Funktionalanalysis 2 – Einbettungssätze für Sobolev- und Hölderräume

Wiederholung und Motivation

Bemerkung: Zur Wiederholung werden die Definitionen von Sobolev- und Hölderräumen wiedergegeben.

Sobolevraum: Seien \(\Omega \subset \real ^n\) offen, \(m \in \natural _0\) und \(p \in [1, \infty ]\).
Dann heißt der Vektorraum \(W^{m,p}(\Omega ) := \{f \in L^p(\Omega ) \;|\; \forall _{s \in \natural _0^n,\, |s| \le m} \exists _{f^{(s)} \in L^p(\Omega )}\; f^{(0)} = f,\)
\(\forall _{\varphi \in \C ^\infty _c(\Omega )}\; \int _\Omega (\partial _x^s \varphi ) f \dx = (-1)^{|s|} \int _\Omega \varphi f^{(s)} \dx \}\) Sobolevraum der Ordnung \(m\) mit Exponent \(p\).
\(W^{m,p}(\Omega )\) wird mit der Norm \(\norm {f}_{W^{m,p}(\Omega )} := \sum _{|s| \le m} \norm {f^{(s)}}_{L^p(\Omega )}\) versehen. Für \(p = 2\) schreibt man auch \(H^m(\Omega ) := W^{m,2}(\Omega )\) bzw. \(\norm {\cdot }_{H^m(\Omega )} := \norm {\cdot }_{W^{m,2}(\Omega )}\). Die Funktionen \(f^{(s)}\) für \(|s| \ge 1\) heißen schwache Ableitungen von \(f\) und werden mit \(\partial _x^s f := f^{(s)}\) bezeichnet.

Bemerkung: Es gilt \(W^{m,p}(\Omega ) = \overline {W^{m,p}(\Omega ) \cap \C ^\infty (\Omega )}^{\norm {\cdot }_{W^{m,p}(\Omega )}}\) für \(p < \infty \).
\(W^{m,p}_0(\Omega ) := \overline {\C ^\infty _c(\Omega )}^{\norm {\cdot }_{W^{m,p}(\Omega )}}\) ist der Sobolevraum mit (verallg.) Nullrandwerten.

Hölderraum: Seien \(\Omega \subset \real ^n\) offen oder kompakt, \(k \in \natural _0\) und \(\alpha \in (0, 1]\).
\(\C ^{k,\alpha }(\Omega ) := \{f \in \C ^k_b(\Omega ) \;|\; \partial _x^j f \in \C ^{0,\alpha }(\Omega ) \text { für } |j| = k\}\) heißt Hölderraum der Ordnung \(k\) mit Exponent \(\alpha \). \(\C ^{k,\alpha }(\Omega )\) wird mit der Norm \(\norm {f}_{\C ^{k,\alpha }(\Omega )} := \norm {f}_{\C ^k(\Omega )} + \sum _{|j|=k} [\partial _x^j f]_{\C ^{0,\alpha }(\Omega )}\) versehen, wobei \([f]_{\C ^{0,\alpha }(\Omega )} := \sup _{x_1, x_2 \in \Omega ,\; x_1 \not = x_2} \frac {|f(x_1) - f(x_2)|}{|x_1 - x_2|^\alpha }\). (Für \(\alpha = 0\) definiert man \(\C ^{k,0}(\Omega ) := \C ^k(\Omega )\).)

Bemerkung: Gesucht sind Bedingungen an \(n, m, p, k, \alpha \), sodass \(W^{m,p}(\real ^n) \subset \C ^{k,\alpha }(\real ^n)\)
(oder sodass \(W^{m,p}(\Omega ) \subset \C ^{k,\alpha }(\overline {\Omega })\) mit \(\Omega \subset \real ^n\) offen, beschränkt, Lipschitz-berandet).

