Analysis 1 – Zur Integralrechnung von Funktionen einer Variablen

Das Riemann-Integral

Gegeben sei eine Funktion \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\), wobei \(a \le b\).

Durch \(a = x_0 \le x_1 \le \cdots \le x_{n-1} \le x_n = b\) wird das Intervall \([a,b]\) zerlegt, die Menge \(\delta = \{x_k\}_{k=0}^n = \{x_0, \ldots , x_n\}\) heißt Zerlegung von \([a,b]\).

\(\Delta x_k = x_k - x_{k-1}\) ist die Länge, \(\Delta _k = [x_{k-1}, x_k]\) das Intervall des \(k\)-ten Teilstücks.
\(\lambda (\delta ) = \max _{k=1,\ldots ,n} \Delta x_k\) bezeichnet den Rang der Zerlegung (Länge des längsten Teilstücks).

Für jedes \(\Delta _k\) kann man eine Stützstelle \(\xi _k \in \Delta _k = [x_{k-1}, x_k]\) wählen (\(k = 1, \ldots , n\)).
\(\xi = \{\xi _k\}_{k=1}^n = \{\xi _1, \ldots , \xi _n\}\) bezeichnet einen Satz von Stützstellen für die Zerlegung \(\delta \).

\(\mathfrak {S}(f, \delta , \xi ) = \sum _{k=1}^n f(\xi _k) \Delta x_k\) heißt dann Riemann-Summe von \(f\) bzgl. der Zerlegung \(\delta \) und dem Satz von Stützstellen \(\xi \).

\(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\) heißt Riemann-integrierbar, falls es ein \(I \in \mathbb {R}\) gibt mit \(I = \lim _{\lambda (\delta ) \to 0} \mathfrak {S}(f, \delta , \xi )\)
\(\overset {\text {def.}}{\Leftrightarrow }\; \forall _{\varepsilon > 0} \exists _{\eta > 0} \forall _{\text {Zerlegungen } \delta ,\; \lambda (\delta ) < \eta } \forall _{\text {Stützstellen } \xi \text { zu } \delta }\; |I - \mathfrak {S}(f, \delta , \xi )| < \varepsilon \)
\(\Leftrightarrow \; \forall _{\varepsilon > 0} \exists _{\eta > 0} \forall _{\delta ’, \delta ’’,\; \lambda (\delta ’) < \eta ,\; \lambda (\delta ’’) < \eta } \forall _{\xi ’ = \xi ’(\delta ’),\; \xi ’’ = \xi ’’(\delta ’’)}\; |\mathfrak {S}(f, \delta ’, \xi ’) - \mathfrak {S}(f, \delta ’’, \xi ’’)| < \varepsilon \).

alternative Definition: Eine Folge von Zerlegungen \(\{\delta _k\}_{k \in \mathbb {N}}\) heißt ausgezeichnet, falls
\(\lambda (\delta ) \to 0\) für \(k \to \infty \). Sei \(\xi = \xi (\delta _k)\) ein beliebiger Satz von Stützstellen zu \(\delta _k\).
Falls \(\mathfrak {S}(f, \delta _k, \xi (\delta _k))\) für \(k \to \infty \) immer einen Grenzwert \(I\) besitzt und dieser Grenzwert unabhängig von der Wahl der \(\delta _k\) und \(\xi (\delta _k)\) ist, so nennt man \(f\) Riemann-integrierbar.

In jedem Fall schreibt man dann \(\int _a^b f(x)\dx := I\).

Es gilt \(\int _a^a f(x)\dx = 0\)  und  \(\int _b^a f(x)\dx := -\int _a^b f(x)\dx \) für \(a < b\)
(das Riemann-Integral ist gerichtet).

komplexwertige Funktionen: Eine Funktion \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {C}\) ist Riemann-integrierbar
\(\overset {\text {def.}}{\Leftrightarrow }\;\) \(\Re f, \Im f\) sind Riemann-integrierbar,  \(\int _a^b f(x)\dx := \int _a^b \Re (f(x))\dx + i \cdot \int _a^b \Im (f(x))\dx \).

vektorwertige Funktionen: Eine Funktion \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {K}^m\) ist Riemann-integrierbar
\(\overset {\text {def.}}{\Leftrightarrow }\;\) \(\pi _j(f(x))\) ist Riemann-integrierbar für \(j = 1, \ldots , m\),  \(\pi _j\left (\int _a^b f(x)\dx \right ) := \int _a^b \pi _j(f(x))\dx \).

\(R[a,b]\) ist die Menge der Riemann-integrierbaren Funktionen \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\).

R.-integr. Funktionen sind beschränkt: Sei \(f \in R[a,b]\).   Dann ist \(f\) beschränkt.

Stetigkeitsmodul: Seien \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\) sowie \(E \subset [a,b]\).
\(\omega (f, E) = \sup _{x’, x’’ \in E} |f(x’) - f(x’’)|\) heißt Stetigkeitsmodul von \(f\) auf \(E\).

