Lineare Algebra und Analytische Geometrie 1 – Lineare Gleichungssysteme

Theoretisches

lineares Gleichungssystem:

\(\begin {array}{rcrcccrcl} \alpha _{11} x_1 & + & \alpha _{12} x_2 & + & \cdots & + & \alpha _{1n} x_n & = & \beta _1 \\ \alpha _{21} x_1 & + & \alpha _{22} x_2 & + & \cdots & + & \alpha _{2n} x_n & = & \beta _2 \\ \vdots & & \vdots & & & & \vdots & & \vdots \\ \alpha _{m1} x_1 & + & \alpha _{m2} x_2 & + & \cdots & + & \alpha _{mn} x_n & = & \beta _m \end {array}\)

Ein lineares Gleichungssystem (math image) besteht aus \(m\) Gleichungen, \(n\) Unbestimmten \(x_j\) (\(1 \le j \le n\)), Koeffizienten \(\alpha _{ij} \in K\) und \(\beta _i \in K\) (\(1 \le i \le m\)) und hat die links angegebene Form.

Matrixform:

Ein LGS

kann in eine Matrixgleichung \(Ax = b\) umgeschrieben werden.
Dabei ist \(x =\) \(\begin {pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end {pmatrix}\) \(\in K^n\), \(b = \) \(\begin {pmatrix}\beta _1 \\ \vdots \\ \beta _m\end {pmatrix}\) \(\in K^m\) und \(A = (\alpha _{ij}) \in M_{m \times n}(K)\).
Der zu gehörende Homomorphismus \(f_A: K^n \rightarrow K^m\) wird definiert als \(f_A(x) = Ax\) für \(x \in K^n\) (unabhängig von \(b\)). Es ist \(\hommatrix {f_A}{\stdbasis {m}}{\stdbasis {n}} = A\). Die Lösungsgesamtheit (math image)

von

besteht aus allen Vektoren in der Faser \(f_A^{-1}(b)\). homogenes LGS: Sei ein LGS (math image)

mit \(Ax = b\) gegeben.
Ist \(b\) der Nullvektor, so heißt (math image)

homogen, sonst inhomogen.
Ist (math image)

homogen, so ist die Lösung \(x = 0\) die triviale Lösung.
Ist (math image)

inhomogen, so heißt das LGS (math image)

mit \(Ax = 0\) das zu gehörige homogene System. Satz (Lösungen eines homogenen LGS): Die Lösungsgesamtheit eines homogenen LGS \(Ax = 0\) besteht genau aus den Vektoren von \(\ker f_A\). Folgerung: Ein homogenes LGS (math image)

(\(Ax = 0\)) besitzt genau dann nur die triviale Lösung, wenn der zugehörige Homomorphismus \(f_A\) injektiv ist.
Die Menge der Lösungen von (math image)

ist ein Unterraum von \(K^n\) mit der Dimension \(n - \rg (A)\). Satz (Lösbarkeit): Sei \(\lgs {G}: Ax = b\) ein LGS mit \(A \in M_{m \times n}(K)\). Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (math image)

besitzt eine Lösung, \(b \in \im f_A\), \(\rg (A) = \rg (A|b)\).
(math image)

hat genau dann eine eindeutige Lösung, wenn \(\rg (A) = \rg (A|b) = n\). Satz (Lösungen): Sei \(x_0\) eine Lösung des LGS (math image)

. Dann ist \(\lgslsg {G} = x_0 + \ker f_A\). Folgerung: Sei \(\lgs {G}: Ax = b\) ein LGS mit \(n\) Gleichungen und \(n\) Unbestimmten. Dann hat (math image)

eine eindeutige Lösung genau dann, wenn \(A\) invertierbar ist. In diesem Fall ist die Lösung \(x = A^{-1}b\). Folgerung: Sei \(m < n\) und \(\lgs {H}: Ax = 0\) ein homogenes LGS mit \(m\) Gleichungen und \(n\) Unbestimmten. Dann hat (math image)

nichttriviale Lösungen. 6.2 Konkretes Satz (LGS-Umformungen): Sei \(\lgs {G}: Ax = b\) ein LGS mit \(A \in M_{m \times n}(K)\).
Kann man \((A|b)\) in (\(A’|b’)\) mittels elementaren Zeilenoperationen umwandeln, so ist \(\lgslsg {G} = \lgslsg {G’}\)
(wobei \(\lgs {G’}: A’x = b’\)). Wandelt man \(A\) in \(A’’\) durch eine Permutation \(\pi \) der Spalten von \(A\) um, so erhält man \(\lgslsg {G}\) aus \(\lgslsg {G’’}\), indem man auf die Komponenten jedes Lösungsvektors \(x_0\) von \(\lgslsg {G’}\) die inverse Permutation \(\pi ^{-1}\) anwendet (wobei \(\lgs {G’’}: A’’x = b\)). Satz (Lösen von LGS):

