Funktionalanalysis 1 – Der Spektralsatz für kompakte, selbstadjungierte Operatoren

Hilbertraum-Adjungierte

Bemerkung: Seien \(H_1, H_2\) Hilberträume und \(T \in \Lin (H_1, H_2)\). Für \(y \in H_2\) ist die Abbildung \(x \mapsto \innerproduct {Tx, y}_{H_2}\) ein Element des Dualraums von \(H_1\). Nach dem Rieszschen Darstellungssatz gibt es daher genau ein \(T^\ast y \in H_1\) mit \(\forall _{x \in H_1}\; \innerproduct {Tx, y}_{H_2} = \innerproduct {x, T^\ast y}_{H_1}\). Somit existiert die Hilbertraum-Adjungierte \(T^\ast \) und ist eindeutig.

Hilbertraum-Adjungierte: Seien \(H_1, H_2\) Hilberträume und \(T \in \Lin (H_1, H_2)\). Dann heißt die Abbildung \(T^\ast \colon H_2 \rightarrow H_1\) mit \(\forall _{x \in H_1,\, y \in H_2}\; \innerproduct {Tx, y}_{H_2} = \innerproduct {x, T^\ast y}_{H_1}\) Hilbertraum-Adjungierte von \(T\).

Lemma (Eigenschaften der Hilbertraum-Adjungierten):

\(T^\ast \in \Lin (H_2, H_1)\) mit \(\norm {T^\ast } = \norm {T}\)
\((T + S)^\ast = T^\ast + S^\ast \), \((\alpha T)^\ast = \overline {\alpha } T^\ast \), \((T \circ S)^\ast = S^\ast \circ T^\ast \)
\(T^{\ast \ast } = T\)

Beispiel:

Für \(H_1 = H_2 = \real ^n\) (mit eukl. Skalarprodukt) und \(T = (a_{ij})_{i,j=1,\dotsc ,n}\) ist \(T^\ast = (a_{ji})_{i,j=1,\dotsc ,n}\).
Für \(H_1 = H_2 = \complex ^n\) ist \(T^\ast = (\overline {a_{ji}})_{i,j=1,\dotsc ,n}\).
Für \(H_1 = H_2 = \ell ^2_\real \) und \(T((x_n)_{n \in \natural }) := (a_n x_n)_{n \in \natural }\) für eine Folge \((a_n)_{n \in \natural }\), \(\sup _{n \in \natural } |a_n| < \infty \), ist \(T^\ast ((x_n)_{n \in \natural }) = (a_n x_n)_{n \in \natural } = T((x_n)_{n \in \natural })\).
Für \(H_1 = H_2 = \ell ^2_\complex \) ist \(T^\ast ((x_n)_{n \in \natural }) = (\overline {a_n} x_n)_{n \in \natural }\).

Beispiel: Seien \(H_1 = L^2(\Omega _1, \complex )\) und \(H_2 = L^2(\Omega _2, \complex )\), wobei \(\Omega _1 \subset \real ^n\) und \(\Omega _2 \subset \real ^m\) messbar seien. Außerdem sei \(K\colon \Omega _1 \times \Omega _2 \rightarrow \complex \) messbar mit \(\norm {K} := \left (\int _{\Omega _1} \int _{\Omega _2} |K(x, y)|^2 \dy \dx \right )^{1/2} < \infty \). Sei für \(f \in L^2(\Omega _1, \complex )\) die Abbildung \(Tf\colon \Omega _2 \rightarrow \complex \) definiert durch \((Tf)(y) := \int _{\Omega _1} K(x, y)f(x)\dx \).
Dann ist \(T \in \Lin (H_1, H_2)\) und \(\norm {T} \le \norm {K}\). Außerdem gilt \((T^\ast g)(x) = \int _{\Omega _2} \overline {K(x, y)} g(y) \dy \), wenn \(n = m\) und \(\Omega _1 = \Omega _2\).

