Analysis 2 – Funktionenfolgen, Funktionenreihen, parameterabhängige Integrale

Das Prinzip der Gleichmäßigkeit

Eine Eigenschaft \(A(p)\) gilt gleichmäßig bzgl. \(p \in P\) (Parameter aus Parametermenge), falls

\(A(p)\) ist für alle \(p \in P\) wahr
die Konstanten in \(A(p)\) sind von \(p\) unabhängig wählbar.

gleichmäßige Konvergenz einer Folge: Sei \(a: \natural \times P \rightarrow M\) eine parameterabhängige Folge \(\{a_k(p)\}_{k \in \natural }\) (\(P\) Parametermenge), wobei \((M,d)\) ein metrischer Raum ist.

punktweise Konvergenz: \(a_n \xrightarrow {(\cdot )} a(p) \quad \Leftrightarrow \quad \forall _{p \in P} \forall _{\varepsilon > 0} \exists _{N(\varepsilon , p)} \forall _{n \ge N(\varepsilon , p)}\; d(a_n(p), a(p)) < \varepsilon \)

gleichmäßige Konvergenz: \(a_n \rightrightarrows a(p) \quad \Leftrightarrow \quad \forall _{\varepsilon > 0} \exists _{N(\varepsilon )} \forall _{p \in P} \forall _{n \ge N(\varepsilon )}\; d(a_n(p), a(p)) < \varepsilon \)

Zum Beispiel gilt bei der Folge \(a_n(p) = \frac {n/p}{1 + (n / p)^2}\) (\(n, p \in \natural \)) für \(n = p\), dass \(a_n(p) = \frac {1}{2}\), jedoch gilt für jedes feste \(p\), dass \(\lim _{n \to \infty } a_n(p) = 0\), aber nicht gleichmäßig.

Dagegen ist die Folge \(a_n(p) = \frac {1}{1 + n + p} < \frac {1}{1 + n}\) für \(n, p \in \natural \) gleichmäßig konvergent bzgl. \(p \in P = \natural \), da für \(n \ge \frac {1}{\varepsilon }\) gilt, dass \(|a_n(p) - 0| < \varepsilon \) für alle \(p \in \natural \).

gleichmäßige Konvergenz einer Reihe: Sei \(a: \natural \times P \rightarrow \field ^n\) eine Folge, wobei \(\field \in \{\real , \complex \}\).
\(\sum _{k=1}^\infty a_n(p)\) konvergiert gleichmäßig bzgl. \(p \in P\), falls \(S_m(p) = \sum _{n=1}^m a_n(p) \rightrightarrows S(p)\) gleichmäßig.

gleichmäßige Konvergenz uneigentlicher Integrale:
Sei \(f: \left [0, +\infty \right [ \times P \rightarrow \field ^d\) mit \(\forall _{p \in P} \forall _{R > 0}\; f(x, p) \in \R [0,R]_x\). Dann konvergiert \(\int _0^{+\infty } f(x, p)\dx \) gleichmäßig bzgl. \(p \in P\), falls \(\forall _{\varepsilon > 0} \exists _{R(\varepsilon )} \forall _{R’, R’’ \ge R(\varepsilon )} \forall _{p \in P}\; \big |\int _{R’}^{R’’} f(x, p)\dx \big | < \varepsilon \).

gleichmäßig stetige Funktionen:
Seien \((M_1, d_1)\), \((M_2, d_2)\) metrische Räume sowie \(f: X \subset M_1 \rightarrow M_2\).

punktweise Stetigkeit: \(\forall _{x_0 \in X} \forall _{\varepsilon > 0} \exists _{\delta (x_0, \varepsilon ) = \delta > 0} \forall _{x \in U_\delta (x_0) \cap X}\; f(x) \in U_\varepsilon (f(x_0))\)

gleichmäßige Stetigkeit: \(\forall _{\varepsilon > 0} \exists _{\delta (\varepsilon ) = \delta > 0} \forall _{x_0 \in X} \forall _{x \in U_\delta (x_0) \cap X}\; f(x) \in U_\varepsilon (f(x_0))\)

Gleichmäßige Stetigkeit/Konvergenz impliziert punktweise Stetigkeit/Konvergenz.
Die Umkehrung gilt nicht!

Lemma: Sei \(a: \natural \times P \rightarrow M\). Dann ist \(a_n(p) \rightrightarrows a(p) \;\Leftrightarrow \; \lim _{n \to \infty } \left (\sup _{p \in P} d(a_n(p), a(p))\right ) = 0\).

