Partielle Differentialgleichungen – Zusätzliches

Zusatz: Übersicht über die behandelten DGLs

Alle Funktionen hängen von $(x, t) \in \Omega _T$ ab, soweit nicht anders erklärt. Es ist $\div := \div _x$ und $\Delta := \Delta _x$.

DGL	Name	Herleitung
$\partial _t u + \div F = G$	Transport-Reaktionsgleichung	Massenbilanz in Kontrollvolumen, $F(x,t) \in \real ^d$ Fluss, $G(x,t) \in \real $ Konz.gewinn
$\partial _t u = G(x, t, u(x,t))$	parametrisierte ODE	aus TRGL: $F :\equiv 0$, $G$ $u$-abhängig
$\partial _t u + \div (vu) = 0$	Advektionsgleichung	aus TRGL: $F := vu$ mit $v \in \C ^1(\Omega _T, \real ^d)$ Geschw.feld, $G :\equiv 0$
$\partial _t u + \div F(u) = 0$	nicht-lineare Konvektionsgl.	aus TRGL: $F := F(u)$, $G :\equiv 0$
$\partial _t u + \partial _x (v(u) \cdot u) = 0$	Konvektionsgleichung	aus nicht-linearer Konvektionsgl.: $d := 1$, $F(u) := v(u) \cdot u$
$\partial _t u + \partial _x(\frac {1}{2} u^2) = 0$	Burgersgleichung	aus nicht-linearer Konvektionsgl.: $d := 1$, $F(u) := \frac {1}{2} u^2$
$\partial _t u - \div (a(x) \nabla u) = 0$	allg. Diffusionsgleichung	aus TRGL: $F := -a(x) \nabla u$ (Ficksches Gesetz) mit $a \in \C ^1(\Omega )$ Diff.koeff., $G :\equiv 0$
$\partial _t u - \Delta u = 0$	Diffusionsgleichung/instat. WLG	aus allg. Diffusionsgleichung: $a(x) :\equiv 1$
$-\Delta u = 0$	Laplace-Gleichung	aus instat. Wärmeleitungsgleichung mit $t \to \infty $ und $u(\cdot , t) \to \overline {u}(\cdot ) \in \C ^2(\overline {\Omega })$ glm.
$-\Delta u = f$	Poisson-Gleichung	aus Laplace-Gleichung mit $G := f(x)$
$-\div _x(\nabla _p L(\nabla u, u, x)) + \partial _z L(\nabla u, u, x) = 0$	Euler-Lagrange-Gleichung	PDE für Lösung $u$ des Variationsproblems $I(u) \le I(w) := \int _\Omega L(\nabla w, w, x)\dx $
$-a_{11}(x) u’’(x) + c(x) u(x) = f(x)$	Sturm-Liouville-Problem	aus ELGL: $L(p, z, x) := \frac {1}{2} p^\tp A(x) p + \frac {1}{2} c(x) z^2 - z f(x)$, $d := 1$, $a_{11}(x) > 0$, $c(x) > 0$
$\partial _t^2 u - c^2 \Delta u = 0$	Wellengleichung	aus ELGL: $L(p, z, x) := \frac {c^2}{2} \sum _{i=1}^d \|p_i\|^2 - \frac {1}{2} \|p_{d+1}\|^2$ aus Hamilton-Prinzip
$-\Delta u + W’(u) = 0$	stat. Allen-Cahn-Gleichung	aus ELGL: $L(p, z, x) := W(z) + \frac {1}{2} \norm {p}^2$ mit z. B. $W(z) := (z^2 - 1)^2$

Zusatz: Übersicht über die Aussagen über PDE-Klassen

PDE	Problem	Definition/Satz	Voraussetzungen/Aussage
Advektions-gleichung	konstante Adv.geschw.	Definition	$\Omega := \real ^d$, $T := \infty $, $b \in \real ^d$, $u_0 \in \C ^1(\Omega )$ $\implies $ $\partial _t u + \div (bu) = 0$ in $\Omega _T$, $u(\cdot , 0) = u_0$ in $\Omega $
		Translationsinv.	$\forall _{(x, t) \in \Omega _T} \forall _{s \in (-t, T-t)}\; \frac {\d }{\ds } u(x + bs, t + s) = 0$
		Ex. + Eind.	$u(x, t) := u_0(x - bt)$ eind. kl. Lsg.
