Funktionalanalysis 2 – Analytische Halbgruppen

Analytische Halbgruppen und Erzeuger

analytische Halbgruppe: Seien \(\delta \in (0, \frac {\pi }{2}]\) und \(\Sigma _\delta := \{\lambda \in \complex \setminus \{0\} \;|\; |\arg \lambda | < \delta \}\).
Eine analytische Halbgruppe (mit Winkel \(\delta \)) ist eine Familie \((T(z))_{z \in \Sigma _\delta \cup \{0\}}\) von Operatoren \(T(z) \in \Lin (X)\) auf einem Banachraum \(X\), sodass

\(T(0) = \id \),
\(\forall _{z_1, z_2 \in \Sigma _\delta }\; T(z_1 + z_2) = T(z_1) T(z_2)\),
\(\Sigma _\delta \to \Lin (X)\), \(z \mapsto T(z)\) ist komplex analytisch und
\(\forall _{\delta ’ \in (0, \delta )} \forall _{x \in X}\; T(z)x \xrightarrow {z \to 0,\; z \in \Sigma _{\delta ’}} x\).

Gilt zusätzlich

\(\forall _{\delta ’ \in (0, \delta )}\; \sup _{z \in \Sigma _{\delta ’}} \norm {T(z)}_{\Lin (X)} < \infty \),

dann spricht man von einer beschränkten, analytischen Halbgruppe.

Erzeuger: Der Erzeuger \((A, D(A))\) einer analytischen Halbgruppe \((T(z))_{z \in \Sigma _\delta \cup \{0\}}\) mit Winkel \(\delta \) ist definiert als der Erzeuger der \(\C _0\)-Halbgruppe \((T(t))_{t \ge 0}\).

Beispiel: Seien \(X\) ein Banachraum und \(A \in \Lin (X)\).
Dann ist \((e^{zA})_{z \in \Sigma _{\pi /2} \cup \{0\}}\) eine analytische Halbgruppe mit Erzeuger \(A\).

Sektorielle Operatoren

sektoriell: Seien \(X\) ein Banachraum und \((A, D(A))\) ein abgeschlossener, linearer Operator auf \(X\). Dann heißt \(A\) sektoriell (mit Winkel \(\delta \)), falls es ein \(\delta \in (0, \frac {\pi }{2}]\) gibt mit

\(\Sigma _{\pi /2+\delta } \subset \varrho (A)\) und
\(\forall _{\varepsilon \in (0, \delta )} \exists _{M_\varepsilon \ge 1} \forall _{\lambda \in \overline {\Sigma _{\pi /2+\delta -\varepsilon }} \setminus \{0\}}\; \norm {\lambda (\lambda - A)^{-1}}_{\Lin (X)} \le M_\varepsilon \).

Satz (dicht def., sekt. Operatoren sind Erzeuger beschr., analyt. HGen):
Sei \((A, D(A))\) ein dicht definierter, mit Winkel \(\delta \) sektorieller Operator.
Definiere \((T(z))_{z \in \Sigma _\delta \cup \{0\}}\) durch \(T(0) := \id \) und \(T(z) := \frac {1}{2\pi \iu } \int _\gamma e^{\mu z} R(\mu , A) d\mu \) für \(z \in \Sigma _\delta \), wobei \(\gamma \) eine beliebige glatte Kurve in \(\Sigma _{\pi /2+\delta }\) ist, die von „\(\infty \cdot e^{-\iu (\pi /2+\delta ’)}\)“ nach „\(\infty \cdot e^{\iu (\pi /2+\delta ’)}\)“ für ein \(\delta ’ \in (|\arg z|, \delta )\) geht.
Dann ist \((T(z))_{z \in \Sigma _\delta \cup \{0\}}\) eine beschränkte, analytische Halbgruppe mit Erzeuger \(A\).

Charakterisierung von Erzeugern von beschränkten, analytischen Halbgruppen

Satz (Charakterisierung von Erzeugern von beschr., analyt. HGen):
Seien \(X\) ein Banachraum und \((A, D(A))\) ein linearer Operator. Dann sind äquivalent:

