- Die erweiterte Zahlengerade extreal
- Die Borel-sigma-Algebra
- Fortsetzung von Maßen
- Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf ℝ
- Beispiele für Wahrscheinlichkeitsmaße mit Dichte
- Messbare Abbildungen
- Zufallsvariablen und ihre Verteilungen
- Das Lebesgue-Integral
- Grenzwertsätze für das Lebesgue-Integral
- Integration in ℝ und ℝⁿ
- Integration auf diskreten Maßräumen
- Erwartungswerte von Zufallsvariablen
- k-te Momente, Varianz und Streuung von Zufallsvariablen
Die erweiterte Zahlengerade extreal
erweiterte Zahlengerade: Die erweiterte Zahlengerade ist definiert als
Ausdrücke wie
Intervalle und Umgebungen: Intervalle
Bemerkung: Eine Teilmenge von
Die Borel-sigma-Algebra
erzeugte
Beispiel: Sei
Für
ist .Für eine Partition
von (d. h. paarweise disjunkt und ) gilt .
Satz (Abschluss der
Borel-
Dann heißt
Die Elemente von
Beispiel: Beispiele für Borel-Mengen von
die offenen und abgeschlossenen Intervalle
und ,die Elementarereignisse
(d. h. jede abzählbare Teilmenge von ),alle offenen und abgeschlossenen Teilmengen von
(jede offene Menge ist eine höchstens abzählbare Vereinigung offener Intervalle) undalle höchstens abzählbaren Vereinigungen oder Schnitte von offenen und/oder abgeschlossenen Teilmengen von
(z. B. das Cantorsche Diskontinuum).
Bemerkung:
Borel-
Dann heißt
Borel-
Dann heißt
Spur-
Dann ist
Ist
Fortsetzung von Maßen
Halbring: Sei
Für alle
mit existieren paarweise disjunkt mit
.
Beispiel:
Jede
-Algebra über ist ein Halbring.Für
ist ein Halbring über . ist ein Halbring über .
Satz (Vereinigung von zwei Mengen im Halbring): Sei
Dann gibt es paarweise disjunkte Mengen
Prämaß: Sei
Dann heißt eine Abbildung
(Nulltreue) für paarweise disjunkt mit
( -Additivität)
Falls es zusätzlich Mengen
Beispiel:
Jedes Maß ist auch ein Prämaß.
Für
und den Halbring ist mit für und sonst ein Prämaß. Es ist -endlich genau dann, wenn höchstens abzählbar ist. ist ein Halbring. Die Abbildung mit ist ein -endliches Prämaß und heißt Lebesgue-Prämaß.
Satz (Fortsetzungssatz von Carathéodory):
Seien
Dann gibt es genau ein Maß
Außerdem gilt für
Folgerung: Seien
Beispiel: Seien wieder
Weil das Zählmaß auch diese Eigenschaft hat, muss
Lebesgue-Maß: Das Lebesgue-Prämaß
Es gilt
Beispiel: Für
Satz (Aussagen über das Lebesgue-Maß):
Für
höchstens abzählbar gilt , d. h. ist eine Nullmenge.Es gilt
.Für
offen mit gilt .Sei
mit . Dann gilt
(Regularität von innen).Sei
. Dann gilt
(Regularität von außen).Für jede Isometrie
(d. h. mit orthogonal und ) und alle Mengen gilt sowie
(Bewegungsinvarianz des Lebesgue-Maßes).
Bemerkung: Es gibt kein bewegungsinvariantes Maß
(Unlösbarkeit des Maßproblems). Mithilfe des Auswahlaxioms kann man zeigen, dass es Mengen (sog. Vitali-Mengen) gibt, die nicht messbar sind.
Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf ℝ
Verteilungsfunktion: Eine Verteilungsfunktion auf
monoton wachsend und rechtsstetig (d. h. ) und
Beispiel: Die Funktion
Satz (von Verteilungsfunktion zu W-Maß): Sei
Dann existiert genau ein W-Maß
Beispiel: Die Funktion
Dichte: Eine Dichte ist eine nicht-negative, integrierbare Funktion
Bemerkung: In den meisten praktischen Anwendungen ist
(das Lebesgue-Integral), sodass man die Integrierbarkeit auf diesen Begriff erweitern kann.
Beispiele für Wahrscheinlichkeitsmaße mit Dichte
Gleichverteilung: Für
Exponentialverteilung: Für
Bemerkung: Die Exponentialverteilung ist das kontinuierliche Pendant zur geometrischen Verteilung im diskreten Fall. Zum Beispiel kann durch die Exponentialverteilung atomarer Zerfall durch Radioaktivität
modelliert werden. Die Exponentialverteilung ist wie die geometrische Verteilung gedächtnislos, d. h.
Normalverteilung: Für
Satz (Aussagen zu Normalverteilung):
Messbare Abbildungen
messbare Abbildung: Seien
Satz (Erzeugendensystem überprüfen): Seien
Beispiel:
Ist
diskret, so ist jede Abbildung messbar.Für
stetig mit der Borel- -Algebra und stetig, so sind und messbar. Für monoton ist ebenfalls messbar.
Satz (messbare Funktionen):
Für
messbar und messbar ist auch messbar.Für
mit und gilt, dass messbar ist genau dann, wenn messbar sind.
Satz (messbare Funktionen):
Seien
für und für (wenn punktweise konvergiert)
Bildmaß: Seien
Zufallsvariablen und ihre Verteilungen
Zufallsvariable: Seien
Verteilung: Sei
Verteilungsfunktion: Sei
Beispiel: Beim „gebrochenen Stab“ mit
Satz (Aussagen über Verteilungsfunktionen):
Sei
ist monoton wachsend und rechtsseitig stetig. undFür alle
gilt , wobei aufgrund der rechtsseitigen Stetigkeit.