Satz: Seien \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\) beschränkt und \(\lim _{\lambda (\delta ) \to 0} \sum _{k=1}^n \omega (f, \Delta _k) \Delta x_k = 0\), d. h.
\(\forall _{\varepsilon > 0} \exists _{\eta > 0} \forall _{\delta ,\; \lambda (\delta ) < \eta }\; \sum _{k=1}^n \omega (f, \Delta _k) \Delta x_k < \varepsilon \).   Dann ist \(f \in R[a,b]\).

stetige Funktionen: Stetige Funktionen \(f \in C([a,b])\) sind Riemann-integrierbar.
Ist eine Funktion bis auf endlich viele Punkte stetig, so ist sie Riemann-integrierbar.
Verändert man eine Riemann-integrierbare Funktionen in nur einem Punkt, so ist sie immer noch Riemann-integrierbar und das Integral ist dasselbe.

obere/untere Darboux-Summe: Seien \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\) beschränkt und
\(a = x_0 < x_1 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b\) mit \(\Delta _k = [x_{k-1}, x_k]\).
Außerdem sei \(m_k = \inf _{x \in \Delta _k} f(x)\) und \(M_k = \sup _{x \in \Delta _k} f(x)\).
Dann heißt \(s(f, \delta ) = \sum _{k=1}^n m_k \Delta x_k\) untere bzw. \(S(f, \delta ) = \sum _{k=1}^n M_k \Delta x_k\) obere Darboux-Summe.
Es gilt \(s(f, \delta ) \le \mathfrak {S}(f, \delta , \xi ) \le S(f, \delta )\) für jeden Satz von Stützstellen \(\xi \).

Konvergenz der Darboux-Summe: Sei \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\) beschränkt. Dann ist
\(f \in R[a,b] \;\Leftrightarrow \; \exists I = \lim _{\lambda (\delta ) \to 0} s(f, \delta ) = \lim _{\lambda (\delta ) \to 0} S(f, \delta )\)   \((I = \int _a^b f(x)\dx )\).

Satz: Sei \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\) beschränkt. Dann ist
\(f \in R[a,b] \;\Leftrightarrow \; \lim _{\lambda (\delta ) \to 0} \sum _{k=1}^n \omega (f, \Delta _k) \Delta x_k = 0\).

Lebesgue-Maß: Eine Menge \(E \subset \mathbb {R}\) besitzt das Lebesgue-Maß \(0\), falls
\(\forall _{\varepsilon > 0} \exists _{\{I_k(\varepsilon )\}_{k \in \mathbb {N}}}\)  1) \(E \subset \bigcup _{k \in \mathbb {N}} I_k(\varepsilon )\)  und  2) \(\sup _{n \in \mathbb {N}} \left (\sum _{k=1}^n |I_k(\varepsilon )|\right ) < \varepsilon \),
wobei \(I_k = [\alpha _k, \beta _k] \subset \mathbb {R}\) mit \(k \in \mathbb {N}\) und \(|I_k| = \beta _k - \alpha _k\).

fast überall: Eine Aussageform \(H(x)\) ist fast überall wahr, falls es eine Menge \(E \subset [a,b]\) mit Lebesgue-Maß 0 gibt, sodass \(H(x)\) wahr ist auf \([a,b] \setminus E\).

Lebesgue-Kriterium zur Riemann-Integrierbarkeit: Sei \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\) beschränkt.
Dann ist \(f \in R[a,b] \;\Leftrightarrow \;\) \(f\) ist fast überall auf \([a,b]\) stetig.

monotone Funktionen: Beschränkte und monotone Funktionen sind Riemann-integrierbar.

Struktur von \(R[a,b]\): Seien \(f, g: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\), \(\alpha \in \mathbb {R}\), \(f, g \in R[a,b]\) und \([c,d] \subset [a,b]\).
Dann ist auch \(f + g,\quad \alpha \cdot f,\quad |f|,\quad f \cdot g \in R[a,b]\) sowie \(f|_{[c,d]} \in R[c,d]\).

Eigenschaften des Riemann-Integrals

Satz (Linearität): Seien \(f, g \in R[a,b]\) und \(\alpha , \beta \in \mathbb {R}\).
Dann ist \(\alpha f + \beta g \in R[a,b]\) und \(\int _a^b (\alpha f + \beta g)(x)\dx = \alpha \int _a^b f(x)\dx + \beta \int _a^b g(x)\dx \).

Satz (Additivität bzgl. Integrationsbereich):
\(f \in R[a,b] \;\Leftrightarrow \; f|_{[a,c]} \in R[a,c] \land f|_{[c,b]} \in R[c,b]\)
und \(\int _a^b f(x)\dx = \int _a^c f(x)\dx + \int _c^b f(x)\dx \) für \(c \in \left ]a,b\right [\).
(Satz gilt mit \(\int _b^a f(x)\dx = -\int _a^b f(x)\dx \) unabhängig von \(c \in \left ]a,b\right [\)!)