\(\left (\begin {array}{ccccccc|c} 1 & 0 & \cdots & 0 & \delta _{1, r+1} & \cdots & \delta _{1, n} & \beta ’_1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & \delta _{2, r+1} & \cdots & \delta _{2, n} & \beta ’_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \delta _{r, r+1} & \cdots & \delta _{r, n} & \beta ’_r \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & \beta ’_{r+1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & \beta ’_m \end {array}\right )\)

Sei \(\lgs {G}: Ax = b\) ein LGS mit \(A \in M_{m \times n}(K)\). Dann kann \((A|b)\) durch Zeilenoperationen und Anwendung einer Permutation \(\pi \) der Spalten von \(A\) auf die Gestalt \((A’|b’)\) (siehe links) gebrachten werden. Dabei ist \(r = \rg (A)\) sowie \(\delta _{kl}, \beta ’_i \in K\) (\(1 \le k \le r < r+1 \le l \le n\), \(1 \le i \le m\)).

Satz (Lösungen eines LGS):

\(x_0 = \begin {pmatrix}\beta ’_1 \\ \vdots \\ \beta ’_r \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end {pmatrix} \in K^n,\; x_i = \begin {pmatrix}-\delta _{1, r+i} \\ \vdots \\ -\delta _{r, r+i} \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0\end {pmatrix} \in K^n\)

Sei \(\lgs {G’}: A’x = b’\) ein LGS mit der obigen Form. Dann ist (math image) genau dann lösbar, falls \(\beta ’_{r+1} = \cdots = \beta ’_m = 0\).

In diesem Fall besteht \(\lgslsg {G’}\) aus allen Vektoren der Form

\(x = x_0 + \lambda _1 x_1 + \cdots + \lambda _s x_s\) mit \(\lambda _1, \ldots , \lambda _s \in K\), \(s = n - r\) sowie \(r = \rg (A)\), wobei der Eintrag \(1\) an der \(r+i\)-ten Stelle steht. Dabei ist \(x_0\) eine spezielle Lösung und \(\aufspann {x_1, \ldots , x_s} = \ker f_A\), genauer \(\{x_1, \ldots , x_s\}\) eine Basis von \(\ker f_A\).

Prozedur (Lineares Gleichungssystem lösen): Gegeben sei ein LGS \(\lgs {G}: Ax = b\).

Man bildet die augmentierte Matrix \((A|b)\).
Ist die erste Spalte eine Nullspalte, so vertauscht man sie mit der ersten Spalte vom \(A\)-Teil, die keine Nullspalte ist. Ist \(A\) die Nullmatrix, so ist man fertig (Schritt 6).
Ist das Element an Position \((1, 1)\) Null, so vertauscht man die erste Zeile mit einer Zeile, an deren erster Position keine Null steht.
Dann dividiert man die erste Zeile durch den ersten Eintrag, sodass dort eine \(1\) steht.
Durch Abziehen von Vielfachen der ersten Zeile kann man erreichen, dass in der ersten Spalte bis auf den ersten Eintrag nur Nullen stehen.
Dann macht man mit der zweiten Spalte und Zeile genau so weiter. Der \((2, 2)\)-te Eintrag ist dann eine Eins, durch Abziehen eines Vielfachen der zweiten Spalte kann man erreichen, dass der \((1, 2)\)-te Eintrag \(0\) ist.
Mit den anderen Zeilen/Spalten fährt man auf diese Weise fort. Man endet in einer Matrix \((A’|b’)\) der obigen Form.
Ist \(\beta ’_i \not = 0\) für ein \(i\) mit \(r + i \le i \le m\), dann ist das LGS nicht lösbar. Andernfalls füllt man \((A’|b’)\) auf (\(m < n\)) oder streicht Nullen (\(m > n\)), bis eine Matrix mit \(n\) Zeilen entsteht.
\(x_0\) ist dann eine spezielle Lösung des modifizierten LGS und die \(x_i\) (\(1 \le i \le n - r\)) eine Basis der Lösungsgesamtheit des zugehörigen homogenen LGS (siehe oben). Dann werden die Spaltenpermutationen durch Anwendung der inversen Permutation auf \(x_0, x_1, \ldots , x_{n-r}\) wieder rückgängig gemacht.
Die Lösungsgesamtheit des LGS ist dann \(\lgslsg {G} = x_0 + \aufspann {x_1, \ldots , x_{n-r}}\).