Satz zum Vertauschen von Grenzwerten

Man betrachtet Doppelfolgen mit \(P = \natural \), d. h. \(a_n(p) = a_{n,p}\). Angenommen, es gibt Grenzwerte \(\lim _{n \to \infty } a_{n,p} = u(p)\) und \(\lim _{p \to \infty } a_{n,p} = v(n)\). Im Allgemeinen gilt dann nicht
\(\lim _{p \to \infty } (\lim _{n \to \infty } a_{n,p}) = \lim _{p \to \infty } u(p) = \lim _{n \to \infty } v(n) = \lim _{n \to \infty } (\lim _{p \to \infty } a_{n,p})\).

Satz: Sei \(a: \natural \times \natural \rightarrow M\) eine Doppelfolge mit \((M,d)\) vollständig. Außerdem existiere für alle \(p \in \natural \) der Grenzwert \(\lim _{n \to \infty } a_{n,p} = u(p)\) sowie für alle \(n \in \natural \) existiere der Grenzwert \(\lim _{p \to \infty } a_{n,p} = v(n)\). Einer dieser Grenzwerte sei gleichmäßig angenommen.
Dann existieren die Grenzwerte \(\lim _{p \to \infty } u(p) = \lim _{n \to \infty } v(n)\) und sind gleich.

Unter diesen Voraussetzungen gilt somit \(\lim _{p \to \infty } (\lim _{n \to \infty } a_{n,p}) = \lim _{n \to \infty } (\lim _{p \to \infty } a_{n,p})\).

Zur Stetigkeit der Grenzfunktion und zum Vertauschen von Grenzwerten vom Typ n → ∞ und x → ξ

Seien \(M_1, M_2\) metrische Räume, \(M_2\) vollständig, \(X \subset M_1\), \(\xi \in \acc (X)\) sowie \(f: \natural \times X \rightarrow M_2\) eine Folge von Funktionen \(f_n(x)\) mit \(n \in \natural \), \(x \in X\).

Vertauschen von \(\lim _{n \to \infty }\) und \(\lim _{x \to \xi }\):
Für alle \(n \in \natural \) existiere der Grenzwert \(\lim _{x \to \xi } f_n(x) = a_n\) sowie der Grenzwert
\(\lim _{n \to \infty } f_n(x) = \varphi (x)\) existiere gleichmäßig bzgl. \(x \in X\).
Dann existieren die Grenzwerte \(\lim _{n \to \infty } a_n = \lim _{x \to \xi } \varphi (x)\) und sind gleich.

Unter diesen Voraussetzungen gilt somit \(\lim _{n \to \infty } \left (\lim _{x \to \xi } f_n(x)\right ) = \lim _{x \to \xi } \left (\lim _{n \to \infty } f_n(x)\right )\).

Anwendung (\(\varphi \) stetig in \(\xi \)):
Gilt zudem \(\xi \in X\) und \(f_n\) ist stetig in \(\xi \) für alle \(n \in \natural \), dann ist auch \(\varphi \) stetig in \(\xi \).

Anmerkung: Ist \(f_n \in \C ([a,b], \field ^d)\) für alle \(n \in \natural \) und \(\lim _{n \to \infty } f_n(x) = \varphi (x)\) existiert gleichmäßig bzgl. \(x \in [a,b]\), so ist auch \(\varphi \in \C ([a,b], \field ^d)\) und \(f_n \xrightarrow {\norm {\cdot }_\C } \varphi \).

Die Voraussetzung „gleichmäßig“ ist wesentlich!

Banachraum: Ein Banachraum ist ein vollständiger, normierter Vektorraum (d. h. vollständig bzgl. der von der Norm induzierten Metrik).

Seien nun \(Y\) ein Banachraum, \(M\) ein metrischer Raum, \(X \subset M\), \(\xi \in \acc (X)\) und \(a: \natural \times X \rightarrow Y\) eine Funktionenfolge \(a_n(x)\).

Vertauschen von \(\sum _{n=1}^\infty \) und \(\lim _{x \to \xi }\):
Sei \(\lim _{x \to \xi } a_n(x) = b_n\) konvergent für alle \(n \in \natural \) und \(\sum _{n=1}^\infty a_n(x) = S(x)\) konvergiere gleichmäßig bzgl. \(x \in X\).
Dann existieren die Grenzwerte \(\sum _{n=1}^\infty b_n = \lim _{x \to \xi } S(x)\) und sind gleich.

Unter diesen Voraussetzungen gilt somit \(\sum _{n=1}^\infty \left (\lim _{x \to \xi } a_n(x)\right ) = \lim _{x \to \xi } \left (\sum _{n=1}^\infty a_n(x)\right )\).

Folgerung: Ist zusätzlich \(\xi \in X\) und sind alle \(a_n(x)\) stetig in \(\xi \), dann ist auch
\(S(x) = \sum _{n=1}^\infty a_n(x)\) in \(\xi \) stetig.