Für \(u \in W^{1,\infty }(\real ^n)\) gilt \(\sup _{x_1, x_2 \in \real ^n,\; x_1 \not = x_2} \frac {|u(x_1) - u(x_2)|}{|x_1 - x_2|} \le \sup _{x \in \real ^n} |\nabla u(x)|\) nach dem Mittelwertsatz (auch Hauptsatz der Differentialrechnung). Für \(u \in W^{1,\infty }(\real ^n)\) gilt also \(u \in \C ^{0,1}(\real ^n)\), d. h. für den Fall \((m, p, k, \alpha ) = (1, \infty , 0, 1)\) gilt \(W^{m,p}(\real ^n) \subset \C ^{k,\alpha }(\real ^n)\).

Man kann zeigen: Allgemeiner existieren für bestimmte \(\alpha \in (0, 1)\) und \(p \in [1, \infty )\) auch Ungleichungen der Form \([u]_{\C ^{0,\alpha }(\real ^n)} \le C(n,p) \norm {\nabla u}_{L^p(\real ^n)}\) (Fall \(m = 1\), \(k = 0\)).

Um an die Beziehung zwischen \(\alpha , n, p\) zu gelangen, bedient man sich eines Skalierungsarguments. Angenommen, eine solche Ungleichung existiert für \(u \in W^{1,p}(\real ^n)\). Dann ist für \(\lambda > 0\) auch \(u_\lambda \in W^{1,p}(\real ^n)\) mit \(u_\lambda (x) := u(\frac {x}{\lambda })\). Es gilt \([u_\lambda ]_{\C ^{0,\alpha }(\real ^n)} = \sup _{x_1 \not = x_2} \frac {|u_\lambda (x_1) - u_\lambda (x_2)|}{|x_1 - x_2|^\alpha }\)
\(= \lambda ^{-\alpha } \cdot \sup _{x_1 \not = x_2} \frac {|u(x_1/\lambda ) - u(x_2/\lambda )|}{|x_1/\lambda - x_2/\lambda |^\alpha } = \lambda ^{-\alpha } \cdot [u]_{\C ^{0,\alpha }(\real ^n)}\) sowie
\(\norm {\nabla u_\lambda }_{L^p(\real ^n)} = \left (\int _{\real ^n} |\nabla u_\lambda (x)|^p \dx \right )^{1/p} = \left (\int _{\real ^n} \lambda ^{-p} |\nabla u(\frac {x}{\lambda })|^p \dx \right )^{1/p} = \left (\int _{\real ^n} \lambda ^{n-p} |\nabla u(y)|^p \dy \right )^{1/p}\)
\(= \lambda ^{n/p-1} \cdot \norm {\nabla u}_{L^p(\real ^n)}\). Unter der Annahme der Existenz der obigen Ungleichung gilt damit
\(\lambda ^{-\alpha } \cdot [u]_{\C ^{0,\alpha }(\real ^n)} = [u_\lambda ]_{\C ^{0,\alpha }(\real ^n)} \le C(n,p) \cdot \norm {\nabla u_\lambda }_{L^p(\real ^n)} = C(n,p) \lambda ^{n/p-1} \cdot \norm {\nabla u}_{L^p(\real ^n)}\) bzw.
\([u]_{\C ^{0,\alpha }(\real ^n)} \le \lambda ^{n/p-1+\alpha } \cdot C(n,p) \norm {\nabla u}_{L^p(\real ^n)}\). Diese Ungleichung kann nur für alle \(\lambda > 0\) gelten, wenn \(\frac {n}{p} - 1 + \alpha = 0\) ist, also \(1 - \frac {n}{p} = \alpha \). Insbesondere muss wegen \(\alpha > 0\) auch \(p > n\) gelten.
Für höhere Ableitungen (\(m > 1\) oder \(k > 0\)) verfährt man ähnlich.

Man vermutet daher, dass \(W^{m,p}(\real ^n) \subset \C ^{k,\alpha }(\real ^n)\) für \(m \in \natural \), \(p \in [1, \infty )\), \(k \in \natural _0\) und \(\alpha \in (0, 1)\) mit \(m - \frac {n}{p} = k + \alpha \).

Bemerkung: Gesucht sind Bedingungen an \(n, m_1, p_1, m_2, p_2\), sodass \(W^{m_1,p_1}(\real ^n) \subset W^{m_2,p_2}(\real ^n)\) (oder sodass \(W^{m_1,p_1}(\Omega ) \subset W^{m_2,p_2}(\Omega )\) mit \(\Omega \subset \real ^n\) offen, beschränkt, Lipschitz-berandet).

