Der n-dimensionale reelle Raum

Vektorraum \(\real ^n\):  Sei \(n \in \natural \). Auf \(\real ^n\) ist eine Addition definiert durch
\((\alpha _1, \ldots , \alpha _n) + (\beta _1, \ldots , \beta _n) = (\alpha _1 + \beta _1, \ldots , \alpha _n + \beta _n)\) und eine skalare Multiplikation definiert durch \(\lambda (\alpha _1, \ldots , \alpha _n) = (\lambda \alpha _1, \ldots , \lambda \alpha _n)\), wobei \(\alpha _i, \beta _i, \lambda \in \real \) für \(i = 1, \ldots , n\).

Satz (Vektorraum-Axiome im \(\real ^n\)): Die Addition im \(\real ^n\) ist assoziativ, es gibt einen Nullvektor \(0 = (0, \ldots , 0)\) (neutrales Element), für jeden Vektor \(v \in \real ^n\) gibt es ein eindeutig bestimmtes additiv Inverses \(-v \in \real ^n\) und die Addition ist kommutativ.
\(1 \in \real \) ist bzgl. der skalaren Multiplikation ein neutrales Element, die skalare Multiplikation ist skalar assoziativ (\((\lambda \mu ) v = \lambda (\mu v)\)), skalar distributiv (\(\lambda (u + v) = \lambda u + \lambda v\)) sowie vektoriell distributiv (\((\lambda + \mu ) v = \lambda v + \mu v\)).   Außerdem gilt \(0 \cdot v = 0\) sowie \((-1) \cdot v = -v\).

Linearkombinationen und Unterräume

skalare Vielfache:  Seien \(V = \real ^n\) und \(v \in V\).
Man schreibt \(\real v = \{\lambda v \;|\; \lambda \in \real \}\), die Elemente von \(\real v\) heißen skalare Vielfache.

Linearkombination:  Seien \(V = \real ^n\) und \(T \subseteq V\) mit \(T \not = \emptyset \). Eine Linearkombination von \(T\) ist ein Ausdruck der Form \(\lambda _1 v_1 + \cdots + \lambda _k v_k\), wobei \(v_i \in T\) und \(\lambda _i \in \real \) für \(i = 1, \ldots , k\) ist.

linearer Aufspann:  Seien \(V = \real ^n\) und \(T \subseteq V\) mit \(T \not = \emptyset \). Die Menge aller Linearkombinationen von \(T\) heißt linearer Aufspann und wird mit \(\aufspann {T}\) bezeichnet.
Also ist \(\aufspann {T} = \left \{\left . \sum _{i=1}^k \lambda _i v_i \;\right |\; v_i \in T,\; \lambda _i \in \real ,\; i = 1, \ldots , k \right \}\)
\(= \left \{\left . \sum _{t \in T} \lambda _t t \;\right |\; \lambda _t \in \real ,\; \lambda _t = 0 \text { f"ur fast alle } t \in T \right \}\).   Es ist \(\aufspann {\{v_1, \ldots , v_j\}} = \aufspann {v_1, \ldots , v_j}\).

Satz (Aufspann einer Teilmenge ist abgeschlossen): Sei \(T \subseteq \real ^n\) mit \(T \not = \emptyset \) sowie \(U = \aufspann {T}\).
Dann gilt \(u + v \in U\) und \(\lambda v \in U\) für \(u, v \in U\). Die Teilmenge \(U\) ist also abgeschlossen bzgl. Addition und skalarer Multiplikation.

reeller Vektorraum:  Ein reeller Vektorraum (\(\real \)-Vektorraum) ist eine Menge \(V\), für die zwei Abbildungen \(\boldsymbol{+}: V \times V \rightarrow V\), \((u, v) \mapsto u + v\) sowie \(\boldsymbol{\cdot }: \real \times V \rightarrow V\), \((\lambda , v) \mapsto \lambda \cdot v\) definiert sind. Dabei bildet \(V\) mit der Addition eine abelsche Gruppe und die skalare Multiplikation besitzt das neutrale Element \(1 \in \real \) (\(1 \cdot v = v\)), ist skalar assoziativ sowie skalar und vektoriell distributiv über der Vektoraddition.

Folgerung: Nullvektor und additiv inverse Elemente sind eindeutig.
Es gilt \(0 \cdot v = 0\),  \(\alpha \cdot 0 = 0\)  und  \((-1) \cdot v = -v\).

Zusätzliches: Polynome

Polynom:  Sei \(K\) ein Körper.
\(K[x]\) ist die Menge der Ausdrücke der Form \(f(x) = \sum _{i=0}^n \alpha _i x^i\) (\(n \in \natural _0\), \(\alpha _i \in K\)).
\(f(x)\) heißt Polynom vom Grad \(n = \deg f\) (\(a_n \not = 0\)). Für \(f = 0\) ist \(\deg f = -1\).
Eine polynomiale Funktion ist eine Funktion \(f: K \rightarrow K\), \(f(x) = \sum _{i = 0}^n \alpha _i x^i\).