Theoretische und methodische Grundlagen des Visual Computing – Affine Geometrie

Affine Räume

affine Geometrie: Die dreidimensionale Alltagswelt ist koordinatenunabhängig. Objekte existieren ohne Koordinaten und es gibt kein vorgezogenes Koordinatensystem/keinen Ursprung. Um Punktmengen (Punkte haben nur Positionen) und Vektorräume (Vektoren haben nur Betrag und Richtung) zusammenzubringen, benutzt man affine Geometrie.

affiner Raum: Ein affiner Raum $(\mathbb{A},\overrightarrow{V},\oplus )$ ist ein Tripel bestehend aus

• einer nicht-leeren Menge $\mathbb{A}$ (Punktmenge),

• einem Vektorraum $(\overrightarrow{V},+,\cdot )$ (zugrundeliegender Vektorraum) und

• einer Operation $\oplus :\mathbb{A}\times \overrightarrow{V}\to \mathbb{A}$, $(a,\overrightarrow{v})\mapsto a\oplus \overrightarrow{v}$,

sodass folgende Bedingungen gelten:

• ${\mathrm{\forall }}_{a\in \mathbb{A}}a\oplus \overrightarrow{0}=a$ (neutrales Element),

• ${\mathrm{\forall }}_{p,q\in \mathbb{A}}\mathrm{\exists }{!}_{\overrightarrow{v}=:\overrightarrow{pq}\in \overrightarrow{V}}p\oplus \overrightarrow{v}=q$ (eindeutige Verbindungsvektoren) und

• ${\mathrm{\forall }}_{a\in \mathbb{A}}{\mathrm{\forall }}_{\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\in \overrightarrow{V}}(a\oplus \overrightarrow{u})\oplus \overrightarrow{v}=a\oplus (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})$ (Assoziativität).

Dimension: Die Dimension von $(\mathbb{A},\overrightarrow{V},\oplus )$ ist $\dim \mathbb{A}:=\dim \overrightarrow{V}$.

Beispiel: $(H,{\overrightarrow{\mathbb{R}}}^2,\oplus )$ mit der Ebene $H:=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|x+y+z=1\}$ durch $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ und $(0,0,1)$ ist ein affiner Raum mit Operation $\oplus :H\times {\overrightarrow{\mathbb{R}}}^2\to H$,
$(x,y,1-x-y)\oplus \left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right):=(x+u,y+v,1-(x+u)-(y+v))$.

Lemma (Chasles-Identität): Für $a,b,c\in \mathbb{A}$ gilt $\overrightarrow{ac}=\overrightarrow{ab}+\overrightarrow{bc}$.

Beweis: Mit $b=a\oplus \overrightarrow{ab}$ gilt $c=b\oplus \overrightarrow{bc}=(a\oplus \overrightarrow{ab})\oplus \overrightarrow{bc}=a\oplus (\overrightarrow{ab}+\overrightarrow{bc})$. Mit (2) von oben folgt $\overrightarrow{ac}=\overrightarrow{ab}+\overrightarrow{bc}$.   ƒ

Wegen $\overrightarrow{aa}=\overrightarrow{0}$ (folgt aus $a=a\oplus \overrightarrow{0})$ gilt insbesondere $\overrightarrow{ba}=-\overrightarrow{ab}$.

Vektorraum als affiner Raum: Jeder Vektorraum $\overrightarrow{V}$ ist ein affiner Raum mit sich selbst als zugrundeliegender Vektorraum und der Vektoraddition als Verknüpfung, d. h. $\mathbb{A}:=\overrightarrow{V}$ und $\oplus :=+$ ($\mathbb{A}$ wird als Menge ohne Operationen oder ausgezeichneten Punkt angesehen).

Beispiel: $({\mathbb{R}}^n,{\overrightarrow{\mathbb{R}}}^n,\oplus )$ ist ein affiner Raum mit $(x_1,\dots ,x_n)\oplus \left(\begin{array}{c}{v}_1\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right):=(x_1+v_1,\dots ,x_n+v_n)$ (Punkte als Zeilenvektor, Vektoren als Spaltenvektor) und heißt affiner Standardraum.

affiner Unterraum: Sei $(\mathbb{A},\overrightarrow{V},\oplus )$ ein affiner Raum. Eine Teilmenge $\mathbb{U}\subset \mathbb{A}$ heißt affiner Unterraum, falls es einen Unterraum $\overrightarrow{W}\le \overrightarrow{V}$ und ein $a_0\in \mathbb{A}$ gibt mit $\mathbb{U}=\{a_0\oplus \overrightarrow{w}|\overrightarrow{w}\in \overrightarrow{W}\}$.