Satz (Monotonie des Riemann-Integrals): Seien \(f_1, f_2 \in R[a,b]\) mit \(f_1(x) \le f_2(x)\) für alle \(x \in [a,b]\), wobei \(a < b\).   Dann ist \(\int _a^b f_1(x)\dx \le \int _a^b f_2(x)\dx \).

Spezialfall: Sei \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\) mit \(m \le f(x) \le M\) für alle \(x \in [a,b]\), wobei \(a < b\).
Dann ist \(m \cdot (b - a) \le \int _a^b f(x)\dx \le M \cdot (b - a)\).

Spezialfall: \(\left |\int _a^b f(x)\dx \right | \le (b - a) \cdot \sup _{x \in [a,b]} |f(x)|\)

Spezialfall: \(\left |\int _a^b f(x)\dx \right | \le \int _a^b |f(x)|\dx \)

Die Formel von Newton-Leibniz

Satz von Newton-Leibniz: Seien \(F: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\) stetig, diffb. in \(\left ]a,b\right [\) und
\(\dot {F}(x) =\) \(\begin {cases}F’(x) & x \in \left ]a,b\right [ \\ 0 & x = a \lor x = b\end {cases}\) mit \(\dot {F}(x) \in R[a,b]\).     Dann ist \(\int _a^b \dot {F}(x)\dx = F(b) - F(a)\).

Der Satz lässt sich für Funktionen \(F: [a,b] \rightarrow \mathbb {K}^n\) verallgemeinern (komponentenweise).

Stammfunktion: \(F: [a,b] \rightarrow \mathbb {K}^n\) ist eine Stammfunktion von \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {K}^n\), falls
\(F\) stetig auf \([a,b]\),   \(F\) diffb. in \(\left ]a,b\right [\)   und   \(F’(x) = f(x)\) für alle \(x \in \left ]a,b\right [\).

Existiert zu \(f\) eine Stammfunktion \(F\), so ist diese bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Sei \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\) mit \(f \in R[a,b]\) und es existiere eine Stammfunktion \(F\) zu \(f\).     Dann ist \(\int _a^b f(x)\dx = F(b) - F(a)\).

Satz: Jede stetige Funktion \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\) besitzt eine Stammfunktion \(F\) der Form
\(F(x) =\) \(\begin {cases}C & x = a \\ \int _a^x f(t)\dt + C & x \in \left ]a,b\right ]\end {cases}\).

Allerdings besitzt nicht jede Funktion \(f \in R[a,b]\) eine Stammfunktion! Beispiele sind monotone Funktionen mit Sprungstellen. Sie können nach Darboux keine Ableitung einer anderen Funktion darstellen. Auch bedeutet die Existenz nicht, dass man sie explizit hinschreiben kann.

partielle Integration: Seien \(f, g: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\) stetig auf \([a,b]\), diffb. in \(\left ]a,b\right [\) sowie
\(f’g, fg’ \in R[a,b]\).     Dann ist \(\int _a^b f’g\dx = fg|_a^b - \int _a^b fg’\dx \).

Zur Integration rationaler Funktionen

Wir betrachten rationale Funktionen \(R(x) =\) \(\frac {P_m(x)}{Q_n(x)}\) \(= \) \(\frac {a_m x^m \;+\; \cdots \;+\; a_1 x \;+\; a_0} {b_m b^m \;+\; \cdots \;+\; b_1 x \;+\; b_0}\) mit \(a_m, b_n \not = 0\).

Spezialfälle:
\(Q_n(x) = 1\):   \(\int P_m(x)\dx = \) \(\frac {a_m}{m + 1}\) \(x^{m+1} + \cdots + \) \(\frac {a_1}{2}\) \(x^2 + a_0 x + C\)
\(P_m(x) = 1\), \(Q_n(x) = (x - a)^n\):   \(\int \) \(\frac {1}{(x - a)^n}\) \(= \) \(\begin {cases}\ln |x - a| + C & \quad n = 1 \\ \frac {(x - a)^{1-n}}{1 - n} + C & \quad n \ge 2 \end {cases}\)

Polynomdivision: Seien \(P_m(x)\) und \(Q_n(x)\) zwei Polynome mit \(m \ge n \ge 1\). Dann existieren eindeutig bestimmte Polynome \(S_{m-n}(x)\) und \(T_\ell (x)\) mit \(\ell < n\), sodass \(\frac {P_m(x)}{Q_n(x)}\) \(= S_{m-n}(x) \;+\) \(\frac {T_\ell (x)}{Q_n(x)}\).
\(S_{m-n}(x)\) und \(T_\ell (x)\) kann man durch Polynomdivision bestimmen.