Wie zeigt man, dass \(\sum _{n=1}^\infty a_n(x)\) gleichmäßig bzgl. \(x \in X\) konvergiert?

Majorantenkriterium von Weierstraß: Für alle \(n \in \natural \) und \(x \in X\) sei \(\norm {a_n(x)} \le C_n\) (d. h. \(C_n\) ist von \(x\) unabhängig). Zudem sei \(\sum _{n=1}^\infty C_n\) konvergent.
Dann konvergiert \(\sum _{n=1}^\infty a_n(x)\) gleichmäßig bzgl. \(x \in X\).

Anwendung (Fourier-Reihen): Seien \(a_n \in \complex \) eine komplexe Folge und \(\sum _{n=1}^\infty |a_k|\) sei konvergent. Dann konvergieren folgende Funktionenreihen ebenfalls (absolut) für alle \(x \in \real \) und sind stetig: \(S(x) = \sum _{n=1}^\infty a_n \sin (nx)\), \(C(x) = a_0 \sum _{n=1}^\infty a_n \cos (nx)\), \(E(x) = \sum _{n \in \integer } a_n e^{inx}\).

Zur Stetigkeit der Grenzfunktion zweier Variablen

Vertauschen von \(\lim _{x \to x_0}\) und \(\lim _{y \to y_0}\): Seien \(M_1, M_2, M_3\) metrische Räume mit \(M_3\) vollständig, \(X \subset M_1\), \(Y \subset M_2\), \(x_0 \in \acc (X)\) und \(y_0 \in \acc (Y)\).
Weiterhin sei \(f: X \times Y \rightarrow M_3\) eine Funktion, wobei für alle \(x \in X\) der Grenzwert
\(\lim _{y \to y_0} f(x, y) = \varphi (x)\) und für alle \(y \in Y\) der Grenzwert \(\lim _{x \to x_0} f(x, y) = \psi (y)\) existiert.
Einer dieser beiden Grenzwerte werde gleichmäßig angenommen.
Dann gibt es die Grenzwerte \(\lim _{x \to x_0} \varphi (x) = \lim _{y \to y_0} \psi (y)\) und sind gleich.

Unter diesen Voraussetzungen gilt somit \(\lim _{x \to x_0} \left (\lim _{y \to y_0} f(x, y)\right ) = \lim _{y \to y_0} \left (\lim _{x \to x_0} f(x, y)\right )\).

Folgerung: Seien zusätzlich \(x_0 \in X\), \(f(x, y)\) stetig im Punkt \(x = x_0\) (für jedes beliebige \(y\)) und der erste Grenzwert werde gleichmäßig erreicht.
Dann ist auch \(\varphi (x)\) stetig im Punkt \(x = x_0\).

Zum Vertauschen von Grenzwert und Riemann-Integral

Vertauschen von \(\lim _{n \to \infty }\) und \(\int _a^b\): Seien \(f_n \in \C ([a,b], \field ^d)\) für \(n \in \natural \), wobei
\(\lim _{n \to \infty } f_n(x) = f(x)\) gleichmäßig bzgl. \(x \in [a,b]\).
Dann gibt es die Grenzwerte \(\lim _{n \to \infty } \left (\int _a^b f_n(x)\dx \right ) = \int _a^b f(x)\dx \) und sind gleich.

Vertauschen von \(\sum _{n=1}^\infty \) und \(\int _a^b\): Seien \(a_n \in \C ([a,b], \field ^d)\) für \(n \in \natural \), wobei
\(\sum _{n=1}^\infty a_n(x) = S(x)\) gleichmäßig bzgl. \(x \in [a,b]\).
Dann gibt es die Grenzwerte \(\sum _{n=1}^\infty \left (\int _a^b a_n(x)\dx \right ) = \int _a^b S(x)\dx \) und sind gleich.

Vertauschen von \(\lim _{x \to x_0}\) und \(\int _a^b\): Seien \(M\) ein metrischer Raum mit \(X \subset M\) und
\(x_0 \in \acc (X)\). Außerdem sei \(f: X \times [a,b] \rightarrow \field ^d\) eine Funktion mit \(\forall _{x \in X}\; f(x, \cdot ) \in \C ([a,b])\) und \(\lim _{x \to x_0} f(x, y) = \varphi _{x_0}(y)\) werde gleichmäßig bzgl. \(y \in [a,b]\) angenommen.
Dann gibt es die Grenzwerte \(\lim _{x \to x_0} \left (\int _a^b f(x, y)\dy \right ) = \int _a^b \varphi _{x_0}(y)\dy \) und sind gleich.