Für \(1 \le p < n\) kann man zeigen, dass es ein \(p^\ast > p\) gibt mit \(\norm {u}_{L^{p^\ast }(\real ^n)} \le C(n,p) \norm {\nabla u}_{L^p(\real ^n)}\) für alle \(u \in W^{1,p}(\real ^n)\). Daraus folgt dann direkt \(W^{1,p}(\real ^n) \subset L^{p^\ast }(\real ^n)\) (Fall \(m_1 = 1\), \(m_2 = 0\)).

Zur Bestimmung von \(p^\ast \) benutzt man wieder obiges Reskalierungsargument:
\(\norm {u_\lambda }_{L^{p^\ast }(\real ^n)} = \lambda ^{n/p^\ast } \cdot \norm {u}_{L^{p^\ast }(\real ^n)}\) und \(\norm {\nabla u_\lambda }_{L^p(\real ^n)} = \lambda ^{n/p-1} \cdot \norm {\nabla u}_{L^p(\real ^n)}\) wie oben.
Damit gilt \(\lambda ^{n/p^\ast } \cdot \norm {u}_{L^{p^\ast }(\real ^n)} = \norm {u_\lambda }_{L^{p^\ast }(\real ^n)} \le C(n,p) \norm {\nabla u_\lambda }_{L^p(\real ^n)} = \lambda ^{n/p-1} \cdot C(n,p) \norm {\nabla u}_{L^p(\real ^n)}\), also \(\norm {u}_{L^{p^\ast }(\real ^n)} \le \lambda ^{n/p-1-n/p^\ast } \cdot C(n,p) \norm {\nabla u}_{L^p(\real ^n)}\) für alle \(\lambda > 0\). Daraus folgt \(\frac {n}{p} - 1 - \frac {n}{p^\ast } = 0\) bzw. \(1 - \frac {n}{p} = -\frac {n}{p^\ast } \iff p^\ast = \frac {np}{n - p}\).

Als Verallgemeinerung vermutet man \(W^{m_1,p_1}(\real ^n) \subset W^{m_2,p_2}(\real ^n)\) für bestimmte \(m_1, m_2 \in \natural _0\) mit \(m_1 \ge m_2\) und \(p_1, p_2 \in [1, \infty )\) (genauer: für \(m_1 - \frac {n}{p_1} = m_2 - \frac {n}{p_2}\) und \(m_1 \ge m_2\)).

Beispiel: Wie hoch muss \(m \in \natural \) sein, damit \(H^m(\real ^3) \subset \C ^2(\real ^3)\)? (Zunächst sollen nur die Einbettungen \(W^{1,p}(\real ^n) \subset \C ^{0,\alpha }(\real ^n)\) und \(W^{1,p}(\real ^n) \subset L^{p^\ast }(\real ^n)\) benutzt werden.)

Sei \(u \in H^m(\real ^3)\). Dann existieren die schwachen Ableitungen \(\partial _x^j u \in L^2(\real ^3)\) in den Ordnungen \(|j| \le m\). Für \(H^m(\real ^3)\) ist \(p = 2\) und damit kleiner als \(n = 3\). Daher kann die erste Einbettung aus den Bemerkungen oben nicht verwendet werden. Stattdessen kann man die zweite Einbettung \(W^{1,p}(\real ^n) \subset L^{p^\ast }(\real ^n)\) verwenden. Es gilt \(p^\ast = \frac {np}{n - p} = \frac {3 \cdot 2}{3 - 2} = 6\), also \(H^1(\real ^3) \subset L^6(\real ^3)\). Wegen \(\forall _{|j| \le m-1}\; \partial _x^j u \in H^1(\real ^3)\) gilt daher \(\partial _x^j u \in L^6(\real ^3)\) für alle \(|j| \le m - 1\), also \(u \in W^{m-1,6}(\real ^3)\).

