, \rational ), +, \cdot )\) ist ein Ring, der für \(n \ge 2\) nicht kommutativ ist.
\(\rational [x] := \{f(x) = \sum _{i=0}^n a_i x^i \;|\; n \in \natural _0, a_0, \dotsc , a_n \in \rational \}\) ist der Polynomring über \(\rational \).
Für \(U \subset \real ^n\) offen ist bspw. die Menge aller stetigen Funktionen \(f\colon U \rightarrow \real \) ein Ring, wobei Addition und Multiplikation im Bild erfolgen (\((f + g)(x) := f(x) + g(x)\), \((f \cdot g)(x) := f(x) \cdot g(x)\)).
Für eine abelsche Gruppe \(G\) ist die Menge \(\Hom (G, G)\) aller Gruppenhomomorphismen ein Ring.
Die einzige Möglichkeit, \(R = \{0, 1\}\) zu einem Ring zu machen, ist \(1 \cdot 1 = 1\), \(1 \cdot 0 = 0 \cdot 1 = 0 \cdot 0 = 0\), \(1 + 0 = 0 + 1 = 1\), \(0 + 0 = 1 + 1 = 0\). Dies entspricht dem Quotientenring \(\integer /2\integer \) von \((\integer , +, \cdot )\).

(Links-/Rechts-)Ideal: Seien \((R, +, \cdot )\) ein Ring und \(I \subset R\) eine Untergruppe von \((R, +)\).
\(I\) heißt Linksideal von \(R\), falls \(\forall _{x \in I, a \in R}\; ax \in I\). \(I\) heißt Rechtsideal von \(R\), falls \(\forall _{x \in I, a \in R}\; xa \in I\).
\(I\) heißt Ideal von \(R\), falls \(I\) Links- und Rechtsideal ist.

Beispiel: \(I = \{0\}\) ist stets ein Ideal. Jede Untergruppe \(I = n\integer \subset \integer \) von \(\integer \) ist ein Ideal.

Proposition (Restklassenring): Seien \(R\) ein Ring und \(I\) ein Ideal mit \(I \not = R\).
Dann ist die Faktorgruppe \(R/I\) ein Ring mit der Multiplikation \((x + I) \cdot (y + I) := (xy) + I\).
\(R/I\) heißt Restklassenring.

Bemerkung: Für \(I = R\) wäre \(R/I = \{0\}\) kein Ring (enthält kein Einselement).

Einheitengruppe: Sei \(R\) ein Ring und
\(R^\ast := \{x \in R \;|\; x \text { invertierbar bzgl. } \cdot \}\) \(= \{x \in R \;|\; \exists _{y \in R}\; xy = 1 = yx\}\).
Die Elemente von \(R^\ast \) heißen Einheiten und \(R^\ast \) heißt Einheitengruppe von \(R\).

Beispiel: \(\integer ^\ast = \{\pm 1\}\), \(\rational ^\ast = \rational \setminus \{0\}\), \(\real ^\ast = \real \setminus \{0\}\), \((\integer /6\integer )^\ast = \{\overline {1}, \overline {5}\}\)

Schief körper/Körper: \(R\) heißt Schiefkörper oder Divisionsring, falls \(R^\ast = R \setminus \{0\}\).
\(R\) heißt Körper, falls \(R\) Schiefkörper und kommutativ ist.

Beispiel: Sei \(K\) ein Körper und \(R = K[x]\) der Polynomring. Was ist \(R^\ast \)?
Für \(f(x) \in R^\ast \) gibt es ein \(g(x) \in R^\ast \) mit \(f(x)g(x) = 1\). Ist \(f(x) = a_0 + a_1 x + \dotsb + a_n x^n\) und \(g(x) = b_0 + b_1 x + \dotsb + b_\ell x^\ell \) mit \(a_j, b_j \in K\) und \(a_n \not = 0\), \(b_\ell \not = 0\), so gilt
\(1 = f(x) g(x) = a_n b_\ell x^{n+\ell } + \text {Terme echt kleineren Grades}\). Wegen \(a_n b_\ell \not = 0\) muss \(n + \ell = 0\) sein (Koeffizientenvergleich), d. h. \(n = \ell = 0\) und \(f(x) = a_0\). Also gilt \(R^\ast = K \setminus \{0\}\).