kartesisches Produkt zweier metrischer Räume: Seien \((M_1, d_1)\) und \((M_2, d_2)\) zwei metrische Räume und \(M = M_1 \times M_2\). Definiere für \(m’ = (x’, y’) \in M\) und \(m’’ = (x’’, y’’) \in M\) die Funktion \(d(m’, m’’) = d_1(x’, x’’) + d_2(y’, y’’)\). Damit wird \((M, d)\) zum metrischen Raum, \(d\) ist die von \(M = M_1 \times M_2\) induzierte Metrik. Ist eine Folge von \(m_k = (x_k, y_k) \in M\) und \(m = (x, y)\) gegeben, so ist \(m_k \xrightarrow {d} m \;\Leftrightarrow \; (x_k \xrightarrow {d_1} x) \land (y_k \xrightarrow {d_2} y)\).

Lemma für kompakte Mengen: Seien \(X \subset M_1\) kompakt und \(Y \subset M_2\) kompakt.
Dann ist \(X \times Y \subset M\) ebenfalls kompakt.

Satz (Stetigkeit von \(J(x)\)): Seien \(M\) ein metrischer Raum, \(X \subset M\) kompakt und
\(f: X \times [a,b] \rightarrow \field ^d\) mit \(f \in \C (X \times [a,b], \field ^d)\).
Dann ist \(J(x) = \int _a^b f(x, y)\dy \) stetig in \(x\).

Zum Vertauschen von Grenzwert und Ableitung

Vorsicht: Seien \(f_n \in \C ([a,b])\) gegeben mit \(f_n\) diffb. in \(\left ]a,b\right [\) sowie \(f_n(x) \rightrightarrows f(x)\) gleichmäßig bzgl. \(x \in [a,b]\). Dann gilt i. A. nicht, dass \(f\) in \(\left ]a,b\right [\) diffb. ist und \(f’(x) = \lim _{n \to \infty } f_n’(x)\)!

Vertauschen von \(\lim _{n \to \infty }\) und \(\frac {d}{dx}\): Seien \(f_n \in \C ^1([a,b], \field ^d)\) für \(n \in \natural \) und für alle \(x \in [a,b]\) existiere der Grenzwert \(\lim _{n \to \infty } f_n(x) = f(x)\) sowie der Grenzwert \(\lim _{n \to \infty } f_n’(x) = \varphi (x)\) werde gleichmäßig bzgl. \(x \in [a,b]\) angenommen. Dann ist auch \(f \in \C ^1([a,b])\) und \(f’(x) = \varphi (x)\).

Unter diesen Voraussetzungen gilt somit \(\lim _{n \to \infty } \left (\frac {d}{dx} f_n(x)\right ) = \frac {d}{dx} \left (\lim _{n \to \infty } f_n(x)\right )\).

Vertauschen von \(\sum _{n=1}^\infty \) und \(\frac {d}{dx}\): Seien \(a_k \in \C ^1([a,b], \field ^d)\) für \(k \in \natural \) und für alle
\(x \in [a,b]\) existiere die Reihe \(\sum _{k=1}^\infty a_k(x) = S(x)\) sowie der Grenzwert \(\sum _{k=1}^\infty a_k’(x) = T(x)\) werde gleichmäßig bzgl. \(x \in [a,b]\) angenommen.
Dann ist auch \(S \in \C ^1([a,b])\) und \(S’(x) = T(x)\).

partielle Ableitung: Seien \(f: \left ]a,b\right [ \times Y \rightarrow \field ^d\) eine Funktion mit \(x_0 \in \left ]a,b\right [\) und \(y_0 \in Y\).
Dann ist \(\left .\frac {\partial f}{\partial x}\right |_{(x_0, y_0)} := \lim _{h \to 0,\; h \in \field } \frac {f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h}\)
die partielle Ableitung von \(f\) nach \(x\) im Punkt \((x_0, y_0)\).

Vertauschen von \(\lim _{y \to y_0}\) und \(\frac {d}{dx}\): Seien \(M\) ein metrischer Raum, \(Y \subset M\), \(y_0 \in \acc (Y)\) und \(f: \left ]a,b\right [ \times Y \rightarrow \field ^d\) eine Funktion, wobei \(\forall _{y \in Y}\; f(\cdot , y) \in \C ^1([a,b], \field ^d)\), für alle \(x \in [a,b]\) existiere der Grenzwert \(\lim _{y \to y_0} f(x,y) = \varphi (x)\) sowie der Grenzwert \(\lim _{y \to y_0}\) \(\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}\) \(= \psi (x)\) werde gleichmäßig bzgl. \(x \in [a,b]\) angenommen. Dann ist auch \(\varphi \in \C ^1([a,b])\) und \(\varphi ’(x) = \psi (x)\).

