Algebra – Gruppen | Vorlesungsmitschriebe

Gruppen, Homomorphismen, Untergruppen

Gruppe: Eine Gruppe \((G, \ast )\) ist eine Menge \(G\) mit einer Abbildung
\(\ast \colon G \times G \rightarrow G\), \((g_1, g_2) \mapsto g_1 \ast g_2\), sodass gilt:

Assoziativität: \(\forall _{g_1, g_2, g_3 \in G}\; g_1 \ast (g_2 \ast g_3) = (g_1 \ast g_2) \ast g_3\)
neutrales Element: \(\exists _{e \in G} \forall _{g \in G}\; e \ast g = g = g \ast e\)
inverse Elemente: \(\forall _{g \in G} \exists _{h = g^{-1} \in G}\; g \ast h = e = h \ast g\)

endlich, abelsch, zyklisch: Eine Gruppe \((G, \ast )\) heißt

endlich, falls \(G\) eine endliche Menge ist,
abelsch (kommutativ), falls \(\forall _{g_1, g_2 \in G}\; g_1 \ast g_2 = g_2 \ast g_1\), und
zyklisch, falls \(\exists _{g \in G}\; G = \{g^n \;|\; n \in \integer \}\)
(dabei ist \(g^n = g \ast \dotsb \ast g\), \(g^0 = e\) und \(g^{-n} = g^{-1} \ast \dotsb \ast g^{-1}\) für \(n \in \natural \)).

Gruppenhomomorphismus: Seien \((G, \ast _G)\) und \((H, \ast _H)\) Gruppen. Eine Abbildung
\(\varphi \colon G \rightarrow H\) heißt Gruppenhomomorphismus, falls \(\forall _{g, g’ \in G}\; \varphi (g \ast _G g’) = \varphi (g) \ast _H \varphi (g’)\).

Bemerkung: Das neutrale Element einer Gruppe \((G, \cdot )\) ist eindeutig, denn sind \(e\) und \(e’\) neutrale Elemente, so gilt \(e = e \cdot e’ = e’\).
Genauso ist das zu \(g\) inverse Element eindeutig, denn sind \(h\) und \(h’\) invers zu \(g\), so gilt
\(g \cdot h = e = h’ \cdot g\), daraus folgt \(h = e \cdot h = (h’ \cdot g) \cdot h = h’ \cdot (g \cdot h) = h’ \cdot e = h’\).

Beispiel: Die kleinste Gruppe ist \(G = \{e\}\) mit \(e \cdot e := e\) (\(G = \emptyset \) ist keine Gruppe, da kein neutrales Element vorhanden ist).
Eine bekannte Gruppe ist \((\integer , +)\) mit \(e := 0\) und \(g^{-1} := -g\). Sie ist zyklisch (z. B. mit \(g = 1\) in obiger Definition). Dagegen ist \((\integer , \cdot )\) keine Gruppe, weil \(0\) kein inverses Element besitzt.
Ist \(X\) eine Menge, dann ist \(S(X) := \{f \colon X \rightarrow X \;|\; f\text { bijektiv}\}\) eine Gruppe mit \(f \ast g := g \circ f\) und \(e := \id _X\). Speziell ergibt sich für \(X = \{1, \dotsc , n\}\) die symmetrische Gruppe \(\Sigma _n := S(X)\) der Permutationen von \(n\) Elementen.
Ist \(V\) ein \(K\)-Vektorraum, dann ist \(\GL (V) = \{f \colon V \rightarrow V \;|\; f\text { linear, bijektiv}\}\) eine Gruppe, ähnlich wie eben \(S(X)\). Für \(\dim V = n\) ist \(V \simeq K^n\) und \(\GL (V) \simeq \GL _n\) mit \(\GL _n\) der Gruppe der invertierbaren \(n \times n\)-Matrizen mit Einträgen in \(K\).
Für ein gleichseitiges Dreieck entspricht die Symmetriegruppe (Drehungen und Spiegelungen an Mittelsenkrechten, die jeden Punkt wieder auf einen Punkt überführen) \(\Sigma _3\). Die Symmetriegruppe eines Quadrates ist dagegen eine echte Teilmenge von \(\Sigma _4\), d. h. es gibt Permutationen der Ecken, die man nicht mit Drehungen und Spiegelungen erreichen kann.

