Theoretische und methodische Grundlagen des Visual Computing – Affine Geometrie

Affine Räume

affine Geometrie: Die dreidimensionale Alltagswelt ist koordinatenunabhängig. Objekte existieren ohne Koordinaten und es gibt kein vorgezogenes Koordinatensystem/keinen Ursprung. Um Punktmengen (Punkte haben nur Positionen) und Vektorräume (Vektoren haben nur Betrag und Richtung) zusammenzubringen, benutzt man affine Geometrie.

affiner Raum: Ein affiner Raum \((\AA , \vec {V}, \oplus )\) ist ein Tripel bestehend aus

einer nicht-leeren Menge \(\AA \) (Punktmenge),
einem Vektorraum \((\vec {V}, +, \cdot )\) (zugrundeliegender Vektorraum) und
einer Operation \(\oplus \colon \AA \times \vec {V} \to \AA \), \((a, \vec {v}) \mapsto a \oplus \vec {v}\),

sodass folgende Bedingungen gelten:

\(\forall _{a \in \AA }\; a \oplus \vec {0} = a\) (neutrales Element),
\(\forall _{p, q \in \AA } \exists !_{\vec {v} =: \vec {pq} \in \vec {V}}\; p \oplus \vec {v} = q\) (eindeutige Verbindungsvektoren) und
\(\forall _{a \in \AA } \forall _{\vec {u}, \vec {v} \in \vec {V}}\; (a \oplus \vec {u}) \oplus \vec {v} = a \oplus (\vec {u} + \vec {v})\) (Assoziativität).

Dimension: Die Dimension von \((\AA , \vec {V}, \oplus )\) ist \(\dim \AA := \dim \vec {V}\).

Beispiel: \((H, \vec {\real }^2, \oplus )\) mit der Ebene \(H := \{(x, y, z) \in \real ^3 \;|\; x + y + z = 1\}\) durch \((1, 0, 0)\), \((0, 1, 0)\) und \((0, 0, 1)\) ist ein affiner Raum mit Operation \(\oplus \colon H \times \vec {\real }^2 \to H\),
\((x, y, 1 - x - y) \oplus \smallpmatrix {u\\v} := (x + u, y + v, 1 - (x + u) - (y + v))\).

Lemma (Chasles-Identität): Für \(a, b, c \in \AA \) gilt \(\vec {ac} = \vec {ab} + \vec {bc}\).

Beweis: Mit \(b = a \oplus \vec {ab}\) gilt \(c = b \oplus \vec {bc} = (a \oplus \vec {ab}) \oplus \vec {bc} = a \oplus (\vec {ab} + \vec {bc})\). Mit (2) von oben folgt \(\vec {ac} = \vec {ab} + \vec {bc}\).

Wegen \(\vec {aa} = \vec {0}\) (folgt aus \(a = a \oplus \vec {0})\) gilt insbesondere \(\vec {ba} = -\vec {ab}\).

Vektorraum als affiner Raum: Jeder Vektorraum \(\vec {V}\) ist ein affiner Raum mit sich selbst als zugrundeliegender Vektorraum und der Vektoraddition als Verknüpfung, d. h. \(\AA := \vec {V}\) und \(\oplus := +\) (\(\AA \) wird als Menge ohne Operationen oder ausgezeichneten Punkt angesehen).

Beispiel: \((\real ^n, \vec {\real }^n, \oplus )\) ist ein affiner Raum mit \((x_1, \dotsc , x_n) \oplus \smallpmatrix {v_1\\\vdots \\v_n} := (x_1 + v_1, \dotsc , x_n + v_n)\) (Punkte als Zeilenvektor, Vektoren als Spaltenvektor) und heißt affiner Standardraum.

affiner Unterraum: Sei \((\AA , \vec {V}, \oplus )\) ein affiner Raum. Eine Teilmenge \(\UU \subset \AA \) heißt affiner Unterraum, falls es einen Unterraum \(\vec {W} \le \vec {V}\) und ein \(a_0 \in \AA \) gibt mit \(\UU = \{a_0 \oplus \vec {w} \;|\; \vec {w} \in \vec {W}\}\).

