Analysis 1 – Metrik und Topologie in den Räumen ℝ, ℂ, ℝⁿ, ℂⁿ

Konvergenz in ℝ

Intervalle (\(a, b \in \mathbb {R}\)):
\(\left ]a,b\right [ = \left (a,b\right ) = \{x \in \mathbb {R} \;|\; a < x < b\} \quad \) offen,
\(\left [a,b\right ] = \{x \in \mathbb {R} \;|\; a \le x \le b\} \quad \) abgeschlossen,   \(\left (a,b\right ] = \left ]a,b\right ]\), \(\left [a,b\right ) = \left [a,b\right [ \quad \) halboffen

\(\varepsilon \)-Umgebung: \(U_\varepsilon (x) = (x - \varepsilon , x + \varepsilon ) = \{y \in \mathbb {R} \;|\; |x - y| < \varepsilon \} \quad \) (\(x \in \mathbb {R}\), \(\varepsilon > 0\))

Konvergenz reeller Folgen: \(\{a_n\}_{n \in \mathbb {N}} \xrightarrow {n \to \infty } a \;\Leftrightarrow \; \forall _{\varepsilon > 0} \exists _{N(\varepsilon ) \in \mathbb {N}} \forall _{n \ge N(\varepsilon )}\; a_n \in U_\varepsilon (a)\)

Beschränktheit reeller Teilmengen: \(\exists _{C > 0} \forall _{x \in M}\; |x| \le C \quad \) (\(M \subset \mathbb {R}\))

Lemma: Jede unbeschränkte Menge \(M \subset \mathbb {R}\) ist transfinit.
\(\Rightarrow \;\) Jede endliche Menge ist beschränkt.

Satz: Sei \(\{a_n\}_{n \in \mathbb {N}}\) mit \(a_n \in \mathbb {R}\), \(\lim _{n \to \infty } a_n = a \in \mathbb {R}\).
1. \(\bigcup _{n \in \mathbb {N}} \{a_n\} = M\) ist beschränkt. 2. Für jede Teilfolge \(\{a_j\}\) gilt \({a_j}_k \xrightarrow {n \to \infty } a\).

Es gelten die Grenzwertsätze (\(\lim _{n \to \infty } a_n = a \in \mathbb {R}\), \(\lim _{n \to \infty } b_n = b \in \mathbb {R}\)):
1. \(\lim _{n \to \infty } (a_n + b_n) = a + b \qquad \) 2. \(\lim _{n \to \infty } (a_n \cdot b_n) = a \cdot b\)
3. \(\lim _{n \to \infty } \frac {a_n}{b_n} = \frac {a}{b}\) (\(b_n, b \not = 0\)) \(\qquad \) 4. \(\lim _{n \to \infty } |a_n| = |a|\)
Außerdem gilt \((\forall _{n \in \mathbb {N}}\; a_n \le b_n) \;\Rightarrow \; a \le b\).

Satz der zwei Polizisten: Seien \(\{a_n\}\), \(\{b_n\}\), \(\{c_n\}\) reelle Folgen mit \(a_n, b_n \xrightarrow {n \to \infty } a \in \mathbb {R}\).
Dann gilt \((\forall _{n \ge N}\; a_n \le c_n \le b_n) \;\Rightarrow \; \lim _{n \to \infty } c_n = a\).

ℝ als metrischer Raum

Sei \(M\) Menge, \(d: M \times M \rightarrow \mathbb {R}\) Funktion.
Dann heißt \(d\) Abstandsfunktion (Metrik), falls folgende Axiome erfüllt sind:

• \(d(x,y) \ge 0\), \(\quad d(x,y) = 0 \;\Leftrightarrow \; x = y\)

• \(d(x,y) = d(y,x)\)

• \(d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)\)

\((M,d)\) heißt metrischer Raum. Bspw. ist \((\mathbb {R},d_{|\cdot |})\) mit \(d_{|\cdot |}(x,y) = |x - y|\) metrischer Raum.

triviale Metrik: \(M \not = \emptyset \), \(d(x,y) = 0\) falls \(x = y\), \(d(x,y) = 1\) falls \(x \not = y\)

\(\varepsilon \)-Umgebung: \(U_\varepsilon (x) = \{y \in M \;|\; d(x,y) < \varepsilon \}\) (\(x \in M\), \(\varepsilon > 0\))

Konvergenz im Sinne der Metrik: \(x_n, x \in M\)
\(x \overset {(M,d)}{=} \lim _{n \to \infty } x_n \; (x_n \xrightarrow {d} x) \;\Leftrightarrow \; \forall _{\varepsilon > 0} \exists _{N(\varepsilon ) \in \mathbb {N}} \forall _{n \ge N(\varepsilon )}\; x_n \in U_\varepsilon (x)\)

• Wenn eine Folge \(x_n \in M\) konvergiert, dann hat sie genau einen Grenzwert.

• \(a_n \xrightarrow {(M,d)} a \;\Leftrightarrow \; d(a_n, a) \xrightarrow {\mathbb {R}} 0\)

• \(M’ \subset M\) heißt beschränkt \(\;\Leftrightarrow \; \exists _{a \in M} \exists _{C \in \mathbb {R}} \forall _{a’ \in M’}\; d(a, a’) \le C\)

Cauchy-Folge: \(\{a_n\}_{n \in \mathbb {N}} \in \CF ((M,d)) \;\Leftrightarrow \; \forall _{\varepsilon > 0} \exists _{N(\varepsilon ) \in \mathbb {N}} \forall _{n,m \ge N(\varepsilon )}\; d(a_n, a_m) < \varepsilon \)

Eine konvergente Folge ist auch eine Cauchy-Folge, d. h.
\(a_n \xrightarrow {(M,d)} a \;\Rightarrow \; \{a_n\}_{n \in \mathbb {N}} \in \CF ((M,d))\).

Die Umkehrung ist nicht immer wahr. Ein metrischer Raum \((M,d)\) heißt vollständig, falls jede Cauchy-Folge \(\{a_n\}_{n \in \mathbb {N}}\) aus \(M\) auch einen Grenzwert \(a\) in \(M\) besitzt.

Satz von Cauchy: \((\mathbb {R},d_{|\cdot |})\) ist vollständig, d. h. eine Folge reeller Zahlen \(\{a_n\}_{n \in \mathbb {N}}\) konvergiert genau dann gegen ein \(a \in \mathbb {R}\), wenn \(\{a_n\}_{n \in \mathbb {N}} \in \CF ((\mathbb {R},d_{|\cdot |}))\).

