Finite Elemente – Approximation mit gewichteten Splines

Um Abschätzungen der Form \(\norm {u - u_h}_\ell \le c h^{n+1-\ell } \norm {u}_{n+1}\) zu erhalten, benutzt man Céas Ungleichung, die besagt, dass der Fehler in der Energie-Norm durch den Fehler der besten Approximation aus dem FE-Unterraum beschränkt ist. Daher genügt es, die Approximationseigenschaften der Basisfunktionen zu analysieren, ohne auf die spezifischen Randwertprobleme eingehen zu müssen. Für die FE-Basen erhält man Abschätzungen wie \(\inf _{u_h} \norm {u - u_h}_1 \preceq h^n \norm {u}_{n+1}\), wobei die \(u_h\) gewichtete Approximationen vom Grad \(\le n\) aus den Räumen \(w\BB _h\) oder \(w^\e \BB _h\) sind.

Duale Funktionen

Es wäre eine nützliche Eigenschaft, wenn die B-Spline-Basis zusätzlich orthogonal wäre. Dies ist jedoch ohne Weiteres (wie andere Skalarprodukte) nicht möglich. Es ist aber möglich, duale Basen zu konstruieren. Für WEB-Splines handelt es sich um Funktionen \(\Lambda _i\) mit \(\innerproduct {\Lambda _i, B_k}_0 = \delta _{i,k}\) für \(i, k \in I\). Solche biorthogonalen Systeme sind für Stabilitätsfragen und lokale Approximationsschemata entscheidend. Zum Beispiel kann man einen kanonischen Projektionsoperator \(P_h u = \sum _{i \in I} \innerproduct {\Lambda _i, u}_0 B_i\) definieren (analog zu Orthogonalentwicklungen).

duale Funktionen: Für jeden \(m\)-dimensionalen Hyperkubus \(Q_i’ \subset \supp b_i\) mit Breite \(\theta h\) existiert eine Funktion \(\lambda _i\) mit Träger in \(Q_i’\), sodass

\begin{align*} \int _{Q_i’} \lambda _i b_k = \delta _{i,k},\quad k \in \integer ^m, \end{align*} und \(\norm {\lambda _i}_0 \le \const (m, n, \theta ) h^{-m/2}\) mit \(\const (m, n, \theta ) \to \infty \) für \(\theta \to 0\).

gewichtete duale Funktionen: Für WEB-Splines, die zu einer Gewichtsfunktion der Ordnung \(\gamma \) gehören, existieren lokal getragene, gleichmäßig beschränkte duale Funktionen \(\Lambda _i\), also

\begin{align*} \innerproduct {\Lambda _i, B_k}_0 = \delta _{i,k},\quad i, k \in \integer ^m, \end{align*} mit \(\supp \Lambda _i \subset Q_i\) und \(\norm {\Lambda _i}_0 \le \const (D, w, n) h^{-m/2}\).

Stabilität

Stabilität:
Für eine Gewichtsfunktion der Ordnung \(\gamma \) erfüllen Linearkombinationen von WEB-Splines

\begin{align*} \norm {\sum _{i \in I} c_i B_i}_0 \asymp h^{m/2} \norm {C}, \end{align*} wobei die Konstanten in den Abschätzungen von \(D\), \(w\) und \(n\) abhängen.

Bernstein-Ungleichung: Sei \(w\) eine Gewichtsfunktion der Ordnung \(\gamma \), die \(\ell \)-regulär ist, d. h. die partiellen Ableitungen bis zur Ordnung \(\ell \) sind beschränkt und

\begin{align*} |\partial ^\alpha w(x)| \le \const (w) \dist (w, \Gamma )^{\gamma -|\alpha |},\quad |\alpha | \le \min (\gamma , \ell ). \end{align*} Dann gilt

\begin{align*} h^\nu \norm {\sum _{i \in I} c_i B_i}_\nu \le \const (D, w, n) h^{m/2} \norm {C},\quad \nu \le \ell , \end{align*} für Linearkombinationen von WEB-Splines vom Grad \(n \ge \ell \).