In diesem Fall ist \((\UU , \vec {W}, \oplus |_{\UU \times \vec {W}})\) wieder ein affiner Raum der Dimension \(\dim \vec {W}\).
Ein affiner Unterraum der Kodimension \(1\) heißt auch Hyperebene.

Beispiel: Für alle \(a \in \AA \) ist \(\{a\}\) ein affiner Unterraum von \(\AA \) der Dimension \(0\) (mit \(\vec {W} := \{\vec {0}\}\)).
\(\AA \) ist ein affiner Unterraum von \(\AA \) der Kodimension \(0\).

Affine Abbildungen

affine Abbildung: Seien \((\AA _1, \vecs {V}{1}, \oplus )\) und \((\AA _2, \vecs {V}{2}, \boxplus )\) zwei affine Räume.
Eine Abbildung \(F\colon \AA _1 \to \AA _2\) heißt affine Abbildung, falls es eine lineare Abbildung \(f\colon \vecs {V}{1} \to \vecs {V}{2}\) gibt mit \(\forall _{a, b \in \AA _1}\; f(\vec {ab}) = \vec {F(a)F(b)}\).

Affinität: Eine bijektive affine Abbildung heißt Affinität/affiner Isomorphismus.

Lemma: \(F\) ist eine affine Abbildung genau dann, wenn es eine lineare Abbildung \(f\colon \vecs {V}{1} \to \vecs {V}{2}\) gibt mit \(\forall _{a \in \AA _1} \forall _{\vec {v} \in \vecs {V}{1}}\; F(a \oplus \vec {v}) = F(a) \boxplus f(\vec {v})\).

Beweis: „\(\implies \)“: Seien \(a \in \AA _1\) und \(\vec {v} \in \vecs {V}{1}\) beliebig. Definiere \(b := a \oplus \vec {v}\). Dann gilt \(\vec {v} = \vec {ab}\) und daher \(f(\vec {v}) = f(\vec {ab}) = \vec {F(a)F(b)} = \vec {F(a) F(a \oplus \vec {v})}\), also \(F(a \oplus \vec {v}) = F(a) \boxplus f(\vec {v})\).

„\(\impliedby \)“: Seien \(a, b \in \AA _1\) beliebig. Definiere \(\vec {v} := \vec {ab}\). Dann gilt \(b = a \oplus \vec {v}\) und daher
\(F(b) = F(a \oplus \vec {v}) = F(a) \boxplus f(\vec {ab})\), also \(f(\vec {ab}) = \vec {F(a)F(b)}\).

Beispiel: Seien \((\AA , \vec {V}, \oplus )\) ein affiner Raum und \(\vecs {v}{0} \in \vec {V}\) fest.
Dann ist \(F\colon \AA \to \AA \), \(F(a) := a \oplus \vecs {v}{0}\) eine affine Abbildung (Parallelverschiebung).

Affinkombinationen

Lemma:
Seien \((\AA , \vec {V}, \oplus )\) ein affiner Raum, \(a_1, \dotsc , a_n \in \AA \) und \(\lambda _1, \dotsc , \lambda _n \in \real \) mit \(\sum _{i=1}^n \lambda _i = 1\).
Dann gilt für alle \(a, b \in \AA \), dass \(a \oplus \sum _{i=1}^n \lambda _i \vec {aa_i} = b \oplus \sum _{i=1}^n \lambda _i \vec {ba_i}\).

Beweis: Es gilt \(a \oplus \sum _{i=1}^n \lambda _i \vec {aa_i} = a \oplus \sum _{i=1}^n \lambda _i (\vec {ab} + \vec {ba_i}) = a \oplus (\vec {ab} + \sum _{i=1}^n \lambda _i \vec {ba_i})\)
\(= (a \oplus \vec {ab}) \oplus \sum _{i=1}^n \lambda _i \vec {ba_i} = b \oplus \sum _{i=1}^n \lambda _i \vec {ba_i}\).