Satz: Seien \(P_m(x)\), \(Q_n(x)\) Polynome mit \(m < n\), \(Q_n(x) = \prod _{i=1}^\ell (x - a_i)^{\kappa _i}\) und \(\sum _{i=1}^\ell \kappa _i = n\).
Dann gibt es eindeutig bestimmte Koeffizienten \(A_{ir}\), sodass \(\frac {P_m(x)}{Q_n(x)}\) \(= \sum _{i=1}^\ell \sum _{r=1}^{\kappa _i}\) \(\frac {A_{ir}}{(x - a_i)^r}\).

Bestimmung der Koeffizienten: \(\frac {x^2 + 1}{x(x+1)(x-1)} = \frac {A_{11}}{x} + \frac {A_{21}}{x + 1} + \frac {A_{31}}{x - 1}\)

• Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich:
  \(\Rightarrow \; x^2 + 0x + 1 = A_{11}(x + 1)(x - 1) + A_{21}x(x - 1) + A_{31}x(x + 1)\)
  \(\Leftrightarrow \; x^2 + 0x + 1 = (A_{11} + A_{21} + A_{31})x^2 + (-A_{21} + A_{31})x + (-A_{11}) \cdot 1\),   LGS lösen

• Hand auflegen: \(x_1 = 0\), \(x_2 = -1\), \(x_3 = 1\), \(A_{11} = \frac {x_1^2 + 1}{(x_1 + 1)(x_1 - 1)}\), \(A_{21} = \frac {x_2^2 + 1}{x_2 (x_2 - 1)}\), \(A_{31} = \frac {x_3^2 + 1}{x_3 (x_3 + 1)}\)
  Man setzt in die linke Seite immer eine Nullstelle ein, während man den zur Nullstelle zugehörigen Faktor im Nenner „zudeckt“. Nachteil: Bei mehrfachen Nullstellen kann man nur den Koeffizienten mit dem höchsten Exponenten ermitteln. Empfohlen wird eine gemischte Anwendung beider Methoden mit „Hand auflegen“ zuerst und dann LGS lösen.

Die Mittelwertsätze der Integralrechnung

Spezialfall (\(g(x) = 1\)): Sei \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\) stetig.
Dann gibt es ein \(\xi \in [a,b]\), sodass \(\int _a^b f(x)\dx = f(\xi ) \cdot (b-a)\).

Lemma: Sei \(g \in R[a,b]\). Dann ist \(G: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\), \(G(x) = \int _a^\xi g(x)\dx \) stetig.

2. Mittelwertsatz der Integralrechnung:
Seien \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\) monoton fallend, \(f \ge 0\) und \(g \in R[a,b]\).
Dann gibt es ein \(\xi \in [a,b]\), sodass \(\int _a^b f(x)g(x)\dx = f(a) \cdot \int _a^\xi g(x)\dx \).

Spezialfall (\(g(x) = 1\)): Sei \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\) monoton fallend und \(f \ge 0\).
Dann gibt es ein \(\xi \in [a,b]\), sodass \(\int _a^b f(x)\dx = f(a) \cdot (\xi - a)\).

Analog lässt sich der Satz für \(f\!\!\uparrow \), \(f \ge 0\) und \(g \in R[a,b]\) formulieren
(\(\exists _{\xi \in [a,b]}\; \int _a^b f(x)g(x)\dx = f(b) \cdot \int _\xi ^b g(x)\dx \)).

Satz (Erweiterung des 2. MWS): Sei \(f\) monoton und beschränkt sowie \(g \in R[a,b]\).
Dann gibt es ein \(\xi \in [a,b]\), sodass \(\int _a^b f(x)g(x) = f(a) \int _a^\xi g(x)\dx + f(b) \int _\xi ^b g(x)\dx \).

Die Mittelwertsätze gelten i. A. nicht für komplex- oder vektorwertige Funktionen (beim komponentenweisen Anwenden können die \(\xi \) unterschiedlich sein).

Zur Substitution der Integrationsvariablen

Satz: Seien \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {K}^n\) und \(\psi : [\alpha ,\beta ] \rightarrow [a,b]\) stetig, \(\psi \) diffb. in \(\left ]\alpha ,\beta \right [\) und \(\psi ’\) stetig in \(\left ]\alpha ,\beta \right [\), wobei \(\psi (\alpha ) = a\) und \(\psi (\beta ) = b\). Außerdem existieren die Grenzwerte \(\lim _{t \to \alpha } \psi ’(t) \in \mathbb {R}\) und \(\lim _{t \to \beta } \psi ’(t) \in \mathbb {R}\), d. h. \(\psi ’\) lässt sich in den Randpunkten stetig fortsetzen.
Dann ist \(\int _a^b f(x)\dx = \int _\alpha ^\beta f(\psi (t)) \psi ’(t)\dt \).