Dies sieht man wie folgt: Es gilt \(\norm {Tf}_{H_2}^2 = \int _{\Omega _2} |(Tf)(y)|^2 \dy = \int _{\Omega _2} \left |\int _{\Omega _1} K(x, y)f(x)\dx \right |^2 \dy \\ = \int _{\Omega _2} \left |\innerproduct {K(\cdot , y), f}_{H_1}\right |^2 \dy \le \int _{\Omega _2} \norm {K(\cdot , y)}_{H_1}^2 \norm {f}_{H_1}^2 \dy = \norm {K}^2 \norm {f}_{H_1}^2\), also \(Tf \in H_2\),
\(T \in \Lin (H_1, H_2)\) und \(\norm {T} \le \norm {K}\). Die Adjungierte \(T^\ast \) erhält man durch direktes Nachrechnen (wobei man die konjugierte Linearität im zweiten Argument beachten muss). Ersetzt man \(\complex \) durch \(\real \), so ist \(T^\ast = T\).

selbstadjungiert: Sei \(H\) ein Hilbertraum.
Dann heißt \(T \in \Lin (H)\) selbstadjungiert, falls \(T^\ast = T\) (d. h. \(\forall _{x, y \in H}\; \innerproduct {Tx, y} = \innerproduct {x, Ty}\)).

Bemerkung: Ist \(T \in \Lin (H)\) selbstadjungiert, so gilt für \(x = y\), dass \(\innerproduct {Tx, x} = \innerproduct {x, Tx} = \overline {\innerproduct {Tx, x}}\), also \(\innerproduct {Tx, x} = \innerproduct {x, Tx} \in \real \) für alle \(x \in H\). Manchmal ist Selbstadjungiertheit eine zu starke Eigenschaft, in diesem Fall verwendet man die Verallgemeinerung von normalen Abbildungen.

normal: Sei \(H\) ein Hilbertraum. Dann heißt \(T \in \Lin (H)\) normal, falls \(T^\ast T = TT^\ast \).

Lemma (Charakterisierung): \(T\) ist normal genau dann, wenn \(\forall _{x \in H}\; \norm {Tx} = \norm {T^\ast x}\).

Kompakte Operatoren

kompakter Operator: Seien \(E, F\) Banachräume.
Dann heißt \(T \in \Lin (E, F)\) kompakt, falls \(\overline {T B_E} = \overline {\{Tx \;|\; \norm {x}_E \le 1\}}\) kompakt in \(F\) ist.
Äquivalent dazu sind:

Für jede Folge \((x_n)_{n \in \natural }\) in \(B_E\) besitzt \((Tx_n)_{n \in \natural }\) eine konvergente Teilfolge in \(F\).
Für alle \(\varepsilon > 0\) gibt es eine endliche Menge \(M \subset F\) mit \(TB_E \subset M + \varepsilon B_F\).

Die Menge aller kompakten Operatoren von \(E\) nach \(F\) bezeichnet man mit \(\K (E, F)\) und man schreibt \(\K (E) := \K (E, E)\).

Bemerkung: Ist \(X\) ein Banachraum, dann gilt \(\id \in \K (X) \iff X \;\text {endl.-dim.}\)

Lemma (\(\K (E, F)\) abg. UVR): \(\K (E, F)\) ist ein abgeschlossener Unterraum von \(\Lin (E, F)\).

Operator mit endlichem Rang: Seien \(E, F\) Banachräume. Die Menge aller Operatoren mit endlichem Rang ist definiert durch \(\F (E, F) := \{T \in \Lin (E, F) \;|\; \dim TE < \infty \}\).

Beispiel:

Für \(T \in \F (E, F)\) gilt \(T \in \K (E, F)\), denn \(TB_E\) ist beschränkt in \(TE\) (für alle \(x \in B_E\) gilt \(\norm {Tx}_F \le \norm {T} \norm {x}_E \le \norm {T}\)) und somit ist \(\overline {TB_E}\) beschränkt und abgeschlossen. Damit ist \(\overline {TB_E}\) kompakt in \(TE\) (wegen \(\dim TE < \infty \)) und insbesondere kompakt in \(F\).
Für \(\dim E < \infty \) ist \(\dim TE < \infty \) für alle \(T \in \Lin (E, F)\), also gilt
\(\Lin (E, F) \subset \F (E, F) \subset \K (E, F) \subset \Lin (E, F)\), d. h. jeder lineare, stetige Operator ist kompakt, wenn \(E\) endlich-dimensional ist.
Es gilt \(\overline {\F (E, F)} \subset \K (E, F)\), weil \(\K (E, F)\) abgeschlossen ist.

