Funktionalanalysis 2 – Operatorhalbgruppen

Operatoren

linearer Operator: Seien $X$ ein Banachraum und $D(T) \le X$ ein Unterraum.
Eine lineare Abbildung $T\colon D(T) \rightarrow X$ heißt linearer Operator auf $X$. Man schreibt $(T, D(T))$.

dicht definiert: Ein linearer Operator $T\colon D(T) \rightarrow X$ heißt dicht definiert, falls $\overline {D(T)} = X$.

abgeschlossen: Ein linearer Operator $T\colon D(T) \rightarrow X$ heißt abgeschlossen, falls
$\graph (T) := \{(x, Tx) \;|\; x \in D(T)\} \subset X^2$ abgeschlossen ist, d. h. falls für alle Folgen $x_n \in D(T)$ mit $x_n \xrightarrow {n \to \infty } x \in X$ und $Tx_n \xrightarrow {n \to \infty } y \in X$ gilt, dass $x \in D(T)$ und $Tx = y$.

Satz (Charakterisierung der Stetigkeit von abg., dicht def., lin. Operatoren):
Sei $(T, D(T))$ ein abgeschlossener, dicht definierter, linearer Operator.
Dann gilt $D(T) = X$ $\iff $ $T$ stetig.

Satz (Vertauschung von Integral und Operator): Seien $u \in \C ^0([a, b], X)$ und $(T, D(T))$ ein abgeschlossener, linearer Operator mit $\Bild (u) \subset D(T)$ und $T \circ u \in \C ^0([a, b], X)$.
Dann gilt $T(\int _a^b u(s)\ds ) = \int _a^b T(u(s))\ds $. (Insbesondere gilt dies, falls $T \in \Lin (X)$.)

Satz (Hauptsatz der Diff.- und Int.rechnung): Sei $u \in \C ^0([a, b], X)$ differenzierbar in
$t \in (a, b)$. Dann gilt $\lim _{h \to 0} \frac {1}{h} \int _t^{t+h} u(s)\ds = u(t)$.

Operatorhalbgruppen

Bemerkung: Man betrachtet die gewöhnliche DGL $u’(t) = Au(t)$, $u(0) = u_0$ mit einer konstanten $(n \times n)$-Matrix $A$. Diese DGL besitzt für alle $t \in \real $ eine eindeutige Lösung $u(t)$. Bezeichnet man mit $T(t)$ den Lösungsoperator ausgewertet zur Zeit $t$, d. h. $T(t)u_0 := u(t)$ mit $u(t)$ der Lösung zur Anfangsbedingung $u(0) = u_0$, dann kann man diesen mit dem Matrixexponential explizit angeben: Es gilt $T(t) = e^{tA} := \sum _{n=0}^\infty \frac {1}{n!} t^n A^n$.

Im Folgenden soll dieses Konzept auf unendlich-dimensionale Räume verallgemeinert werden.

Operatorhalbgruppe: Eine stark stetige (Operator-)Halbgruppe (oder $\C _0$-Halbgruppe) ist eine Familie $(T(t))_{t \ge 0}$ von Operatoren $T(t) \in \Lin (X)$ auf einem Banachraum $X$, sodass

$T(0) = \id $,
$\forall _{s, t \ge 0}\; T(s+t) = T(s) T(t)$ (Halbgruppen-Eigenschaft) und
$\forall _{x \in X}\; T(t) x \xrightarrow {t \to 0} x$.

Gilt statt (3) sogar die stärkere Forderung

$\norm {T(t) - \id }_{\Lin (X)} \xrightarrow {t \to 0} 0$,

dann spricht man von einer normstetigen (Operator-)Halbgruppe.

Operatorgruppe: Eine stark stetige (Operator)-Gruppe (oder $\C _0$-Gruppe) ist eine Familie $(T(t))_{t \in \real }$ von Operatoren wie eben, sodass (1), (2), (3) von eben sinngemäß gelten.
Analog sind normstetige (Operator-)Gruppen definiert.

