Funktionalanalysis 2 – Elliptische Regularitätstheorie in Hölderräumen (Schaudertheorie)

Abschätzung der Hölder-Halbnorm zweiter Ordnung

lokale Hölderräume: Seien $\Omega \subset \real ^n$ offen oder kompakt, $k \in \natural _0$ und $\alpha \in (0, 1]$.
Dann heißt $\C ^{k,\alpha }_\loc (\Omega ) := \{f \in \C ^k_b(\Omega ) \;|\; \forall _{K \subset \Omega \text { kpkt.}}\; f \in \C ^{k,\alpha }(K)\}$ lokaler Hölderraum der Ordnung $k$ mit Exponent $\alpha $.

Satz (Abschätzung der $\C ^{2,\alpha }$-Halbnorm):
Sei $u \in \C ^{2,\alpha }_\loc (\real ^n)$ für $\alpha \in (0, 1)$ eine Lösung von $\Delta u = f$ in $\real ^n$ mit
$[u]_{\C ^{2,\alpha }(\real ^n)} := \sum _{|\alpha |=2} [\partial _x^\alpha u]_{\C ^{0,\alpha }(\real ^n)} < \infty $ und $[f]_{\C ^{0,\alpha }(\real ^n)} < \infty $.
Dann gilt $[u]_{\C ^{2,\alpha }(\real ^n)} \le C [f]_{\C ^{0,\alpha }(\real ^n)}$ mit $C = C(n, \alpha )$.

Bemerkung: Für den Beweis des Satzes benötigt man die sog. Cauchy-Abschätzungen (für deren Beweis man die Mittelwertseigenschaft harm. Funktionen und Lemma von Weyl braucht).

harmonisch: Seien $\Omega \subset \real ^n$ offen und $u \in \C ^2(\Omega )$.
Dann heißt $u$ harmonisch in $\Omega $, falls $\Delta u = 0$.

Mittelwert: Sei $\Omega \subset \real ^n$ offen. Dann heißen $\fint _{\partial \Omega } udo := \frac {1}{|\partial \Omega |} \int _{\partial \Omega } udo$ und $\fint _\Omega udx := \frac {1}{|\Omega |} \int _\Omega u\dx $ Mittelwerte von $u$ auf $\partial \Omega $ bzw. $\Omega $.

Satz (Mittelwertseigenschaft): Sei $u$ harmonisch in $B_R(x_0) \subset \real ^n$ für ein $R > 0$.
Dann gilt $\forall _{r \in (0, R)}\; u(x_0) = \fint _{\partial B_r(x_0)} udo = \fint _{B_r(x_0)} udx$.

kompakt enthalten: Seien $\Omega , \Omega ’ \subset \real ^n$ offen.
Dann ist $\Omega ’$ in $\Omega $ kompakt enthalten ($\Omega ’ \subset \subset \Omega $), falls $\overline {\Omega ’} \subset \Omega $ und $\overline {\Omega ’}$ kompakt in $\Omega $ ist.

Satz (Cauchy-Abschätzungen): Seien $\Omega \subset \real ^n$ offen und $u \in \C ^2(\Omega )$ harmonisch in $\Omega $.
Dann ist $u \in \C ^\infty (\Omega )$ mit $\forall _{\Omega ’ \subset \subset \Omega } \forall _{\alpha \in \natural _0^n}\; \norm {\partial ^\alpha _x u}_{\C ^0(\Omega ’)} \le \left (\frac {n|\alpha |}{\dist (\Omega ’, \partial \Omega )}\right )^{|\alpha |} \norm {u}_{\C ^0(\Omega )}$.

Lemma (Lemma von Weyl): Seien $\Omega \subset \real ^n$ offen und $u \in L^1_\loc (\Omega )$ mit $\forall _{v \in \C ^\infty _c(\Omega )}\; \int _\Omega u \Delta v\dx = 0$ (d. h. $u$ ist schwach harmonisch in $\Omega $).
Dann ist $u \in \C ^\infty (\Omega )$ und $u$ ist harmonisch in $\Omega $.

