Lineare Algebra und Analytische Geometrie 2 – Mehr über Faktorräume und Körper

Die Isomorphiesätze

Bemerkung: Im Folgenden sind \(V, W, U\) (nicht notwendigerweise endlich-dimensionale)
\(K\)-Vektorräume. Die Isomorphiesätze gelten mit kleinen Änderungen auch für Gruppen, Ringe, \(K\)-Algebren usw.

faktorisiert: Ein Homomorphismus \(f: V \rightarrow W\) faktorisiert über \(U\), falls es Homomorphismen \(g: V \rightarrow U\) und \(h: U \rightarrow W\) gibt, sodass \(f = h \circ g\) ist. Man sagt, dass das entsprechende Diagramm dann kommutiert.

Satz (1. Isomorphiesatz): Seien \(f: V \rightarrow W\) ein Homomorphismus und \(U \ur \ker f\).
Dann faktorisiert \(f\) eindeutig über \(V/U\), genauer: Es gibt genau einen Homomorphismus
\(\widetilde {f}: V/U \rightarrow W\), sodass \(\widetilde {f} \circ \pi = f\) ist, wobei \(\pi : V \rightarrow V/U\) die natürliche Projektion ist (es gilt \(\widetilde {f}(v + U) = f(v)\)). Darüber hinaus gilt \(\im f = \im \widetilde {f}\) sowie \(\ker \widetilde {f} = (\ker f)/U \ur V/U\).

Folgerung: Sei \(f: V \rightarrow W\) ein Homomorphismus.
Dann induziert \(f\) einen Monomorphismus \(\widetilde {f}: V/\ker f \rightarrow W\). Insbesondere sind \(V/\ker f\) und \(\im f\) isomorph (der Isomorphismus ist gegeben durch \(\widetilde {f}: V/\ker f \rightarrow \im f\)).

Folgerung: Sei \(f: V \rightarrow W\) ein Homomorphismus. Dann ist \(\dim _K V = \dim _K \im f + \dim _K \ker f\) (insbesondere ist \(\dim _K V = \dim _K W + \dim _K \ker f\), falls \(f\) ein Epimorphismus ist).

Satz (Folgerung aus 1. Isomorphiesatz): Seien \(f: V \rightarrow W\) ein Homomorphismus und \(X \ur W\).
Dann ist \(f^{-1}(X) = \{v \in V \;|\; f(x) \in X\}\) ein Unterraum von \(V\), der \(\ker f\) enthält.
Gilt sogar \(X \ur \im f\), dann ist \(f^{-1}(X) / \ker f \cong X\) und \(X \mapsto f^{-1}(X)\) ist eine inklusionserhaltende Bijektion zwischen der Menge der Unterräume von \(\im f\) und der Menge der Unterräume von \(V\), die \(\ker f\) enthalten. Diese Inklusion respektiert Summe und Durchschnitt von Unterräumen.

Satz (2. Isomorphiesatz): Seien \(U, W \ur V\), dann ist \((U + W)/U \cong W/(U \cap W)\).

Satz (3. Isomorphiesatz): Sei \(U \ur W \ur V\).
Dann ist \(W/U \ur V/U\) sowie \((V/U)\big /(W/U) \cong V/W\).

Satz (Kor): Seien \(f: V \rightarrow W\) ein Homomorphismus, \(U = \ker f \ur V\) und \(U’\) ein Komplement von \(U\) in \(V\) (d. h. \(U \oplus U’ = V\)).
Dann ist \(f\) auf \(U’\) eingeschränkt ein Isomorphismus von \(U’\) auf \(\im f\).
Ist insbesondere \(\basis {A} = (v_1, \ldots , v_k, v_{k+1}, \ldots , v_n)\) eine Basis von \(V\), sodass \((v_1, \ldots , v_k)\) eine Basis von \(U’\) und \((v_{k+1}, \ldots , v_n)\) eine Basis von \(U\) ist, so ist \((f(v_1), \ldots , f(v_k))\) eine Basis von \(\im f\).

Mehr über Körper

Lemma (ggT): Seien \(p, q \in \natural \) sowie \(d \in \natural \) der ggT von \(p\) und \(q\).
Dann gibt es \(a, b \in \integer \), sodass \(ap + bq = d\) ist.

Satz (Restklassenkörper): \(\integer /(n)\) ist ein Körper genau dann, wenn \(n\) eine Primzahl ist.

Unterkörper: Eine Teilmenge \(F \subseteq K\) eines Körpers \(K\) heißt Unterkörper von \(K\), wenn \(F\) mit der Addition und mit der Multiplikation von \(K\) eingeschränkt auf \(F\) wieder einen Körper bildet. Es gilt \(1_F = 1_K\) sowie \(0_F = 0_K\).

Lemma (kleinster Unterkörper): Jeder Körper \(K\) besitzt einen kleinsten Unterkörper, d. h. einen Unterkörper, der in jedem Unterkörper enthalten ist (dieser kleinste Unterkörper ist der Durchschnitt aller Unterkörper).

Primkörper: Den kleinsten Unterkörper eines Körpers \(K\) nennt man Primkörper von \(K\).

Lemma (\(\rational \), \(\integer /(n)\) haben keine echten Unterkörper): Die Körper \(\rational \) und \(\integer /(n)\) haben keine echten Unterkörper und sind daher ihre eigenen Primkörper.

Charakteristik: Die Charakteristik \(\characteristic (K)\) eines Körpers \(K\) ist definiert als
\(\characteristic (K) = p \in \natural \), falls \(p\) die kleinste natürliche Zahl ist mit \(\overbrace {1_K + \ldots + 1_K}^{p-\text {mal}} = 0_K\)
und \(\characteristic (K) = 0\), falls es keine solche Zahl gibt.
Ist \(\characteristic (K) = p > 0\), so ist \(p\) eine Primzahl.

Satz (\(\rational \), \(\integer /(n)\) als einzige Primkörper): Sei \(K\) ein Körper.
Ist \(\characteristic (K) = 0\), dann ist der Primkörper von \(K\) isomorph zu \(\rational \).
Ist \(\characteristic (K) = p > 0\), dann ist der Primkörper von \(K\) isomorph zu \(\integer /(p)\).

Lemma (\(|K| = p^n\)): Ist \(K\) ein endlicher Körper, so ist \(|K| = p^n\) für eine Primzahl \(p\), \(n \in \natural \).