Bemerkung: Lange war ungeklärt, ob die Umkehrung auch gilt, d. h. ob \(\overline {\F (E, F)} = \K (E, F)\). Die Frage war also, ob jeder kompakte Operator durch Operatoren von endlichem Rang approximiert werden kann. Per Enflo konnte als Erster ein Gegenbeispiel liefern (1973). Allerdings stimmt die Aussage, wenn \(F\) ein Hilbertraum ist.

Lemma (kpkt.e Operatoren als GW von Operatoren mit endl. Rang):
Seien \(E\) ein Banachraum und \(F\) ein Hilbertraum. Dann gilt \(\overline {\F (E, F)} = \K (E, F)\).

Beispiel: Obiger Integraloperator \(T \in \Lin (H_1, H_2)\) ist kompakt. Wählt man ein vollständiges ONS \((e_k)_{k \in \natural }\) von \(H_1\), dann gilt nach Parseval \(\norm {K}^2 = \int _{\Omega _2} \norm {\overline {K(\cdot , y)}}_{H_1}^2 \dy \)
\(= \int _{\Omega _2} \sum _{k \in \natural } \left |\innerproduct {\overline {K(\cdot , y)}, e_k}_{H_1}\right |^2 \dy = \int _{\Omega _2} \sum _{k \in \natural } |(Te_k)(y)|^2 \dy = \sum _{k \in \natural } \norm {Te_k}_{H_2}^2\).
Sei \(P_n\) die orthogonale Projektion von \(H_1\) auf \([e_1, \dotsc , e_n]\), d. h. \(P_n f := \sum _{k=1}^n \innerproduct {f, e_k}_{H_1} e_k\).
Dann gilt \(\norm {(T - TP_n) f}_{H_2}^2 = \norm {T (f - P_n f)}_{H_2}^2 = \norm {T\!\left (\sum _{k > n} \innerproduct {f, e_k}_{H_1} e_k\right )}_{H_2}^2\)
\(= \norm {\sum _{k > n} \innerproduct {f, e_k}_{H_1} Te_k}_{H_2}^2 \le \left (\sum _{k > n} \left |\innerproduct {f, e_k}_{H_1}\right | \norm {Te_k}_{H_2}\right )^2\)
\(\le \sum _{k > n} \left |\innerproduct {f, e_k}_{H_1}\right |^2 \cdot \sum _{k > n} \norm {Te_k}_{H_2}^2\) wegen der Cauchy-Schwarz-Ungleichung für \(\ell ^2\). Der erste Faktor ist mit Parseval durch \(\norm {f}_{H_1}^2\) nach oben beschränkt, während der zweite für \(n \to \infty \) gegen Null geht (weil \(\sum _{k \in \natural } \norm {Te_k}_{H_2}^2 = \norm {K}^2 < \infty \)). Damit gilt
\(\norm {(T - TP_n) f}_{H_2}^2 \le \sum _{k > n} \norm {Te_k}_{H_2}^2 \norm {f}_{H_1}^2\) und somit \(\norm {T - TP_n}^2 \le \sum _{k > n} \norm {Te_k}_{H_2}^2 \to 0\) für \(n \to \infty \). Wegen \(\Bild (TP_n) = T(\Bild (P_n))\) endlich-dimensional für alle \(n \in \natural \) ist \(T\) kompakt.

Bemerkung: Man kann bei Vorhandensein entsprechender Integrabilität von \(K\) auch Integraloperatoren \(T^{p,q} \in \Lin (L^p(\Omega _1, \KK ), L^q(\Omega _2, \KK ))\) für \(\frac {1}{p} + \frac {1}{q} = 1\) bekommen. Auch sie sind stetig (Nachweis mit Hölder statt Cauchy-Schwarz, ähnlich wie für \(p = q = 2\)) und kompakt (Nachweis mithilfe von Fréchet-Kolmogorov, Riesz). Man nennt diese Operatoren
Hilbert-Schmidt-Integraloperatoren.

Lemma (Komposition kpkt.): Seien \(X, Y, Z\) Banachräume, \(T_1 \in \Lin (X, Y)\) und \(T_2 \in \Lin (Y, Z)\).
Dann folgt aus \(T_1\) kompakt oder \(T_2\) kompakt, dass \(T_2 T_1\) kompakt ist.

