Funktionalanalysis 2 – Die Sätze von Hille-Yosida und Lumer-Phillips

Spektrum dicht definierter, linearer Operatoren

Bemerkung: Im Folgenden ist $X$ ein $\complex $-Banachraum.

Resolventenmenge, -abbildung, Spektrum:
Sei $T\colon D(T) \rightarrow X$ ein dicht definierter, linearer Operator.

Die Menge $\varrho (T) := \{\lambda \in \complex \;|\; \text {$\lambda -T\colon D(T) \rightarrow X$ bijektiv, $(\lambda -T)^{-1} \in \Lin (X)$}\}$ heißt
Resolventenmenge von $T$.
$R\colon \varrho (T) \rightarrow \Lin (X)$, $\lambda \mapsto R_\lambda := (\lambda -T)^{-1}$ heißt Resolventenabbildung von $T$.
$\sigma (T) := \complex \setminus \varrho (T)$ heißt Spektrum von $T$.

Bemerkung: Ist $T$ auch noch abgeschlossen und $\lambda - T$ bijektiv, dann gilt $(\lambda -T)^{-1} \in \Lin (X)$ automatisch (Satz vom abg. Graphen für den abgeschlossenen, linearen Operator $(\lambda - T)^{-1}$).

Bemerkung: Ist $T$ nicht abgeschlossen, dann ist $\varrho (T) = \emptyset $ bzw. $\sigma (T) = \complex $. Daher interessiert man sich normalerweise nur für das Spektrum abgeschlossener Operatoren.

Satz (Eigenschaften): Sei $T\colon D(T) \rightarrow X$ ein dicht definierter, linearer Operator. Dann gilt:

$\varrho (T) \subset \complex $ ist offen.
$\sigma (T) \subset \complex $ ist abgeschlossen.
Ist $T$ nicht stetig, dann muss $\sigma (T)$ nicht kompakt sein und es kann $\sigma (T) = \emptyset $ gelten.
Die Resolventenabbildung $R\colon \varrho (T) \rightarrow \Lin (X)$ ist holomorph und $R_\lambda - R_\mu = (\mu - \lambda ) R_\lambda R_\mu $.

Der Satz von Hille-Yosida für Kontraktionshalbgruppen

Satz (Erzeuger von Kontraktionshalbgruppen):
Seien $(T(t))_{t \ge 0}$ eine Kontraktionshalbgruppe mit Erzeuger $A$ und $\lambda \in \complex $ mit $\Re (\lambda ) > 0$.
Dann gilt:

$\lambda \in \varrho (A)$
$\forall _{x \in X}\; (\lambda -A)^{-1} x = \int _0^\infty e^{-\lambda s} T(s) x \ds $
$\norm {(\Re \lambda ) (\lambda -A)^{-1}}_{\Lin (X)} \le 1$

Bemerkung: Teil (2) kann man als Laplace-Transformation von $s \mapsto T(s) x$ verstehen.

Satz (Satz von Hille-Yosida für Kontraktionshalbgruppen):
Ein linearer Operator $A$ ist ein Erzeuger einer Kontraktionshalbgruppe genau dann, wenn
$A$ dicht definiert und abg. ist, $(0, \infty ) \subset \varrho (A)$ gilt sowie $\forall _{\lambda > 0}\; \norm {\lambda (\lambda -A)^{-1}}_{\Lin (X)} \le 1$ gilt.

Der Satz von Hille-Yosida für allgemeine C₀-Halbgruppen

Satz (Erzeuger von allg. $\C _0$-Halbgruppen):
Seien $(T(t))_{t \ge 0}$ eine $\C _0$-Halbgruppe mit Erzeuger $A$, $M \ge 1$ und $\omega \in \real $ mit
$\forall _{t \ge 0}\; \norm {T(t)}_{\Lin (X)} \le M e^{\omega t}$ und $\lambda \in \complex $ mit $\Re (\lambda ) > \omega $. Dann gilt:

$\lambda \in \varrho (A)$
$\forall _{x \in X}\; (\lambda -A)^{-1} x = \int _0^\infty e^{-\lambda s} T(s) x \ds $
$\forall _{n \in \natural }\; \norm {(\Re \lambda - \omega )^n (\lambda -A)^{-n}}_{\Lin (X)} \le M$

Bemerkung: Teil (2) kann man als Laplace-Transformation von $s \mapsto T(s) x$ verstehen.