Unter diesen Voraussetzungen gilt somit \(\frac {d}{dx} \left (\lim _{y \to y_0} f(x,y)\right ) = \lim _{y \to y_0} \left (\frac {\partial }{\partial x} f(x,y)\right )\).

Differenzieren und Integrieren von parameterabhängigen Integralen

Satz: Seien \(\Omega = [a,b] \times [c,d]\) und \(f, \frac {\partial f}{\partial y} \in \C (\Omega , \field ^d)\).
Dann ist \(J(y) = \int _a^b f(x,y)\dx \in \C ^1([c,d])\) und \(J’(y) = \int _a^b \frac {\partial f(x,y)}{\partial y} \dx \).

Satz: Seien \(\Omega = [a,b] \times [c,d]\) und \(f \in \C (\Omega , \field ^d)\).
Dann ist \(\int _a^b \left (\int _c^d f(x,y)\dy \right )\dx = \int _c^d \left (\int _a^b f(x,y)\dx \right )\dy \).

Stetigkeit und Diff.barkeit von Integralen mit parameterabh. Grenzen

Seien \(\Omega = [a,b] \times [c,d]\), \(f \in \C (\Omega , \field ^d)\) und \(\alpha , \beta : [c,d] \rightarrow [a,b]\).
Man betrachtet nun das Integral \(J(y) = \int _{\alpha (y)}^{\beta (y)} f(x,y)\dx \).

Satz 1: Seien \(f \in \C (\Omega , \field ^d)\) und \(\alpha , \beta \in \C ([c,d], [a,b])\).
Dann ist \(J(y) = \int _{\alpha (y)}^{\beta (y)} f(x,y)\dx \in \C ([c,d])\).

Satz 2: Seien \(\Omega _\delta = [a,b] \times [c - \delta , c + \delta ]\) für \(\delta > 0\), \(f \in \C (\Omega _\delta )\), \(\frac {\partial f}{\partial y} \in \C (\Omega _\delta )\) und \(\alpha , \beta \) in \(\left ]c,d\right [\) diffb. Dann ist \(J(y)\) ist diffb. für \(y \in \left ]c,d\right [\) und
\(J’(y_0) = \int _{\alpha (y_0)}^{\beta (y_0)} \left .\frac {\partial f(x, y)}{\partial y}\right |_{y = y_0}\dx + \beta ’(y_0) \cdot f(\beta (y_0), y_0) - \alpha ’(y_0) \cdot f(\alpha (y_0), y_0)\).

Zum Vertauschen von Grenzwert und uneigentlichem Integral

Vertauschen von \(\lim _{n \to \infty }\) und \(\int _0^{+\infty }\): Seien \(f_n \in \C (\left [0,+\infty \right [, \real )\) für \(n \in \natural \), wobei
\(\lim _{R \to \infty } \left (\int _0^R f_n(x)\dx \right ) = \int _0^{+\infty } f_n(x)\dx \) gleichmäßig bzgl. \(n \in \natural \) und
\(f(x) = \lim _{n \to \infty } f_n(x)\) gleichmäßig bzgl. \(x \in [0,R]\) für jedes fixierte \(R > 0\) angenommen werden.
Dann gibt es die Grenzwerte \(\int _0^{+\infty } f(x)\dx = \lim _{n \to \infty } \left (\int _0^{+\infty } f_n(x)\dx \right )\) und sind gleich.

Vertauschen von \(\sum _{n=1}^\infty \) und \(\int _0^{+\infty }\): Seien \(f_n \in \C (\left [0,+\infty \right [, \real )\) für \(n \in \natural \), wobei
\(\lim _{R \to \infty } \left (\int _0^R f_n(x)\dx \right ) = \int _0^{+\infty } f_n(x)\dx \) gleichmäßig bzgl. \(n \in \natural \) und
\(f(x) = \sum _{n=1}^\infty f_n(x)\) gleichmäßig bzgl. \(x \in [0,R]\) für jedes fixierte \(R > 0\) angenommen werden.
Dann gibt es die Grenzwerte \(\int _0^{+\infty } f(x)\dx = \sum _{n=1}^\infty \left (\int _0^{+\infty } f_n(x)\dx \right )\) und sind gleich.

Vertauschen von \(\lim _{y \to y_0}\) und \(\int _0^{+\infty }\): Seien \(M\) ein metrischer Raum, \(Y \subset M\), \(y_0 \in \acc (Y)\) und \(f \in \C (\left [0, +\infty \right [ \times Y, \real )\), wobei
\(\lim _{R \to \infty } \left (\int _0^R f(x,y)\dx \right ) = \int _0^{+\infty } f(x,y)\dx \) gleichmäßig bzgl. \(y \in Y\) und
\(\lim _{y \to y_0} f(x,y) = \varphi _{y_0}(x)\) gleichmäßig bzgl. \(x \in [0,R]\) angenommen werden.
Dann existieren die Grenzwerte \(\int _0^{+\infty } \varphi _{y_0}(x)\dx = \lim _{y \to y_0} \left (\int _0^{+\infty } f(x,y)\dx \right )\) und sind gleich.