Numerisches

Treppenform: \(A = (\alpha _{ji}) \in M_{m \times n}(K)\) mit Zeilenvektoren \(z_j\) ist in Treppenform, falls \(A = (0)\) oder es Indizes \(1 \le i_1 < \cdots < i_r \le n\) (\(r = \rg (A)\)) gibt, sodass
1. alle Zeilen \(z_j\) mit \(j > r\) Nullzeilen sind und 2. für \(j \le r\) der erste von Null verschiedene Eintrag der Zeile \(z_j\) in Spalte \(i_j\) ist, d. h. \(\alpha _{ji_{j}} \not = 0\) sowie für \(k < i_j\) gilt \(\alpha _{jk} = 0\).

Beobachtung: Ein LGS in oberer Dreiecksgestalt (quadratisch, unter der Hauptdiagonalen Nullen) lässt sich durch Einsetzen von unten nach oben einfach auflösen. (Man kann immer annehmen, dass die Matrix quadratisch ist: sonst Nullzeilen/-spalten hinzufügen.)

Gauß-Algorithmus: Mit dem Gauß-Algorithmus lässt sich ein LGS sogar nur mit elementaren Zeilenoperationen (ohne Spaltenoperationen) lösen.

Zusätzliches: Projekt 6 (Affine Geometrie)

affiner Raum: Ein affiner Raum \((\affin {A}, V, \boldsymbol{+})\) besteht aus einer nicht-leeren Menge \(\affin {A}\) von Punkten, einem \(K\)-Vektorraum \(V\) und einer Abbildung \(\boldsymbol{+}: \affin {A} \times V \rightarrow \affin {A}\), sodass \((P + v) + u = P + (v + u)\), \(\exists !_{x \in V}\; Q = P + x\) sowie \(P + 0_V = P\) für alle \(P, Q \in \affin {A}\) und \(u, v \in V\).
Der eindeutig bestimmte Vektor \(x \in V\) in der Gleichung \(Q = P + x\) heißt \(x = \vektor {PQ}\).
Für \(\affin {A} = \emptyset \) entfallen Vektorraum und Abbildung.
Ist \(K = \real \) oder \(K = \complex \), so heißt \(\affin {A}\) reeller oder komplexer affiner Raum.
Die Dimension \(\dim \affin {A}\) eines affinen Raums ist \(\dim V\). Für \(\affin {A} = \emptyset \) ist \(\dim \affin {A} = -1\).

affiner Unterraum: Sei \((\affin {A}, V, \boldsymbol{+})\) ein affiner Raum. \((\affin {U}, V_\affin {U}, \boldsymbol{+})\) heißt affiner Unterraum von \(\affin {A}\), falls \(\affin {U} \subseteq \affin {A}\) und \(V_\affin {U} \ur V\) mit \(V_\affin {U} = \{v \in V \;|\; P + v \in \affin {U} \text { für alle } P \in \affin {U}\}\).
Zwei nicht-leere affine Unterräume \(\affin {U}, \affin {W}\) des affinen Raums \(\affin {A}\) heißen parallel (\(\affin {U} \parallel \affin {W}\)), falls \(V_\affin {U} \subseteq V_\affin {W}\) oder \(V_\affin {W} \subseteq V_\affin {U}\). \(\emptyset \) als affiner Unterraum ist parallel zu allen Unterräumen.

affine Abbildung: Seien \((\affin {A}, V_1, \boldsymbol{+})\), \((\affin {B}, V_2, \boldsymbol{+})\) zwei affine Räume (\(V_1, V_2\) \(K\)-Vektorräume). Eine Abbildung \(f: \affin {A} \rightarrow \affin {B}\) heißt affine Abbildung, falls es eine \(K\)-lineare Abbildung \(f^\ast : V_1 \rightarrow V_2\) gibt, sodass \(f^\ast (\vektor {PQ}) = \vektor {f(P) f(Q)}\) für alle \(P, Q \in \affin {A}\)
(alternativ \(f(P + v) = f(P) + f^\ast (v)\) für alle \(P \in \affin {A}\) und \(v \in V_1\)).
Eine bijektive affine Abbildung eines affinen Raums in sich heißt Affinität.

Lemma (Affinitäten und Isomorphismen): Eine affine Abbildung \(f\) ist genau dann eine Affinität, wenn \(f^\ast \) ein Isomorphismus ist.

Punkt, Gerade, Ebene: Sei \(\affin {A}\) ein affiner Raum.
Ein Punkt ist ein Element \(P \in \affin {A}\) (oder ein \(0\)-dimensionaler affiner Unterraum).
Eine Gerade bzw. eine Ebene ist ein \(1\)- bzw. \(2\)-dimensionaler Unterraum von \(\affin {A}\).