Kommutative Ringe

Bemerkung: Im Folgenden sei jeder Ring als kommutativ vorausgesetzt.

Proposition (Äquivalenzen zu Körper): Sei \(R\) ein Ring. Dann sind äquivalent:

\(R\) ist ein Körper.
\(R\) hat genau zwei Ideale (\(\{0\}, R\)).
Für jeden Ring \(S\) ist jeder Ringhomomorphismus \(R \rightarrow S\) injektiv.

Integritätsbereich: Sei \(R\) ein Ring.
\(a \in R\) heißt Nullteiler, falls es ein \(b \in R \setminus \{0\}\) gibt mit \(ab = 0\).
\(R\) heißt Integritätsbereich, falls \(0\) der einzige Nullteiler in \(R\) ist.

Beispiel: In \(R = \integer /6\integer \) sind die Nullteiler \(\overline {0}\), \(\overline {2}\), \(\overline {3}\) und \(\overline {4}\).
\(\integer \), \(K\) und \(K[x]\) sind Integritätsbereiche, falls \(K\) ein Körper ist.

Hauptideal(ring)/Primideal/max. Ideal: Sei \(R\) ein Ring und \(I\) ein Ideal in \(R\).
\(I\) heißt Hauptideal, falls \(\exists _{a \in R}\; I = Ra\).
\(R\) heißt Hauptidealring, falls jedes Ideal in \(R\) ein Hauptideal ist.
\(I\) heißt Primideal, falls \(I \not = R\) und \(\forall _{a, b \in R,\; ab \in I}\; \{a, b\} \cap I \not = \emptyset \).
\(I\) heißt maximales Ideal, falls \(I \not = R\) und \(\forall _{J \text { Ideal in } R,\; I \subset J}\; J \in \{I, R\}\).

Bemerkung: \(I = \{0\}\) und \(I = R\) sind Hauptideale.
Ist \(R\) ein Körper, so ist \(R\) ein Hauptidealring.
\(R\) ist ein Körper genau dann, wenn \(I = \{0\}\) maximales Ideal ist.
\(I\) ist maximal genau dann, wenn \(R/I\) ein Körper ist.
\(I\) ist Primideal genau dann, wenn \(R/I\) Integritätsbereich ist.
Ist \(I\) maximales Ideal, so ist \(R/I\) ein Körper, also insb. Int.bereich und somit ist \(I\) ein Primideal.
(Die Umkehrung gilt nicht: \(\{0\} \subset \integer \) ist Primideal, aber nicht maximal.)

Beispiel: Im Beispiel \(R = \integer \) sind Ideale genau die \(n\integer \) (\(n \in \natural _0\)), dies sind alles Hauptideale.
Welche \(n\integer \) sind Primideale, welche sind maximal?
Sei zunächst \(n = p\) Primzahl, dann ist \(\integer /p\integer \) Körper, also ist \(p\integer \) maximales Ideal und Primideal.
Ist \(n = ab\) mit \(1 < a, b < n\), dann gilt in \(\integer /n\integer \) \(\overline {0} = \overline {n} = \overline {ab} = \overline {a} \overline {b}\). Wegen \(\overline {a}, \overline {b} \not = \overline {0}\) ist \(\integer /n\integer \) kein Integritätsbereich, also ist \(n\integer \) weder Primideal noch maximales Ideal.
Für \(n = 0\) ist \(0\integer = \{0\}\). \(\integer /0\integer \simeq \integer \) ist ein Integritätsbereich, aber kein Körper, d. h. \(0\integer \) ist Primideal, aber nicht maximal.
Es gilt also: \(n\integer \) ist ein Primideal genau dann, wenn \(\pm n\) eine Primzahl ist.