Vertauschen von \(\frac {d}{dx}\) und \(\int _0^{+\infty }\): Seien \(\Omega = \left [0, +\infty \right [ \times [c,d]\) und \(f, \frac {\partial f}{\partial y} \in \C (\Omega , \real )\),
wobei für alle \(y \in [c,d]\) der Grenzwert \(\lim _{R \to \infty } \left (\int _0^R f(x,y)\dx \right ) = \int _0^{+\infty } f(x,y)\dx \) existiert und
\(\lim _{R \to \infty } \left (\int _0^R \frac {\partial f(x, y)}{\partial y}\dx \right ) = \int _0^{+\infty } \frac {\partial f(x,y)}{\partial y}\dx \) gleichmäßig bzgl. \(y \in [c,d]\) angenommen wird.
Dann ist \(\int _0^{+\infty } f(x,y)\dx \) differenzierbar und \(\frac {d}{dy} \left (\int _0^{+\infty } f(x,y)\dx \right ) = \int _0^{+\infty } \frac {\partial f(x,y)}{\partial y}\dx \).

Vertauschen von \(\int _c^d\) und \(\int _0^{+\infty }\): Seien \(\Omega = \left [0, +\infty \right [ \times [c,d]\) und \(f \in \C (\Omega , \real )\), wobei
\(\lim _{R \to \infty } \int _0^R f(x,y)\dx = \int _0^{+\infty } f(x,y)\dx \) gleichmäßig bzgl. \(y \in [c,d]\) angenommen wird.
Dann ist \(\int _c^d \left (\int _0^{+\infty } f(x,y)\dx \right )\dy = \int _0^{+\infty } \left (\int _c^d f(x,y)\dy \right )\dx \).

Potenzreihen

Potenzreihe: Für \(k \in \natural _0\) seien \(a_k \in \complex \) sowie \(z_0 \in \complex \) gegeben.
Man definiert \(S_n(z) = a_0 + \sum _{k=1}^n a_k(z - z_0)^k\) für \(z \in \complex \).
Dann heißt \(S(z) = \lim _{n \to \infty } S_n(z) = \sum _{k=0}^\infty a_k(z - z_0)^k\) Potenzreihe.

Man will untersuchen, für welche \(z\) eine gegebene Potenzreihe konvergiert und für welche nicht. Im Weiteren betrachten wir durch \(\widetilde {z} = z - z_0\), also \(\sum _{k=0}^\infty a_k (z - z_0)^k = \sum _{k=0}^\infty a_k \widetilde {z}^k\), ohne Einschränkung nur noch Potenzreihen mit \(z_0 = 0\).

Konvergenzkreis/-radius: Sei eine Potenzreihe \(\sum _{k=0}^\infty a_k z^k\) gegeben. \(U_R = \{z \in \complex \;|\; |z| < R\}\) heißt Konvergenzkreis der Potenzreihe mit dem Konvergenzradius \(R\), falls
\(\sum _{k=0}^\infty a_k z^k\) für alle \(z \in U_R\) konvergent ist (d. h. \(|z| < R\)) und
\(\sum _{k=0}^\infty a_k z^k\) für alle \(z \notin \overline {U_R}\) divergent ist (d. h. \(|z| > R\)).
Für \(|z| = R\) macht der Konvergenzkreis keine Aussage. Möglich sind für \(R\) auch \(R = 0\) (konvergent nur für \(z = 0\)) und \(R = +\infty \) (konvergent für alle \(z \in \complex \)).

Satz von Cauchy-Hadamard: Jede Potenzreihe \(\sum _{k=0}^\infty a_k z^k\) (\(a_k, z \in \complex \)) besitzt einen Konvergenzkreis mit dem Konvergenzradius \(R = \frac {1}{\limsup _{k \to \infty } \sqrt [k]{|a_k|}}\).
Für \(a_n \not = 0\), \(n \ge N\) gilt \(R = \lim _{n \to \infty } \Big |\)\(\frac {a_n}{a_{n+1}}\)\(\Big |\), falls der Grenzwert existiert.
(Alle Fälle \(R \in \left ]0, +\infty \right [ \cup \{0\} \cup \{+\infty \}\) sind zugelassen.)