Der Beweis erfolgt basierend auf den Lemmas \(\{r_{n+n_0}\} \in x\) und \(\{|r_n|\} \in |x|\) (wenn \(x \in \mathbb {R}\), \(\{r_n\} \in x\)). Außerdem gilt in diesem Fall \(\lim _{n \to \infty } r_n \overset {\mathbb {R}}{=} x\). Der Beweis des Satzes von Cauchy
(\(\{x_n\}_{n \in \mathbb {N}} \in \CF (\mathbb {R}) \;\Rightarrow \; \exists _{y \in \mathbb {R}}\; y = \lim _{n \to \infty } x_n\)) wird anschließend in drei Schritte aufgeteilt:

• Schritt 1: Konstruktion eines „Kandidaten“ \(\{q_n\}_{n \in \mathbb {N}}\), \(q_n \in \mathbb {Q}\)

• Schritt 2: \(\{q_n\} \in \CF (\mathbb {Q})\), d. h. \(\exists _{y \in \mathbb {R}}\; y \ni \{q_n\}\)

• Schritt 3: \(\lim _{n \to \infty } x_n = y\)

Monotonie von reellen Folgen: \(\{x_n\}\) wächst monoton, d. h. \(\{x_n\}\!\!\uparrow \) \(\;\Leftrightarrow \; \forall _{n \in \mathbb {N}}\; x_n \le x_{n+1}\)
\(\{x_n\}\) wächst streng monoton, d. h. \(\{x_n\}\!\!\upuparrows \) \(\;\Leftrightarrow \; \forall _{n \in \mathbb {N}}\; x_n < x_{n+1}\), analog \(\{x_n\}\!\!\downarrow \), \(\{x_n\}\!\!\downdownarrows \)

Beschränktheit von reellen Folgen: \(\{x_n\}\) ist beschränkt \(\;\Leftrightarrow \; \exists _{C \in \mathbb {R}} \forall _{n \in \mathbb {N}}\; |x_n| \le C\)

Satz: Jede monotone, beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt einen reellen Grenzwert.

Maximum, Minimum, Infimum, Supremum

\(M \subset \mathbb {R}\), \(M \not = \emptyset \), \(a \in \mathbb {R}\)

\(a = \max {M} \;\Leftrightarrow \; (a \in M) \land (\forall _{x \in M}\; x \le a) \quad \) Maximum
\(a = \min {M} \;\Leftrightarrow \; (a \in M) \land (\forall _{x \in M}\; x \ge a) \quad \) Minimum

\(c \in \mathbb {R}\) heißt obere Schranke von \(M \;\Leftrightarrow \; \forall _{x \in M}\; x \le c\)
\(c \in \mathbb {R}\) heißt untere Schranke von \(M \;\Leftrightarrow \; \forall _{x \in M}\; x \ge c\)

\(M_{+}\) Menge aller oberen Schranken, \(M_{-}\) Menge aller unteren Schranken
M ist beschränkt nach oben \(\;\Leftrightarrow \; M_{+} \not = \emptyset \), M ist beschränkt nach unten \(\;\Leftrightarrow \; M_{-} \not = \emptyset \)

\(a = \sup {M} \;\Leftrightarrow \; (M_{+} \not = \emptyset ) \land (a = \min {M_{+}}) \quad \) Supremum
\(a = \inf {M} \;\Leftrightarrow \; (M_{-} \not = \emptyset ) \land (a = \max {M_{-}}) \quad \) Infimum

Satz: Mengen, die nach oben/unten beschränkt sind, haben ein Supremum/Infimum, d. h.
\(M_{+} \not = \emptyset \;\Rightarrow \; \exists _{a_{+} \in \mathbb {R}}\; a_{+} = \sup {M}\quad \) bzw. \(\quad M_{-} \not = \emptyset \;\Rightarrow \; \exists _{a_{-} \in \mathbb {R}}\; a_{-} = \inf {M}\).

Die Eulersche Zahl e

Fakultät: \(n! \overset {\text {def.}}{=} 1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot (n-1) \cdot n\), \(\quad 0! \overset {\text {def.}}{=} 1\)

\(x_n = \sum _{k=0}^{n} \frac {1}{k!} \;=\; \frac {1}{0!} + \frac {1}{1!} + \frac {1}{2!} + \cdots + \frac {1}{n!}\)

• Satz 1: \(\exists \lim _{n \to \infty } x_n\) in \(\mathbb {R}\).
  Definition der Eulerschen Zahl: \(e = \lim _{n \to \infty } x_n\)

• Satz 2: Für \(n \ge 2\) gilt \(x_n < e < x_n \;+ \) \(\frac {1}{n \cdot n!}\).

• Satz 3: \(e\) ist irrational, d. h. \(e \notin \mathbb {Q}\).

• Satz 4: \(y_n =\) \((1 + \frac {1}{n})^n\), \(n \in \mathbb {N}\) \(\;\Rightarrow \; e = \lim _{n \to \infty } y_n\).

Einige wichtige Grenzwerte

bestimmte Divergenz:

• \(\lim _{n \to \infty } x_n = +\infty \;\Leftrightarrow \; \forall _{C > 0} \exists _{N(C) \in \mathbb {N}} \forall _{n \ge N(C)}\; x_n \ge C\)

• \(\lim _{n \to \infty } x_n = -\infty \;\Leftrightarrow \; \forall _{C > 0} \exists _{N(C) \in \mathbb {N}} \forall _{n \ge N(C)}\; x_n \le -C\)

• \(\lim _{n \to \infty } x_n = \infty \;\Leftrightarrow \; \forall _{C > 0} \exists _{N(C) \in \mathbb {N}} \forall _{n \ge N(C)}\; |x_n| \ge C\)

Der euklidische Raum ℝⁿ

\(x, y \in \mathbb {R}^n \;\rightarrow \; x + y = (x_1 + y_1, \ldots , x_n + y_n)\), \(\quad x \in \mathbb {R}^n\), \(\alpha \in \mathbb {R} \;\rightarrow \; \alpha \cdot x = (\alpha \cdot x_1, \ldots , \alpha \cdot x_n)\)

algebraische Struktur:
\(X = \mathbb {R}^n\), \(\mathbb {K} = \mathbb {R}\), \(\quad \boldsymbol{+}: X \times X \rightarrow X\), \(\;\boldsymbol{\cdot }: \mathbb {K} \times X \rightarrow X\) erfüllen die Vektorraum-Axiome:

euklidische Struktur (Skalarprodukt/inneres Produkt): \(X\) Vektorraum über \(\mathbb {R}\)
\(\langle \cdot , \cdot \rangle : X \times X \rightarrow \mathbb {R}\) heißt (reelles) Skalarprodukt, falls folgende Eigenschaften erfüllt sind:

• \(\langle x, x \rangle \ge 0\), \(\qquad \langle x, x \rangle = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

• \(\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle \)

• \(\langle \alpha ’ x’ + \alpha ’’ x’’, y \rangle = \alpha ’ \langle x’, y \rangle + \alpha ’’ \langle x’’, y \rangle \)   (\(\alpha ’, \alpha ’’ \in \mathbb {R}\))

Kanonisches Skalarprodukt im \(\mathbb {R}^n\): \(\langle x, y \rangle = x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n\)
\((X, \langle \cdot , \cdot \rangle )\) heißt euklidischer Raum.