Beispiele

Beispiel:

Seien $X$ ein Banachraum und $A \in \Lin (X)$.
Dann ist $(T(t))_{t \ge 0}$ eine normstetige Halbgruppe mit $T(t) := e^{tA}$ und $e^{tA} := \sum _{n=0}^\infty \frac {1}{n!} t^n A^n$.
Lässt man $t \in \real $ zu, dann erhält man eine normstetige Gruppe.
Seien $X \in \{\C ^0_\unif ([0, \infty )), \C ^0_0([0, \infty )), L^p([0,\infty )) \;|\; p \in [1, \infty )\}$ mit
$\C ^0_0([0, \infty )) := \{f \in \C ^0_b([0, \infty )) \;|\; \forall _{\varepsilon >0} \exists _{K \subset [0, \infty ) \text { kpkt.}} \forall _{x \in [0, \infty ) \setminus K}\; |f(x)| < \varepsilon \}$
(es gilt $\C ^0_0 = \{f \in \C ^0 \;|\; \lim _{|x| \to \infty } f(x) = 0\}$, außerdem gilt $\C ^0_0 \le \C ^0_\unif $).
Dann ist $(T(t))_{t \ge 0}$ mit $(T(t) f)(x) := f(x + t)$ für $t \ge 0$, $f \in X$ und $x \in [0, \infty )$ eine $\C _0$-Halbgruppe, aber keine normstetige Halbgruppe, die sog. Translationshalbgruppe.
Für $\C ^0_b$ oder $L^\infty $ als $X$ würde man keine $\C _0$-Halbgruppe erhalten.
Ersetzt man $[0, \infty )$ durch $\real $ und lässt $t \in \real $ zu, so erhält man eine $\C _0$-Gruppe.
Sei $X \in \{\C ^0_\unif (\real ^n), \C ^0_0(\real ^n), L^p(\real ^n) \;|\; p \in [1, \infty )\}$. Dann ist $(T(t))_{t \ge 0}$ mit
$(T(t) f)(x) := \frac {1}{(4\pi t)^{n/2}} \int _{\real ^n} e^{-|x-y|^2/(4t)} f(y)\dy $ für $t > 0$, $f \in X$ und $x \in \real ^n$ sowie $T(0) := \id $ eine $\C _0$-Halbgruppe, die sog. Wärmeleitungshalbgruppe oder Brownsche Halbgruppe.

Wachstumsschranken und Stetigkeit

Lemma (Wachstumslemma): Sei $(T(t))_{t \ge 0}$ eine $\C _0$-Halbgruppe.
Dann gilt $\exists _{M \ge 1} \exists _{\omega \in \real } \forall _{t \ge 0}\; \norm {T(t)}_{\Lin (X)} \le Me^{\omega t}$.

exponentielle Wachstumsschranke: $\omega _0 := \inf \{\omega \in \real \;|\; \exists _{M \ge 1} \forall _{t \ge 0}\; \norm {T(t)}_{\Lin (X)} \le Me^{\omega t}\}$ heißt (exponentielle) Wachstumsschranke der $\C _0$-Halbgruppe $(T(t))_{t \ge 0}$.

Bemerkung: Nach dem Lemma ist die Menge, von der das Infimum gebildet wird, nicht-leer, d. h. $\omega _0 < +\infty $. Allerdings kann $\omega _0 = -\infty $ sein und $\omega _0$ muss nicht angenommen werden.

Kontraktionshalbgruppe: Ist im Wachstumslemma $M = 1$, $\omega = 0$ möglich, d. h. gilt
$\forall _{t \ge 0}\; \norm {T(t)}_{\Lin (X)} \le 1$, dann heißt die $\C _0$-Halbgruppe $(T(t))_{t \ge 0}$ Kontraktionshalbgruppe.

Lemma (Stetigkeit): Sei $(T(t))_{t \ge 0}$ eine $\C _0$-Halbgruppe auf einem Banachraum $X$.
Dann ist die Abbildung $[0, \infty ) \times X \to X$, $(t, x) \mapsto T(t) x$ stetig, genauer gleichmäßig stetig in $t$ auf kompakten Teilmengen von $[0, \infty )$.
Insbesondere ist für jedes $x \in X$ die Abbildung $u\colon [0, \infty ) \to X$, $t \mapsto T(t) x$ stetig,
d. h. $u \in \C ^0([0, \infty ), X)$.

Erzeuger

Bemerkung: In diesem Abschnitt ist $(T(t))_{t \ge 0}$ eine $\C _0$-Halbgruppe auf dem Banachraum $X$.

Erzeuger: Der (infinitesimale) Erzeuger (oder Generator) von $(T(t))_{t \ge 0}$ ist der Operator $(A, D(A))$ mit $Ax := \lim _{h \to 0+0} \frac {T(h) x - x}{h}$ und $D(A) := \{x \in X \;|\; \text {$\lim _{h \to 0+0} \frac {T(h) x - x}{h}$ existiert in $X$}\}$.