Untergruppe: Sei \((G, \ast )\) eine Gruppe.
Eine Teilmenge \(H \subset G\) heißt Untergruppe von \((G, \ast )\) (\(H < G\)), falls \((H, \ast )\) eine Gruppe ist.
Das bedeutet: \(\forall _{h_1, h_2 \in H}\; h_1 \ast h_2 \in H\), \(e \in H\) und \(\forall _{h \in H}\; h^{-1} \in H\).

Beispiel: \(H = (n\integer , +)\) ist eine Untergruppe von \(G = (\integer , +)\) für festes \(n \in \natural \).
Es gilt \(g \in H \iff n \;|\; g\). Ist \(a \in \integer \), so kann man Division mit Rest durchführen, d. h. \(a = bn + r\) mit \(0 \le |r| < n\). Damit kann man \(\integer \) in disjunkte Mengen aufteilen:
\(\integer = (n\integer ) \dcup (n\integer + 1) \dcup \dotsb \dcup (n\integer + (n - 1))\).

Nebenklassen und Normalteiler

Nebenklasse: Seien \((G, \ast )\) eine Gruppe, \(H < G\) und \(x \in G\). Die Menge \(xH := \{x \ast h \;|\; h \in H\}\) heißt Linksnebenklasse von \(x\). Entsprechend heißt \(Hx := \{h \ast x \;|\; h \in H\}\) Rechtsnebenklasse.

Bemerkung: Für \(x \in H\) gilt \(xH = \{x \ast h \;|\; h \in H\} = H\).
Für \(x \notin H\) gibt es eine Bijektion zwischen \(H\) und \(xH\) (\(h \mapsto xh\)). Damit sind alle Linksnebenklassen gleich groß (bijektiv aufeinander abbildbar).
Für \(x, y \in G\) gilt \(xH = yH\) oder \(xH \cap yH = \emptyset \) (daraus folgt, dass es eine Partition von \(G = \bigdcup x_i H\) für gewisse \(x_i \in G\) gibt).
Definiert man \(x \sim _H y\) für \(xH = yH\) (\(\!\!\iff y^{-1} x \in H\)), so ist \(\sim _H\) eine Äquivalenzrelation, deren Äquivalenzklassen genau die Linksnebenklassen von \(H\) sind (analog Rechtsnebenklassen).
Im Beispiel \(G = \integer \), \(H = n\integer \) ist \(x \sim _H y \iff x - y \in H \iff x \equiv y \mod n\).
Hier ist \(\integer /n\integer \) wieder eine Gruppe (\(\overline {a} + \overline {b} := (a + b) + n\integer \) für \(\overline {a} = a + n\integer \) und \(\overline {b} = b + n\integer \)).
Im Allgemeinen bilden die Linksnebenklassen jedoch keine Gruppe:
Für \(H < G\) ist \((xH) \ast (yH) := (x \ast y)H\) i. A. nicht wohldefiniert.

Beispiel: Ein Beispiel dafür ist \(G = \Sigma _3\) und \(H = \{\id , (1 2)\}\).
Es gibt die drei Linksnebenklassen \(H = \id H\), \((2 3)H = \{(2 3), (1 2 3)\}\) und \((1 3)H = \{(1 3), (1 3 2)\}\).
Damit ist \(\Sigma _3 = H \dcup (2 3)H \dcup (1 3)H\). \((23)H \ast (13)H\) ist mit obiger Verknüpfung nicht wohldefiniert, denn \((23)(13) = (132) \in (13)H\) und \((123)(13) = (12) \in H\), aber \((13)H \cap H = \emptyset \).
Verschiedene Repräsentanten liefern also verschiedene Ergebnisse.