Struktur des normierten Raumes: \(X\) Vektorraum über \(\mathbb {R}\)
\(\Vert \cdot \Vert : X \rightarrow \mathbb {R}\) heißt Norm, falls folgende Eigenschaften erfüllt sind:

• \(\Vert x \Vert \ge 0\), \(\qquad \Vert x \Vert = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

• \(\Vert \alpha x \Vert = |\alpha | \Vert x \Vert \)   (\(\alpha \in \mathbb {R}\))

• \(\Vert x + y \Vert \le \Vert x \Vert + \Vert y \Vert \)

Falls auf \(X\) ein (reelles) Skalarprodukt gegeben ist, so definiert \(\Vert x \Vert = \sqrt {\langle x, x \rangle } \ge 0\) die zum Skalarprodukt kanonische Norm und erfüllt somit automatisch die Normeigenschaften
(für \(X = \mathbb {R}^n\) ist \(\Vert x \Vert _{\mathbb {R}^n} = \sqrt {x_1^2 + \cdots + x_n^2}\)).
Für den Beweis ist die Ungleichung von Cauchy-Schwarz-Bunjakowskij (CSB) wichtig:
\(|\langle x, y \rangle | \le \Vert x \Vert \cdot \Vert y \Vert \)

\(d_{\Vert \cdot \Vert }(x,y) = \Vert x - y \Vert \) ist eine Abstandsfunktion, \((\mathbb {R}^n, d_{\Vert \cdot \Vert })\) metrischer Raum.

Der Raum ℂⁿ

\(\mathbb {C}^n = \mathbb {C} \times \cdots \times \mathbb {C}\), \(\qquad z = (z_1, \ldots , z_n) \quad \) \(z_j \in \mathbb {C}\), \(j = 1, \ldots , n\)

\(z, w \in \mathbb {C}^n \;\rightarrow \; z + w = (z_1 + w_1, \ldots , z_n + w_n)\), \(\quad z \in \mathbb {C}^n\), \(\alpha \in \mathbb {C} \;\rightarrow \; \alpha \cdot z = (\alpha \cdot z_1, \ldots , \alpha \cdot z_n)\)

\(X = \mathbb {C}^n\), \(\mathbb {K} = \mathbb {C}\) Vektorraum über \(\mathbb {K} = \mathbb {C}\), Axiome (1) – (8) erfüllt

hermitesche Struktur (komplexes Skalarprodukt): \(X\) Vektorraum über \(\mathbb {C}\)
\(\langle \cdot , \cdot \rangle : X \times X \rightarrow \mathbb {C}\) heißt (komplexes) Skalarprodukt, falls folgende Eigenschaften erfüllt sind:

• \(\langle z, z \rangle \ge 0\), \(\qquad \langle z, z \rangle = 0 \Leftrightarrow z = 0\)

• \(\langle z, w \rangle = \overline {\langle w, z \rangle }\)

• \(\langle \alpha ’ z’ + \alpha ’’ z’’, w \rangle = \alpha ’ \langle z’, w \rangle + \alpha ’’ \langle z’’, w \rangle \)   (\(\alpha ’, \alpha ’’ \in \mathbb {C}\))

Kanonisches Skalarprodukt im \(\mathbb {C}^n\): \(\langle z, w \rangle = z_1 \overline {w_1} + \cdots + z_n \overline {w_n}\)

normierter Raum: \(X\) Vektorraum über \(\mathbb {C}\)
\(\Vert \cdot \Vert : X \rightarrow \mathbb {R}\) heißt Norm, falls folgende Eigenschaften erfüllt sind:

• \(\Vert z \Vert \ge 0\), \(\qquad \Vert z \Vert = 0 \Leftrightarrow z = 0\)

• \(\Vert \alpha z \Vert = |\alpha | \Vert z \Vert \)   (\(\alpha \in \mathbb {C}\))

• \(\Vert z + w \Vert \le \Vert z \Vert + \Vert w \Vert \)

Für \(\Vert z \Vert = \sqrt {\langle z, z \rangle }\) sind automatisch die Normeigenschaften erfüllt, wobei die Dreiecksungleichung auf \(|\langle z, w \rangle | \le \Vert z \Vert \cdot \Vert w \Vert \) (CSB) basiert.

Vektoren des \(\mathbb {C}^n\) können als \(n\)-Tupel komplexer Zahlen \(z_j = x_j + iy_j\) dargestellt werden:
\(\mathbb {C}^n \ni z = (z_1, \ldots , z_n) = (x_1 + iy_1, \ldots , x_n + iy_n) \quad \) (wobei \(x_j, y_j \in \mathbb {R}\)).
Nun können \(x_j\), \(y_j\) auch als Elemente von \(\mathbb {R}^{2n}\) angesehen werden: \(\mathbb {R}^{2n} \ni (x_1, y_1, x_2, y_2, \ldots , x_n, y_n)\)
\(\Vert z \Vert ^2 = \sum _{j=1}^n z_j \overline {z_j} = \sum _{j=1}^n (x_j^2 + y_j^2) = \sum _{j=1}^n x_j^2 + \sum _{j=1}^n y_j^2\)

Bzgl. der Addition von Vektoren und der Norm ist es unerheblich, ob man die Vektoren als \(n\)-Tupel komplexer Zahlen oder als \(2n\)-Tupel reeller Zahlen betrachtet (\(\mathbb {C}^n\) und \(\mathbb {R}^{2n}\) isomorph). Dies gilt nicht mehr für die Multiplikation mit Skalaren (dort sind \(\mathbb {C}^n\) und \(\mathbb {R}^{2n}\) verschieden).

Konvergenz im ℝⁿ und ℂⁿ

\((X, \Vert \cdot \Vert )\) normierter Raum, z. B. \((\mathbb {R}^n, \Vert \cdot \Vert _{\mathbb {R}^n})\) oder \((\mathbb {C}^n, \Vert \cdot \Vert _{\mathbb {C}^n})\).

\(d(x,y) = \Vert x - y \Vert \quad \) (\(x, y \in X\)) ist Abstandsfunktion auf \(X\). Daher ist \((X, d_{\Vert \cdot \Vert })\) ein metrischer Raum mit induzierter Abstandsfunktion \(d_{\Vert \cdot \Vert }(x, y) = \Vert x - y \Vert \).