Bemerkung: Algebraisch lässt sich das für \(X = Y = Z\) wie folgt ausdrücken: Mit der Verkettung \(\circ \) als Multiplikation ist der Vektorraum \((\Lin (X), +, \circ )\) eine nicht-kommutative Algebra, d. h. \(\circ \) ist assoziativ (aber i. A. nicht-kommutativ), \(+\) und \(\circ \) sind distributiv und für alle \(\alpha \in \KK \) gilt \(\alpha (f \circ g) = (\alpha f) \circ g = f \circ (\alpha g)\). Für \(S, T \in \Lin (X)\) gilt außerdem \(\norm {S \circ T} \le \norm {S} \cdot \norm {T}\). Ein Banachraum, der eine Algebra ist und dessen Multiplikation diese Beziehung erfüllt, heißt Banachalgebra. \((\Lin (X), +, \circ )\) ist also eine Banachalgebra und obiges Lemma besagt nun, dass \(\K (X)\) ein Ideal in \(\Lin (X)\) ist.

Satz (Eigenwerte kompakter Operatoren):
Seien \(X\) ein Banachraum, \(T \in \K (X)\) und \(\lambda \in \KK \setminus \{0\}\). Dann gilt:

\(\dim \Kern (\lambda \id - T) < \infty \)
\(\Bild (\lambda \id - T) \subset X\) abgeschlossen
\(\lambda \id - T\) injektiv \(\iff \) \(\lambda \id - T\) surjektiv

Das Spektrum linearer Abbildungen über Banachräumen

Bemerkung: Im Folgenden seien \(X\) ein \(\complex \)-Banachraum und \(T \in \Lin (X)\).

Resolventenmenge:
Die Menge \(\varrho (T) := \{\lambda \in \complex \;|\; \lambda \id - T \text { bijektiv}\}\) heißt Resolventenmenge von \(T\).

Spektrum: Die Menge \(\sigma (T) := \complex \setminus \varrho (T)\) heißt Spektrum von \(T\). Es kann zerlegt werden in

das Punktspektrum
\(\sigma _p(T) := \{\lambda \in \complex \;|\; \lambda \id - T \text { nicht injektiv}\}\),
das kontinuierliche Spektrum
\(\sigma _c(T) := \{\lambda \in \complex \;|\; \lambda \id - T \text { injektiv, aber nicht surjektiv und } \overline {\Bild (\lambda \id - T)} = X\}\) und
das Residualspektrum
\(\sigma _r(T) := \{\lambda \in \complex \;|\; \lambda \id - T \text { injektiv und } \overline {\Bild (\lambda \id - T)} \not = X\}\).

Eigenvektor, Eigenwert, Eigenraum:
Für \(\lambda \in \complex \) gilt \(\lambda \in \sigma _p(T)\) genau dann, wenn \(\exists _{x \in X \setminus \{0\}}\; Tx = \lambda x\). In diesem Fall heißt \(x\) Eigenvektor von \(T\) zum Eigenwert \(\lambda \). Ist \(X\) ein Funktionenraum, so heißt \(x\) auch Eigenfunktion. Der Unterraum \(\Kern (\lambda \id - T)\) von \(X\) heißt Eigenraum von \(T\) zum Eigenwert \(\lambda \). Seine Dimension heißt Vielfachheit des Eigenwerts \(\lambda \). Der Eigenraum ist ein \(T\)-invarianter Unterraum, d. h. \(T(\Kern (\lambda \id - T)) \subset \Kern (\lambda \id - T)\).

Bemerkung: Für \(\dim (X) < \infty \) gilt \(\sigma (T) = \sigma _p(T)\) für alle \(T \in \Lin (X)\) (da in diesem Fall \(\lambda \id - T\) injektiv \(\iff \) \(\lambda \id - T\) surjektiv für alle \(\lambda \in \complex \)).

Bemerkung: Im weiteren Verlauf wird der folgende (nicht-triviale) Satz aus der Banachraum-Theorie benötigt, der später bewiesen wird.

Satz (Umkehrabbildung stetig): Seien \(E\) und \(F\) Banachräume und \(L \in \Lin (E, F)\) bijektiv.
Dann gilt \(L^{-1} \in \Lin (F, E)\).