Verbindungsraum: Für zwei affine Unterräume \(\affin {U}, \affin {W}\) von \(\affin {A}\) ist \(\affin {U} \lor \affin {W}\) der Verbindungsraum und zwar der kleinste affine Unterraum von \(\affin {A}\), der \(\affin {U}\) und \(\affin {W}\) als Teilmengen enthält.

Lemma (Verbindungsraum und Durchschnitt): Es gilt \(V_{\affin {U} \lor \affin {W}} = V_\affin {U} + V_\affin {W}\) für \(\affin {U} \cap \affin {W} \not = \emptyset \) bzw. \(V_{\affin {U} \lor \affin {W}} = V_\affin {U} + V_\affin {W} + K (\vektor {PP’})\) für \(\affin {U} \cap \affin {W} = \emptyset \), wobei \(P \in \affin {U}\) und \(P’ \in \affin {W}\) fest gewählt sind.
Es gilt \(V_{\affin {U} \cap \affin {W}} = V_\affin {U} \cap V_\affin {W}\).

Satz (Dimensionssatz): Seien \(\affin {U}, \affin {W}\) zwei endlich-dimensionale affine Unterräume des affinen Raums \(\affin {A}\). Dann gilt \(\dim \affin {U} + \dim \affin {W} = \dim (\affin {U} \lor \affin {W}) + \dim (\affin {U} \cap \affin {W}) + \dim (V_\affin {U} \cap V_\affin {W})\) für den Fall \(\affin {U}, \affin {W} \not = \emptyset \) und \(\affin {U} \cap \affin {W} = \emptyset \). Andernfalls ist \(\dim \affin {U} + \dim \affin {W} = \dim (\affin {U} \lor \affin {W}) + \dim (\affin {U} \cap \affin {W})\).

kollinear: Drei Punkte \(x, y, z \in \affin {A}\) eines affinen Raums \(\affin {A}\) heißen kollinear, falls sie auf einer gemeinsamen Gerade liegen.

Teilverhältnis: Seien \(P, Q, R \in \affin {A}\) drei kollineare Punkte eines affinen Raums \(\affin {A}\).
Ist \(P \not = Q\), dann existiert ein Skalar \(t \in K\), sodass \(\vektor {PR} = t \cdot \vektor {PQ}\).
\(t = \TV (P, Q, R)\) heißt Teilverhältnis von \(P, Q, R\).

Satz (affine Abbildungen erhält Teilverhältnis): Seien \(P, Q, R \in \affin {A}\) drei kollineare Punkte eines affinen Raums \(\affin {A}\) und \(f: \affin {A} \rightarrow \affin {B}\) eine affine Abbildung.
Dann sind \(f(P), f(Q), f(R)\) ebenfalls kollinear. Ist \(P \not = Q\) sowie \(f(P) \not = f(Q)\), dann bleibt das Teilverhältnis erhalten, d. h. ist \(\vektor {PR} = t \cdot \vektor {PQ}\) für ein \(t \in K\), dann ist \(\vektor {f(P)f(R)} = t \cdot \vektor {f(P)f(Q)}\).

Fixpunkt, Fixgerade, Fixpunktgerade: Ein Fixpunkt \(P\) einer affinen Abbildung \(f: \affin {A} \rightarrow \affin {A}\) ist ein Punkt \(P \in \affin {A}\), sodass \(f(P) = P\). Eine Fixgerade ist eine Gerade, die wieder auf sich selbst abgebildet wird, d. h. das Bild jeden Punktes der Gerade liegt wieder auf der Gerade. Eine Fixpunktgerade ist eine Gerade, die nur aus Fixpunkten besteht, d. h. jeder Punkt wird auf sich selbst abgebildet.

Satz (Bestimmung von affinen Abbildungen durch Fixpunkte): Sei \(\affin {G}\) eine affine Gerade und \(f: \affin {G} \rightarrow \affin {G}\) eine affine Abbildung mit zwei verschiedenen Fixpunkten. Dann ist \(f\) die Identität.
Sei \(\affin {E}\) eine affine Ebene und \(f: \affin {E} \rightarrow \affin {E}\) eine affine Abbildung mit zwei verschiedenen Fixpunktgeraden. Dann ist \(f\) die Identität.

affines Koordinatensystem: Sei \((\affin {A}, V, \boldsymbol{+})\) ein affiner Raum. Eine Menge \(\{p_0, p_1, \ldots , p_n\}\) heißt affines Koordinatensystem, falls \(\{\vektor {p_0 p_i} \;|\; 1 \le i \le n\}\) eine Basis von \(V\) bildet.