Polynomiale Approximation

Taylor-Restglied:
Für eine glatte Funktion \(f\) und dem Taylor-Polynom \(p_n\) vom Grad \(\le n\) von \(f\) in \(x = 0\) gilt

\begin{align*} \norm {f - p_n}_{0,[0,h]} \le \frac {1}{(n+1)!} h^{n+1} \norm {f^{(n+1)}}_{0,[0,h]}. \end{align*}

Bramble-Hilbert-Abschätzung: Der Fehler der orthogonalen Projektion \(P_n\) auf Polynome vom totalen Grad \(\le n\) auf einem skalierten Gebiet \(hD\) erfüllt

\begin{align*} |f - P_n f|_{\nu ,hD} \le \const (D, n) h^{\mu -\nu } |f|_{\mu ,hD},\quad 0 \le \nu \le \mu \le n + 1. \end{align*}

Quasi-Interpolation

Standard-Projektor: Der Standard-Projektor, der durch

\begin{align*} P_h u := \sum _{i \in I} \innerproduct {\Lambda _i, u}_0 B_i, \end{align*} definiert ist, erfüllt \(P_h B_i = B_i\) und bildet gewichtete Polynome \(p\) vom Koordinatengrad \(\le n\) auf sich selbst ab:

\begin{align*} P_h (wp) = wp \end{align*} (sogar alle WEB-Splines aus dem Raum \(w^\e \BB _h\)). Wenn \(w\) eine \(\ell \)-reguläre Gewichtsfunktion der Ordnung \(\gamma \) ist, dann gilt für jede Gitterzelle \(Q\), dass

\begin{align*} \norm {P_h u}_{\nu ,Q \cap D} \le \const (D, w, n) h^{-\nu } \norm {u}_{0,Q’},\quad \nu \le \min (\ell , n), \end{align*} wobei \(Q_i := \bigcup _{i \in I(Q)} \supp B_i \subset D\) die Vereinigung der Träger aller WEB-Splines ist, die auf \(Q \cap D\) nicht verschwinden.

Approximationsordnung: Wenn \(w\) eine \(\ell \)-reguläre Gewichtsfunktion der Ordnung \(\gamma \) und \(v = u/w\) auf \(\overline {D}\) glatt ist, dann gilt

\begin{align*} \norm {u - P_h u}_\nu \le \const (D, w, u, n) h^{n+1-\nu },\quad \nu \le \min (\ell , n). \end{align*} Insbesondere haben WEB-Splines \(w^\e \BB _h\) und gewichtete Splines \(w\BB _h\) die optimale Approximationsordnung.

Rand-Regularität

Regularität von univariaten Quotienten: Für \(p(t) = tq(t)\) gilt

\begin{align*} \norm {q^{(\ell -1)}}_{0,[0,1]} \le 2 \norm {p^{(\ell )}}_{0,[0,1]}. \end{align*}

Regularität von Quotienten: Wenn \(w\) eine Standard-Gewichtsfunktion und \(u = wv\) ist, dann gilt für jedes Teilgebiet \(D’ \subset D\) mit Abstand \(\delta \) zum Rand, dass

\begin{align*} \norm {v}_{\ell ,D’} \le \const (w, \ell ) \delta ^{-1} \left (\norm {u}_{\ell ,D’} + \norm {v}_{\ell -1,D’}\right ). \end{align*} Außerdem gilt

\begin{align*} \norm {v}_{\ell -1} \le \const (D, w, \ell ) \norm {u}_\ell . \end{align*}

Fehlerabschätzungen für Standard-Gewichtsfunktionen

Jackson-Ungleichung: Wenn \(w\) eine Standard-Gewichtsfunktion ist, dann gilt

\begin{align*} \norm {u - P_h u}_\ell \le \const (D, w, n) h^{k-\ell } \norm {u}_k,\quad \ell < k \le n + 1, \end{align*} für jede Funktion \(u \in H^k\), die auf \(\partial D\) verschwindet.

Fehler von Ritz-Galerkin-Approximationen: Seien \(w\) eine Standard-Gewichtsfunktion und \(u_h\) die Ritz-Galerkin-Approximation aus \(w^\e \BB _h\) oder \(w\BB _h\) eines \(H_0^1\)-elliptischen Problems

\begin{align*} a(u, \varphi ) = \innerproduct {f, \varphi }_0,\quad \varphi \in H_0^1. \end{align*} Außerdem habe das duale Problem die Standard-Regularität, d. h. die Lösung \(u_\ast \) für die rechte Seite \(f_\ast \) erfüllt \(\norm {u_\ast }_2 \preceq \norm {f_\ast }_0\). Dann gilt

\begin{align*} \norm {e_h}_0 \le \const (D, a, w, n) h \norm {e_h}_1 \end{align*} mit \(e_h := u - u_h\).