Affinkombination:
Seien \((\AA , \vec {V}, \oplus )\) ein affiner Raum, \(a_1, \dotsc , a_n \in \AA \) und \(\lambda _1, \dotsc , \lambda _n \in \real \) mit \(\sum _{i=1}^n \lambda _i = 1\).
Dann heißt für beliebiges \(a \in \AA \) der Punkt \(x = a \oplus \sum _{i=1}^n \lambda _i \vec {aa_i}\) Affinkombination der Punkte \(a_i\) mit Gewichten \(\lambda _i\) (oder der gewichteten Punkte \((a_i, \lambda _i)\)).

Schreibweise: \(x\) ist nach dem Lemma unabhängig von der Wahl von \(a \in \AA \). Daher schreibt man die Affinkombination \(x\) der gewichteten Punkte \((a_i, \lambda _i)\) auch als \(\sum _{i=1}^n \lambda _i a_i\) (obwohl man die \(a_i\) eigentlich nicht skalieren oder addieren kann).

Satz (affine Abbildungen erhalten Affinkombinationen):
Seien \((\AA _1, \vecs {V}{1}, \oplus )\) und \((\AA _2, \vecs {V}{2}, \boxplus )\) zwei affine Räume und \(F\colon \AA _1 \to \AA _2\) eine affine Abbildung.
Dann gilt für \(a_1, \dotsc , a_n \in \AA _1\) und \(\lambda _1, \dotsc , \lambda _n \in \real \) mit \(\sum _{i=1}^n \lambda _i = 1\) die Gleichung
\(F(\sum _{i=1}^n \lambda _i a_i) = \sum _{i=1}^n \lambda _i F(a_i)\), d. h. \(F\) erhält Affinkombinationen.

Beweis: Sei \(a \in \AA _1\) beliebig. Dann gilt \(F(\sum _{i=1}^n \lambda _i a_i) = F(a \oplus \sum _{i=1}^n \lambda _i \vec {aa_i})\)
\(= F(a) \boxplus f(\sum _{i=1}^n \lambda _i \vec {aa_i}) = F(a) \boxplus \sum _{i=1}^n \lambda _i f(\vec {aa_i}) = F(a) \boxplus \sum _{i=1}^n \lambda _i \vec {F(a)F(a_i)}\)
\(= b \oplus \sum _{i=1}^n \lambda _i \vec {b F(a_i)} = \sum _{i=1}^n \lambda _i F(a_i)\) mit \(b := F(a)\).

Affine Koordinatensysteme

affines Koordinatensystem: Sei \((\AA , \vec {V}, \oplus )\) ein affiner Raum mit \(n := \dim \vec {V} < \infty \).
Eine Familie \((a_0, \dotsc , a_n)\) von \(n+1\) Punkten in \(\AA \) heißt affines Koordinatensystem für \(\AA \) mit Ursprung \(a_0\), falls die Vektoren \(\vec {a_0a_1}, \dotsc , \vec {a_0a_n}\) in \(V\) linear unabhängig sind.

affine Koordinaten: Sei \((a_0, \dotsc , a_n)\) ein affines Koordinatensystem von \((\AA , \vec {V}, \oplus )\).
Dann kann jedes \(x \in \AA \) dargestellt werden als \(x = a_0 \oplus (\sum _{i=1}^n x_i \vec {a_0a_i})\) für eindeutige Skalare \((x_1, \dotsc , x_n) \in \real ^n\), die in diesem Fall die (affinen) Koordinaten von \(x\) heißen.