Elliptischer Hölder-Regularitätssatz für den Ganzraum

Satz (elliptischer Hölder-Regularitätssatz für den Ganzraum):
Seien $\alpha \in (0, 1)$, $a \in \C ^{0,\alpha }(\real ^n, \real ^{n \times n})$ gleichmäßig elliptisch auf $\real ^n$, $b \in \C ^{0,\alpha }(\real ^n, \real ^n)$,
$c \in \C ^{0,\alpha }(\real ^n)$ gleichmäßig positiv auf $\real ^n$ (d. h. $\inf _{x \in \real ^n} c(x) > 0$), $f \in \C ^{0,\alpha }(\real ^n)$ und
$u \in \C ^\infty _c(\real ^n)$ Lösung von $-\sum _{i,j=1}^n a_{ij} \partial _{x_i} \partial _{x_j} u + b \nabla u + cu = f$.
Dann ist $u \in \C ^{2,\alpha }(\real ^n)$ mit $\norm {u}_{\C ^{2,\alpha }(\real ^n)} \le C \norm {f}_{\C ^{0,\alpha }(\real ^n)}$ und $C = C(n, \alpha , a, b, c)$.

Existenz von Lösungen für Hölder-stetige rechte Seiten

Satz (Existenz von Lösungen): Seien $\alpha , a, b, c, f$ wie eben.
Dann gibt es ein $u \in \C ^{2,\alpha }(\real ^n)$ mit $-\sum _{i,j=1}^n a_{ij} \partial _{x_i} \partial _{x_j} u + b \nabla u + cu = f$
und $u$ erfüllt die Abschätzung von eben.

Bemerkung: Zum Beweis des letzten Satzes löst man ein einfacheres Problem (siehe folgendes Lemma) mithilfe der Fouriertransformation und wendet dann die sog. Kontinuitätsmethode an.

Lemma (Existenz von Lösungen für modifizierte Poisson-Gleichung):
Seien $\alpha \in (0, 1)$ und $f \in \C ^{0,\alpha }(\real ^n)$. Dann gibt es ein $u \in \C ^{2,\alpha }(\real ^n)$ mit $-\Delta u + u = f$.

Satz (Kontinuitätsmethode): Seien $X, Y$ Banachräume und $L_t \in \Lin (X, Y)$ für $t \in [0, 1]$ mit

$L\colon [0,1] \rightarrow \Lin (X, Y)$ stetig mit $t \mapsto L_t$,
$\exists _{C > 0} \forall _{t \in [0, 1]} \forall _{u \in X}\; \norm {u}_X \le C \norm {L_t u}_Y$ und
$L_0$ surjektiv.

Dann gilt $\forall _{t \in [0, 1]}\; [\text {$L_t$ surjektiv}]$.

Bemerkung: Aus der zweiten Eigenschaft folgt insbesondere, dass $L_t$ für alle $t \in [0, 1]$ injektiv ist, d. h. sind die Voraussetzungen des Satzes erfüllt, so ist $L_t$ für alle $t \in [0, 1]$ sogar bijektiv.

Elliptischer Hölder-Regularitätssatz (C^{2,α}-berandete Gebiete)

Bemerkung: Mit derselben Strategie wie im Ganzraum erhält man ein zu obiger Existenzaussage analoges Resultat für den Halbraum. Durch Partition der Eins und Rückführung auf den Ganz- und auf den Halbraum-Fall ähnlich wie bei der elliptischen $L_2$-Regularitätstheorie bekommt man dann folgenden Satz.

Satz (elliptischer Hölder-Regularitätssatz):
Seien $\alpha \in (0, 1)$, $\Omega \subset \real ^n$ offen, beschränkt und $\C ^{2,\alpha }$-berandet, $a \in \C ^{0,\alpha }(\overline {\Omega }, \real ^{n \times n})$ gleichmäßig elliptisch auf $\overline {\Omega }$, $b \in \C ^{0,\alpha }(\overline {\Omega }, \real ^n)$, $c \in \C ^{0,\alpha }(\overline {\Omega })$ gleichmäßig positiv auf $\overline {\Omega }$ und $f \in \C ^{0,\alpha }(\overline {\Omega })$.
Dann gibt es genau ein $u \in \C ^{2,\alpha }(\overline {\Omega })$ mit $-\sum _{i,j=1}^n a_{ij} \partial _{x_i} \partial _{x_j} u + b \nabla u + cu = f$ in $\Omega $, $u = 0$ auf $\partial \Omega $.
Es gilt $\norm {u}_{\C ^{2,\alpha }(\overline {\Omega })} \le C \norm {f}_{\C ^{0,\alpha }(\overline {\Omega })}$ mit $C = C(\Omega , n, \alpha , a, b, c)$.