		$L^\infty $-Stabilität	$u_0 \in \C ^1(\Omega ) \cap L^\infty (\Omega ) \implies \forall _{t \in (0, T)}\; \norm {u(\cdot , t)}_{L^\infty } \le \norm {u_0}_{L^\infty }$
		Max.-/Min.prinzip	$u_0 \in \C ^1(\Omega ) \cap L^\infty (\Omega ) \implies \forall _{(x, t) \in \Omega _T}\; \inf _{\overline {x} \in \Omega } u_0(\overline {x}) \le u(x, t) \le \sup _{\overline {x} \in \Omega } u_0(\overline {x})$
		st. Abh. von $u_0$	$u_0, u_0’ \in \C ^1(\Omega ) \cap L^\infty (\Omega ) \implies \forall _{t \in (0, T)}\; \norm {u(\cdot , t) - u’(\cdot , t)}_{L^\infty } \le \norm {u_0 - u_0’}_{L^\infty }$
		keine st. Abh. von $b$	$\lnot [\forall _{t \in (0, T)} \exists _{C(t) > 0} \forall _{u_0 \in \C ^1(\Omega ) \cap L^\infty (\Omega ), \norm {u_0}_{L^\infty } \le 1} \forall _{b, b’ \in \real }\; \norm {u(\cdot , t) - u’(\cdot , t)}_{L^\infty } \le C(t) \norm {b - b’}]$
	Reaktions-/ Quellterm	Definition	$q \in \C ^0(\Omega _T)$ $\implies $ $\partial _t u + \div (bu) = q$ in $\Omega _T$, $u(\cdot , 0) = u_0$ in $\Omega $
	Reaktions-/ Quellterm	Ex. + Eind.	$u(x, t) := u_0(x - bt) + \int _0^t q(x + (s-t)b, s)\ds $ eind. kl. Lsg.
	nicht-lineare Konvektion	Definition	$\Omega := \real $, $T > 0$, $f \in \C ^2(\real )$, $u_0 \in \C ^1(\Omega )$ $\implies $ $\partial _t u + \partial _x(f(u)) = 0$ in $\Omega _T$, $u(\cdot , 0) = u_0$ in $\Omega $
	nicht-lineare Konvektion	lokale Ex.	$\norm {f’’}_\infty , \norm {u_0’}_\infty < \infty \implies \forall _{\overline {x} \in \real } \exists _{\varepsilon > 0} \exists _{T > 0} \exists _{u \in \C ^1(B_\varepsilon (\overline {x}) \times (0, T))}\; [\text {$u$ kl. Lsg.}]$, $u(x, t) = u_0(x - tf’(u(x, t)))$
Poisson-Gleichung	Laplace-Gleichung	Definition	$\Omega \subset \real ^d$ $\implies $ $-\Delta u = 0$ in $\Omega $
		MW-Eigenschaft	$u \in C^2(\Omega )$ harm., $x \in \Omega $, $r > 0$, $\overline {B_r(x)} \subset \Omega $ $\implies \fint _{B_r(y)} u(y) \dy = u(x) = \fint _{\partial B_r(x)} u(y) \dsigma (y)$
		Max.prinzip	$\Omega $ offen, beschr., $u \in \C ^2(\overline {\Omega })$ harm. $\implies \max _{x \in \overline {\Omega }} u(x) = \max _{x \in \partial \Omega } u(x)$
		verallg. Max.prinz.	$\Omega $ offen, beschr., $u \in \C ^2(\Omega ) \cap \C ^0(\overline {\Omega })$, $-\Delta u = f \le 0$ $\implies $ $u$ nimmt Max. auf dem Rand an
		Vgl.prinzip	$\Omega $ offen, beschr., $u, v \in \C ^2(\Omega ) \cap \C ^0(\overline {\Omega })$, $-\Delta u \le -\Delta v$ in $\Omega $, $u \le v$ auf $\partial \Omega $ $\implies $ $u \le v$ in $\Omega $