Damit lassen sich automatisch auch die Definitionen \(\varepsilon \)-Umgebung, Konvergenz und Fundamentalfolge auf \(X\) übertragen:

\(\varepsilon \)-Umgebung: \(y \in X\); \(U_\varepsilon (y) = \{x \in X \;|\; \Vert x - y \Vert < \varepsilon \}\)
Konvergenz: \(x_m \xrightarrow {\Vert \cdot \Vert } y \quad \Leftrightarrow \quad \forall _{\varepsilon > 0} \exists _{N_\varepsilon } \forall _{n \ge N_\varepsilon }\; x_m \in U_\varepsilon (y)\), d. h. \(\Vert x_m - y \Vert < \varepsilon \)
Fundamentalfolge: \(\{x_m\}_{m \in \mathbb {N}} \in \CF (X, \Vert \cdot \Vert ) \quad \Leftrightarrow \quad \forall _{\varepsilon > 0} \exists _{N_\varepsilon } \forall _{n, m \ge N_\varepsilon }\; \Vert x_m - x_n \Vert < \varepsilon \)

Beschränktheit: \(\{x_m\}_{m \in \mathbb {N}}\) (\(x_m \in X\)) ist beschränkt \(\quad \Leftrightarrow \quad \exists _{C} \forall _{m \in \mathbb {N}}\; \Vert x_m \Vert \le C\)

Satz:  \(\{x_m\}_{m \in \mathbb {N}}\), \(x_m \in \mathbb {K}^n\), \(y’, y’’ \in \mathbb {K}^n\)

• \(\quad (x_m \xrightarrow {\Vert \cdot \Vert } y’) \land (x_m \xrightarrow {\Vert \cdot \Vert } y’’) \;\Rightarrow \; y’ = y’’\)

• \(\quad y’ = \lim _{n \to \infty } x_m \;\Leftrightarrow \; y’ = \lim _{n \to \infty } x_{m + m_0}\)

• \(\quad y’ = \lim _{n \to \infty } x_m \;\Rightarrow \; \{x_m\}_{m \in \mathbb {N}}\) beschränkt

Grenzwertsätze im \(\mathbb {K}^n\):  \(\{x_m’\}_{m \in \mathbb {N}}\), \(\{x_m’’\}_{m \in \mathbb {N}}\), \(x_m’, x_m’’ \in \mathbb {K}^n\),
\(\{\alpha _k\}_{k \in \mathbb {N}}\), \(\alpha _k \in \mathbb {K}\),  \(y’, y’’ \in \mathbb {K}^n\), \(\beta \in \mathbb {K}\),  \(x_m’ \xrightarrow {\Vert \cdot \Vert } y’\), \(x_m’’ \xrightarrow {\Vert \cdot \Vert } y’’\), \(\alpha _k \xrightarrow {|\cdot |} \beta \)

• \(\quad \lim _{m \to \infty } (x_m’ + x_m’’) \;\overset {\mathbb {K}^n}{=}\; y’ + y’’\)

• \(\quad \lim _{m \to \infty } (\alpha _m x_m’) \;\overset {\mathbb {K}^n}{=}\; \beta y’\)

• \(\quad \lim _{m \to \infty } \langle x_m’, x_m’’ \rangle _{\mathbb {K}^n} \;\overset {\mathbb {K}}{=}\; \langle y’, y’’ \rangle \)

Schreibweise: \(x_m = (\xi _m^{(1)}, \ldots , \xi _m^{(n)}) \in \mathbb {K}^n\), \(\xi _m^{(j)} \in \mathbb {K}\)
Projektion auf die \(j\)-te Komponente: \(\pi _j: \mathbb {K}^n \rightarrow \mathbb {K}\), \(\pi _j(x) = \pi _j(\xi ^{(1)}, \ldots , \xi ^{(n)}) = \xi ^{(j)}\)
es gilt: \(\pi _j(\alpha ’x’ + \alpha ’’x’’) = \alpha ’\pi _j(x’) + \alpha ’’\pi _j(x’’)\)

Basisvektoren: \(e_j = (0, \ldots , 0, 1, 0, \ldots , 0)\) mit der \(1\) an der \(j\)-ten Stelle, sonst \(0\), \(\Vert e_j \Vert _{\mathbb {K}^n} = 1\)
mit \(x = \sum _{j=1}^n \pi _j(x) e_j\) folgt \(|\xi ^{(j)}| = |\pi _j(x)| \le \Vert x \Vert \le \sum _{j=1}^n |\xi ^{(j)}|\)

Satz (Konvergenz): \(y \overset {\mathbb {K}^n}{=} \lim _{m \to \infty } x_m \quad \Leftrightarrow \quad \forall _{j=1,\ldots ,n}\; \pi _j(y) \overset {\mathbb {K}}{=} \lim _{m \to \infty } \pi _j(x_m)\)

Satz (Cauchy-Folgen): \(\{x_m\}_{m \in \mathbb {N}} \in \CF (\mathbb {K}^n) \quad \Leftrightarrow \quad \forall _{j=1,\ldots ,n}\; \{\pi _j(x_m)\}_{m \in \mathbb {N}} \in \CF (\mathbb {K})\)

Folgerung: \(\mathbb {R}^n\) und \(\mathbb {C}^n\) sind vollständig.

Offene und abgeschlossene Mengen

\((M,d)\) metrischer Raum, \(X \subset M\)

• Häufungspunkt: \(x_0 \in M\) heißt Häufungspunkt (HP) von \(X\) bzw. \(x_0 \in \acc (X)\)
  \(\Leftrightarrow \quad \forall _{\varepsilon > 0}\;\; U_\varepsilon (x_0) \cap (X \setminus \{x_0\}) \not = \emptyset \)

• isolierter Punkt: \(x_0 \in X\) ist ein isolierter Punkt von \(X\) bzw. \(x_0 \in \iso (X)\)
  \(\Leftrightarrow \quad \exists _{\varepsilon > 0}\;\; U_\varepsilon (x_0) \cap (X \setminus \{x_0\}) = \emptyset \)   d. h. \(\iso (X) = X \setminus \acc (X)\)

• innerer Punkt: \(x_0 \in X\) heißt innerer Punkt von \(X\) bzw. \(x_0 \in \interior (X)\)
  \(\Leftrightarrow \quad \exists _{\varepsilon > 0}\;\; U_\varepsilon (x_0) \subset X\)

• äußerer Punkt: \(x_0 \in M\) heißt äußerer Punkt zu \(X\) bzw. \(x_0 \in \exterior (X)\)
  \(\Leftrightarrow \quad \exists _{\varepsilon > 0}\;\; U_\varepsilon (x_0) \subset X_M^c \quad \Leftrightarrow \quad \exists _{\varepsilon > 0}\;\; U_\varepsilon (x_0) \cap X = \emptyset \)

• Randpunkt: \(x_0 \in M\) heißt Randpunkt von \(X\) bzw. \(x_0 \in \partial X\)
  \(\Leftrightarrow \quad (x_0 \notin \interior (X)) \land (x_0 \notin \exterior (X)) \quad \Leftrightarrow \quad \forall _{\varepsilon > 0}\;\; (U_\varepsilon (x_0) \cap X_M^c \not = \emptyset ) \land (U_\varepsilon (x_0) \cap X \not = \emptyset )\)

\(\interior (X)\), \(\exterior (X)\), \(\partial X\) sind paarweise disjunkt und \(M = \interior (X) \cup \partial X \cup \exterior (X)\).
Dabei gilt \(X \subset \interior (X) \cup \partial X\), \(\quad X_M^c \subset \exterior (X) \cup \partial X\)  sowie \(\partial X = \partial X_M^c\), da \((X_M^c)_M^c = X\).