Zusatz: Fouriertransformation und Anwendungen

Schwartzraum: $\S = \S (\real ^n) := \{f \in \C ^\infty (\real ^n, \complex ) \;|\; \forall _{\alpha \in \natural _0^n} \forall _{\beta \in \natural _0^n}\; \sup _{x \in \real ^n} |x^\alpha \partial _x^\beta f(x)| < \infty \}$
$= \{f \in \C ^\infty (\real ^n, \complex ) \;|\; \forall _{m \in \natural _0} \forall _{\beta \in \natural _0^n}\; \sup _{x \in \real ^n} |(1 + |x|^m) \partial _x^\beta f(x)| < \infty \}$
heißt Schwartzraum oder Raum der schnellfallenden Funktionen auf $\real ^n$.

Bemerkung:

Wenn $p\colon \real ^n \rightarrow \complex $ ein (multivariates komplexes) Polynom ist, dann ist $p \notin \S $, aber $f \in \S $ mit $f\colon \real ^n \rightarrow \complex $, $f(x) := p(x) e^{-|x|^2}$.
Es gilt $\C ^\infty _c(\real ^n, \complex ) \subset \S (\real ^n) \subset L^p(\real ^n, \complex )$ für alle $p \in [1, \infty ]$.
(Für $p \in [1, \infty )$ ist $\C ^\infty _c(\real ^n)$ dicht in $L^p(\real ^n)$, d. h. dann ist auch $\S (\real ^n)$ dicht in $L^p(\real ^n)$.)

Fouriertransformation: Für $f \in \S (\real ^n)$ heißt $\widehat {f}\colon \real ^n \rightarrow \complex $ mit
$\widehat {f}(k) := (2\pi )^{-n/2} \int _{\real ^n} e^{-\iu \innerproduct {k,x}} f(x)\dx $ Fouriertransformierte von $f$. Der Operator $\F $ von $\S (\real ^n)$ in den Raum der Abbildungen $\real ^n \rightarrow \complex $ mit $f \mapsto \widehat {f}$ heißt Fouriertransformation.

Bemerkung: Die Normierung von $\widehat {f}$ in der Literatur ist nicht einheitlich. Häufige alternative Normierungen sind $(2\pi )^{-n} \int _{\real ^n} e^{-\iu \innerproduct {k,x}} f(x)\dx $ und $\int _{\real ^n} e^{-2\pi \iu \innerproduct {k,x}} f(x)\dx $.

Satz (Eigenschaften der Fouriertransformation): $\F \colon \S \rightarrow \S $ ist linear und bijektiv.
Die inverse Abbildung ist gegeben durch $\F ^{-1}\colon \S \rightarrow \S $ mit $\F ^{-1} f \in \S $ der inversen Fouriertransformierten gegeben durch $(\F ^{-1} f)(x) := (2\pi )^{-n/2} \int _{\real ^n} e^{\iu \innerproduct {k,x}} \widehat {f}(k)dk$ für $x \in \real ^n$.
Es gilt $(\F ^2 f)(x) = f(-x)$ und $(\F ^4 f)(x) = f(x)$ für $x \in \real ^n$.

Bemerkung: Die Fouriertransformation ist das kontinuierliche Analog zu Fourierreihen.
Ist beispielsweise $f \in \C ^1([-\pi ,\pi ], \complex )$ mit $f(-\pi ) = f(\pi )$, so gilt $f(x) = (2\pi )^{-1/2} \sum _{k \in \integer } c_k e^{\iu kx}$ gleichmäßig auf $[-\pi , \pi ]$, wobei $c_k := (2\pi )^{-1/2} \int _{-\pi }^\pi e^{-\iu kx} f(x)\dx $.

Bemerkung: Zum Beweis des letzten Satzes benötigt man ein paar Rechenregeln.