Satz: Sei \(R \le +\infty \) und \(R > 0\). Wähle \(R_1 < R\) mit \(R_1 > 0\).
Dann konvergiert \(S(z) = \sum _{k=0}^\infty a_k z^k\) gleichmäßig bzgl \(|z| < R_1\).

Satz (Differenzieren von Potenzreihen): Seien \(S(z) = \sum _{k=0}^\infty c_k (z - a)^k\) eine Potenzreihe mit Konvergenzradius \(R > 0\) und \(S_1(z) = \sum _{k=1}^\infty k c_k (z - a)^{k-1}\).
Dann ist \(S(z)\) im Konvergenzkreis komplex differenzierbar und die Ableitung erfolgt gliedweise, d. h. es gilt \(S’(z) = S_1(z)\) für alle \(z \in \complex \) mit \(|z - a| < R\).
Dabei ist die Ableitung eine Potenzreihe mit demselben Konvergenzradius.

Satz (Integrieren von Potenzreihen): Seien \(S(z) = \sum _{k=0}^\infty c_k (z - a)^k\) eine Potenzreihe mit Konvergenzradius \(R > 0\) und \(S_{-1}(z) = C + \sum _{k=0}^\infty \frac {c_k}{k + 1} (z - a)^{k+1}\).
Dann ist \(S_{-1}(z)\) eine Potenzreihe mit demselben Konvergenzradius und gliedweise diffb. mit \(S_{-1}’(z) = S(z)\). Also ist \(S_{-1}(z)\) eine Stammfunktion von \(S(z)\).

Potenzreihen sind also in ihrem Konvergenzkreis beliebig oft komplex differenzierbar und aufleitbar. Die Ableitung kann durch gliedweise Differenzieren bestimmt werden, analog wird die Stammfunktion durch gliedweise Integrieren bestimmt.

Potenzreihen als Taylor-Reihen darstellen: Sei \(S(z) = \sum _{k=0}^\infty c_k (z - a)^k\) eine Potenzreihe mit Konvergenzradius \(R > 0\). Dann ist \(c_0 = S(a)\), \(c_1 = S’(a)\), \(c_2 = \frac {S’’(a)}{2!}\), …, \(c_k = \frac {S^{(k)}(a)}{k!}\), d. h. die \(c_k\) sind die Taylorkoeffizienten. Also ist jede Potenzreihe in ihrem Konvergenzkreis durch ihre Taylorreihe darstellbar: \(S(z) = \sum _{k=0}^\infty \frac {S^{(k)}(a)}{k!} (z - a)^k\).

Taylor-Reihe einer Funktion: Sei \(f: \left ]-R,R\right [ \rightarrow \complex \) eine Funktion mit \(R > 0\), wobei \(f\) in \(x_0 = 0\) beliebig oft reell differenzierbar ist.
Dann lässt sich bekannterweise \(f\) durch \(f(x) = T_n(x) + r_n(0, x)\) mit \(T_n(x) = \sum _{k=0}^n \frac {f^{(k)}(0)}{k!} x^k\) als Taylor-Polynom und \(r_n(0, x) = r_n(x) = o(x^n)\) für \(x \to 0\) darstellen.

Im Allgemeinen muss \(T_n(x)\) für \(n \to \infty \) nicht unbedingt konvergieren.
Besitzt jedoch \(t(x) = \lim _{n \to \infty } T_n(x) = \sum _{k=0}^\infty \frac {f^{(k)}(0)}{k!} x^k\) einen Konvergenzradius \(R > 0\), so bezeichnet man \(t(x)\) als Taylor-Reihe von \(f(x)\). Allerdings ist i. A. \(t(x) \not = f(x)\) für alle \(x\), d. h. der Rest \(r_n(x)\) muss für \(n \to \infty \) nicht gegen \(0\) konvergieren!

als Taylorreihe darstellbar: \(f\) ist in einer Umgebung von \(x_0 = 0\) als Taylor-Reihe darstellbar, falls \(f(x) = t(x)\) ist für \(|x| < \varepsilon \).

Satz (Kriterium für Darstellbarkeit): Seien \(f: \left ]-R,R\right [ \rightarrow \complex \) beliebig oft diffb.,
\(\forall _{k \in \natural } \exists _{C(k)} \forall _{|x| < R}\; |f^{(k)}(x)| \le C(k)\) sowie \(\lim _{k \to \infty } \frac {C(k) R^k}{k!} = 0\).
Dann ist \(f(x) = t(x)\) für \(|x| < R\).

Der Satz von Stone und Weierstraß

Satz von Stone und Weierstraß: Die Menge der Polynome ist in \(C([a,b])\) dicht.