Lemma: \(\interior (X) = X \setminus \partial X\), \(\quad \exterior (X) = X_M^c \setminus \partial X\)
\(X \cup \acc (X) = X \cup \partial X = \interior (X) \cup \partial X\)

Sei \(X \subset X_1 \subset M\), dann gilt auch \(\acc (X) \subset \acc (X_1)\), \(\interior (X) \subset \interior (X_1)\) und \(\exterior (X) \supset \exterior (X_1)\) (über isolierte Punkte und den Rand ist keine Aussage möglich).

offene und abgeschlossene Mengen:

• \(X\) ist offen in \((M,d)\) \(\quad \Leftrightarrow \quad X = \interior (X) \quad \Leftrightarrow \quad X \cap \partial X = \emptyset \)

• \(X\) ist abgeschlossen in \((M,d)\)
  \(\Leftrightarrow \quad X \cup \partial X = X = \partial X \cup \interior (X) = X \cup \acc (X) \quad \Leftrightarrow \quad \acc (X) \subset X\)

Satz: \(X\) offen \(\Leftrightarrow X_M^c\) abgeschlossen, \(\quad X\) abgeschlossen \(\Leftrightarrow X_M^c\) offen

Familien von offenen Mengen: \(F_\alpha \subset M\) offen, \(\alpha \in A\) Indexmenge \(\;\Rightarrow \; F = \bigcup _{\alpha \in A} F_\alpha \) offen
endlich viele Mengen: \(F_k\) offen, \(k = 1, \ldots , n\) (endlich viele) \(\;\Rightarrow \; F = \bigcap _{k=1}^n F_k\) offen

Familien von abgeschlossenen Mengen:
\(G_\alpha \subset M\) abgeschlossen \(\;\Rightarrow \; G = \bigcap _{\alpha \in A} G_\alpha \) abgeschlossen
endlich viele Mengen: \(G_k\) abgeschlossen, \(k = 1, \ldots , n\) \(\;\Rightarrow \; G = \bigcup _{k=1}^n G_k\) abgeschlossen

\(\emptyset \) und \(M\) sind sowohl abgeschlossen als auch offen.

\(\mathbb {R}^n\), \(\mathbb {C}^n\) als topologische Räume:
\(2^M\) Menge aller Teilmengen aus \(M\), \(T \subset 2^M\) nennt man Topologie, falls

• \(\emptyset \in T\), \(M \in T\)

• \(\{F_\alpha \}_{\alpha \in A}\), \(F_\alpha \in T\) \(\;\Rightarrow \; \bigcup _{\alpha \in A} F_\alpha \in T\)

• \(\{F_k\}_{k=1}^n\), \(F_k \in T\) \(\;\Rightarrow \; \bigcap _{k=1}^n F_k \in T\)

\((M,T)\) heißt dann topologischer Raum, \(F \in T\) Umgebungen/offene Mengen.
Mit \(M = \mathbb {R}^n\) oder \(M = \mathbb {C}^n\), \(T \subset 2^M\) sowie \(F \in T \;\Leftrightarrow \; F\) offen ist eine Topologie definiert.

Lemma: \(\interior (X)\) ist offen.   Folgerung: \(\exterior (X)\) ist offen.

Abschluss: \(\overline {X} = X \cup \partial X = X \cup \acc (X)\) ist der Abschluss der Menge \(X\).

Sätze über den Abschluss: \(\overline {X}\) ist abgeschlossen.
\(\overline {X}\) ist die kleinste abgeschlossene Menge, die \(X\) enthält, d. h. \(\overline {X} = \bigcap _{Y \supset X,\; Y \text {abgeschlossen}} Y\).
\(X\) ist abgeschlossen \(\;\Leftrightarrow \; X = \overline {X} \qquad \) sowie \(\qquad \overline {\overline {X}} = \overline {X}\).
\(\overline {X}\) ist die Menge aller möglichen Grenzwerte für Folgen \(\{x_n\}_{n \in \mathbb {N}}\), \(x_n \in X\).

Grenzwerte von Funktionen

\((M_1,d_1)\), \((M_2,d_2)\) metrische Räume, \(X \subset M_1\), \(Y \subset M_2\), \(f: X \rightarrow Y\) Funktion von \(X\) nach \(Y\)

\(\varepsilon \)-\(\delta \)-Definition: Sei \(x_0 \in \acc (X)\), \(y \in Y\).
\(y = \lim _{x \to x_0} f(x) \quad \Leftrightarrow \quad \forall _{\varepsilon > 0} \exists _{\delta > 0} \forall _{x \in X \cap U_\delta (x_0),\; x \not = x_0}\; f(x) \in U_\varepsilon (y)\)

Folgendefinition: Sei \(x_0 \in \acc (X)\), \(y \in Y\).
\(y = \lim _{x \to x_0} f(x) \quad \Leftrightarrow \quad \forall _{\{x_k\} \xrightarrow {k \to \infty } x_0,\; x_k \in X \setminus \{x_0\}}\; y_k = f(x_k) \xrightarrow {k \to \infty } y\)

Satz: \(f: X \rightarrow Y\), \(x_0 \in \acc (X)\), \(y_0 = \lim _{x \to x_0} f(x)\)

• \(y_0\) ist eindeutig bestimmt.

• Existenz/Wahl des Grenzwertes hängt nicht vom Verhalten von \(f(x)\) für \(d(x,x_0) \ge \varepsilon \) ab.

• \(\{f(x) \;|\; x \in U_\delta (x_0) \cap X\}\) ist für geeignetes \(\delta > 0\) beschränkt.

Grenzwertsätze bei vektorwertigen Funktionen (Spezialfall): \(\mathbb {K} = \mathbb {R}\) oder \(\mathbb {K} = \mathbb {C}\),
\(f, g: X \subset M_1 \rightarrow \mathbb {K}^n\),  \(\alpha : X \subset M_1 \rightarrow \mathbb {K}\),  \(x_0 \in \acc (X)\),
\(y_0, z_0 \in \mathbb {K}^n\), \(\beta \in \mathbb {K}\),  \(y_0 = \lim _{x \to x_0} f(x)\), \(z_0 = \lim _{x \to x_0} g(x)\), \(\beta = \lim _{x \to x_0} \alpha (x)\)

• \(\lim _{x \to x_0} (f(x) + g(x)) = y_0 + z_0\)

• \(\lim _{x \to x_0} (\alpha (x) \cdot g(x)) = \beta \cdot z_0\)

• \(\lim _{x \to x_0} \langle f(x), g(x) \rangle = \langle y_0, z_0 \rangle \)

• \(\lim _{x \to x_0} f|_{X_0}(x) = y_0\)   (\(X_0 \subset X\), \(x_0 \in \acc (X_0)\))

• \(\lim _{x \to x_0} \frac {1}{\alpha (x)} = \frac {1}{\beta }\)   (\(\alpha (x) \not = 0\), \(\beta \not = 0\))

links-/rechtsseitiger Grenzwert: \(f: X \subset \mathbb {R} \rightarrow M_2\), \(X \subset [a,b]\), \(x_0 \in \acc (X)\), \(a < x_0 < b\)
falls \(x_0 \in \acc (X_-)\) mit \(X_- = X \cap \left [a,x_0\right [\), ist \(\lim _{x \to x_0 - 0} f(x) = \lim _{x \to x_0} f|_{X_-}(x)\) der linkss. GW
falls \(x_0 \in \acc (X_+)\) mit \(X_+ = X \cap \left ]x_0,b\right ]\), ist \(\lim _{x \to x_0 + 0} f(x) = \lim _{x \to x_0} f|_{X_+}(x)\) der rechtss. GW

es gilt: \((y = \lim _{x \to x_0} f(x)) \;\Leftrightarrow \; (y = \lim _{x \to x_0 - 0} f(x)) \land (y = \lim _{x \to x_0 + 0} f(x))\)

Satz: \(f: \left ]a,b\right [ \rightarrow \mathbb {R}\), \(a < b\)   Ist \(f\) monoton wachsend und beschränkt nach oben, dann gibt es den Grenzwert \(\lim _{x \to b} f(x)\) (analog für monoton fallende Funktionen).