Nun gilt \(p^\ast > n\), daher kann man jetzt die erste Einbettung verwenden (für \(m’ := m - 1\)). Aus der Gleichung \((m-1) - \frac {n}{p^\ast } = k + \alpha \) errechnet man \(\alpha = (m-1) - \frac {n}{p^\ast } - k = (m-1) - \frac {3}{6} - 2 \in (0, 1)\) zum Beispiel für \((m-1) = 3\) (mit dem gewünschten \(k = 2\)). Damit gilt \(W^{3,6}(\real ^3) \subset \C ^{2,1/2}(\real ^3)\).

Insgesamt gilt also \(H^m(\real ^3) \subset H^4(\real ^3) \subset W^{3,6}(\real ^3) \subset \C ^{2,1/2}(\real ^3) \subset \C ^2(\real ^3)\) für \(m \ge 4\).

Wenn man \(W^{m,p}(\real ^n) \subset \C ^{k,\alpha }(\real ^n)\) mit \(m - \frac {n}{p} = k + \alpha \) verwendet, so erhält man das Resultat direkt (mit \((n, m, p, k, \alpha ) = (3, 4, 2, 2, \frac {1}{2})\)).

Bemerkung: Was kann man für beschränkte Gebiete erwarten?

Sei \(f_\varrho \colon \overline {B_1(0)} \subset \real ^n \to \real \) mit \(f_\varrho (x) := |x|^\varrho \) für \(x \not = 0\) und \(f_\varrho (0) := 0\), wobei \(\varrho \in \real \setminus \natural _0\).
Man kann direkt nachrechnen, dass dann gilt:

Für \(k \in \natural _0\) und \(\alpha \in (0, 1]\) gilt \(f_\varrho \in \C ^{k,\alpha }(\overline {B_1(0)}) \iff \varrho \ge k + \alpha \).
Für \(m \in \natural _0\) und \(p \in [1, \infty )\) gilt \(f_\varrho \in W^{m,p}(B_1(0)) \iff \varrho \ge m - \frac {n}{p}\).

Dies motiviert die Vermutungen

\(W^{m_1,p_1}(B_1(0)) \subset W^{m_2,p_2}(B_1(0))\) für \(m_1 - \frac {n}{p_1} \ge m_2 - \frac {n}{p_2}\), \(m_1 \ge m_2\) und \(p_1, p_2 \in [1, \infty )\) sowie
\(W^{m,p}(B_1(0)) \subset \C ^{k,\alpha }(\overline {B_1(0)})\) für \(m - \frac {n}{p} \ge k + \alpha \), \(p \in [1, \infty )\) und \(\alpha \in (0, 1)\).

Gagliardo-Nirenberg-Sobolev-Ungleichung

Bemerkung: Die Gagliardo-Nirenberg-Sobolev-Ungleichung beweist durch das anschließende Korollar die Einbettung \(W^{m_1,p_1}(\real ^n) \subset W^{m_2,p_2}(\real ^n)\) für den Fall \(m_1 = 1\), \(m_2 = 0\).

Satz (Gagliardo-Nirenberg-Sobolev-Ungleichung):
Seien \(p \in [1, n)\), \(p^\ast := \frac {np}{n - p}\) und \(u \in \C ^1_c(\real ^n)\).
Dann ist \(u \in L^{p^\ast }(\real ^n)\) mit \(\norm {u}_{L^{p^\ast }(\real ^n)} \le C(n,p) \norm {\nabla u}_{L^p(\real ^n)}\).

Folgerung: Seien \(p \in [1, n)\), \(p^\ast := \frac {np}{n - p}\) und \(u \in W^{1,p}(\real ^n)\).
Dann ist \(u \in L^{p^\ast }(\real ^n)\) mit \(\norm {u}_{L^{p^\ast }(\real ^n)} \le C(n,p) \norm {\nabla u}_{L^p(\real ^n)}\).

Bemerkung: Für den Beweis des Korollars muss man Glättung durch Faltung (wenn \(u\) kompakten Träger besitzt) und Abschneiden durch Multiplikation (wenn \(u\) keinen kompakten Träger besitzt) durchführen.