Satz (Satz von Hille-Yosida für allg. $\C _0$-Halbgruppen):
Ein linearer Operator $A$ ist ein Erzeuger einer $\C _0$-Halbgruppe genau dann, wenn
$A$ dicht definiert und abg. ist und es $M \ge 1$ und $\omega \in \real $ gibt mit $(\omega , \infty ) \subset \varrho (A)$ und
$\forall _{\lambda > \omega } \forall _{n \in \natural }\; \norm {(\lambda - \omega )^n (\lambda -A)^{-n}}_{\Lin (X)} \le M$.
In diesem Fall erfüllt die erzeugte Halbgruppe $(T(t))_{t \ge 0}$ die Abschätzung
$\forall _{t \ge 0}\; \norm {T(t)}_{\Lin (X)} \le M e^{\omega t}$.

Dissipative Operatoren

Dualitätsabbildung: Sei $X$ ein Banachraum. Dann heißt die Abbildung $J\colon X \to \P (X’)$ mit $J(x) := \{x’ \in X’ \;|\; \norm {x’}_{X’} = \norm {x}_X,\; x’(x) = \norm {x}_X^2\}$ Dualitätsabbildung von $X$.

Bemerkung: Nach einer Folgerung aus dem Satz von Hahn-Banach gibt es zu jedem $x \in X$ ein $x’ \in X’$ mit $\norm {x’}_{X’} = 1$ und $x’(x) = \norm {x}_X$. Daraus folgt $\norm {(\norm {x}_X x’)}_{X’} = \norm {x}_X$ und $(\norm {x}_X x’)(x) = \norm {x}_X^2$, d. h. $(\norm {x}_X x’) \in J(x)$. Insbesondere gilt $J(x) \not = \emptyset $ für alle $x \in X$.

Bemerkung: Für einen Hilbertraum $X$ erhält man $J(x) = \{\R x\}$ mit dem isometrischen Isomorphismus $\R \colon X \to X’$, $x \mapsto \innerproduct {\cdot , x}$ aus dem Rieszschen Darstellungssatz: Einerseits gilt $\R x \in J(x)$. Andererseits folgt aus $x’ \in J(x)$ mit $y := \R ^{-1} x’ \in X$, dass $\norm {y}_X = \norm {x}_X$ und $\innerproduct {x, y} = \norm {x}_X^2$, d. h. $\norm {x}_X^2 = \innerproduct {x, y} \le \norm {x}_X \norm {y}_X = \norm {x}_X^2$, nach C.-S. sind $x$ und $y$ linear abhängig, mit $\innerproduct {x, y} = \norm {x}_X^2$ folgt $y = x$ und damit $x’ = \R x$.

Beispiel:

Für $X = L^p$ mit $p \in (1, \infty )$ ist $J(f) \subset L^{p’} \cong (L^p)’$ ebenfalls immer einelementig, nämlich $J(f) = \{g\}$ mit $g(x) := \norm {f}_p^{2-p} \overline {f(x)} |f(x)|^{p-2}$ für $f(x) \not = 0$ bzw. $g(x) := 0$ für $f(x) := 0$ (wenn man $(L^p)’$ mit $L^{p’}$ mittels des konjugiert linearen, isometrischen Isomorphismus $J_{p’}\colon L^{p’} \to (L^p)’$, $(J_{p’} f)(g) := \int g \overline {f} d\mu $ identifiziert).
Für $X \in \{L^1, L^\infty , \C ^0([0, 1])\}$ ist $J$ i. A. mengenwertig, z. B. gilt für $X = \C ^0([0, 1])$, dass $J(x \mapsto 1)$ isomorph zur Menge aller Wahrscheinlichkeitsmaße auf $[0, 1]$ ist.

dissipativ/akkretiv: Sei $(A, D(A))$ ein linearer Operator.
$A$ heißt dissipativ, falls $\forall _{x \in D(A)} \exists _{x’ \in J(x)}\; \Re x’(Ax) \le 0$.
$A$ heißt akkretiv, falls $-A$ dissipativ ist.