Resolvente: Sei \(\lambda \in \varrho (T)\). Dann heißt \(R(\lambda , T) := (\lambda \id - T)^{-1} \in \Lin (X)\) Resolvente von \(T\) in \(\lambda \) und \(R(\cdot , T)\colon \varrho (T) \rightarrow \Lin (X)\), \(\lambda \mapsto R(\lambda , T)\) heißt Resolventenfunktion.

Satz (Resolventenfunktion holomorph): \(\varrho (T) \subset \complex \) ist offen und \(R(\cdot , T)\colon \varrho (T) \rightarrow \Lin (X)\) ist holomorph, d. h. \(\lim _{h \to 0} \frac {R(\lambda + h, T) - R(\lambda , T)}{h}\) existiert in \(\Lin (X)\).
Außerdem gilt \(\forall _{\lambda \in \varrho (T)}\; \norm {R(\lambda , T)}^{-1} \le \dist (\lambda , \sigma (T))\).

Spektralradius: \(\sup _{\lambda \in \sigma (T)} |\lambda |\) heißt Spektralradius von \(T\).

Satz (Spektrum kompakt): \(\sigma (T)\) ist kompakt und für \(X \not = \{0\}\) auch nicht-leer mit
\(\sup _{\lambda \in \sigma (T)} |\lambda | = \lim _{m \to \infty } \norm {T^m}^{1/m} \le \norm {T}\).

Satz (Spektralradius normaler Operatoren über Hilberträume):
Sei \(X \not = \{0\}\) ein \(\complex \)-Hilbertraum und \(T \in \Lin (X)\) normal. Dann gilt \(\sup _{\lambda \in \sigma (T)} |\lambda | = \norm {T}\).

Das Spektrum kompakter Operatoren und der Spektralsatz

Satz (Spektrum kompakter Operatoren): Sei \(T \in \K (X)\).
Dann stimmt \(\sigma (T)\) mit den Eigenwerten \(\sigma _p(T)\) bis auf \(0\) überein, d. h. \(\sigma (T) \setminus \{0\} = \sigma _p(T) \setminus \{0\}\).
Außerdem besteht \(\sigma (T) \setminus \{0\}\)

aus endlich vielen Eigenwerten oder
aus abzählbar unendlich vielen Eigenwerten mit \(0\) als einzigem Häufungspunkt.

Die Vielfachheit jeden von \(0\) verschiedenen Eigenwerts \(\lambda \in \sigma (T) \setminus \{0\}\) ist endlich.
Für \(\dim X = \infty \) ist \(0 \in \sigma (T)\).

positiv semidefinit: Seien \(H\) ein \(\complex \)-Hilbertraum und \(T \in \Lin (H)\) selbstadjungiert.
Dann heißt \(T\) positiv semidefinit, falls \(\forall _{x \in H}\; \innerproduct {x, Tx} \ge 0\).

Satz (Spektralsatz für kompakte, selbstadjungierte Operatoren):
Seien \(H\) ein \(\complex \)-Hilbertraum und \(T \in \Lin (H) \setminus \{0\}\) kompakt und selbstadjungiert. Dann gilt:

\(\sigma _p(T) \setminus \{0\} = \{\lambda _k \;|\; k \in N\}\) mit \(N = \{1, \dotsc , n\}\) oder \(N = \natural \) und \(\lambda _k\) paarweise verschieden.
Für alle \(k \in N\) gilt \(\dim (\Kern (\lambda _k \id - T)) < \infty \) und gibt es Eigenvektoren \(e_{k,j_k}\),
\(j_k = 1, \dotsc , \dim (\Kern (\lambda _k \id - T))\), von \(T\) zu \(\lambda _k\), sodass \((e_{k,j_k})_{k,j_k}\) ein ONS in \(H\) ist.
Für \(N = \natural \) gilt \(\lim _{k \to \infty } \lambda _k = 0\).
\(H = \Kern (T) \oplus \overline {[\{e_{k,j_k} \;|\; k, j_k\}]}\) mit \(\Kern (T) \,\orth \, \overline {[\{e_{k,j_k} \;|\; k, j_k\}]}\)
\(\forall _{x \in H}\; Tx = \sum _k \sum _{j_k} \lambda _k \innerproduct {x, e_{k,j_k}} e_{k,j_k}\)
\(\sigma _p(T) \subset [-\norm {T}, \norm {T}] \subset \real \)
\(\norm {T} \in \sigma _p(T)\) oder \(-\norm {T} \in \sigma _p(T)\)
Ist \(T\) positiv semidefinit, dann gilt \(\sigma _p(T) \subset [0, \norm {T}]\).