Lemma (Approximation durch Faltung): Seien \(\varphi \in \C ^\infty _c(\real ^n)\) mit
\(\forall _{y \in \real ^n}\; \varphi (y) \ge 0,\; \varphi (-y) = \varphi (y)\) und \(\int _{\real ^n} \varphi (y)\dy = 1\) sowie \(\varphi _\varepsilon (x) := \varepsilon ^{-n} \varphi (\frac {x}{\varepsilon })\) für \(\varepsilon > 0\).
Außerdem seien \(u \in L^p(\real ^n)\) und \(u_\varepsilon := \varphi _\varepsilon \ast u\). Dann gilt

\(\supp (\varphi \ast u) \subset \overline {\supp (\varphi ) + \supp (u)}\),
\(u_\varepsilon \in \C ^\infty (\real ^n)\) mit \(\partial _x^s u_\varepsilon = (\partial _x^s \varphi _\varepsilon ) \ast u\),
für \(u \in W^{1,p}(\real ^n)\) gilt \(\nabla u_\varepsilon = (\nabla u)_\varepsilon := \varphi _\varepsilon \ast \nabla u\),
(4)
- \(\norm {u_\varepsilon }_{L^p(\real ^n)} \le \norm {u}_{L^p(\real ^n)}\) (wegen \(\norm {\varphi \ast u}_{L^p(\real ^n)} \le \norm {\varphi }_{L^1(\real ^n)} \norm {u}_{L^p(\real ^n)}\)) und
- für \(u \in W^{1,p}(\real ^n)\) gilt \(\norm {(\nabla u)_\varepsilon }_{L^p(\real ^n)} \le \norm {\nabla u}_{L^p(\real ^n)}\)
und
(5)
- \(\lim _{\varepsilon \to 0} \norm {u_\varepsilon - u}_{L^p(\real ^n)} = 0\),
- damit gilt für \(u \in W^{1,p}(\real ^n)\), dass \(\lim _{\varepsilon \to 0} \norm {u_\varepsilon - u}_{W^{1,p}(\real ^n)} = 0\),
- außerdem \(\forall _{R > 0}\; \lim _{\varepsilon \to 0} \norm {u_\varepsilon - u}_{L^1(B_R(0))} = 0\) und
- damit \(u_\varepsilon \to u\) f.ü. in \(\real ^n\).

Lemma (Approximation durch Abschneidefunktionen):
Seien \(\eta \in \C ^\infty (\real ^n)\) mit \(\forall _{z \in \real ^n}\; \eta (z) \in [0, 1]\), \(\eta (z) = 1\) für alle \(|z| \le 1\) und \(\eta (z) = 0\) für alle \(|z| \ge 2\) sowie \(\eta _R(z) := \eta (\frac {z}{R})\) für \(R > 0\). Außerdem seien \(u \in W^{1,p}(\real ^n)\) und \(u_R := \eta _R \cdot u\).
Dann gilt \(u_R \in W^{1,p}(\real ^n)\), wobei

\(\norm {u_R}_{L^p(\real ^n)} \le \norm {u}_{L^p(\real ^n)}\),
\(\norm {\nabla u_R}_{L^p(\real ^n)} \le \norm {\nabla u}_{L^p(\real ^n)} + \frac {1}{R} \norm {\nabla \eta }_{L^\infty (\real ^n)} \norm {u}_{L^p(\real ^n)}\) (wegen \(\nabla u_R = \eta _R \nabla u + u \nabla \eta _R\)).

Teil 1 des Sobolevschen Einbettungssatzes

Lemma (Fortsetzungsoperator): Seien \(\Omega \subset \real ^n\) offen, beschränkt und Lipschitz-berandet,
\(p \in [1, \infty ]\) und \(\delta > 0\). Dann gibt es einen linearen und stetigen Fortsetzungsoperator
\(E\colon W^{1,p}(\Omega ) \to W_0^{1,p}(B_\delta (\Omega ))\) mit \(\forall _{u \in W^{1,p}(\Omega )}\; (Eu)|_\Omega = u\).

Satz (Teil 1 des Sobolevschen Einbettungssatzes):
Seien \(m_1, m_2 \in \natural _0\) und \(p_1, p_2 \in [1, \infty )\).