Das Restglied in der Formel von Taylor

Formel von Taylor (Wiederholung): Sei \(f: X \subset \mathbb {K} \rightarrow \mathbb {K}^n\) mit \(X\) offen, wobei \(\overline {x_0 x} \in X\) (\(x = x_0 + h\)) und \(f\) in \(x_0\) \(m\)-fach diffb.
Dann ist \(f(x_0 + h) = f(x_0) + \sum _{k=1}^m\) \(\frac {f^{(k)}(x_0)}{k!}\)\(h^k + r_m(x_0, h)\) mit \(r_m(x_0, h) = o(h^m)\) für \(h \to 0\).

Satz: Sei \(f\) zusätzlich in allen Punkten von \(\overline {x_0 x}\) \((m+1)\)-fach stetig diffb.
Dann ist \(r_m(x_0, h) =\) \(\frac {h^{m+1}}{m!}\) \(\cdot \int _0^1 f^{(m+1)}(x_0 + th) (1 - t)^m \dt \).

Folgerung: \(\Vert r_m(x_0, h) \Vert \le \) \(\frac {|h|^{m+1}}{(m + 1)!}\) \(\cdot \sup _{y \in \overline {x_0 x}} \Vert f^{(m+1)}(y) \Vert \)

Spezialfall: Für Funktionen \(f: X \subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}\) gilt \(r_m(x_0, h) =\) \(\frac {f^{(m+1)}(y)}{(m + 1)!}\)\(h^{m+1}\) für einen bestimmten Punkt \(y \in \overline {x_0 x}\).

Interpolationsformel von Lagrange

Gegeben sei eine Fkt. \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\) und eine Zerlegung \(a’ = x_0 < x_1 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b’\) mit \(a < a’ < b’ < b\). Gesucht wird ein Polynom \(P_n(x)\) mit \(P(x_k) = f(x_k)\) für \(k = 0, \ldots , n\), wobei \(\deg P_n \le n\).

Eine Lösung existiert in der Form \(P_n(x) = \sum _{k=0}^n f(x_k)q_k(x)\) mit \(q_k(x_\ell ) = 0\) für \(\ell \not = k\) und \(q_k(x_\ell ) = 1\) für \(\ell = k\).
Die \(q_k\) sind Polynome vom Grad \(\le n\):  \(q_k(x) =\) \(\frac {(x - x_0) \cdots (x - x_{k-1}) (x - x_{k+1}) \cdots (x - x_n)} {(x_k - x_0) \cdots (x_k - x_{k-1}) (x_k - x_{k+1}) \cdots (x_k - x_n)}\).

Satz (Fehlerabschätzung): Sei \(f\) \((n+1)\)-mal stetig diffb.
Dann gilt \(\forall _{x \in [a’,b’]} \exists _{\eta _x \in [a’,b’]}\; f(x) - P_n(x) =\) \(\frac {f^{(n+1)}(\eta _x)}{(n + 1)!}\) \((x - x_0) \cdots (x - x_n)\).

Anwendungen der Differential- und Integralrechnung

Länge und Krümmung einer Kurve

Seien \(\varphi : [a,b] \rightarrow \mathbb {R}^n\) und \(\Gamma _\varphi = \varphi ([a,b])\).

einfache Kurve: Sei \(\varphi \) stetig und injektiv. Dann erzeugt \(\varphi \) die einfache Kurve \(\Gamma _\varphi \).

geschlossene Kurve: Sei \(\varphi \) stetig, \(\varphi |_{\left [a,b\right [}\) injektiv und \(\varphi (a) = \varphi (b)\).
Dann erzeugt \(\varphi \) die geschlossene Kurve \(\Gamma _\varphi \).

Jordansche Kurve: Einfache/geschlossene Kurven werden Jordansche Kurven genannt.

Jordansche Kurve der Klasse \(C^p\): \(\varphi \) erzeuge eine Jordansche Kurve \(\Gamma _\varphi \).
Ist zusätzlich \(\varphi \) \(p\)-fach stetig diffb., \(\varphi ^{(k)}\) für \(k = 0, \ldots , p\) stetig auf \([a,b]\) fortsetzbar sowie \(\varphi ’(t) \not = 0\) für alle \(t \in [a,b]\), so erzeugt \(\varphi \) eine Jordansche Kurve der Klasse \(C^p\).

\(\varphi : [a,b] \rightarrow \mathbb {R}^n\) erzeuge die Jordansche Kurve \(\Gamma _\varphi \). Für jede Zerlegung \(\delta = \{x_k\}_{k=0}^m\) von \([a,b]\) kann man die Länge \(\ell ^\delta \) des zugehörigen Polygonzugs definieren als \(\ell ^\delta = \sum _{k=1}^m \Vert \varphi (x_k) - \varphi (x_{k-1}) \Vert \).
Für eine Zerlegung \(\delta ’\) mit \(\delta \subset \delta ’\) gilt \(\ell ^\delta \le \ell ^{\delta ’}\) (aufgrund Dreiecksungleichung).