In diesem Fall ist $(\mathbb{U},\overrightarrow{W},\oplus {|}_{\mathbb{U}\times \overrightarrow{W}})$ wieder ein affiner Raum der Dimension $\dim \overrightarrow{W}$.
Ein affiner Unterraum der Kodimension $1$ heißt auch Hyperebene.

Beispiel: Für alle $a\in \mathbb{A}$ ist $\{a\}$ ein affiner Unterraum von $\mathbb{A}$ der Dimension $0$ (mit $\overrightarrow{W}:=\{\overrightarrow{0}\}$).
$\mathbb{A}$ ist ein affiner Unterraum von $\mathbb{A}$ der Kodimension $0$.

Affine Abbildungen

affine Abbildung: Seien $({\mathbb{A}}_1,{\overrightarrow{V}}_1,\oplus )$ und $({\mathbb{A}}_2,{\overrightarrow{V}}_2,⊞)$ zwei affine Räume.
Eine Abbildung $F:{\mathbb{A}}_1\to {\mathbb{A}}_2$ heißt affine Abbildung, falls es eine lineare Abbildung $f:{\overrightarrow{V}}_1\to {\overrightarrow{V}}_2$ gibt mit ${\mathrm{\forall }}_{a,b\in {\mathbb{A}}_1}f(\overrightarrow{ab})=\overrightarrow{F(a)F(b)}$.

Affinität: Eine bijektive affine Abbildung heißt Affinität/affiner Isomorphismus.

Lemma: $F$ ist eine affine Abbildung genau dann, wenn es eine lineare Abbildung $f:{\overrightarrow{V}}_1\to {\overrightarrow{V}}_2$ gibt mit ${\mathrm{\forall }}_{a\in {\mathbb{A}}_1}{\mathrm{\forall }}_{\overrightarrow{v}\in {\overrightarrow{V}}_1}F(a\oplus \overrightarrow{v})=F(a)⊞f(\overrightarrow{v})$.

Beweis: „$⟹$“: Seien $a\in {\mathbb{A}}_1$ und $\overrightarrow{v}\in {\overrightarrow{V}}_1$ beliebig. Definiere $b:=a\oplus \overrightarrow{v}$. Dann gilt $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{ab}$ und daher $f(\overrightarrow{v})=f(\overrightarrow{ab})=\overrightarrow{F(a)F(b)}=\overrightarrow{F(a)F(a\oplus \overrightarrow{v})}$, also $F(a\oplus \overrightarrow{v})=F(a)⊞f(\overrightarrow{v})$.

„$⟸$“: Seien $a,b\in {\mathbb{A}}_1$ beliebig. Definiere $\overrightarrow{v}:=\overrightarrow{ab}$. Dann gilt $b=a\oplus \overrightarrow{v}$ und daher
$F(b)=F(a\oplus \overrightarrow{v})=F(a)⊞f(\overrightarrow{ab})$, also $f(\overrightarrow{ab})=\overrightarrow{F(a)F(b)}$.   ƒ

Beispiel: Seien $(\mathbb{A},\overrightarrow{V},\oplus )$ ein affiner Raum und ${\overrightarrow{v}}_0\in \overrightarrow{V}$ fest.
Dann ist $F:\mathbb{A}\to \mathbb{A}$, $F(a):=a\oplus {\overrightarrow{v}}_0$ eine affine Abbildung (Parallelverschiebung).

Affinkombinationen

Lemma:
Seien $(\mathbb{A},\overrightarrow{V},\oplus )$ ein affiner Raum, $a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{A}$ und ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in \mathbb{R}$ mit $\sum _{i=1}^n{\lambda }_i=1$.
Dann gilt für alle $a,b\in \mathbb{A}$, dass $a\oplus \sum _{i=1}^n{\lambda }_i\overrightarrow{a{a}_i}=b\oplus \sum _{i=1}^n{\lambda }_i\overrightarrow{b{a}_i}$.