Normalteiler: Sei \(H < G\). \(H\) heißt normal (Normalteiler, \(H \nt G\)), falls \(\forall _{g \in G}\; gH = Hg\).

Bemerkung: Es gilt \(gH = Hg \iff gHg^{-1} = H \iff \forall _{h \in H}\; ghg^{-1} \in H\).

Proposition (Faktorgruppe):

Seien \(N \nt G\) und \(G/N := \{gN \;|\; g \in G\}\) die Menge der Linksnebenklassen.
Dann ist \(G/N\) eine Gruppe mit der Multiplikation \(g_1 N \ast g_2 N := (g_1 \ast g_2) N\).
\(G/N\) heißt Faktorgruppe oder Quotientengruppe.
Seien \(\varphi \colon G \rightarrow G’\) surjektiver Gruppenhomomorphismus,
\(H = \Kern (\varphi ) := \{g \in G \;|\; \varphi (g) = e_{G’}\}\). Dann ist \(H \nt G\) und \(G/H \simeq G’\).

Bemerkung: Teil (a) besagt, dass \(G/H\) eine Gruppe ist, falls \(H \nt G\).
Andersherum: Ist \(H < G\), sodass \(G/H\) eine Gruppe ist, so ist \(\varphi \colon G \rightarrow G/H\), \(g \mapsto gH\) ein surjektiver Gruppenhomomorphismus, d. h. \(H = \Kern (\varphi ) \nt G\) nach Teil (b).
Also gilt: \(G/H\) ist eine Gruppe genau dann, wenn \(H \nt G\).

Beispiel: In einer abelschen Gruppe ist jede Untergruppe ein Normalteiler (z. B. \(n\integer \nt \integer \)).
Ist \(H < G\), sodass es genau zwei Nebenklassen gibt, so gilt ebenfalls \(H \nt G\), denn die Nebenklassen sind \(H\) und \(G \setminus H\). Für \(g \notin H\) gilt \(gH = G \setminus H = Hg\) und für \(g \in H\) gilt \(gH = H = Hg\). Zum Beispiel folgt aus \(|G| < \infty \) und \(|H| = \frac {|G|}{2}\), dass \(H \nt G\), da \(|H| = |gH|\).
Ein Beispiel ist \(G = \Sigma _3\) mit \(H = \{\id , (123), (132)\}\). \(H\) hat halb so viele Elemente wie \(G\) (\(|G| = 3! = 6\), \(\ord (H) := |H| = 3\)), damit muss \(H \nt G\) gelten.

Zyklische Gruppen

Bemerkung: Jede zyklische Gruppe \(G = \{g^n \;|\; n \in \natural \}\) ist abelsch, da
\(g^n g^\ell = g^{n+\ell } = g^{\ell +n} = g^\ell g^n\). \(|G|\) bestimmt \(G\) bis auf Isomorphie (siehe nächster Satz).

Satz (Klassifikation der zyklischen Gruppen): Jede zyklische Gruppe \(G\) ist isomorph zu genau einer der Gruppen \(\integer \) oder \(\integer /m\integer \) für ein \(m \in \natural \) (dabei ist \(m = |G|\)).

Beispiel: Nicht jede abelsche Gruppe ist zyklisch. Sei \(G = \integer /4\integer \times \integer /2\integer \) die abelsche Gruppe mit komponentenweiser Multiplikation (\((g_1, h_1) \cdot (g_2, h_2) := (g_1 \cdot g_2, h_1 \cdot h_2)\)). Wäre \(G\) zyklisch, so würde es einen Isomorphismus \(\integer /8\integer \rightarrow \integer /4\integer \times \integer /2\integer \) geben, der \(0\) auf \((0, 0)\), \(1\) auf \((a, b)\) und \(4\) auf \((4a, 4b)\) abbildet. Wegen \(a \in \integer /4\integer \), \(b \in \integer /2\integer \) gilt aber \(4a = 4b = 0\), d. h. \(4 \mapsto (0, 0)\), ein Widerspruch.