Bemerkung: Dieser Satz ist eine unendlich-dimensionale Verallgemeinerung des Theorems aus der linearen Algebra, dass jede symmetrische Matrix mithilfe von ONBen aus Eigenvektoren reell diagonalisierbar ist.

Satz (Spektralsatz für kompakte, normale Operatoren):
Seien \(H\) ein \(\complex \)-Hilbertraum und \(T \in \Lin (H) \setminus \{0\}\) kompakt und normal.
Dann gelten die Aussagen (1), (2) und (3) aus obigem Satz.

Bemerkung: Anhand des Beweises erkennt man, dass die Aussagen (4) und (6) gelten, wenn \(T\) nur selbstadjungiert (und stetig) ist, aber nicht kompakt.

Bemerkung: Ist \(X\) ein \(\real \)-Banachraum, so kann man \(X\) komplexifizieren, d. h. \(\widetilde {X} := X \times X\) mit \(\alpha \cdot (x_1, x_2) := (a x_1 - b x_2, a x_2 + b x_1)\) und \(\overline {(x_1, x_2)} := (x_1, -x_2)\) für \((x_1, x_2) \in \widetilde {X}\) und \(\alpha := a + \iu b \in \complex \) mit \(a, b \in \real \). Damit wird \(\widetilde {X}\) ein \(\complex \)-Vektorraum.
Mit \(\norm {x}_{\widetilde {X}} := \sup _{\theta \in \real } \left (\norm {\cos (\theta )x_1 - \sin (\theta )x_2}_X^2 + \norm {\sin (\theta )x_1 + \cos (\theta )x_2}_X^2\right )^{1/2}\) gilt dann
\(\forall _{x \in \widetilde {X}} \forall _{\theta \in \real }\; \norm {e^{\iu \theta }x}_{\widetilde {X}} = \norm {x}_{\widetilde {X}}\) und \(\widetilde {X}\) ist ein \(\complex \)-Banachraum.
Falls \(X\) ein \(\real \)-Hilbertraum ist, so ist \(\widetilde {X}\) ein \(\complex \)-Hilbertraum sowie \(\norm {x}_{\widetilde {X}} = \left (\norm {x_1}_X^2 + \norm {x_2}_X^2\right )^{1/2}\).
Für \(T \in \Lin (X)\) ist \(\widetilde {T} \in \Lin (\widetilde {X})\) mit \(\widetilde {T}x := (Tx_1, Tx_2)\). Zusätzliche Eigenschaften wie Kompaktheit oder Selbstadjungiertheit von \(T\) übertragen sich auf \(\widetilde {T}\). Somit kann man mit dieser Komplexifizierung Spektralsätze wie oben auch auf reelle Hilberträume übertragen (analog auch von komplexen auf reelle Banachräume).

Rayleigh-Quotient: Seien \(H\) ein \(\complex \)-Hilbertraum und \(T \in \Lin (H)\) selbstadjungiert.
Dann heißt \(R_T(u) := \frac {\innerproduct {Tu, u}}{\innerproduct {u, u}}\) der Rayleigh-Quotient von \(u \in H \setminus \{0\}\).

Bemerkung: Der Rayleigh-Quotient von Eigenvektoren ist gleich dem jeweiligen Eigenwert.

Satz (Eigenwerte kompakter, selbstadjungierter Operatoren):
Seien \(H\) ein \(\complex \)-Hilbertraum und \(T \in \Lin (H) \setminus \{0\}\) kompakt und selbstadjungiert. Dann gilt:

Wenn \(\lambda \not = 0\) mit \(\lambda := \sup _{u \in H \setminus \{0\}} R_T(u) = \sup _{u \in H,\;\norm {u}=1} \innerproduct {Tu, u}\) gilt, dann ist
\(\lambda = \max (\sigma _p(T) \setminus \{0\})\). Das Supremum wird in diesem Fall von allen Eigenvektoren zum Eigenwert \(\lambda \) angenommen.
Wenn \(\mu \not = 0\) mit \(\mu := \inf _{u \in H \setminus \{0\}} R_T(u) = \inf _{u \in H,\;\norm {u}=1} \innerproduct {Tu, u}\) gilt, dann ist
\(\mu = \min (\sigma _p(T) \setminus \{0\})\). Das Infimum wird in diesem Fall von allen Eigenvektoren zum Eigenwert \(\lambda \) angenommen.
Für \(\sup _{u \in \Kern (\lambda \id - T)^\orth \setminus \{0\}} R_T(u) \not = 0\) ist dies der zweitgrößte von \(0\) verschiedene Eigenwert usw.