Beweis: Es gilt $a\oplus \sum _{i=1}^n{\lambda }_i\overrightarrow{a{a}_i}=a\oplus \sum _{i=1}^n{\lambda }_i(\overrightarrow{ab}+\overrightarrow{b{a}_i})=a\oplus (\overrightarrow{ab}+\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\overrightarrow{b{a}_i})$
$=(a\oplus \overrightarrow{ab})\oplus \sum _{i=1}^n{\lambda }_i\overrightarrow{b{a}_i}=b\oplus \sum _{i=1}^n{\lambda }_i\overrightarrow{b{a}_i}$.   ƒ

Affinkombination:
Seien $(\mathbb{A},\overrightarrow{V},\oplus )$ ein affiner Raum, $a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{A}$ und ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in \mathbb{R}$ mit $\sum _{i=1}^n{\lambda }_i=1$.
Dann heißt für beliebiges $a\in \mathbb{A}$ der Punkt $x=a\oplus \sum _{i=1}^n{\lambda }_i\overrightarrow{a{a}_i}$ Affinkombination der Punkte $a_i$ mit Gewichten ${\lambda }_i$ (oder der gewichteten Punkte $(a_i,{\lambda }_i)$).

Schreibweise: $x$ ist nach dem Lemma unabhängig von der Wahl von $a\in \mathbb{A}$. Daher schreibt man die Affinkombination $x$ der gewichteten Punkte $(a_i,{\lambda }_i)$ auch als $\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{a}_i$ (obwohl man die $a_i$ eigentlich nicht skalieren oder addieren kann).

Satz (affine Abbildungen erhalten Affinkombinationen):
Seien $({\mathbb{A}}_1,{\overrightarrow{V}}_1,\oplus )$ und $({\mathbb{A}}_2,{\overrightarrow{V}}_2,⊞)$ zwei affine Räume und $F:{\mathbb{A}}_1\to {\mathbb{A}}_2$ eine affine Abbildung.
Dann gilt für $a_1,\dots ,a_n\in {\mathbb{A}}_1$ und ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in \mathbb{R}$ mit $\sum _{i=1}^n{\lambda }_i=1$ die Gleichung
$F(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{a}_i)=\sum _{i=1}^n{\lambda }_{i}F(a_i)$, d. h. $F$ erhält Affinkombinationen.

Beweis: Sei $a\in {\mathbb{A}}_1$ beliebig. Dann gilt $F(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{a}_i)=F(a\oplus \sum _{i=1}^n{\lambda }_i\overrightarrow{a{a}_i})$
$=F(a)⊞f(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\overrightarrow{a{a}_i})=F(a)⊞\sum _{i=1}^n{\lambda }_{i}f(\overrightarrow{a{a}_i})=F(a)⊞\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\overrightarrow{F(a)F(a_i)}$
$=b\oplus \sum _{i=1}^n{\lambda }_i\overrightarrow{bF(a_i)}=\sum _{i=1}^n{\lambda }_{i}F(a_i)$ mit $b:=F(a)$.   ƒ

Affine Koordinatensysteme

affines Koordinatensystem: Sei $(\mathbb{A},\overrightarrow{V},\oplus )$ ein affiner Raum mit $n:=\dim \overrightarrow{V}<\mathrm{\infty }$.
Eine Familie $(a_0,\dots ,a_n)$ von $n+1$ Punkten in $\mathbb{A}$ heißt affines Koordinatensystem für $\mathbb{A}$ mit Ursprung $a_0$, falls die Vektoren $\overrightarrow{a_0{a}_1},\dots ,\overrightarrow{a_0{a}_n}$ in $V$ linear unabhängig sind.

affine Koordinaten: Sei $(a_0,\dots ,a_n)$ ein affines Koordinatensystem von $(\mathbb{A},\overrightarrow{V},\oplus )$.
Dann kann jedes $x\in \mathbb{A}$ dargestellt werden als $x=a_0\oplus (\sum _{i=1}^n{x}_i\overrightarrow{a_0{a}_i})$ für eindeutige Skalare $(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n$, die in diesem Fall die (affinen) Koordinaten von $x$ heißen.