Bemerkung: Welche Untergruppen hat die zyklische Gruppe \(G = (\integer , +)\)? Sei \(H < G\) beliebig mit \(H \not = \{0\}\). Definiere \(n \in \natural \cap H\) minimal (\(n\) existiert, da \(\widetilde {n} \in H\) existiert mit \(H \not = 0\), falls notwendig, invertiere \(\widetilde {n}\), damit \(n \in \natural \), \(n \in H\), da \(H < G\)). Dann gilt \(n\integer \subset H\). Falls \(n\integer \subsetneqq H\) gelten würde, gäbe es ein minimales \(\ell \in \natural \cap (H \setminus n\integer )\) mit \(\ell > n\) (analoge Argumentation wie eben). Teilen mit Rest ergibt \(\ell = kn + r\) mit \(0 \le r < n\). Wegen \(\ell , kn \in H\) gilt \(r = \ell - kn \in H\). Aufgrund \(r < n\) und \(n\) minimal mit \(n \in \natural \cap H\) gilt \(r = 0\), d. h. \(\ell = kn\), ein Widerspruch, denn dann wäre \(\ell \in n\integer \). Daher sind alle Untergruppen von \((\integer , +)\) von der Form \(n\integer \).

Ordnung: Sei \(G\) eine Gruppe. Die Ordnung von \(G\) ist \(\ord (G) := |G|\).
Die Ordnung von \(g \in G\) ist \(\ord (g) := \min \{\ell \in \natural \;|\; g^\ell = e\}\).

Proposition (zyklische Gruppen): Sei \(G = \erzeugnis {g}\) eine zyklische Gruppe.

Es gilt \(\ord (G) = n \in \natural \cup \{\infty \}\) mit \(\ord (G) = \ord (g) = \min \{\ell \in \natural \;|\; g^\ell = e\}\).
Für \(|G| < \infty \) und \(s \in \integer \) gilt \(\ord (g^s) = \frac {n}{\ggT (n, s)}\).
Jede Untergruppe \(H\) von \(G\) ist zyklisch.
Für \(|G| < \infty \) und \(d \teilt n\) gibt es genau eine Untergruppe \(H < G\) mit \(|H| = d\), nämlich \(H = \erzeugnis {g^{n/d}}\) (d. h. umgekehrt gibt es für jedes \(H < G\) ein \(d \teilt n\) mit \(H = \erzeugnis {g^{n/d}}\)).

Beispiel: \(G = \integer /6\integer \) hat genau die Untergruppen \(\integer /6\integer \), \(\integer /3\integer \), \(\integer /2\integer \) und \(\integer /1\integer = \{e\}\).

Bemerkung: Für zyklische Gruppen \(G\) und \(H < G\) gilt \(|H| \teilt |G|\). Das gilt immer (siehe nächste Proposition).

Index: Seien \(G\) eine Gruppe und \(H < G\). Die Anzahl \(|G/H|\) der Linksnebenklassen von \(H\) heißt der Index \([G:H]\) von \(H\) in \(G\).

Proposition (Satz von  Lagrange): Seien \(G\) eine Gruppe und \(H < G\).
Dann gilt \(|G| = [G:H] \cdot |H|\), d. h. insbesondere \(|H| \teilt |G|\) für \(|G| < \infty \).

Bemerkung: Seien \(p\) eine Primzahl und \(G = (\integer /p\integer , +)\). Da \(|G| = p\) nur \(1\) und \(p\) als Teiler hat, hat \(G\) nur die triviale Untergruppe \(\{\overline {0}\}\) und die ganze Gruppe \(G\) als Untergruppe. Insbesondere gibt es keinen nicht-trivialen Normalteiler.

einfach: Eine Gruppe \(G\) ohne nicht-triviale Normalteiler heißt einfach.