Affine Transformationen

Satz (Fundamentalsatz der affinen Geometrie):
Seien \((\AA _1, \vecs {V}{1}, \oplus )\) und \((\AA _2, \vecs {V}{2}, \boxplus )\) zwei affine Räume mit \(n := \dim \vecs {V}{1} = \dim \vecs {V}{2} < \infty \) und affinen Koordinatensystemen \((a_0, \dotsc , a_n)\) bzw. \((b_0, \dotsc , b_n)\).
Dann gibt es genau eine affine Abbildung \(F\colon \AA _1 \to \AA _2\) mit \(\forall _{i=0,\dotsc ,n}\; F(a_i) = b_i\).
\(F\) ist in diesem Fall eine Affinität.

Korollar: Alle affinen Räume derselben endlichen Dimension sind affin isomorph. Daher kann man jedes Problem der endl.-dim. affinen Geometrie im Standardraum \((\real ^n, \vec {\real }^n, +)\) betrachten.

Satz (Struktur von affinen Abbildungen):
Seien \(\AA := \real ^n\) der affine Standardraum und \(F\colon \AA \to \AA \) eine affine Abbildung.
Dann gibt es \(b \in \real ^n\) und \(A \in \real ^{n \times n}\), sodass \(\forall _{x \in \real ^n}\; F(x) = b \oplus Ax\).

Beweis: Seien \(b := F(0)\), \(f\colon \real ^n \to \real ^n\) eine lineare Abbildung, die \(F\) „zugrunde liegt“, und \(A\) die darstellende Matrix von \(f\). Dann gilt \(F(x) = F(0 \oplus \vec {0x}) = b \oplus f(\vec {0x}) = (0 \oplus \vec {0b}) \oplus f(\vec {0x})\)
\(= 0 \oplus (\vec {0b} + f(\vec {0x})) = 0 \oplus (\vec {0b} + A\vec {0x})\) und damit \(\vec {0F(x)} = \vec {0b} + A\vec {0x}\). Wegen \(\vec {0y} = y\) (weil \(0 \oplus \vec {y} = \vec {y}\)) für alle \(y \in \real ^n\) gilt daher \(F(x) = b + Ax\).

Beispiele für affine Transformationen in \(\real ^2\):

Streckung: \(A_S := \smallpmatrix {s_x&0\\0&s_y}\)
Drehung: \(A_R := \smallpmatrix {\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi }\)
Scherung: \(A_x := \smallpmatrix {1&c_x\\0&1}\), \(A_y := \smallpmatrix {1&0\\c_y&1}\)

Diese affinen Transformationen kommutieren i. A. nicht!

Beispiele für affine Transformationen in \(\real ^2\):

Streckung: \(A_S := \smallpmatrix {s_x&0&0\\0&s_y&0\\0&0&s_z}\)
Drehung: \(A_{R_x} := \smallpmatrix {1&0&0\\0&\cos \varphi &-\sin \varphi \\0&\sin \varphi &\cos \varphi }\), \(A_{R_y} := \smallpmatrix {\cos \varphi &0&\sin \varphi \\0&1&0\\-\sin \varphi &0&\cos \varphi }\), \(A_{R_z} := \smallpmatrix {\cos \varphi &-\sin \varphi &0\\\sin \varphi &\cos \varphi &0\\0&0&1}\)

Euler-Winkel: Die Euler-Winkel sind drei unabhängige Parameter, mit denen die Orientierung eines Körpers im Raum beschrieben werden kann. Jede Drehung \(R\) kann beschrieben werden als \(R = R_z(\gamma ) R_x(\beta ) R_z(\alpha )\) (\(x\)-Konvention (\(z, x’, z’’\))).

Gimbal Lock: Wenn \(\beta = 0\) ist, dann gibt es mehrere verschiedene Winkelpaare \(\alpha , \gamma \), die dieselbe Drehung beschreiben. Die Folge ist, dass man nicht um die \(y\)-Achse rotieren kann, ohne alle drei Winkel zu verändern. Diese Situation heißt Gimbal Lock.