		Regularität	$\Omega := \real ^d$, $u \in \C ^2(\Omega )$ harm. $\implies u \in \C ^\infty (\Omega )$
		Fundamentallsg.	$\Omega := \real ^d \setminus \{0\}$, $d > 1$ $\implies \Phi \in \C ^\infty (\Omega )$, $\Phi (x) := -\frac {1}{2\pi } \cdot \ln (\norm {x})$ für $d = 2$, $\Phi (x) := \frac {1}{(d-2)\omega _d} \cdot \frac {1}{\norm {x}^{d-2}}$ für $d \ge 3$
		Eigenschaften	$\int _{B_\varepsilon (0)} \Phi (x)\dx \to 0$, $\Phi \in L^1_\loc (\real ^d)$, $\Phi (\varepsilon e_1) \varepsilon ^{d-1} \to 0$, $\forall _{\varepsilon >0}\; \int _{\partial B_\varepsilon (0)} \nabla \Phi (x) \cdot n\dsigma (x) = -1$
	Poisson-Gleichung	Definition	$\Omega \subset \real ^d$, $f\colon \Omega \to \real $ $\implies $ $-\Delta u = f$ in $\Omega $
		Rotationsinv.	$u \in \C ^2(\Omega )$ kl. Lsg., $O \in \real ^{d \times d}$ orth., $\Omega = O\Omega $, $f = f \circ O$ $\implies v \in \C ^2(\Omega )$ kl. Lsg., $v(x) := u(Ox)$
		Faltungslösung	$\Omega := \real ^d$, $d \ge 2$, $f \in \C ^2_0(\Omega )$ $\implies u := \Phi \ast f$ kl. Lsg.
	Poisson-RWP	Definition	$\Omega \subset \real ^d$ offen, beschr., $f \in \C ^0(\Omega )$, $g \in \C ^0(\partial \Omega )$ $\implies $ $-\Delta u = f$ in $\Omega $, $u = g$ auf $\partial \Omega $
		Eind.	es gibt höchstens eine kl. Lsg. $u \in \C ^2(\Omega ) \cap \C ^0(\overline {\Omega })$
		st. Abh. von $g$	$g, g’ \in \C ^0(\partial \Omega ) \implies \norm {u - u’}_\infty \le \norm {g - g’}_\infty $
		st. Abh. von $f$	$f, f’ \in C^0(\Omega ) \implies \norm {u - u’}_\infty \le C \norm {f - f’}_\infty $, $C := \frac {R^2}{2}$, $R := \sup _{x \in \Omega } \norm {x}$

PDE	Problem	Definition/Satz	Voraussetzungen/Aussage
Diffusions-gleichung	AWP	Definition	$\Omega \subset \real ^d$, $T > 0$, $u_0\colon \Omega \to \real $ $\implies $ $\partial _t u - \Delta u = 0$ in $\Omega _T$, $u(\cdot , 0) = u_0$ in $\Omega $
		Skal.inv.	$\Omega := \real ^d$, $T := \infty $, $u \in \C ^2(\Omega _T)$ kl. Lsg., $\lambda \in \real $ $\implies u_\lambda $ kl. Lsg., $u_\lambda (x, t) := u(\lambda x, \lambda ^2 t)$
		Fundamentallsg.	$\Omega := \real ^d$, $T := \infty $ $\implies \Phi \in \C ^\infty (\Omega _T)$, $\Phi (x, t) := \frac {1}{(4\pi t)^{d/2}} e^{-\norm {x}^2/(4t)}$
		Faltungslösung	$\Omega := \real ^d$, $T := \infty $, $u_0 \in L^\infty (\Omega )$ $\implies u \in \C ^\infty (\Omega _T)$, $u(\cdot , t) := \Phi (\cdot , t) \ast u_0$ kl. Lsg., für $u_0 \in \C ^0(\real )$ gilt $\forall _{\overline {x} \in \Omega }\; \lim _{(x, t) \to (\overline {x}, 0)} u(x, t) = u_0(\overline {x})$, $\forall _{t > 0}\; \norm {u(\cdot , t)}_{L^\infty } \le \norm {u_0}_{L^\infty }$