Bemerkung: \(\integer /n\integer \) ist keine Gruppe bzgl. \(\cdot \), denn \(\overline {0}\) hat kein Inverses. Für \(n = a \cdot b\) (\(a, b \not = 1\)) gilt \(\overline {0} = \overline {n} = \overline {a} \cdot \overline {b}\), d. h. \(\overline {a}\) und \(\overline {b}\) haben ebenfalls kein Inverses. Lässt man diese Elemente (also die nicht-trivialen Teiler von \(n\)) weg, so erhält man die multiplikative Gruppe
\((\integer /n\integer )^\ast := \{x \in \integer /n\integer \;|\; x \text { in } \integer /n\integer \text { bzgl.} \cdot \text {invertierbar}\}\).
Für Primzahlen \(p\) gilt \((\integer /p\integer )^\ast = \{\overline {1}, \overline {2}, \dotsc , \overline {p - 1}\}\), denn aus dem Lemma von Bézout folgt, dass es für jedes \(a \in \{1, \dotsc , p - 1\}\) ganze Zahlen \(r, s \in \integer \) gibt, sodass \(1 = \ggT (a, p) = ra + sp\). Durch Bilden der Restklasse modulo \(p\) ergibt \(\overline {1} = \overline {r} \cdot \overline {a}\), d. h. \(\overline {a}\) hat \(\overline {r}\) als inverses Element. Also gilt \(\ord (\integer /p\integer )^\ast = p - 1\). (Analog zeigt man so, dass \((\integer /n\integer )^\ast \) aus \(\integer /n\integer \) durch Entfernen der Nebenklassen aller Zahlen entsteht, die nicht teilerfremd mit \(n\) sind.)

Bemerkung: Allgemein gilt nach dem Satz von Lagrange für eine endliche Gruppe \(G\), \(g \in G\) und \(H := \erzeugnis {g} < G\), dass \(|H| \teilt |G|\). Für \(\ord (H) = n\) gilt \(g^n = e\), d. h. es gilt \(g^{|G|} = e\) für endliche Gruppen \(G\) und \(g \in G\).

Folgerung: Seien \(p \in \natural \) eine Primzahl und \(x \in \integer \) mit \(p \notteilt x\).
Dann gilt \(p \teilt x^{p-1} - 1\), d. h. \(x^{p-1} \equiv 1 \mod p\) (kleiner Satz von Fermat).

Bemerkung: Die Schreibweise \(a \equiv b \mod p\) ist erklärt durch \(a - b \in p\integer \), d. h. \(p \teilt a - b\). Wegen \(\overline {x} \overline {x}^{p-2} = \overline {1}\) ist somit \(\overline {x}^{p-2}\) invers zu \(\overline {x}\).

Beispiel: Ein Beispiel für die Anwendung in der Kodierungstheorie ist die ISBN. Sie hat die Form \(a_1 - a_2 a_3 a_4 - a_5 a_6 a_7 a_8 a_9 - a_{10}\) mit \(a_i \in \{0, \dotsc , 9\}\) für \(i = 1, \dotsc 9\) und \(a_{10} \in \{0, \dotsc , 9, X\}\) (\(X\) steht für \(10\) als Ziffer). \(a_{10}\) ist eine sog. Prüfziffer, mit ihr können einfache Fehler (ein \(a_i\) falsch) erkannt und eine unleserliche Stelle berechnet werden.
\(a_{10}\) berechnet sich nach der Formel \(\sum _{k=1}^{10} (11 - k) a_k \equiv 0 \mod 11\). Sie kann umgeformt werden zu \(a_{10} \equiv \sum _{k=1}^9 k a_k\), da \((11 - k) \equiv -k \mod 11\) gilt. Ist ein \(a_i\) falsch, dann ist bei gegebener Prüfziffer obige Formel nicht mehr erfüllt. Wenn ein \(a_i\) (bei bekannter Stelle \(i\)) unleserlich ist, kann dieses \(a_i\) bei Kenntnis aller anderen Ziffern berechnet werden:
Weil \((\integer /11\integer )^\ast \) eine multiplikative Gruppe ist, gibt es für jede der \(x_k := \overline {(11 - k)} \in (\integer /11\integer )^\ast \) ein Inverses \(x_k^{-1}\). Multipliziert man die Formel mit \(x_i^{-1}\), so erhält man \(\sum _{k=1}^{10} x_i^{-1} (11 - k) a_k \equiv 0\). Der Koeffizient vor \(a_i\) ist \(1\), daher ergibt sich eine Gleichung für \(a_i\). Daher ist die Formel auch bei einem falschen \(a_i\) nicht erfüllt.