Die komplexe Exponentialfunktion und die Eulersche Formel

\(z \in \mathbb {C}\);  \(t_n(z) = 1 + \sum _{k=1}^n\) \(\frac {z^k}{k!}\),  \(n \in \mathbb {N}\)

Satz 1: Die Folge \(\{t_n(z)\}_{n \in \mathbb {N}}\) besitzt für jedes \(z \in \mathbb {C}\) einen Grenzwert \(\exp (z) \overset {\text {def.}}{=} \lim _{n \to \infty } t_n(z)\).
Es ist \(\exp (0) = 1\) sowie \(\exp (1) = e\).

Satz 2 (Multiplikativität): Für \(z, w \in \mathbb {C}\) ist \(\exp (z + w) = \exp (z) \cdot \exp (w)\).

Folgerungen: \(\exp (n) = e^n\), \(\exp (\frac {n}{m}) = e^{n/m}\) (\(n, m \in \mathbb {N}\)), \(\exp (q) = e^q\) (\(q \in \mathbb {Q}\)),
\(\exp (z) \not = 0\), \(\exp (-z) = \frac {1}{\exp (z)}\) (\(z \in \mathbb {C}\))

Satz 3: \(|\exp (z) - z - 1| \le |z|^2\) für \(z \in \mathbb {C}\), \(|z| < 1\)

Satz 4: \(z = x + iy \in \mathbb {C}\), \(x = \Re z\), \(y = \Im z\)

• \(\exp (\overline {z}) = \overline {\exp (z)}\)

• \(|\exp (z)| = \exp (x)\)  (von \(y\) unabhängig)

• \(\arg (\exp (z)) = \arg (\exp (iy)) \mod 2\pi \)  (von \(x\) unabhängig)

• \(\arg (\exp (iy)) = y \mod 2\pi \)

Folgerung: \(\exp (iy) = \cos y + i \sin y = e^{iy}\), da \(|\exp (iy)| = |\exp (0)| = 1\), \(\arg (\exp (iy)) = y\),
d. h. für \(z = x + iy\) gilt \(\exp (z) = \exp (x + iy) = \exp (x) \exp (iy) = e^x e^{iy}\)

Reihendarstellung von Sinus/Kosinus:
\(\sin z = \Im (\exp (iy)) =\) \(z - \frac {z^3}{3!} + \frac {z^5}{5!} - \frac {z^7}{7!} \pm \cdots \),  \(\cos z = \Re (\exp (iy)) =\) \(1 - \frac {z^2}{2!} + \frac {z^4}{4!} - \frac {z^6}{6!} \pm \cdots \)

Stetige Funktionen

\((M_1,d_1)\), \((M_2,d_2)\) metrische Räume, \(f: X \subset M_1 \rightarrow M_2\)
Stetigkeit: \(f\) ist stetig im Punkt \(x_0 \in X\) \(\;\Leftrightarrow \; (x_0 \in \iso (X)) \lor (\lim _{x \to x_0} f(x) = f(x_0))\)
\(f\) ist auf \(X\) stetig \(\;\Leftrightarrow \;\) \(f\) ist in allen \(x_0 \in X\) stetig

\(f\) ist stetig in \(x_0 \in X\) \(\;\Leftrightarrow \; \forall _{\varepsilon > 0} \exists _{\delta = \delta (\varepsilon , x_0)} \forall _{x \in U_\delta (x_0) \cap X}\; f(x) \in U_\varepsilon (f(x_0))\)
\(\;\Leftrightarrow \; \forall _{\{x_n\}_{n \in \mathbb {N}},\; x_n \in X,\; x_n \xrightarrow {n \to \infty } x_0}\; \lim _{n \to \infty } f(x_n) = f(x_0)\)

Stetigkeit bei vektorwertigen Funktionen (Spezialfall):
\(f, g: X \subset M_1 \rightarrow \mathbb {K}^n\), \(\alpha : X \subset M_1 \rightarrow \mathbb {K}\), \(f, g, \alpha \) stetig in \(x_0 \in X\) (auf \(X\))
\(\Rightarrow \;\) \(f \pm g\), \(\langle f, g \rangle _{\mathbb {K}^n}\), \(\alpha \cdot f\) stetig in \(x_0 \in X\) (auf \(X\)), \(\frac {1}{\alpha (x)}\) stetig in \(x_0 \in X\) bzw. auf \(X\) (\(\alpha (x) \not = 0\))
\(x_0 \in X_0 \subset X\), \(f: X \rightarrow M_2\) stetig \(\;\Rightarrow \;\) \(f|_{X_0}: X_0 \rightarrow M_2\) stetig

Satz: Polynome \(P_n(z)\), der Betrag \(|z|\) und \(\exp (z)\) sind stetig auf \(\mathbb {C}\),
d. h. auch \(\sin z\) und \(\cos z\) sind stetig auf \(\mathbb {C}\).

Ist \(f\) in \(x_0 \in X\) stetig, dann ist \(f\) in einer geeigneten \(\delta \)-Umgebung von \(x_0\) beschränkt (\(\delta > 0\)).

Formen der Unstetigkeit bei reellen Funktionen: \(f: X \subset \left ]a,b\right [ \rightarrow \mathbb {R}\), \(x_0 \in \left ]a,b\right [\)

• Hebbare Unstetigkeit: \(x_0 \notin X\), d. h. \(f\) ist im Punkt \(x_0\) nicht definiert, aber
  \(\exists \lim _{x \to x_0 - 0} f(x) = \lim _{x \to x_0 + 0} f(x) \;\Rightarrow \;\) \(\tilde {f}(x) =\) \(\begin {cases} \lim _{x \to x_0} f(x) & x = x_0 \\ f(x) & x \not = x_0 \end {cases}\) ist stetig in \(x_0\).