		ARWP	Definition	$g\colon \partial \Omega \times (0, T) \to \real $ $\implies $ $\partial _t u - \Delta u = 0$ in $\Omega _T$, $u(\cdot , 0) = u_0$ in $\Omega $, $u = g$ auf $\partial \Omega \times (0, T)$
	Max.prinzip	ARWP	$u$ nimmt Maximum auf parabolischem Rand $\Gamma := (\Omega \times \{0\}) \cup (\partial \Omega \times [0, T])$ an
	inhom. ARWP	Definition	$f\colon \Omega _T \to \real $ $\implies $ $\partial _t u - \Delta u = f$ in $\Omega _T$, $u(\cdot , 0) = u_0$ in $\Omega $, $u = g$ auf $\partial \Omega \times (0, T)$
		Eind.	$\Omega \subset \real ^d$ Lipschitz $\implies $ es gibt höchstens eine kl. Lsg.
		Konv. gg. stat. Lsg.	$\Omega \subset \real ^d$ Lipschitz, $f, g$ zeitunabh., $-\Delta \overline {u} = f$ in $\Omega $, $\overline {u} = g$ auf $\partial \Omega $ $\implies \norm {u(\cdot , t) - \overline {u}}_{L^2} \le e^{-t/c_p} \norm {u_0 - \overline {u}}_{L^2}$
	Wellen-gleichung	AWP	Definition	$\Omega := \real ^d$, $T > 0$, $c > 0$, $u_0 \in \C ^2(\Omega )$, $v_0 \in \C ^1(\Omega )$ $\implies $ $\partial _t^2 u - c^2 \Delta u = 0$ in $\Omega _T$, $u(\cdot , 0) = u_0$, $\partial _t u(\cdot , 0) = v_0$ in $\Omega $
			Ex. + Eind.	$d := 1 \implies u(x, t) := \frac {1}{2} (u_0(x+ct) + u_0(x-ct)) + \frac {1}{2c} \int _{x-ct}^{x+ct} v_0(s)\ds $ eind. kl. Lsg.
$L^\infty $-Stabilität			$d := 1$, $u_0 \in \C ^2(\Omega ) \cap L^\infty (\Omega )$, $v_0 \in \C ^1(\Omega ) \cap L^1(\Omega )$ $\implies \forall _{t \ge 0}\; \norm {u(\cdot , t)}_{L^\infty } \le \norm {u_0}_{L^\infty } + \frac {1}{2c} \norm {v_0}_{L^1}$
st. Abh. von $u_0, v_0$			$d := 1$, $u_0, \overline {u_0} \in \C ^2 \cap L^\infty $, $v_0, \overline {v_0} \in \C ^1 \cap L^1$ $\implies \forall _{t \ge 0}\; \norm {u(\cdot , t) - \overline {u}(\cdot , t)}_{L^\infty } \le C \left (\norm {u_0 - \overline {u_0}}_{L^\infty } + \norm {v_0 - \overline {v_0}}_{L^1}\right )$
Abh.kegel			$d := 1$, $(x_0, t_0) \in \Omega _T$, $\forall _{\|x - x_0\| \le ct_0}\; u_0(x) = v_0(x) = 0$ $\implies $ $u(x,t) = 0$ für $t \in [0, t_0]$, $\|x - x_0\| \le c(t_0 - t)$
inhom. ARWP		Definition	$\Omega \subset \real ^d$, $f\colon \Omega _T \to \real $, $g\colon \partial \Omega \times (0, T) \to \real $, $u_0, v_0\colon \Omega \to \real $ $\implies $ $\partial _t^2 u - c^2 \Delta u = f$ in $\Omega _T$, $u(\cdot , 0) = u_0$ in $\Omega $, $\partial _t u(\cdot , 0) = v_0$ in $\Omega $, $u = g$ auf $\partial \Omega \times (0, T)$
		Eind.	$\Omega \subset \real ^d$ Lipschitz $\implies $ es gibt höchstens eine kl. Lsg.

