Funktionalanalysis 2 – Der Satz von Stone

Bemerkung: Im Folgenden seien \(H\) ein Hilbertraum und \(A\colon D(A) \to H\) ein linearer Operator.

Adjungierter Operator

symmetrisch: \(A\) heißt symmetrisch, falls \(\forall _{x, y \in D(A)}\; \innerproduct {Ax, y} = \innerproduct {x, Ay}\).

Adjungierte: Sei \(A\) dicht definiert.
Dann heißt der Operator \((A^\ast , D(A^\ast ))\) mit \(D(A^\ast ) := \{y \in H \;|\; \exists _{y^\ast \in H} \forall _{x \in D(A)}\; \innerproduct {Ax, y} = \innerproduct {x, y^\ast }\}\) und \(A^\ast y := y^\ast \) für \(y \in D(A^\ast )\) der zu \(A\) adjungierte Operator.

Bemerkung: Für \(y \in D(A^\ast )\) ist \(y^\ast \in H\) mit \(\forall _{x \in D(A)}\; \innerproduct {Ax, y} = \innerproduct {x, y^\ast }\) wegen \(D(A^\ast )\) dicht in \(H\) eindeutig bestimmt. \((A^\ast , D(A^\ast ))\) ist ein linearer Operator auf \(H\).

Lemma (Eigenschaften von \(A^\ast \)): Sei \(A\) dicht definiert. Dann gilt:

\(A^\ast \) ist abgeschlossen.
Ist \(A\) symmetrisch, dann gilt \((A, D(A)) \subset (A^\ast , D(A^\ast ))\).

Selbstadjungierte Operatoren

Abschließung: \(A\) heißt abschließbar, falls es eine abgeschlossene Erweiterung von \(A\) gibt.
In diesem Fall heißt die kleinste abgeschlossene Erweiterung \((\overline {A}, D(\overline {A}))\) Abschließung von \(A\).

selbstadjungiert: Sei \(A\) dicht definiert.
Dann heißt \(A\) selbstadjungiert, falls \((A, D(A)) = (A^\ast , D(A^\ast ))\).

wesentlich selbstadjungiert: Sei \(A\) symmetrisch und dicht definiert.
Dann heißt \(A\) wesentlich selbstadjungiert, falls \((\overline {A}, D(\overline {A}))\) selbstadjungiert ist.

Bemerkung: Nach dem Lemma von eben ist jeder symmetrische, dicht definierte Operator \(A\) abschließbar, wobei \((\overline {A}, D(\overline {A})) \subset (A^\ast , D(A^\ast ))\). Jeder selbstadjungierte Operator ist symmetrisch (wegen \(\forall _{x, y \in D(A)}\; \innerproduct {Ax, y} = \innerproduct {x, A^\ast y} = \innerproduct {x, Ay}\)) und abgeschlossen.

Lemma (Bild von \((A - \lambda )\)): Sei \(A\) dicht definiert. Dann gilt \(\forall _{\lambda \in \complex }\; (\Bild (A - \lambda ))^{\orth } = \Kern (A^\ast - \overline {\lambda })\).

Satz (Spektrum von selbstadj. Operatoren reell): Sei \(A\) selbstadjungiert. Dann ist \(\sigma (A) \subset \real \).

Satz (Charakterisierung von Selbstadjungiertheit): Sei \(A\) symmetrisch und dicht definiert.
Dann sind äquivalent:

\(A\) ist selbstadjungiert.
Es gilt \(\exists _{\lambda \in \complex }\; \Bild (A - \lambda ) = H = \Bild (A - \overline {\lambda })\).

In diesem Fall gilt \(\forall _{\lambda \in \complex \setminus \real }\; \Bild (A - \lambda ) = H\).

Beispiel: Im Folgenden wird gezeigt, dass \((\Delta , H^2(\real ^n))\) auf \(L^2(\real ^n)\) selbstadjungiert ist.
Wegen partieller Integration gilt \(\innerproduct {\Delta u, v}_{L^2} = \int _{\real ^n} \Delta u \overline {v} \dx = \int _{\real ^n} u \overline {\Delta v} \dx = \innerproduct {u, \Delta v}_{L^2}\), d. h. \(\Delta \) ist symmetrisch. Seien nun \(\lambda \in \complex \setminus \real \) und \(f \in L^2(\real ^n)\) und betrachte \(\Delta u - \lambda u = f\). Mit Fouriertransformation gilt \(u(x) = (2\pi )^{-n/2} \int _{\real ^n} \left (-\frac {\widehat {f}(k)}{\lambda + k^2}\right ) e^{\iu \innerproduct {k, x}} dk\) (der Nenner verschwindet nicht, da \(\Im (\lambda ) \not = 0\)), daraus folgt, dass es eine Lösung \(u \in H^2(\real ^n)\) gibt. Mit dem Satz von eben folgt, dass \((\Delta , H^2(\real ^n))\) selbstadjungiert ist.

Satz von Stone

unitär: Sei \(U \in \Lin (H)\). Dann heißt \(U\) unitär, falls \(U\) bijektiv ist und \(U^\ast = U^{-1}\).

Lemma (Charakterisierung von Unitärität):
\(U \in \Lin (H)\) ist unitär genau dann, wenn \(U\) eine surjektive Isometrie ist.

Satz (Satz von Stone):
Sei \(A\) ein dicht definierter, linearer Operator auf einem Hilbertraum \(H\).
\(A\) ist Erzeuger einer \(\C _0\)-Gruppe \((U(t))_{t \in \real }\) von unitären Operatoren auf \(H\) genau dann, wenn \(\iu A\) selbstadjungiert ist.

Lemma (Fall \(A, A^\ast \) dissipativ und abg.):
Sei \((A, D(A))\) ein dicht definierter, abgeschlossener, linearer Operator auf \(H\).
Sind sowohl \(A\) als auch \(A^\ast \) dissipativ, dann ist \(A\) der Erzeuger einer Kontraktions-HG auf \(H\).

Beispiel: Wegen dem Satz von Stone und obigem Beispiel erzeugt \(A := \iu \Delta \) eine \(\C _0\)-Gruppe von unitären Operatoren. Insbesondere ist die sogenannte lineare Schrödinger-Gleichung \(\partial _t u = \iu \Delta u\) und \(u(t = 0) = u_0\) lösbar in \(H^2\) und die \(L^2\)-Norm der Lösung bleibt erhalten (kann man mit der Fouriertransformation auch direkt nachrechnen).