• Unstetigkeit vom Typ 1: \(\exists \lim _{x \to x_0 - 0} f(x)\), \(\exists \lim _{x \to x_0 + 0} f(x)\), aber \(f(x_0 - 0) \not = f(x_0 + 0)\)
  \(\Rightarrow \) Sprung der Funktion (verschiedene Grenzwerte)

• Unstetigkeit vom Typ 2: \(f(x_0 - 0)\) oder \(f(x_0 + 0)\) existiert nicht

Lemma: \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\) stetig, \(x_0 \in [a,b]\), \(f(x_0) \not = 0 \;\Rightarrow \; \exists _{\delta > 0} \forall _{x \in U_\delta (x_0) \cap [a,b]}\; \sgn f(x) = \sgn f(x_0)\)

Satz von Bolzano-Cauchy: \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\) stetig mit \(f(a)f(b) < 0\) \(\quad \Rightarrow \quad \exists _{c \in \left ]a,b\right [}\; f(c) = 0\)

Ist \(f\!\!\upuparrows \) oder \(f\!\!\downdownarrows \), dann ist \(c\) eindeutig bestimmt.
Anwendung: eindeutige Lösungen \(\sqrt [n]{g}\), \(\ln g\), Existenz der Umkehrfunktionen

Folgerung (Zwischenwertsatz): \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\) stetig, \(x_1, x_2 \in [a,b]\) mit \(x_1 < x_2\),
\(y_- = \min \{f(x_1), f(x_2)\}\), \(y_+ = \max \{f(x_1), f(x_2)\}\) \(\;\Rightarrow \; \forall _{\eta \in \left ]y_-,y_+\right [} \exists _{c(\eta ) \in \left ]x_1,x_2\right [}\; f(c(\eta )) = \eta \)

Umkehrung als Satz: \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\), \(f\!\!\uparrow \) (wichtig!), \(f\) nimmt alle Werte \(y \in [f(a), f(b)]\) an
\(\Rightarrow \; f\) stetig auf \([a,b]\)

Umkehrfunktionen: \(f: [a,b] \rightarrow [\alpha ,\beta ]\) monoton, bijektiv \(\;\Rightarrow \; f^{-1}\) stetig auf \([\alpha ,\beta ]\)

Stetigkeit mit offenen Mengen: \((M_1,d_1)\), \((M_2,d_2)\) metrische Räume, \(f: M_1 \rightarrow M_2\)
\(f\) ist auf \(M_1\) stetig \(\;\Leftrightarrow \;\) das Urbild \(V = f^{-1}(U)\) jeder in \(M_2\) offenen Menge \(U\) ist in \(M_1\) offen.

Komposition von stetigen Funktionen: Sind \(f: M_1 \rightarrow M_2\) und \(g: M_2 \rightarrow M_3\) stetige Funktionen, so ist auch \(g \circ f: M_1 \rightarrow M_3\) stetig.

dichte Menge: \((M,d)\) metrischer Raum, \(X \subset M\)  \(X\) ist dicht in \(M \;\Leftrightarrow \; \overline {X} = M\).

Satz: Seien \(f, g: M_1 \rightarrow M_2\) stetige Funktionen, \(X \subset M_1\) und \(X\) dicht in \(M_1\).
Ist \(f|_X = g|_X\), dann ist auch \(f(x) = g(x)\) für alle \(x \in M_1\).

links- und rechtsseitige Stetigkeit: \(f: [a,b] \rightarrow M_2\), \(x_0 \in [a,b]\)
\(f\) ist in \(x_0\) linksseitig stetig \(\;\Leftrightarrow \; f(x_0 - 0) = f(x_0)\)
\(f\) ist in \(x_0\) rechtsseitig stetig \(\;\Leftrightarrow \; f(x_0 + 0) = f(x_0)\)
\(f\) ist stetig in \(x_0\) genau dann, wenn \(f\) in \(x_0\) links- und rechtsseitig stetig ist.

Notation (Grenzwerte von Funktionen): \(f: \mathbb {R} \rightarrow M_2\), \(y \in M_2\)
\(y = \lim _{x \to \infty } f(x) \;\Leftrightarrow \; \forall _{\varepsilon > 0} \exists _{C(\varepsilon )} \forall _{x \in \mathbb {R},\; |x| \ge C(\varepsilon )}\; |y - f(x)| < \varepsilon \)
\(y = \lim _{x \to +\infty } f(x) \;\Leftrightarrow \; \forall _{\varepsilon > 0} \exists _{C(\varepsilon )} \forall _{x \in \mathbb {R},\; x \ge C(\varepsilon )}\; |y - f(x)| < \varepsilon \)
\(y = \lim _{x \to -\infty } f(x) \;\Leftrightarrow \; \forall _{\varepsilon > 0} \exists _{C(\varepsilon )} \forall _{x \in \mathbb {R},\; x \le C(\varepsilon )}\; |y - f(x)| < \varepsilon \)

Kompakte Mengen

Teilfolge: Eine Teilfolge entsteht durch „Streichen“ von endlich oder unendlich vielen Gliedern, sodass unendlich viele Folgenglieder übrig bleiben. Die Ordnung bleibt erhalten!
Wähle streng monotone Folge \(\{n_k\}_{k \in \mathbb {N}}\), \(n_k \in \mathbb {N}\), dann ist \(\{x_{n_k}\}_{k \in \mathbb {N}}\) eine Teilfolge von \(\{x_n\}_{n \in \mathbb {N}}\).
Wenn \(\lim _{n \to \infty } x_n = y\), dann konvergieren auch alle Teilfolgen: \(\lim _{k \to \infty } x_{n_k} = y\).

kompakte Menge: Sei \((M,d)\) metrischer Raum, \(X \subset M\).
\(X\) heißt (folgen-)kompakt \(\;\Leftrightarrow \;\) aus jeder Folge \(\{x_n\}_{n \in \mathbb {N}}\), \(x_n \in X\) kann man mindestens eine geeignete Teilfolge \(\{x_{n_k}\}_{k \in \mathbb {N}}\) auswählen, welche einen Grenzwert \(\lim _{k \to \infty } x_{n_k} = y \in X\) besitzt.

Kompaktheitskriterium von Bolzano: Sei \(M = \mathbb {R}^d\) oder \(M = \mathbb {C}^d\).
\(X \subset \mathbb {R}^d\) bzw. \(X \subset \mathbb {C}^d\) ist kompakt \(\;\Leftrightarrow \; X\) ist beschränkt und abgeschlossen.

Satz: Sei \(X \subset \mathbb {R}\) eine nicht-leere, kompakte Teilmenge von \(\mathbb {R}\).
Dann besitzt \(X\) ein Maximum \(x_+ = \max X\) und ein Minimum \(x_- = \min X\).

Satz: Sei \(f: X \subset M_1 \rightarrow M_2\) stetig. Ist \(X\) kompakt, dann ist auch das Bild \(f(X)\) kompakt.

Satz von Weierstraß (Extremwertsatz): Sei \(f: X \subset M_1 \rightarrow \mathbb {R}\) stetig und \(X\) kompakt.
Dann ist \(f(X)\) beschränkt und es gibt Elemente \(x_+, x_- \in X\), sodass \(y_+ = f(x_+) = \max f(X)\) und \(y_- = f(x_-) = \min f(X)\).