Die Kurve \(\Gamma _\varphi \) ist rektifizierbar, falls \(L(\Gamma _\varphi ) = \sup _\delta \ell ^\delta \) endlich ist.
\(L(\Gamma _\varphi ) = \sup _\delta \ell ^\delta \) heißt dann die Bogenlänge der Kurve \(\Gamma _\varphi \).

Satz: \(\varphi : [a,b] \rightarrow \mathbb {R}^n\) erzeuge die Jordansche Kurve \(\Gamma _\varphi \) der Klasse \(C^1\).
Dann ist \(\Gamma _\varphi \) rektifizierbar und \(L(\Gamma _\varphi ) = \int _a^b \Vert \varphi ’(t) \Vert \dt \).

Kanon. Parametrisierung: \(\varphi : [a,b] \rightarrow \mathbb {R}^n\) erzeuge die Jordansche Kurve \(\Gamma _\varphi \) der Klasse \(C^1\).
Sei \(S: [a,b] \rightarrow [0, L(\Gamma _\varphi )]\) mit \(S(t) = L(\Gamma _t) = L(\varphi ([a,t])) = \int _a^t \Vert \varphi ’(\tau ) \Vert d \tau \).
Es gilt \(S’(t) = \Vert \varphi ’(t) \Vert > 0\) und daher \(S\!\!\upuparrows \), \(S\) stetig.
Also ist \(S\) bijektiv mit der stetigen Umkehrfunktion \(S^{-1}: [0, L(\Gamma _\varphi )] \rightarrow [a,b]\).
\(r: [0, L(\Gamma _\varphi )] \rightarrow \mathbb {R}^n\), \(r(s) = \varphi (S^{-1}(s))\) ist dann eine neue Parametrisierung und wird kanonische Parametrisierung genannt. Das Kurvenstück zu \(r|_{[0,s]}\) besitzt die Bogenlänge \(s\).
\(r\) ist stetig diffb. und \(\Gamma _r\) ist eine Jordansche Kurve der Klasse \(C^1\).
\(\tau : \left ]0, L(\Gamma _\varphi )\right [ \rightarrow \mathbb {R}^n\), \(\tau (s) = r’(s) =\) \(\frac {\varphi ’(t)}{\Vert \varphi ’(t) \Vert }\) ist der Tangentialvektor im Punkt \(s\) (Länge \(1\)).

Krümmung: Gilt zusätzlich \(\varphi \in C^2\), so ist \(\kappa (s) = \tau ’(s)\) der Krümmungsvektor,
\(K(s) = \Vert \kappa (s) \Vert \) die Krümmung und \(\rho (s) =\) \(\frac {1}{K(s)}\) der Krümmungsradius.

Lemma: \(\kappa (s) \;\bot \; \tau (s)\)

Krümmungsvektor: \(\kappa (s) =\) \(\frac {\varphi ’’(t) \cdot \Vert \varphi ’(t) \Vert ^2 - \varphi ’(t) \cdot \langle \varphi ’(t), \varphi ’’(t) \rangle } {\Vert \varphi ’(t) \Vert ^4}\) ist der Krümmungsvektor an \(\Gamma _\varphi \) im Punkt \(r(s) = \varphi (t)\) (\(s = S(t)\)).

Krümmung einer Kurve im \(\mathbb {R}^3\): \(\kappa (s) =\) \(\frac {[\varphi ’(t), [\varphi ’’(t), \varphi ’(t)]]} {\Vert \varphi ’(t) \Vert ^4}\),  \(K(s) =\) \(\frac {\Vert [\varphi ’’(t), \varphi ’(t)] \Vert } {\Vert \varphi ’(t) \Vert ^3}\)

Flächen und Volumina

Seien \(X \subset \mathbb {R}^2\), \(P’, P’’\) Vielecke mit \(P’ \subset X \subset P’’\) und \(A(P’)\) bzw. \(A(P’’)\) der Flächeninhalt von \(P’\) bzw. \(P’’\). Dann heißen \(S_\ast = \sup _{P’ \subset X} A(P’)\) bzw. \(S^\ast = \inf _{P’’ \supset X} A(P’’)\) innerer bzw. äußerer Flächeninhalt von \(X\).

Eine Menge \(X \subset \mathbb {R}^2\) heißt quadrierbar, falls \(S_\ast = S^\ast =: A(X)\).

Lemma: Sind \(X_1, X_2 \subset \mathbb {R}^2\) quadrierbar mit \(X_1 \cap X_2 = \emptyset \), so ist auch \(X_1 \cup X_2\) quadrierbar und \(A(X_1 \cup X_2) = A(X_1) + A(X_2)\).