Bemerkung: Ein Beispiel für einen Ring, der kein Hauptidealring ist, ist \(R = \integer [x]\).
Sei dafür \(I = \erzeugnis {2, x} = \{a_0 + a_1 x + \dotsb \;|\; a_i \in \integer ,\; 2 \teilt a_0\}\). \(I\) ist kein Hauptideal, denn andernfalls gäbe es ein \(f(x) \in \integer [x]\) mit \(I = \erzeugnis {f(x)} = Rf(x)\). Wegen \(2 \in I\) gibt es dann ein \(g(x) \in \integer [x]\) mit \(f(x) g(x) = 2\). Da \(\grad (f(x)g(x)) = \grad f(x) + \grad g(x) = 0\) sein muss, gilt \(f(x) \in \integer \), d. h. \(f(x) \in \{\pm 1, \pm 2\}\). Wegen \(x \in I\) gibt es ein \(h(x) \in \integer [x]\) mit \(h(x) f(x) = x\), also \(f(x) \not = \pm 2\). Daher gilt \(f(x) = \pm 1\) und \(I = Rf(x) = R\), ein Widerspruch zu \(I \not = R\).

euklidisch: Ein Integritätsbereich \(R\) heißt euklidisch, falls es eine Gradabbildung
\(\lambda \colon R \setminus \{0\} \rightarrow \natural _0\) gibt, sodass \(\forall _{a \in R,\; b \in R \setminus \{0\}} \exists _{q, r \in R}\; a = qb + r\) und \(r = 0\) oder \(\lambda (r) < \lambda (b)\).

Theorem (euklidisch \(\Rightarrow \) Hauptidealring): Sei \(R\) euklidisch. Dann ist \(R\) ein Hauptidealring.

Proposition (Polynomring über Körper euklidisch): Sei \(K\) ein Körper.
Dann ist \(K[x]\) ein euklidischer Ring, d. h. insbesondere Hauptidealring.

Bemerkung: Man definiert dabei \(\lambda (f(x)) := n\) für \(f(x) = a_0 + a_1 x + \dotsb + a_n x^n\), \(a_n \not = 0\). Ist \(I \not = \{0\}\) ein Ideal in \(K[x]\), so ist \(I = \erzeugnis {f(x)}\) mit \(f(x)\) einem Polynom kleinsten Grades in \(I\).

Ring der ganzen Gaußschen Zahlen:
Der Ring der ganzen Gaußschen Zahlen ist \(\integer [\i ] := \{a + b\i \;|\; a, b \in \integer \} \subset \complex \).

Proposition (\(\integer [\i ]\) euklidisch): Der Ring \(\integer [\i ]\) ist euklidisch, d. h. insbesondere Hauptidealring.

Bemerkung: Die Norm \(N(z)\) für \(z \in \complex \) ist dabei definiert als \(N(z) = |z|^2 = z \overline {z}\).

Irreduzible und Primelemente

Bemerkung: Im Folgenden sei jeder Ring als kommutativ vorausgesetzt.

irreduzibel/prim: Seien \(R\) ein Integritätsbereich und \(p \in R \setminus \{0\}\) mit \(p \notin R^\ast \).
\(p\) heißt irreduzibel, falls \(\forall _{x, y \in R,\; p = xy}\; \{x, y\} \cap R^\ast \not = \emptyset \).
\(p\) heißt prim oder Primelement, falls \(\forall _{x, y \in R,\; p \teilt xy}\; (p \teilt x) \lor (p \teilt y)\). Eine äquivalente Definition ist, dass \(\erzeugnis {p}\) ein Primideal ist.

Lemma (Primelemente sind irreduzibel): Jedes Primelement ist irreduzibel.

Bemerkung: Die Umkehrung gilt i. A. nicht.

Proposition (Äquivalenz in HIR): Seien \(R\) ein Hauptidealring und \(p \in R \setminus \{0\}\) mit \(p \notin R^\ast \).
Dann sind äquivalent:

\(p\) ist irreduzibel.
\(p\) ist prim.
\(\erzeugnis {p}\) ist ein maximales Ideal.

noethersch: Ein Ring \(R\) heißt noethersch, falls jede aufsteigende Kette von Idealen \(I_1 \subset I_2 \subset \dotsb \subset I_k \subset \dotsb \) stationär wird, d. h. es gibt ein \(N \in \natural \) mit \(I_N = I_{N+1} = \dotsb \).