Verdichtungspunkt: Sei \(x_k \in M\) eine Folge. \(y \in M\) heißt Verdichtungspunkt von \(\{x_k\}\), falls es eine Teilfolge \(\{x_{k_j}\}\) aus \(\{x_k\}\) gibt mit \(\lim _{j \to \infty } x_{k_j} = y\).

Jede beschränkte Folge \(\{x_k\}\), \(x_k \in \mathbb {R}^d\) (\(x_k \in \mathbb {C}^d\)) besitzt mindestens einen Verdichtungspunkt.

Gleichmäßige Stetigkeit

Seien \((M_1,d_1)\), \((M_2,d_2)\) metrische Räume und \(f: X \subset M_1 \rightarrow M_2\) Funktion.
Wiederholung: \(f\) heißt stetig auf \(X\), falls \(\forall _{x_0 \in X} \forall _{\varepsilon > 0} \exists _{\delta = \delta (\varepsilon , x_0) > 0} \forall _{x \in U_\delta (x_0) \cap X}\; f(x) \in U_\varepsilon (f(x_0))\).

\(f\) heißt gleichmäßig stetig auf \(X\), falls \(\forall _{\varepsilon > 0} \exists _{\delta = \delta (\varepsilon ) > 0} \forall _{x_0 \in X} \forall _{x \in U_\delta (x_0) \cap X}\; f(x) \in U_\varepsilon (f(x_0))\)
bzw. \(\forall _{\varepsilon > 0} \exists _{\delta = \delta (\varepsilon ) > 0} \forall _{x, x_0 \in X,\; d(x, x_0) < \delta }\; f(x) \in U_\varepsilon (f(x_0))\).

Eine auf \(X\) gleichmäßig stetige Funktion ist auch auf \(X\) stetig. Die Umkehrung gilt nicht!

Satz von Cantor: Sei \(f: X \subset M_1 \rightarrow M_2\) stetig auf \(X\) sowie \(X\) kompakt (wichtig).
Dann ist \(f\) gleichmäßig stetig auf \(X\).

Bei einer vektorwertigen, stetigen Funktion \(f: X \subset M \rightarrow \mathbb {K}^n\), \(f(x) = (f_1(x), \ldots , f_n(x))\) kann man also aus \(X\) kompakt folgern, dass \(f\) beschränkt ist, \(\Vert f(x) \Vert \) das Maximum/Minimum annimmt sowie dass \(f\) gleichmäßig stetig ist.

Der Raum der stetigen Funktionen

Seien \(M_1\), \(M_2\) metrische Räume und \(X \subset M\).
\(C(X, M_2)\) bezeichnet die Menge aller stetigen Funktionen \(f: X \rightarrow M_2\).

Spezialfall: \(X \subset M_1\), \(X\) kompakt (wichtig!), \(M_2 = \mathbb {K}^d\) (\(\mathbb {K} = \mathbb {R}\) oder \(\mathbb {K} = \mathbb {C}\))
Auf der Menge der stetigen Funktionen \(C(X, \mathbb {K}^d)\) werden dann zwei Operationen definiert:
\(\boldsymbol{+}: C(X, \mathbb {K}^d) \times C(X, \mathbb {K}^d) \rightarrow C(X, \mathbb {K}^d)\), \((f + g)(x) = f(x) + g(x)\) für \(x \in X\)
\(\boldsymbol{\cdot }: \mathbb {K} \times C(X, \mathbb {K}^d) \rightarrow C(X, \mathbb {K}^d)\), \((\alpha \cdot f)(x) = \alpha \cdot f(x)\) für \(x \in X\)
Mit diesen Operationen wird \(C(X, \mathbb {K}^d)\) zu einem \(\mathbb {K}\)-Vektorraum (Nullvektor ist Nullabbildung).

\(C(X, \mathbb {K}^d)\) als normierter Raum: Die Norm einer Funktion \(f \in C(X, \mathbb {K}^d)\) wird definiert als \(\Vert f \Vert _C := \max _{x \in X} \Vert f(x) \Vert _{\mathbb {K}^d}\) (Maximum existiert nach Weierstraß). Die so definierte Funktion erfüllt die Eigenschaften einer Norm, d. h. \(C(X, \mathbb {K}^d)\) ist normierter Raum. Dadurch wird \(C(X, \mathbb {K}^d)\) auch zum metrischen Raum mit \(d_c(f,g) = \Vert f - g \Vert _C = \max _{x \in X} \Vert f(x) - g(x) \Vert _{\mathbb {K}^d}\).

Konvergenz in \(C(X, \mathbb {K}^d)\): \(f_n, g \in C(X, \mathbb {K}^d)\),  \(f_n \xrightarrow {\Vert \cdot \Vert _C} g \;\Leftrightarrow \; \forall _{\varepsilon > 0} \exists _{N(\varepsilon )} \forall _{n \ge N(\varepsilon )}\; \Vert f_n - g \Vert _C < \varepsilon \)
\(\Leftrightarrow \; \forall _{\varepsilon > 0} \exists _{N(\varepsilon )} \forall _{n \ge N(\varepsilon )}\; \max _{x \in X} \Vert f_n(x) - g(x) \Vert _{\mathbb {K}^d} < \varepsilon \)

punktweise Konvergenz: \(\lim _{n \to \infty } f_n(x) = g(x)\) punktweise für \(x \in X\)
\(\Leftrightarrow \; \forall _{x \in X} \forall _{\varepsilon > 0} \exists _{N(\varepsilon , x)} \forall _{n \ge N(\varepsilon , x)}\; \Vert f_n(x) - g(x) \Vert _{\mathbb {K}^d} < \varepsilon \)
Die Grenzwert-Funktion bzgl. einer punktweisen Konvergenz muss nicht stetig sein.

gleichmäßige Konvergenz: \(\lim _{n \to \infty } f_n(x) = g(x)\) gleichmäßig bzgl. \(x \in X\)
\(\Leftrightarrow \; \forall _{\varepsilon > 0} \exists _{N(\varepsilon )} \forall _{n \ge N(\varepsilon )} \forall _{x \in X}\; \Vert f_n(x) - g(x) \Vert _{\mathbb {K}^d} < \varepsilon \).
Damit ist gleichmäßige Konvergenz gleichbedeutend mit Konvergenz im \(C(X, \mathbb {K}^d)\).
Gleichmäßige Konvergenz impliziert punktweise Konvergenz. Die Umkehrung gilt nicht!

Satz: \(C(X, \mathbb {K}^d)\) ist vollständig (bzgl. der gleichmäßigen Konvergenz).

Folgerung: Seien \(f_n \in C(X, \mathbb {K}^d)\), \(g: X \rightarrow \mathbb {K}^d\) (\(X\) kompakt) mit \(f_n(x) \xrightarrow {n \to \infty } g(x)\) gleichmäßig bzgl. \(x \in X\). Dann ist auch \(g\) stetig, d. h. \(g \in C(X, \mathbb {K}^d)\).