\(A\) erzeugt eine beschränkte, analytische Halbgruppe \((T(z))_{z \in \Sigma _\delta \cup \{0\}}\) auf \(X\).
Es gibt ein \(\vartheta \in (0, \frac {\pi }{2})\), sodass die Operatoren \(e^{\pm \iu \vartheta } A\) beschränkte \(\C _0\)-Halbgruppen auf \(X\) erzeugen.
\(A\) erzeugt eine beschränkte \(\C _0\)-Halbgruppe \((T(t))_{t \ge 0}\) auf \(X\) mit
\(\forall _{t > 0}\; \Bild (T(t)) \subset D(A)\) und \(M := \sup _{t > 0} \norm {tAT(t)}_{\Lin (X)} < \infty \).
\(A\) erzeugt eine beschränkte \(\C _0\)-Halbgruppe \((T(t))_{t \ge 0}\) auf \(X\) mit
\(\exists _{C > 0} \forall _{r > 0} \forall _{s \in \real \setminus \{0\}}\; \norm {R(r + \iu s, A)}_{\Lin (X)} \le \frac {C}{|s|}\).
\(A\) ist dicht definiert und sektoriell.

Bemerkung: Der Beweis benutzt den vorherigen Satz und verläuft nach dem Muster
(1) \(\implies \) (2) \(\implies \) (4) \(\implies \) (5) \(\implies \) (3) \(\implies \) (1).
Aus dem Beweis kann man erkennen, dass für eine beschränkte, analytische HG \((T(z))_{z \in \Sigma _\delta \cup \{0\}}\) auf \(X\) und ihren Erzeuger \(A\) gilt, dass \(\forall _{t > 0}\; \Bild (T(t)) \subset D(A^\infty ) := \bigcap _{n=1}^\infty D(A^n)\) sowie
\(\forall _{n \in \natural } \forall _{t > 0}\; \frac {1}{n!} \norm {\frac {d^n}{dt^n} T(t)}_{\Lin (X)} \le \left (\frac {eM}{t}\right )^n\) und daher \(\forall _{n \in \natural }\; \limsup _{t \to 0+0} \norm {t^n A^n T(t)}_{\Lin (X)} < \infty \) aufgrund \(\frac {d^n}{dt^n} T(t) = A^n T(t)\).

Beispiel: Seien \(\Omega \subset \real ^n\) ein beschränktes und glatt berandetes Gebiet, \(X := L^2(\Omega )\) und \(A := \Delta \) mit \(D(A) := \{u \in X \;|\; \Delta u \in X,\; u|_{\partial \Omega } = 0\}\). Aus der elliptischen Regularitätstheorie weiß man, dass \(\Delta u = f\) mit \(u|_{\partial \Omega } = 0\) für \(f \in L^2(\Omega )\) eine eindeutige Lösung \(u \in H^2(\Omega ) \cap H^1_0(\Omega )\) besitzt, wobei die Abschätzung \(\norm {\Delta ^{-1} f}_{H^2} \le C \norm {f}_{L^2}\) gilt. Damit ist \(\Delta \colon H^2(\Omega ) \cap H^1_0(\Omega ) \to L^2(\Omega )\) ein Homöomorphismus (\(\Delta \) bijektiv mit \(\Delta \) und \(\Delta ^{-1}\) stetig), wobei \(D(A)\) dicht in \(X\) ist. Außerdem ist \(\Delta \) ein abgeschlossener Operator.

Die Abschätzung \(\norm {R(r + \iu s, A)}_{\Lin (X)} \le \frac {C}{|s|}\) für \(r > 0\), \(s \in \real \setminus \{0\}\) und eine Konstante \(C > 0\) lässt sich wie folgt zeigen: Sei \(f \in L^2(\Omega )\) und \(u := -(\lambda - \Delta )^{-1} f\), d. h. \(\Delta u - \lambda u = f\) mit \(\lambda := r + \iu s\). Durch Bildung des Skalarprodukts mit \(u\) erhält man daraus
\(\int _\Omega u \overline {f} \dx = \int _\Omega u \overline {\Delta u} \dx - \int _\Omega u \overline {\lambda u} \dx = -\int _\Omega |\nabla u|^2 \dx - \overline {\lambda } \int _\Omega |u|^2 \dx \).
Wenn man nun den Imaginärteil betrachtet, so folgt \(s \norm {u}_{L^2}^2 = \Im \innerproduct {u, f}_{L^2}\), d. h.
\(\norm {u}_{L^2}^2 = \frac {1}{s} \Im \innerproduct {u, f}_{L^2} \le \frac {1}{|s|} |\innerproduct {u, f}_{L^2}| \le \frac {1}{|s|} \norm {u}_{L^2} \norm {f}_{L^2}\), also \(\norm {u}_{L^2} \le \frac {1}{|s|} \norm {f}_{L^2}\).
Somit gilt \(\norm {(\lambda - \Delta )^{-1}}_{\Lin (X)} \le \frac {1}{|s|}\).