Affine Transformationen

Satz (Fundamentalsatz der affinen Geometrie):
Seien $({\mathbb{A}}_1,{\overrightarrow{V}}_1,\oplus )$ und $({\mathbb{A}}_2,{\overrightarrow{V}}_2,⊞)$ zwei affine Räume mit $n:=\dim {\overrightarrow{V}}_1=\dim {\overrightarrow{V}}_2<\mathrm{\infty }$ und affinen Koordinatensystemen $(a_0,\dots ,a_n)$ bzw. $(b_0,\dots ,b_n)$.
Dann gibt es genau eine affine Abbildung $F:{\mathbb{A}}_1\to {\mathbb{A}}_2$ mit ${\mathrm{\forall }}_{i=0,\dots ,n}F(a_i)=b_i$.
$F$ ist in diesem Fall eine Affinität.

Korollar: Alle affinen Räume derselben endlichen Dimension sind affin isomorph. Daher kann man jedes Problem der endl.-dim. affinen Geometrie im Standardraum $({\mathbb{R}}^n,{\overrightarrow{\mathbb{R}}}^n,+)$ betrachten.

Satz (Struktur von affinen Abbildungen):
Seien $\mathbb{A}:={\mathbb{R}}^n$ der affine Standardraum und $F:\mathbb{A}\to \mathbb{A}$ eine affine Abbildung.
Dann gibt es $b\in {\mathbb{R}}^n$ und $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$, sodass ${\mathrm{\forall }}_{x\in {\mathbb{R}}^n}F(x)=b\oplus Ax$.

Beweis: Seien $b:=F(0)$, $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ eine lineare Abbildung, die $F$ „zugrunde liegt“, und $A$ die darstellende Matrix von $f$. Dann gilt $F(x)=F(0\oplus \overrightarrow{0x})=b\oplus f(\overrightarrow{0x})=(0\oplus \overrightarrow{0b})\oplus f(\overrightarrow{0x})$
$=0\oplus (\overrightarrow{0b}+f(\overrightarrow{0x}))=0\oplus (\overrightarrow{0b}+A\overrightarrow{0x})$ und damit $\overrightarrow{0F(x)}=\overrightarrow{0b}+A\overrightarrow{0x}$. Wegen $\overrightarrow{0y}=y$ (weil $0\oplus \overrightarrow{y}=\overrightarrow{y}$) für alle $y\in {\mathbb{R}}^n$ gilt daher $F(x)=b+Ax$.   ƒ

Beispiele für affine Transformationen in ${\mathbb{R}}^2$:

• Streckung: $A_S:=\left(\begin{array}{cc}{s}_x& 0\\ 0& s_y\end{array}\right)$

• Drehung: $A_R:=\left(\begin{array}{cc}\cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right)$

• Scherung: $A_x:=\left(\begin{array}{cc}1& c_x\\ 0& 1\end{array}\right)$, $A_y:=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ c_y& 1\end{array}\right)$

Diese affinen Transformationen kommutieren i. A. nicht!

Beispiele für affine Transformationen in ${\mathbb{R}}^2$:

• Streckung: $A_S:=\left(\begin{array}{ccc}{s}_x& 0& 0\\ 0& s_y& 0\\ 0& 0& s_z\end{array}\right)$

• Drehung: $A_{R_x}:=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \phi & -\sin \phi \\ 0& \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right)$, $A_{R_y}:=\left(\begin{array}{ccc}\cos \phi & 0& \sin \phi \\ 0& 1& 0\\ -\sin \phi & 0& \cos \phi \end{array}\right)$, $A_{R_z}:=\left(\begin{array}{ccc}\cos \phi & -\sin \phi & 0\\ \sin \phi & \cos \phi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

Euler-Winkel: Die Euler-Winkel sind drei unabhängige Parameter, mit denen die Orientierung eines Körpers im Raum beschrieben werden kann. Jede Drehung $R$ kann beschrieben werden als $R=R_z(\gamma )R_x(\beta )R_z(\alpha )$ ($x$-Konvention ($z,x^{\prime },z^{}{\prime }^{\prime }$)).

Gimbal Lock: Wenn $\beta =0$ ist, dann gibt es mehrere verschiedene Winkelpaare $\alpha ,\gamma$, die dieselbe Drehung beschreiben. Die Folge ist, dass man nicht um die $y$-Achse rotieren kann, ohne alle drei Winkel zu verändern. Diese Situation heißt Gimbal Lock.