Satz (Rechenregeln): Seien $f, g \in \S $. Dann gilt:

$\int _{\real ^n} \widehat {f}(y)g(y)\dy = \int _{\real ^n} f(y)\widehat {g}(y)\dy $
$\forall _{j=1,\dotsc ,n}\; \F (\partial _{x_j} f) = \iu k_j \widehat {f}$
$\forall _{j=1,\dotsc ,n}\; \F (x_j f) = \iu \partial _{k_j} \widehat {f}$
Für $f_a \in \S $ mit $f_a(x) := f(x + a)$ gilt $\widehat {f_a}(k) = e^{\iu \innerproduct {k,a}} \widehat {f}(k)$.
Für $A\colon \real ^n \rightarrow \real ^n$ linear und bijektiv gilt $\F (f \circ A) = |\det A|^{-1} (\widehat {f} \circ (A^{-1})^T)$.
$\varphi \in \S $ mit $\varphi (x) := e^{-|x|^2/2}$ ist ein Fixpunkt von $\F $ (mit $L^1$-Norm $(2\pi )^{n/2}$).

Satz (Faltung): Seien $f, g \in \S $. Dann gilt:

$\F (f \cdot g) = (2\pi )^{-n/2} (\widehat {f} \ast \widehat {g})$
$\widehat {f} \cdot \widehat {g} = (2\pi )^{-n/2} \F (f \ast g)$

Satz (Plancherel, Parseval): Für alle $f, g \in \S $ gilt $\innerproduct {f, g}_{L^2} = \langle \widehat {f}, \widehat {g}\rangle _{L^2}$.
Insbesondere gilt $\forall _{f \in \S }\; \norm {f}_{L^2} = \Vert \widehat {f}\Vert _{L^2}$ und
$\F \colon \S \rightarrow \S $ ist eine bijektive, lineare und stetige Isometrie bzgl. $\norm {\cdot }_{L^2}$.

Folgerung: $\F , \F ^{-1}$ lassen sich eindeutig zu bijektiven, linearen und stetigen Isometrien
$\F , \F ^{-1}\colon L^2 \rightarrow L^2$ fortsetzen.

Satz (Fouriertransformation als Grenzwert):
Für $f \in L^2$ gilt $\widehat {f}(k) = \lim _{m \to \infty } (2\pi )^{-n/2} \int _{B_m(0)} e^{-\iu \innerproduct {k,x}}f(x)\dx $ f.ü. in $\real ^n$, wobei der Grenzwert gleichmäßig in $k$ bzgl. $\norm {\cdot }_{L^2}$ angenommen wird.
Für $f \in L^1 \cap L^2$ gilt $\widehat {f}(k) = (2\pi )^{-n/2} \int _{\real ^n} e^{-\iu \innerproduct {k,x}}f(x)\dx $ f.ü. in $\real ^n$.

Satz (Übertragbarkeit der Rechenregeln): Die Rechenregeln von oben und der Satz von Plancherel gelten auch für alle Funktionen $f, g \in L^2$, wenn man die Ableitungen durch schwache Ableitungen ersetzt.

Bemerkung: Ist $f \in L^1$, so gelten (2) bis (5) der Rechenregeln.
Für $u, v \in L^1$ mit $\widehat {u}, \widehat {v} \in L^1$ gilt $u \cdot v \in L^1$ und (1) des Faltungssatzes.
Aus $u \in L^1$ folgt i. A. nicht $\widehat {u} \in L^1$. $\F $ ist aber eine Bijektion auf $L^1 \cap \F (L^1)$. In diesem Fall (für $u \in L^1 \cap \F (L^1)$) gilt die explizite Formel für $\F ^{-1}$ aus dem ersten Satz.

Satz (Charakterisierung der Sobolevräume $H^m(\real ^n)$): Sei $f \in L^2(\real ^n)$.
Dann gilt $f \in H^m(\real ^n) \iff \forall _{|\alpha | \le m}\; k^\alpha \widehat {f} \in L^2(\real ^n) \iff (1 + |k|)^m \widehat {f} \in L^2(\real ^n)$
$\iff (1 + |k|^2)^{m/2} \widehat {f} \in L^2(\real ^n)$.

Bemerkung: Mittels diesen Charakterisierungen kann man $H^m(\real ^n)$ für beliebige reelle Zahlen $m \in \real $ wie folgt definieren.