Ist \(m_1 - \frac {n}{p_1} = m_2 - \frac {n}{p_2}\) und \(m_1 \ge m_2\), dann existiert die Einbettung
\(\id \colon W^{m_1,p_1}(\real ^n) \to W^{m_2,p_2}(\real ^n)\) und ist stetig, d. h.
\(\exists _{C > 0} \forall _{u \in W^{m_1,p_1}(\real ^n)}\; \norm {u}_{W^{m_2,p_2}(\real ^n)} \le C \norm {u}_{W^{m_1,p_1}(\real ^n)}\) mit \(C = C(n, m_1, p_1, m_2, p_2)\).
Sei \(\Omega \subset \real ^n\) offen, beschränkt und Lipschitz-berandet.
Ist \(m_1 - \frac {n}{p_1} \ge m_2 - \frac {n}{p_2}\) und \(m_1 \ge m_2\), dann existiert die Einbettung
\(\id \colon W^{m_1,p_1}(\Omega ) \to W^{m_2,p_2}(\Omega )\) und ist stetig, d. h.
\(\exists _{C > 0} \forall _{u \in W^{m_1,p_1}(\Omega )}\; \norm {u}_{W^{m_2,p_2}(\Omega )} \le C \norm {u}_{W^{m_1,p_1}(\Omega )}\) mit \(C = C(\Omega , n, m_1, p_1, m_2, p_2)\).
Ist \(m_1 - \frac {n}{p_1} > m_2 - \frac {n}{p_2}\) und \(m_1 > m_2\), dann ist die Einbettung \(\id \colon W^{m_1,p_1}(\Omega ) \to W^{m_2,p_2}(\Omega )\) sogar kompakt.
Für \(\widetilde {\Omega } \subset \real ^n\) nur offen und beschränkt gelten die Aussagen (2) und (3) für die Räume \(W^{m_i,p_i}_0(\widetilde {\Omega })\) anstatt \(W^{m_i,p_i}(\Omega )\), wobei \(W^{0,p}_0(\widetilde {\Omega }) := L^p(\widetilde {\Omega })\).

Morreysche Ungleichung

Bemerkung: Die Morreysche Ungleichung beweist durch den zweiten Teil des anschließenden Korollars die Einbettung \(W^{m,p}(\real ^n) \subset \C ^{k,\alpha }(\real ^n)\) für den Fall \(m = 1\), \(k = 0\).

Satz (Morreysche Ungleichung): Seien \(p \in (n, \infty ]\), \(\alpha := 1 - \frac {n}{p}\) und \(u \in \C ^1(\real ^n)\).
Dann ist \(u \in \C ^{0,\alpha }(\real ^n)\) mit \([u]_{\C ^{0,\alpha }(\real ^n)} \le C(n,p) \norm {\nabla u}_{L^p(\real ^n)}\).

Bemerkung: Die Bedingung \(p > n\) ist nötig, damit keine Singularitäten auftreten (sonst \(\alpha \le 0\)).

Hölder-stetig für \(L^p\)-Funktionen: Seien \(u \in L^p(\real ^n)\) und \(\alpha \in [0, 1]\).
Dann heißt \(u\) Hölder-stetig mit Exponent \(\alpha \) (\(u \in \C ^{0,\alpha }(\real ^n)\)), falls \(\exists _{\widetilde {u} \in \C ^{0,\alpha }(\real ^n)}\; u = \widetilde {u} \text { f.ü. auf } \real ^n\). Außerdem sei \(\norm {u}_{\C ^{0,\alpha }(\real ^n)} := \norm {\widetilde {u}}_{\C ^{0,\alpha }(\real ^n)}\). Analog sind \(u \in \C ^{k,\alpha }(\real ^n)\) und \(\norm {u}_{\C ^{k,\alpha }(\real ^n)}\) für \(k \in \natural _0\) definiert. \(\real ^n\) kann durch \(\Omega \) für \(\Omega \subset \real ^n\) offen ersetzt werden.

Folgerung: Seien \(p \in (n, \infty )\) und \(\alpha := 1 - \frac {n}{p}\).