Operationen von Gruppen auf Mengen

Gruppenoperation: Eine (Links-)Operation einer Gruppe \(G\) auf einer Menge \(M\) ist eine Abbildung \(G \times M \rightarrow M\), \((g, m) \mapsto gm\) mit den Eigenschaften:

\(\forall _{g_1, g_2 \in G, m \in M}\; (g_1 g_2) m = g_1 (g_2 m)\)
\(\forall _{m \in M}\; em = m\)

Man schreibt \(G \curvearrowright M\) dafür, dass \(G\) auf \(M\) operiert, und man nennt \(M\) eine \(G\)-Menge.

Beispiel: Ein triviales Beispiel ist \(M := G\) mit \(gm := g \cdot m\) (Multiplikation in \(G\)). (O1) ist das Assoziativgesetz und (O2) ist das Gesetz für das neutrale Element. Für \(g \in G\) ist die Abbildung \(M \rightarrow M\), \(m \mapsto gm\) die Linksmultiplikation mit \(g\). Sie hat eine inverse Abbildung (Linksmultiplikation mit \(g^{-1}\)), d. h. \(G\) kann in \(\Sigma _G := \{\text {bij. Abb. } G \rightarrow G\}\) eingebettet werden (d. h. für verschiedene \(g\) erhält man verschiedene Abbildungen).

Beispiel: \(G = \Sigma _n \curvearrowright M = \{1, \dotsc , n\}\) durch \(g = \varphi \colon \{1, \dotsc , n\} \rightarrow \{1, \dotsc , n\}\), \(gm := g(m)\).

Beispiel: Für die Menge \(G = \GL _n(\complex )\) aller invertierbaren \(n \times n\)-Matrizen über \(\complex \) und die Menge \(M = \Mat _n(\complex )\) aller \(n \times n\)-Matrizen über \(\complex \) operiert \(G\) auf \(M\) durch \(m \mapsto g^{-1} m g \in M\) für \(m \in M\) und \(g \in G\) (Basiswechsel mittels \(g\)). Betrachtet man nun die Bahn \(G \cdot m = \{g \cdot m \;|\; g \in G\}\), so erhält man alle zu \(m\) ähnlichen Matrizen. In der linearen Algebra ist nun eine „Normalform“ gesucht, d. h. eine Matrix mit „besonders einfacher“ Gestalt (Jordansche Normalform).

Beispiel: Im allgemeineren Fall \(M = \Mat (\ell \times m, \complex )\) (bijektiv zur Menge aller linearen Abbildungen \(V \rightarrow U\) mit \(\dim V = m\) und \(\dim U = \ell \)) und \(G = \GL _\ell (\complex ) \times \GL _m(\complex )\) definiert man \((g_1, g_2)m := g_1 m g_2^{-1}\), man führt also einen Basiswechsel mit den Basiswechselmatrizen \(g_1\) und \(g_2\) durch. Hier ergibt sich als Normalform die Zeilen-Stufen-Form (Gauß-Elimination).

Bahn: Die Gruppe \(G\) operiere auf \(M\).
Für \(m \in M\) heißt \(Gm := \{gm \;|\; g \in G\}\) die Bahn von \(m\) unter der Operation von \(G\).
Die Operation heißt transitiv, falls \(\forall _{m \in M}\; Gm = M\) (\(\!\!\iff \forall _{m_1, m_2 \in M}\; \exists _{g \in G}\; g m_1 = m_2\)).

linksreguläre Permutationsdarstellung: Ist \(M = G\) und die Operation die Linksmultiplikation von \(G\), so heißt \(M\) linksreguläre Permutationsdarstellung.