$H^m(\real ^n)$ für $m \in \real $: Seien $m \in \real $ und $\varrho \colon \real ^n \rightarrow \real $, $\varrho (x) := 1 + |x|^2$.
Definiere $L^2_m(\real ^n) := \{u \in L^2(\real ^n) \;|\; \norm {u}_{L^2_m(\real ^n)} := \norm {\varrho ^{m/2} u}_{L^2(\real ^n)} < \infty \}$.
Dann ist $H^m(\real ^n)$ für $m \in \real $ definiert durch $H^m(\real ^n) := \{u \in L^2(\real ^n) \;|\; \widehat {u} \in L^2_m(\real ^n)\}$.

Bemerkung: Für $m \in \natural _0$ stimmt diese Definition mit der bisherigen überein.

Bemerkung: Sei $T \in \D ’$ eine Distribution (d. h. ein lineares Funktional $T\colon \D \rightarrow \complex $ mit
$\forall _{K \subset \real ^n \text { kpkt.}} \exists _{m \in \natural _0} \exists _{C > 0} \forall _{\varphi \in \D _K}\; |T\varphi | \le C \sup _{|\beta | \le m} \norm {\partial _x^\beta \varphi }_{\C ^0(\real ^n)}$ und $\D := \C ^\infty _c(\real ^n)$, $\D _K := \C ^\infty _c(K)$).
Um die Fouriertransformation von Funktionen auf Distributionen zu verallgemeinern, würde man gerne die Fouriertransformation $\F T \in \D ’$ von $T$ definieren durch $(\F T)\varphi := T \widehat {\varphi }$ für alle $\varphi \in \D $. Allerdings folgt aus $\supp \widehat {\varphi }$ kompakt nach dem Satz von Paley-Wiener, dass $\varphi $ analytisch ist. Daraus folgt nach dem Identitätssatz für Potenzreihen, dass $\varphi \equiv 0$ oder $\supp \varphi $ nicht kompakt. $\widehat {\varphi }$ kann also für $\varphi \in \D \setminus \{0\}$ keinen kompakten Träger haben und $T\widehat {\varphi }$ ist dann sinnlos (da dann $\widehat {\varphi } \notin \D $). Daher muss man zur Definition der Fouriertransformation für Distributionen den Raum $\D ’$ der Distributionen einschränken.

Raum der temperierten Distributionen: Der Raum der temperierten Distributionen $\S ’ \subset \D ’$ ist definiert als der Dualraum von $\S $, d. h. der Raum aller linearen, stetigen Funktionale $\S \rightarrow \complex $ mit der lokal-konvexen Topologie auf $\S $, die von der Familie $(p_{\beta ,m})$ der Halbnormen $p_{\beta ,m}(\varphi ) := \sup _{x \in \real ^n} |(1 + |x|^m) \partial _x^\beta \varphi (x)|$ erzeugt wird.

Bemerkung: Eine Folge $(\varphi _k)_{k \in \natural }$ in $\S $ konvergiert gegen $\varphi \in \S $ bzgl. dieser Topologie genau dann, wenn $\forall _{\alpha , \beta \in \natural _0^n}\; x^\alpha \partial _x^\beta \varphi _k(x) \xrightarrow {k \to \infty } x^\alpha \partial _x^\beta \varphi (x)$ gleichmäßig auf $\real ^n$.
Eine äquiv. Charakterisierung von $\S ’$ ist $T \in \S ’ \iff \exists _{\beta \in \natural _0^n} \exists _{m \in \natural _0} \exists _{C > 0} \forall _{\varphi \in \S }\; |T\varphi | \le C p_{\beta ,m}(\varphi )$.

Fouriertransformation für Distributionen: Die Fouriertransformation $\F \colon \S ’ \rightarrow \S ’$ ist definiert durch $(\F T)\varphi := T \widehat {\varphi }$ für alle $T \in \S ’$ und $\varphi \in \S $.

Bemerkung: Für alle $u \in \S $ gibt es die assoz. temp. Distr. $T_u$ mit $(\F T_u) \varphi = \int _{\real ^n} (\F u)(x) \varphi (x)\dx $.

Beispiel:
Für $u(x) := (2\pi )^{-n/2} e^{\iu \innerproduct {k,x}}$ mit $k \in \real ^n$ fest ist $(\F T_u)\varphi = \varphi (k)$ für alle $\varphi \in \S $, d. h. $\F T_u = \delta _k$. Für $u(x) := x^\alpha $ ist $\F T_u = (2\pi )^{n/2} \iu ^{|\alpha |} \cdot \partial _k^\alpha \delta _0$.