Somit ist stetig genau dann, wenn für alle gilt.
Bemerkung: Nach (a) und (b) stimmt also obige Definition der Verteilungsfunktion mit der Definition im diskreten Fall überein.
diskret verteilt/mit Dichte verteilt: Eine reelle Zufallsvariable
Das Lebesgue-Integral
Bemerkung: Im Folgenden sei
Lebesgue-Integral für Indikatorfunktionen: Seien
Dann ist
Elementarfunktion: Seien
Lebesgue-Integral für Elementarfunktionen:
Sei
Dann ist
Bemerkung: Man kann zeigen, dass dieses Integral wohldefiniert ist, d. h. der Wert des Integrals hängt nicht von der Zerlegung in die
Lebesgue-Integral für nicht-negative Funktionen: Sei
Bemerkung: Damit gilt eine gewisse „Linearität“ (nämlich
punktweise Konvergenz von unten: Seien
Satz (Existenz einer Folge von Treppenfunktionen und Grenzwertsatz):
Sei
Es gibt eine Folge
mit und .Ist
eine Folge mit und , dann gilt
.
Nullmenge,
Eine Menge
heißt Nullmenge, falls .Eine Aussage
mit gilt -fast überall (für -fast alle ), falls es eine Nullmenge gibt mit .Für zwei Funktionen
mit für -fast alle schreibt man (analog sind auch , , usw. definiert).
Satz (Lebesgue-Integral invariant auf Nullmenge): Seien
Dann gilt
positiver/negativer Anteil: Sei
Dann heißt
Bemerkung: Es gilt
Lebesgue-Integral: Sei
In diesem Fall ist
Satz (Aussagen über das Lebesgue-Integral):
ist ein -Vektorraum und es gilt für alle und (Linearität).Für
mit gilt (Monotonie).Für
gilt und .Für
und mit gilt .Für
ist eine Nullmenge.
Satz (allgemeiner Transformationssatz): Seien
Dann gilt
Grenzwertsätze für das Lebesgue-Integral
Satz (Satz von Beppo-Levi zur monotonen Konvergenz):
Sei
Dann gibt es ein
Satz (Satz von Lebesgue zur majorisierten Konvergenz):
Seien
Dann gilt
Lemma (Lemma von Fatou): Seien
Dann gilt
Integration in ℝ und ℝⁿ
Satz (Riemann-integrierbar
Sei
Dann ist
Satz (uneigentliche Riemann-Integrierbarkeit): Seien
Dann gilt
In diesem Fall gilt
Satz (Integration bzgl. W-Maßen mit Dichte):
Seien
Dann gilt
In diesem Fall gilt
Satz (Satz von Fubini):
Seien
Zusätzlich gilt mindestens einer der beiden folgenden Fälle:
Dann gilt
Integration auf diskreten Maßräumen
Bemerkung: Sei
Für eine beliebige Funktion
In diesem Fall gilt
Mit diesen Beziehungen kann man die Theorie der diskreten W-Räume als Spezialfall der Theorie der kontinuierlichen W-Räume sehen.
Wählt man speziell
Erwartungswerte von Zufallsvariablen
Erwartungswert:
Seien
Dann heißt
Satz (Rechenregeln für den Erwartungswert): Seien
Dann gilt:
undFür
gilt und .Für
ist eine reelle Zufallsvariable und .Aus
folgt . ist eine reelle Zufallsvariable und .
Satz (Transformationssatz für Erwartungswerte): Seien
Dann ist
Hat
Satz (Erwartungswert von elementaren Verteilungen): Sei
Ist
(d. h. ist gleichverteilt), dann gilt .Ist
mit (d. h. ist exponentialverteilt), dann gilt .Ist
mit und (d. h. ist normalverteilt), dann gilt .
(stochastisch) unabhängig: Seien
Lemma (Kriterium für Unabhängigkeit von Zufallsvariablen): Seien
Dann sind
Satz (EW von Produkt von unabhängigen ZV ist Produkt der EW):
Seien
k-te Momente, Varianz und Streuung von Zufallsvariablen
Dann heißt
In diesem Fall definiert man
Bemerkung:
Satz (Höldersche Ungleichung): Seien
Folgerung: Seien
Dann gilt
(zentriertes)
Varianz:
Das zentrierte 2. Moment
Standardabweichung:
Die Wurzel
Satz (Transformationssatz für Momente): Seien
Dann ist
In diesem Fall gilt
Satz (Varianz von elementaren Verteilungen): Sei
Ist
(d. h. ist gleichverteilt), dann gilt .Ist
mit (d. h. ist exponentialverteilt), dann gilt .Ist
mit und (d. h. ist normalverteilt), dann gilt .
Satz (Rechenregeln für die Varianz): Seien
Für
ist und .Sind die Zufallsvariablen
unabhängig, so gilt
.Für
gilt .
Bemerkung: Aussage (b) gilt auch schon, wenn die Bildung der Erwartungswerte irgendwelcher der beteiligten Zufallsvariablen mit der Multiplikation verträglich ist. Daher kann man diese Aussage verallgemeinern.
unkorreliert: Seien
Bemerkung: Nach einem vorherigen Satz ist jede unabhängige Familie von Zufallsvariablen auch unkorelliert. Daher ist der folgende Satz eine Verallgemeinerung der Aussage (b) von eben.
Satz (Satz von Bienaymé): Seien
Bemerkung: Für eine reelle Zufallsvariable
Satz (Markovsche Ungleichung): Seien
Für
gilt für jedes
(Markovsche Ungleichung, für Tschebyscheff-Ungleichung).Wenn es ein
gibt mit für jedes , dann gilt für jedes .
Folgerung:
Seien
Dann gilt