Konjugation: Ist \(M = G\) und die Operation die Konjugation (d. h. \(m \mapsto gmg^{-1}\)), so heißen die Bahnen Konjugationsklassen (oder Konjugiertenklassen).

Fixpunkt: Ein \(m \in M\) heißt Fixpunkt, falls \(Gm = \{m\}\) (\(\!\!\iff \forall _{g \in G}\; gm = m\)).

Stabilisator: Für \(m \in M\) heißt \(G_m := \{g \in G \;|\; gm = m\}\) Stabilisator \(\Stab _G(m)\) von \(m\) (oder Isotropiegruppe). Es gilt \(G_m < G\).

treu: Die Operation von \(G\) auf \(M\) heißt treu, falls \(G \rightarrow \Sigma _M\), \(g \mapsto (M \rightarrow M,\; m \mapsto gm)\) injektiv ist (dabei ist \(\Sigma _M = \{M \rightarrow M \text { bijektiv}\}\)).

Zentrum: Für eine Gruppe \(G\) heißt \(Z(G) := \{g \in G \;|\; \forall _{h \in G}\; gh = hg\}\) Zentrum von \(G\).
Es gilt \(Z(G) \nt G\).

Zentralisator: Für eine Gruppe \(G\) und \(g \in G\) heißt \(C_G(g) := \{h \in G \;|\; gh = hg\}\)
Zentralisator von \(g\) in \(G\). Es gilt \(C_G(g) < G\).

Proposition (Klassengleichung): Seien \(M\) eine \(G\)-Menge und \(m \in M\) mit Stabilisator \(G_m\).
Dann gibt es eine Bijektion \(p\colon G/G_m \rightarrow Gm\). Insbesondere gilt \(|Gm| = [G:G_m]\).
Im Spezialfall \(M = G\) mit der Konjugation als Operation gilt die Klassengleichung
\(|G| = |Z(G)| + \sum _{g_i \in G,\; g_i \notin Z(G)} [G:C_G(g_i)]\) für bestimmte Repräsentanten \(g_i\).

p-Gruppen, p-Sylowuntergruppen und die Sätze von Sylow

Bemerkung: Gilt \(\ord (G) = p\) mit \(p\) prim, ist dann \(G\) abelsch? (ja)
Gilt \(\ord (G) = p^2\) mit \(p\) prim, ist dann \(G\) abelsch? (ja)
Gilt \(\ord (G) = pq\) mit \(p, q\) prim, \(p \not = q\), ist dann \(G\) abelsch? (i. A. nein)
Gilt \(\ord (G) = de\) mit \(d, e \in \natural \), gilt dann \(\exists _{H < G}\; \ord (H) = d\)? (i. A. nein)

Bemerkung: Die Antwort auf die erste Frage kann man relativ einfach zeigen: Sei \(\ord (G) = p\) prim und \(g \in G\) mit \(g \not = e\). Dann ist \(G = \erzeugnis {g}\), da nach dem Satz von Lagrange \(|\erzeugnis {g}| \teilt |G|\), aber \(G\) prim und somit \(|\erzeugnis {g}| = p\). Also ist \(G\) zyklisch (und somit abelsch) und \(G \simeq \integer /p\integer \).
Die Antwort auf die zweite Frage ist schon schwieriger (siehe Proposition unten).

Beispiel: Für die dritte Frage gibt es das Gegenbeispiel \(G = \Sigma _3\) (\(\ord (G) = 3! = 2 \cdot 3\), aber \(G\) ist nicht abelsch). Für die vierte Frage gibt es das Gegenbeispiel \(A_4 = \{\text {gerade Permutationen}\}\)
\(= \prod _{\text {gerade Anzahl}} \text {Transpositionen} = \{\sigma \in \Sigma _4 \;|\; \sgn (\sigma ) = 1\}\). Es gilt \(A_4 = 12\), aber \(A_4\) hat keine Untergruppe der Ordnung \(6\).