Lemma (HIRs sind noethersch): Sei \(R\) ein Hauptidealring. Dann ist \(R\) noethersch.

faktorieller Ring: Ein Integritätsbereich \(R\) heißt faktorieller Ring, falls jedes \(a \in R \setminus \{0\}\) mit \(a \notin R^\ast \) als endliches Produkt von Primelementen darstellbar ist.
Das ist äquivalent dazu, dass jedes \(a \in R \setminus \{0\}\) mit \(a \notin R^\ast \) als endliches Produkt von irreduziblen Elementen darstellbar und diese Zerlegung bis auf Reihenfolge und Einheiten eindeutig ist.
In faktoriellen Ringen sind Primelemente genau die irreduziblen Elemente.

Repräsentanten der Primelemente: \(\Prim (R)\) ist eine Menge von Repräsentanten von Primelementen von \(R\), d. h. aus jeder Assoziiertheitsklasse \(\{\varepsilon p \;|\; \varepsilon \in R^\ast \}\) für \(p \in R\) prim wählt man genau ein Element aus.

Theorem (HIRs sind UFDs): Sei \(R\) ein Hauptidealring. Dann ist \(R\) faktoriell.

Beispiel: In \(K[x]\) ist z. B. \((x - \lambda )\) irreduzibel.
\((x^2 + 1)\) ist irreduzibel in \(\real [x]\) und \((x^2 - 2)\) ist irreduzibel in \(\rational [x]\).
\(5\) ist nicht prim in \(\integer [\i ]\), da \(5 = (1 + 2\i )(1 - 2\i )\), d. h. \(5\) teilt das Produkt, aber \(5\) teilt keinen der Faktoren (sonst wäre \(5a = 1 \pm 2\i \), aber \(N(5a) = 25 |a|^2 = 5 = N(1 \pm 2\i )\), d. h. \(|a|^2 = \frac {1}{5}\), es gibt aber kein solches \(a \in \integer [\i ]\)).
\(\integer [\sqrt {-5}]\) ist nicht faktoriell. Dazu zeigt man, dass z. B. \(2\) irreduzibel, aber nicht prim ist.
\(2\) ist irreduzibel, denn aus \(2 = ab\) folgt \(N(a) = N(x + y\sqrt {-5}) = x^2 + 5y^2 \teilt 4 = N(2)\) und \(N(b) = N(u + v\sqrt {-5}) = u^2 + 5v^2 \teilt 4 = N(2)\), somit gilt \(y = v = 0\) und \(a, b \in \integer \). Dann muss aber \(a = 1\), \(b = 2\) oder \(a = 2\), \(b = 1\) gelten.
\(2\) ist nicht prim, denn \(2 \cdot 3 = 6 = (1 + \sqrt {-5})(1 - \sqrt {-5})\). Wäre \(2\) prim, dann würde gelten, dass \(2 \teilt (1 + \sqrt {-5})\) oder \(2 \teilt (1 - \sqrt {-5})\). Aus \(2 \teilt (1 \pm \sqrt {-5})\) folgt aber, dass \(2z = 1 \pm \sqrt {-5}\) für ein \(z \in \integer [\sqrt {-5}]\), also \(z = \frac {1}{2} \pm \frac {1}{2} \sqrt {-5} \notin \integer [\sqrt {-5}]\), ein Widerspruch.

Der Satz von Gauß

Bemerkung: Im Folgenden sei jeder Ring als kommutativ vorausgesetzt.

Theorem (Satz von  Gauß): Sei \(R\) ein faktorieller Ring. Dann ist auch \(R[x]\) faktoriell.

Bemerkung: Für den Beweis dieses Satzes benötigt man einige Vorarbeit.