Bemerkung: Für $X$ Hilbertraum ist $A$ dissipativ genau dann, wenn $\forall _{x \in D(A)}\; \Re \innerproduct {Ax, x} \le 0$.

Satz (Charakterisierung von Dissipativität):
Ein linearer Operator $A$ ist dissipativ genau dann, wenn $\forall _{\lambda > 0} \forall _{x \in D(A)}\; \norm {(\lambda - A) x}_X \ge \lambda \norm {x}_X$.

Der Satz von Lumer-Phillips

Satz (Satz von Lumer-Phillips):
Ein linearer Operator $A$ ist ein Erzeuger einer Kontraktionshalbgruppe genau dann, wenn
$A$ dicht definiert und dissipativ ist und $\lambda _0 - A$ für ein $\lambda _0 > 0$ surjektiv ist.
(In diesem Fall ist $\lambda - A$ für alle $\lambda > 0$ surjektiv.)

Beispiel:

Seien $X := \C ^0_0(\real ^n)$ und $A := \Delta $ mit $D(A) := \S (\real ^n)$. Dann ist $\Delta $ dissipativ: Sei $\varphi \in D(\Delta )$. Dann gibt es ein $x_0 \in \real ^n$ mit $|\varphi (x_0)| = \norm {\varphi }_X$. Mit $\alpha := \overline {\varphi (x_0)} \in \complex $ und $\ell := \alpha \delta _{x_0} \in X’$ gilt $\ell \in J(\varphi )$, weil einerseits $\norm {\ell }_{X’} = |\alpha | \norm {\delta _{x_0}}_{X’} = |\alpha | = |\varphi (x_0)| = \norm {\varphi }_X$ sowie andererseits $\ell (\varphi ) = \alpha \varphi (x_0) = |\varphi (x_0)|^2 = \norm {\varphi }_X^2$. Außerdem gilt $\Re (\ell (\Delta \varphi )) = \Re (\alpha \cdot (\Delta \varphi )(x_0)) \le 0$, da die reellwertige Funktion $\psi := \Re (\alpha \varphi )$ bei $x_0$ ihr Maximum annimmt, d. h. es gilt $\forall _{j=1,\dotsc ,n}\; \frac {\partial ^2\psi }{\partial x_j^2}(x_0) \le 0$. Somit ist $\Delta $ dissipativ.
Betrachte das Anfangs-RWP $v_t = v_{xx}$ für $t \ge 0$ und $x \in [0, 1]$, $v(0, x) = f_0(x)$ für $x \in [0, 1]$ und $v(t, 0) = 0 = v(t, 1)$ für $t \ge 0$ (eindimensionale Wärmeleitungsgleichung). Dieses Problem kann man wie folgt in ein abstraktes Cauchy-Problem übersetzen: Seien $X := \C ^0_0((0, 1))$, $A := \frac {\partial ^2}{\partial x^2}$ mit dem Definitionsbereich $D(A) := \C ^0_0((0, 1)) \cap \C ^2([0, 1])$ und $(u(t))(x) := v(t, x)$. Statt eine Lösung $v$ des Anfangs-RWPs zu bestimmen, kann man eine Lösung $u\colon [0, \infty ) \to X$ von $u’ = Au$, $u(0) = f_0$ bestimmen (jede Lösung $u$ induziert eine Lösung $v$, die Umkehrung gilt nicht). Eine Lösung $u$ existiert, wenn $A$ eine $\C _0$-Halbgruppe auf $X$ erzeugt. Dies ist nach dem Satz von Lumer-Phillips in der Tat der Fall, denn:
- $A$ ist dicht definiert (wegen $\overline {\C ^\infty _c((0, 1))}^{\norm {\cdot }_{\C ^0}} = X$),
- $A$ ist dissipativ (wie in (a)) und
- $\id - A$ ist surjektiv, was äquivalent dazu ist, dass das RWP $f - f’’ = g$ in $(0, 1)$ und $f(0) = 0 = f(1)$ für alle $g \in X$ eindeutig in $D(A)$ lösbar ist (was man mithilfe von Fouriertransformation oder Regularitätstheorie zeigen kann).