Proposition (Gruppe mit Primzahl(quadrat)ordnung abelsch):
Sei \(G\) eine Gruppe mit \(\ord (G) \in \{p, p^2\}\), wobei \(p\) prim ist. Dann ist \(G\) abelsch.

\(p\)-Gruppe: Sei \(G\) eine endliche Gruppe mit \(\ord (G) = p^m\), wobei \(p\) prim und \(m \in \natural _0\) ist.
Dann heißt \(G\) eine \(p\)-Gruppe.

\(p\)-Sylowuntergruppe: Seien \(G\) eine endliche Gruppe mit \(\ord (G) = p^m q\),
\((p, q) := \ggT (p, q) = 1\) und \(H < G\) mit \(\ord (H) = p^m\), wobei \(p\) prim ist.
Dann heißt \(H\) eine \(p\)-Sylowuntergruppe von \(G\).

Theorem (Cauchy): Seien \(G\) eine endliche Gruppe und \(p\) prim mit \(p \teilt \ord (G)\).
Dann existiert ein \(g \in G\) mit \(\ord (g) = p\).

Folgerung: Seien \(G\) eine endliche Gruppe und \(p\) eine Primzahl.
Dann ist \(G\) eine \(p\)-Gruppe genau dann, wenn \(\forall _{g \in G} \exists _{n \in \natural _0} \ord (g) = p^n\).

Proposition (Fixpunktzahl): Seien \(p\) eine Primzahl und \(G\) eine \(p\)-Gruppe.

Wenn \(G\) auf einer endlichen Menge \(X\) operiert, dann gilt \(|X^G| \equiv |X| \mod p\) mit
\(X^G := \{x \in X \;|\; x \text { Fixpunkt}\}\).
Wenn \(G \not = \{e\}\) ist, dann gilt \(Z(G) \not = \{e\}\).

Theorem (Sylow):
Seien \(G\) eine endliche Gruppe und \(p\) eine Primzahl mit \(\ord (G) = p^m q\), \((p, q) = 1\).

Für alle \(k = 1, \dotsc , m\) gibt es eine Untergruppe \(H < G\) mit \(|H| = p^k\).
Seien \(S\) eine \(p\)-Sylowuntergruppe von \(G\) (d. h. \(\ord (S) = p^m\)) und \(H < G\) eine \(p\)-Gruppe.
Dann gibt es ein \(g \in G\) mit \(H < gSg^{-1}\).
Sei \(s_0 := \text {Anzahl der } p\text {-Sylowuntergruppen von } G\). Dann gilt \(s_0 \teilt q\) und \(s_0 \equiv 1 \mod p\).

Bemerkung: \(gSg^{-1}\) ist eine \(p\)-Sylowuntergruppe, wenn \(S\) eine \(p\)-Sylowuntergruppe ist.
Aus (b) folgt, dass für \(p\)-Sylowuntergruppen \(S\) und \(H\) von \(G\) gilt, dass \(H = gSg^{-1}\) für ein \(g \in G\), d. h. alle \(p\)-Sylowuntergruppen sind zueinander konjugiert.
Außerdem gilt, dass alle \(p\)-Untergruppen von \(G\) in \(p\)-Sylowuntergruppen enthalten sind.

Folgerung: Alle \(p\)-Sylowuntergruppen sind zueinander konjugiert.

Folgerung: Seien \(p\) und \(q\) prim mit \(p < q\) und \(p \notteilt (q - 1)\) sowie \(G\) eine Gruppe mit \(|G| = p \cdot q\). Dann gilt \(G \simeq \integer /pq\integer \simeq \integer /p\integer \times \integer /q\integer \), d. h. insbesondere ist \(G\) zyklisch und abelsch.