Quotientenkörper: Sei \(R\) ein Integritätsbereich. Definiere eine Äquivalenzrelation \(\sim \) auf \(M = \{(a, b) \in R \times R \;|\; b \not = 0\}\) mit \((a, b) \sim (c, d)\), falls \(ad = bc\). Die Äquivalenzklasse von \((a, b) \in M\) wird mit \(\frac {a}{b}\) bezeichnet. Die Menge aller Äquivalenzklassen heißt Quotientenkörper \(Q(R) := \{\frac {a}{b} \;|\; a, b \in R,\; b \not = 0\}\). Man definiert Addition und Multiplikation analog wie in \(\rational \) (\(\frac {a}{b} + \frac {c}{d} := \frac {ad + bc}{bd}\), \(\frac {a}{b} \cdot \frac {c}{d} := \frac {ac}{bd}\)). Mit diesen Operationen wird \(Q(R)\) zum Körper, der \(R\) als Teilring enthält (mittels dem injektiven Ringhomomorphismus \(R \rightarrow Q(R)\), \(r \mapsto \frac {r}{1}\)).

Bemerkung: Ist \(R\) faktoriell und \(a, b \in R\), so kann man \(a\) und \(b\) eindeutig bis auf Einheiten in Primelemente zerlegen, d. h. \(a = \varepsilon p_1^{a_1} \dotsm p_n^{a_n}\) und \(b = \varepsilon ’ p_1^{b_1} \dotsm p_n^{b_n}\) für \(a_i, b_i \in \natural _0\) und \(\varepsilon , \varepsilon ’ \in R^\ast \).
Daher ist \(\frac {a}{b} = \widetilde {\varepsilon } p_1^{c_1} \dotsm p_n^{c_n}\) mit \(c_i = a_i - b_i\). Man kann also jedes Element \(\frac {a}{b} \in Q(R)\) schreiben als \(\frac {a}{b} = \varepsilon \prod _{p \in \Prim (R)} p^{\nu _p}\) mit eindeutigen Exponenten \(\nu _p = \nu _p(\frac {a}{b}) \in \integer \). Formal setzt man \(\nu _p(0) := \infty \), um die Regel \(\nu _p(ab) = \nu _p(a) + \nu _p(b)\) auch auf \(0\) anwenden zu können.

Bemerkung: Auch für \(Q(R)[x]\) kann man diese Schreibweise anwenden:
Für \(f(x) = \sum _{i=0}^n a_i x^i\) definiert man \(\nu _p(f) := \min _{i=0,\dotsc ,n} \nu _p(a_i)\).
Mit obigem Formalismus gilt \(f = 0 \iff \nu _p(f) = \infty \) und \(f \in R[x] \iff \nu _p(f) \ge 0\).

Proposition (Lemma von  Gauß):
Seien \(R\) ein faktorieller Ring, \(p \in \Prim (R)\) und \(f, g \in Q(R)[x]\).
Dann gilt \(\nu _p(fg) = \nu _p(f) + \nu _q(g)\).

normiertes Polynom: Ein Polynom \(f(x) = \sum _{i=0}^n a_i x^i\) heißt normiert, falls \(a_n = 1\).

primitives Polynom: Ein Polynom \(f \in R[x]\) mit \(\nu _p(f) = 0\) für alle \(p \in \Prim (R)\) heißt primitiv.

Bemerkung: Jedes normierte Polynom \(f \in R[x]\) ist primitiv. Für primitive Polynome \(f \in R[x]\) sind die Primfaktorzerlegungen über \(R[x]\) und über \(Q(R)[x]\) identisch.

Folgerung: Seien \(R\) ein faktorieller Ring, \(h \in R[x]\) normiert und \(h = fg\) mit \(f, g \in Q(R)[x]\).
Dann gilt \(f, g \in R[x]\).

Bemerkung: \(h \in R[x]\) primitiv ist irreduzibel in \(R[x]\) \(\iff \) \(h\) ist irreduzibel in \(Q(R)[x]\).
Für \(g \in Q(R)[x]\) ist \(g = af\) mit \(f\) primitiv und \(a = \prod _{p \in \Prim (R)} p^{\nu _p(g)} \in Q(R)\).