Bemerkung: Für alle von \(0\) verschiedenen Eigenwerte sind die Lösungen der jeweiligen Eigenwert-Gleichungen die Lösungen von Variationsproblemen mit Nebenbedingungen, wobei die Eigenwerte als Lagrange-Parameter auftreten.

Der Spektralsatz für den Laplace-Operator

inverser Laplace-Operator: Sei \(\Omega \subset \real ^n\) ein beschränktes und stückweise \(\C ^1\)-berandetes Gebiet. Dann ist der (schwache) inverse Laplace-Operator (mit homogenen Dirichlet-RB)
\(\Delta ^{-1}\colon L^2(\Omega ) \rightarrow H_0^1(\Omega )\) definiert durch die für \(f \in L^2(\Omega )\) eindeutige Lösung \(-\Delta ^{-1} f \in H_0^1(\Omega )\) von \(\forall _{\varphi \in H_0^1(\Omega )}\; \int _\Omega (\nabla (-\Delta ^{-1} f) \nabla \varphi - f \varphi ) \dx = 0\) (schwache Lösung des Dirichlet-Problems für die Poisson-Gleichung mit homogenen Randbedingungen).

Satz (Eigenschaften von \(-\Delta ^{-1}\)): \(-\Delta ^{-1}\colon L^2(\Omega ) \rightarrow L^2(\Omega )\) ist linear, stetig, injektiv, kompakt, selbstadjungiert und positiv semidefinit.

Satz (Satz von  Rellich): Sei \(\Omega \subset \real ^n\) ein beschränktes und stückweise \(\C ^1\)-berandetes Gebiet. Dann ist die Einbettung \(\id \colon H^1(\Omega ) \hookrightarrow L^2(\Omega )\) ein kompakter Operator, d. h. jede in \(H^1(\Omega )\) beschränkte Folge enthält eine in \(L^2(\Omega )\) konvergente Teilfolge.

schwacher Laplace-Operator:
\(\Delta := (\Delta ^{-1})^{-1}\colon \Delta ^{-1}(L^2(\Omega )) \rightarrow L^2(\Omega )\) heißt schwacher Laplace-Operator.

Satz (Spektralsatz für den Laplace-Operator):
Sei \(\Omega \subset \real ^n\) ein beschränktes und stückweise \(\C ^1\)-berandetes Gebiet. Dann gilt:

\(\sigma _p(-\Delta ) = \{\lambda _k \;|\; k \in \natural \}\) mit \(0 < \lambda _1 \le \lambda _2 \le \dotsb \), \(\dim (\Kern (\lambda _k\id + \Delta )) < \infty \) und
\(\lim _{k \to \infty } \lambda _k = \infty \)
Es gibt eine Folge \((e_k)_{k \in \natural }\) in \(H_0^1(\Omega )\), sodass \((e_k)_{k \in \natural }\) ein vollständiges ONS in \(L^2(\Omega )\) aus Eigenvektoren von \(-\Delta \) ist, d. h. \(\forall _{\varphi \in H_0^1(\Omega )}\; \innerproduct {e_k, \varphi }_{H_0^1} = \lambda _k \innerproduct {e_k, \varphi }_{L^2}\) und
\(\forall _{u \in L^2(\Omega )}\; u \overset {L^2}{=} \sum _{k=1}^\infty \innerproduct {u, e_k}_{L^2} e_k,\; \norm {u}_{L^2}^2 = \sum _{k=1}^\infty |\innerproduct {u, e_k}_{L^2}|^2\).
Für \(k \in \natural \) gilt \(\lambda _k = \min \left \{\left .\frac {\norm {u}_{H_0^1}^2}{\norm {u}_{L^2}^2} \;\right |\; u \in H_0^1 \setminus \{0\},\; u \;\orth \; [e_1, \dotsc , e_{k-1}]\right \}\).