Sei \(u \in L^1_\loc (\real ^n)\) mit \(\nabla u \in L^p(\real ^n)\).
Dann ist \(u \in \C ^{0,\alpha }(\real ^n)\) mit \([u]_{\C ^{0,\alpha }(\real ^n)} \le C(n,p) \norm {\nabla u}_{L^p(\real ^n)}\).
Sei \(u \in W^{1,p}(\real ^n)\).
Dann ist \(u \in \C ^{0,\alpha }(\real ^n)\) mit \(\norm {u}_{\C ^{0,\alpha }(\real ^n)} \le C(n,p) \norm {u}_{W^{1,p}(\real ^n)}\).

Teil 2 des Sobolevschen Einbettungssatzes

Lemma (Einbettungssätze für Hölder-Räume):
Sei \(\Omega \subset \real ^n\) offen, beschränkt und Lipschitz-berandet. Dann gilt:

Für \(k \in \natural _0\) ist die Einbettung \(\id \colon \C ^{k+1}(\overline {\Omega }) \to \C ^{k,1}(\overline {\Omega })\) stetig.
Seien \(k_1, k_2 \in \natural _0\) und \(\alpha _1, \alpha _2 \in [0, 1]\) mit \(k_1 + \alpha _1 > k_2 + \alpha _2\) (im Fall \(k_1 = 0\) kann sogar auf die Lipschitz-Berandung verzichtet werden).
Dann ist die Einbettung \(\id \colon \C ^{k_1,\alpha _1}(\overline {\Omega }) \to \C ^{k_2,\alpha _2}(\overline {\Omega })\) kompakt, wobei \(\C ^{k,0}(\overline {\Omega }) := \C ^k(\overline {\Omega })\).

Satz (Teil 2 des Sobolevschen Einbettungssatzes):
Seien \(m \in \natural \), \(p \in [1, \infty )\), \(k \in \natural _0\) und \(\alpha \in [0, 1]\).

Ist \(m - \frac {n}{p} = k + \alpha \) und \(\alpha \in (0, 1)\), dann existiert die Einbettung \(\id \colon W^{m,p}(\real ^n) \to \C ^{k,\alpha }(\real ^n)\) und ist stetig, d. h. \(\exists _{C > 0} \forall _{u \in W^{m,p}(\real ^n)}\; \norm {u}_{\C ^{k,\alpha }(\real ^n)} \le C \norm {u}_{W^{m,p}(\real ^n)}\) mit \(C = C(n, m, p, k, \alpha )\).
Sei \(\Omega \subset \real ^n\) offen, beschränkt und Lipschitz-berandet.
Ist \(m - \frac {n}{p} \ge k + \alpha \) und \(\alpha \in (0, 1)\), dann existiert die Einbettung \(\id \colon W^{m,p}(\Omega ) \to \C ^{k,\alpha }(\overline {\Omega })\) und ist stetig, d. h. \(\exists _{C > 0} \forall _{u \in W^{m,p}(\Omega )}\; \norm {u}_{\C ^{k,\alpha }(\overline {\Omega })} \le C \norm {u}_{W^{m,p}(\Omega )}\) mit \(C = C(\Omega , n, m, p, k, \alpha )\).
Ist \(m - \frac {n}{p} > k + \alpha \) und \(\alpha \in [0, 1]\), dann existiert die Einbettung \(\id \colon W^{m,p}(\Omega ) \to \C ^{k,\alpha }(\overline {\Omega })\) und ist stetig und kompakt.
Für \(\widetilde {\Omega } \subset \real ^n\) nur offen und beschränkt gelten die Aussagen (2) und (3) für die Räume \(W^{m,p}_0(\widetilde {\Omega })\) anstatt \(W^{m,p}(\Omega )\).

Satz (Einbettung für \(p = \infty \), \(\alpha = 1\) ist Isomorphismus):
Seien \(k \in \natural _0\) sowie \(\Omega \subset \real ^n\) offen, beschränkt und Lipschitz-berandet.
Dann ist die Einbettung \(\id \colon \C ^{k,1}(\overline {\Omega }) \to W^{k+1,\infty }(\Omega )\) ein Isomorphismus.