DGL	Name	Herleitung
\(\partial _t u + \div F = G\)	Transport-Reaktionsgleichung	Massenbilanz in Kontrollvolumen, \(F(x,t) \in \real ^d\) Fluss, \(G(x,t) \in \real \) Konz.gewinn
\(\partial _t u = G(x, t, u(x,t))\)	parametrisierte ODE	aus TRGL: \(F :\equiv 0\), \(G\) \(u\)-abhängig
\(\partial _t u + \div (vu) = 0\)	Advektionsgleichung	aus TRGL: \(F := vu\) mit \(v \in \C ^1(\Omega _T, \real ^d)\) Geschw.feld, \(G :\equiv 0\)
\(\partial _t u + \div F(u) = 0\)	nicht-lineare Konvektionsgl.	aus TRGL: \(F := F(u)\), \(G :\equiv 0\)
\(\partial _t u + \partial _x (v(u) \cdot u) = 0\)	Konvektionsgleichung	aus nicht-linearer Konvektionsgl.: \(d := 1\), \(F(u) := v(u) \cdot u\)
\(\partial _t u + \partial _x(\frac {1}{2} u^2) = 0\)	Burgersgleichung	aus nicht-linearer Konvektionsgl.: \(d := 1\), \(F(u) := \frac {1}{2} u^2\)
\(\partial _t u - \div (a(x) \nabla u) = 0\)	allg. Diffusionsgleichung	aus TRGL: \(F := -a(x) \nabla u\) (Ficksches Gesetz) mit \(a \in \C ^1(\Omega )\) Diff.koeff., \(G :\equiv 0\)
\(\partial _t u - \Delta u = 0\)	Diffusionsgleichung/instat. WLG	aus allg. Diffusionsgleichung: \(a(x) :\equiv 1\)
\(-\Delta u = 0\)	Laplace-Gleichung	aus instat. Wärmeleitungsgleichung mit \(t \to \infty \) und \(u(\cdot , t) \to \overline {u}(\cdot ) \in \C ^2(\overline {\Omega })\) glm.
\(-\Delta u = f\)	Poisson-Gleichung	aus Laplace-Gleichung mit \(G := f(x)\)
\(-\div _x(\nabla _p L(\nabla u, u, x)) + \partial _z L(\nabla u, u, x) = 0\)	Euler-Lagrange-Gleichung	PDE für Lösung \(u\) des Variationsproblems \(I(u) \le I(w) := \int _\Omega L(\nabla w, w, x)\dx \)
\(-a_{11}(x) u’’(x) + c(x) u(x) = f(x)\)	Sturm-Liouville-Problem	aus ELGL: \(L(p, z, x) := \frac {1}{2} p^\tp A(x) p + \frac {1}{2} c(x) z^2 - z f(x)\), \(d := 1\), \(a_{11}(x) > 0\), \(c(x) > 0\)
\(\partial _t^2 u - c^2 \Delta u = 0\)	Wellengleichung	aus ELGL: \(L(p, z, x) := \frac {c^2}{2} \sum _{i=1}^d \|p_i\|^2 - \frac {1}{2} \|p_{d+1}\|^2\) aus Hamilton-Prinzip
\(-\Delta u + W’(u) = 0\)	stat. Allen-Cahn-Gleichung	aus ELGL: \(L(p, z, x) := W(z) + \frac {1}{2} \norm {p}^2\) mit z. B. \(W(z) := (z^2 - 1)^2\)