Fläche unter einer Kurve: Seien \(f: [a,b] \rightarrow \left [0, +\infty \right [\) stetig und
\(X = \{(x, y) \in \mathbb {R}^2 \;|\; x \in [a,b],\; 0 \le y \le f(x)\}\).
Dann ist \(X\) quadrierbar und \(A(X) = \int _a^b f(x)\dx \).

Fläche mit Polarkoordinaten: Seien \(f: [\alpha ,\beta ] \subset [0,2\pi ] \rightarrow \left [0,+\infty \right [\) stetig, \((r, \varphi )\) Polarkoordinaten in \(\mathbb {R}^2\) und \(X = \{(r, \varphi ) \;|\; \varphi \in [\alpha ,\beta ],\; 0 \le r \le f(\varphi )\}\).
Dann ist \(X\) quadrierbar und \(A(X) = \frac {1}{2} \int _\alpha ^\beta f^2(\varphi ) d\varphi \).

Fläche zwischen zwei Kurven: Seien \(f_1, f_2: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\) stetig mit \(f_1(x) \le f_2(x)\) für alle \(x \in [a,b]\) und \(X = \{(x,y) \in \mathbb {R}^2 \;|\; x \in [a,b],\; f_1(x) \le y \le f_2(x)\}\).
Dann ist \(X\) quadrierbar und \(A(X) = \int _a^b (f_2(x) - f_1(x))\dx \).

Man schreibt auch \(A(X) = \int _a^b (f_2(x) - f_1(x))\dx = \int _a^b f_2(x)\dx + \int _b^a f_1(x)\dx = -\oint y\dx = \oint x\dy \) (für \(\oint \) bzw. \(-\oint \) kann man auch einen Pfeil gegen den bzw. im Uhrzeigersinn schreiben).

Volumen: beliebige Körper: \(V := \int _a^b A(x)\dx \) (\(A(x_0)\) ist die Querschnittsfläche bei \(x = x_0\))
Rotationskörper: \(A(x) = \pi f^2(x)\), \(V = \pi \int _a^b f^2(x)\dx \)

Oberfläche von Rotationskörpern: \(F = 2\pi \int _a^b f(x) \sqrt {1 + (f’(x))^2}\dx \)

Schwerpunkt einer Kurve: Sei ein System von Massepunkten \(\{x_i, y_i\}\) mit den Massen \(m_i\) gegeben. Dann liegt der Schwerpunkt \(S\) bei \(x_S :=\) \(\frac {\sum m_i x_i}{\sum m_i} = \frac {M_x}{M}\) und \(y_S :=\) \(\frac {\sum m_i y_i}{\sum m_i} = \frac {M_y}{M}\).
Überträgt man das auf eine Jordansche Kurve \(\Gamma \) der Klasse \(C^1\) (die Masse eines Kurvenstücks soll proportional zu dessen Länge sein), wobei \(r(s) = (x(s), y(s))\) die kanonische Parametrisierung ist, so definiert man \(x_S :=\) \(\frac {\int _0^{L(\Gamma )} x(s)\ds }{L(\Gamma )} = \frac {M_y}{M}\) sowie \(y_S :=\) \(\frac {\int _0^{L(\Gamma )} y(s)\ds }{L(\Gamma )} = \frac {M_x}{M}\).

1. Guldinsche Regel: \(2\pi y_s \cdot L(\Gamma ) = 2\pi \int _0^{L(\Gamma )} y\ds \), wobei \(2\pi y_s\) die Weglänge des Schwerpunkts bei Rotation um die \(x\)-Achse und \(2\pi \int _0^{L(\Gamma )} y\ds \) die Oberfläche des Rotationskörpers ist.

Schwerpunkt einer Fläche: Sei \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\) mit \(f \ge 0\) eine Funktion, dann definiert man den Schwerpunkt \(S\) mit \(x_S :=\) \(\frac {\int _a^b xf(x)\dx }{A(X)}\) und \(y_S :=\) \(\frac {\frac {1}{2} \int _a^b f^2(x)\dx }{A(X)}\), wobei \(A(X) = \int _a^b f(x)\dx \) der Flächeninhalt des betrachteten Gebiets \(X\) (Fläche zwischen der Kurve von \(f\) und der \(x\)-Achse).

2. Guldinsche Regel: \(2\pi y_s \cdot A(X) = \pi \int _a^b f^2(x)\dx \), wobei \(2\pi y_s\) die Weglänge des Schwerpunkts bei Rotation um die \(x\)-Achse und \(\pi \int _a^b f^2(x)\dx \) das Volumen des Rotationskörpers ist.