Bemerkung: Der Erzeuger ist linear, aber i. A. nicht überall definiert und nicht stetig.

absolutstetig: $f\colon [a, b] \to \real $ heißt absolutstetig, falls
$\forall _{\varepsilon > 0} \exists _{\delta > 0} \forall _{a \le x_0 < \dotsb < x_n \le b}\; \big [\sum _{k=1}^n (x_k - x_{k-1}) < \delta \implies \sum _{k=1}^n |f(x_k) - f(x_{k-1})| < \varepsilon \big ]$.

Bemerkung: Es gilt $f$ Lipschitz-stetig $\implies $ $f$ absolutstetig $\implies $ $f$ gleichmäßig stetig.
Es gilt $f$ absolutstetig $\iff $ $\exists _{g \in L^1([a, b])} \forall _{x \in [a, b]}\; f(x) = f(a) + \int _a^x g(t)\dt $. In diesem Fall ist $f$ fast überall differenzierbar, es gilt $f’ \in L^1([a, b])$ und $g = f’$ fast überall.

Beispiel:

Der Erzeuger von $(e^{tA})_{t \ge 0}$ ist $A$.
Sei $(T(t))_{t \ge 0}$ bzw. $(T(t))_{t \in \real }$ die Translationshalbgruppe bzw. -gruppe und $A$ der Erzeuger.
Ist $X = \C ^0_0([0, \infty ))$ bzw. $X = \C ^0_0(\real )$, dann ist $A = \frac {d}{dx}$ mit
$D(A) = \{f \in \C ^0_0 \;|\; \text {$f’$ existiert und $f’ \in \C ^0_0$}\}$.
Ist $X = L^p([0, \infty ))$ bzw. $X = L^p(\real )$ mit $p \in [1, \infty )$, dann ist $A = \frac {d}{dx}$ mit
$D(A) = \{f \in L^p \;|\; \text {$f$ ist absolutstetig und $f’ \in L^p$}\}$.
Sei $(T(t))_{t \ge 0}$ die Wärmeleitungshalbgruppe und $A$ der Erzeuger.
Ist $X = L^p(\real ^n)$, dann ist $A = \Delta $ mit $D(A) = W^{2,p}(\real ^n)$
(d. h. $D(A) = H^2(\real ^n)$ für $p = 2$).

Lemma (Erzeuger): Seien $A$ der Erzeuger von $(T(t))_{t \ge 0}$ und $t \ge 0$. Dann gilt

$\int _0^t T(s) x\ds \in D(A)$ und $A(\int _0^t T(s) x\ds ) = T(t) x - x$ für alle $x \in X$,
$T(t) x \in D(A)$ und $A T(t) x = T(t) A x$ für alle $x \in D(A)$ sowie
$T(t) x - x = \int _0^t T(s) Ax\ds $ für alle $x \in D(A)$.

Satz (Erzeuger dicht def. und abg.): Sei $A$ der Erzeuger von $(T(t))_{t \ge 0}$.
Dann ist $A$ dicht definiert und abgeschlossen.

Satz (Erzeuger als rechte Seite einer DGL): Seien $A$ der Erzeuger von $(T(t))_{t \ge 0}$ und $x_0 \in D(A)$.
Dann ist $u\colon [0, \infty ) \rightarrow X$, $u(t) := T(t) x_0$, stetig differenzierbar, $D(A)$-wertig und die eindeutige Lösung des AWPs der abstrakten banachraumwertigen gewöhnlichen DGL (abstraktes Cauchy-Problem) $u’ = Au$, $u(0) = x_0$. Außerdem hängt $u(t)$ für alle $t \ge 0$ stetig von $x_0$ ab.

Folgerung: Zwei $\C _0$-Halbgruppen auf $X$ mit demselben Erzeuger stimmen überein.

Satz (Äquivalenz zur Normstetigkeit): Sei $A$ der Erzeuger von $(T(t))_{t \ge 0}$. Dann sind äquivalent:

$(T(t))_{t \ge 0}$ ist normstetig.
$A$ ist stetig.
$D(A) = X$

In diesem Fall gilt $\forall _{t \ge 0}\; T(t) = e^{tA}$.

Bemerkung: Die Äquivalenz $\text {\emph {(2)}} \iff \text {\emph {(3)}}$ gilt auch für jeden anderen dicht definierten, abgeschlossenen linearen Operator auf einem Banachraum, siehe oben.