äquivalente Formulierung: Gegeben sei eine stetige Funktion \(f: [a,b] \rightarrow \complex \). Dann gibt es eine Folge von Polynomen \(P_n(x)\), sodass \(\lim _{n \to \infty } P_n(x) = f(x)\) gleichmäßig bzgl. \(x \in [a,b]\).

Die Eulerschen Integrale

Betafunktion: \(B(a, b) = \int _0^1 x^{a-1} (1 - x)^{b-1} \dx \), \(a, b > 0\)

\(B(a, b)\) ist konvergent für alle \(a, b > 0\):
\(a \ge 1\), \(b \ge 1\): Riemann-Integral, da Integrand beschränkt, sonst konvergentes uneigentliches Integral, denn \(\int _0^1 x^{a-1} (1 - x)^{b-1} \dx = \int _0^{\frac {1}{2}} x^{a-1} (1 - x)^{b-1} \dx + \int _{\frac {1}{2}}^1 x^{a-1} (1 - x)^{b-1} \dx \),
für das Integral \(\int _0^{\frac {1}{2}} x^{a-1} (1 - x)^{b-1} \dx \) gilt \((1 - x)^{b-1} \le \left (\frac {1}{2}\right )^{b-1}\) für \(0 \le x \le \frac {1}{2}\) sowie
\(\int _0^{\frac {1}{2}} x^{a-1} \dx = \frac {2^{-a}}{a} < \infty \),
für das Integral \(\int _{\frac {1}{2}}^1 x^{a-1} (1 - x)^{b-1} \dx \) gilt \(x^{a-1} \le \left (\frac {1}{2}\right )^{a-1}\) für \(\frac {1}{2} \le x \le 1\), sowie
\(\int _{\frac {1}{2}}^1 (1 - x)^{b-1} \dx = \frac {2^{-b}}{b} < \infty \), \(0 < a < 1\), \(0 < b < 1\)

Eigenschaften der Betafunktion:

\(B(a, b) = B(b, a)\)
\(B(a, b) =\) \(\frac {b - 1}{a + b - 1}\) \(\cdot \; B(a, b - 1)\) für \(a > 0\), \(b > 1\) und
\(B(a, b) =\) \(\frac {a - 1}{a + b - 1}\) \(\cdot \; B(a - 1, b)\) für \(a > 1\), \(b > 0\)
\(B(a, 1 - a) =\) \(\frac {\pi }{\sin a\pi }\)

Gammafunktion: \(\Gamma (a) = \int _0^\infty x^{a-1} e^{-x} \dx \), \(a > 0\)

\(\Gamma (a)\) ist konvergent für alle \(a > 0\):
\(\int _0^\infty x^{a-1} e^{-x} \dx = \int _0^1 x^{a-1} e^{-x} \dx + \int _1^\infty x^{a-1} e^{-x} \dx \),
das Integral \(\int _0^1 x^{a-1} e^{-x} \dx \) ist für \(a \ge 1\) ein Riemann-Integral, da Integrand beschränkt, sonst gilt \(x^{a-1} e^{-x} \le x^{a-1}\) für \(a < 1\), \(x \in [0,1]\),
das Integral \(\int _1^\infty x^{a-1} e^{-x} \dx \) konvergiert, da \(x^{a-1} e^{-x} \le x^{-2}\) für genügend große \(x\)

Eigenschaften der Gammafunktion:

\(\Gamma (a)\) stetig
\(\Gamma (a)\) differenzierbar und \(\Gamma ’(a) = \int _0^\infty x^{a-1} \ln (x) e^{-x} \dx \)
\(\Gamma (a + 1) = a \cdot \Gamma (a)\), es gilt daher \(\Gamma (n + a) = (n + a - 1) (n + a - 2) \dotsm (a + 1) a \cdot \Gamma (a)\) und insbesondere \(\Gamma (n + 1) = n!\) (da \(\Gamma (1) = 1\))
\(\lim _{a \to 0} \Gamma (a) = \lim _{a \to \infty } \Gamma (a) = +\infty \)

Zusammenhang zwischen Beta- und Gammafunktion: \(B(a, b) =\) \(\frac {\Gamma (a) \Gamma (b)}{\Gamma (a + b)}\)

Zusatz: Ein analytischer Beweis des Hauptsatzes der Algebra

Satz (Hauptsatz der Algebra):
Jedes Polynom in \(\complex \) vom Grad größer/gleich \(1\) besitzt mindestens eine Nullstelle.

Lemma 1: \(\forall _{M > 0} \exists _{R > 0} \forall _{|z| \ge R}\; |p(z)| \ge M\)

Lemma 2: \(\forall _{z^\ast \in \complex ,\; p(z^\ast ) \not = 0} \exists _{h \in \complex }\; |p(z^\ast + h)| < |p(z^\ast )|\)