Interpolationsformeln und numerische Integration

Seien \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\) und \(\delta = \{x_k\}_{k=0}^n\) eine äquidistante Zerlegung, also \(x_0 = a\), \(x_n = b\) und \(x_k = a + kh\) mit \(h =\) \(\frac {b - a}{n}\). Wähle \(\xi = \{\xi _k\}_{k=1}^n\) mit \(\xi _k =\) \(\frac {x_{k-1} + x_k}{2}\) als äquidistanten Satz von Stützstellen.

die Rechteckformel (stückweise Approximation mit \(P_0\)):
Auf jedem \(\Delta _k\) wird \(f\) durch das konstante Polynom \(P_0(x) = f(\xi _k)\) für \(k = 1, \ldots , n\) approximiert.
Dann wird die Rechteckformel durch \(\int _a^b f(x)\dx = \sum _{k=1}^n \int _{x_{k-1}}^{x_k} f(x)\dx \approx \sum _{k=1}^n \int _{x_{k-1}}^{x_k} P_0(x)\dx = \sum _{k=1}^n f(\xi _k) h =\) \(\frac {b - a}{n}\) \(\sum _{k=1}^n f(\xi _k) := I_R\) hergeleitet.

Fehlerabschätzung: Ist \(f \in C^2([a,b])\), so ist \(\left |\int _a^b f(x)\dx - I_R\right | \le \) \(\frac {(b - a)^3}{24n^2}\) \(\max _{x \in [a,b]} |f’’(x)|\),
d. h. der Fehler verhält sich wie \(\mathcal {O}(\frac {1}{n^2})\) für \(n \to \infty \).

die Trapezformel (stückweise Approximation mit \(P_1\)):
Auf jedem \(\Delta _k\) wird \(f\) durch das Lagrange-Polynom ersten Grades
\(P_1(x) =\) \(\frac {x - x_k}{x_{k-1} - x_k}\) \(f(x_{k-1}) \;+\) \(\frac {x - x_{k-1}}{x_k - x_{k-1}}\) \(f(x_k)\) approximiert (\(P_1\) geht durch \(x_{k-1}\) und \(x_k\)).
Dann wird die Trapezformel durch \(\int _a^b f(x)\dx = \sum _{k=1}^n \int _{x_{k-1}}^{x_k} f(x)\dx \approx \sum _{k=1}^n \int _{x_{k-1}}^{x_k} P_1(x)\dx = \sum _{k=1}^n\) \(\frac {f(x_{k-1}) + f(x_k)}{2}\) \(\cdot \; h =\) \(\frac {b - a}{n}\) \(\cdot \; \Big (\)\(\frac {f(a) + f(b)}{2}\) \(+\; f(x_1) + \cdots + f(x_{n-1})\Big ) =: I_T\) hergeleitet.

Fehlerabschätzung: Ist \(f \in C^2([a,b])\), so ist \(\left |\int _a^b f(x)\dx - I_T\right | \le \) \(\frac {(b - a)^3}{12n^2}\) \(\max _{x \in [a,b]} |f’’(x)|\),
d. h. der Fehler verhält sich wie \(\mathcal {O}(\frac {1}{n^2})\) für \(n \to \infty \).

die Simpsonsche Regel (stückweise Approximation mit \(P_2\)):
Auf jedem \(\Delta _k\) wird \(f\) durch das Lagrange-Polynom zweiten Grades
\(P_2(x) =\) \(\frac {(x - \xi _k)(x - x_k)} {(x_{k-1} - \xi _k)(x_{k-1} - x_k)}\) \(f(x_{k-1}) \;+\) \(\frac {(x - x_{k-1})(x - x_k)} {(\xi _k - x_{k-1})(\xi _k - x_k)}\) \(f(\xi _k) \;+\) \(\frac {(x - x_{k-1})(x - \xi _k)} {(x_k - x_{k-1})(x_k - \xi _k)}\) \(f(x_k)\)
approximiert (\(P_2\) geht durch \(x_{k-1}\), \(\xi _k\) und \(x_k\)).
Dann wird die Simponsche Regel durch \(\int _a^b f(x)\dx = \sum _{k=1}^n \int _{x_{k-1}}^{x_k} f(x)\dx \approx \sum _{k=1}^n \int _{x_{k-1}}^{x_k} P_2(x)\dx \)
\(= \sum _{k=1}^n (f(x_{k-1}) + 4f(\xi _k) + f(x_k)) \;\cdot \) \(\frac {h}{6}\) \(=\)
\(\frac {b - a}{6n}\) \(\cdot \Big (f(a) + f(b) + 2 \cdot \big (f(x_1) + \cdots + f(x_{n-1})\big ) + 4 \cdot \big (f(\xi _1) + \cdots + f(\xi _n)\big )\Big ) =: I_S\) hergeleitet.

Fehlerabschätzung: Ist \(f \in C^4([a,b])\), so ist \(\left |\int _a^b f(x)\dx - I_S\right | \le \) \(\frac {(b - a)^5}{2880n^4}\) \(\max _{x \in [a,b]} |f^{(4)}(x)|\),
d. h. der Fehler verhält sich wie \(\mathcal {O}(\frac {1}{n^4})\) für \(n \to \infty \).