Lineare Kontrolltheorie – LQ-optimale Regelung

Wiederholung: Positiv semidefinite und positiv definite Matrizen

Seien \(Q \in \real ^{n \times n}\) und \(R \in \real ^{m \times m}\) symmetrisch (d. h. \(Q^T = Q\), \(R^T = R\)).

positiv semidefinit:
\(Q\) ist positiv semidefinit (\(Q \psd \)), falls eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

\(\forall _{x \in \real ^n}\; x^T Qx \ge 0\)
alle Eigenwerte von \(Q\) sind nicht-negativ
\(Q = C^T C\) für eine Matrix \(C\) (in diesem Fall hat \(C\) oBdA vollen Zeilenrang)

In diesem Fall gilt: Wenn eine \(Q\) auf der Diagonalen eine Null hat, dann sind die entsprechende Zeile und Spalte gleich Null. Es gilt \(x \in N(Q) \iff x^T Qx = 0\).

positiv definit:
\(R\) ist positiv definit (\(R \pd \)), falls eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

\(\forall _{x \in \real ^n \setminus \{0\}}\; x^T Rx > 0\)
alle Eigenwerte von \(R\) sind positiv
\(R = U^T U\) mit \(U \in \real ^{m \times m}\) invertierbar

Stabilität und Lyapunov-Gleichung

Die asymptotische Stabilität des linearen Systems \(\dot {x} = Ax =: f(x)\) mit \(A \in \real ^{n \times n}\) wurde schon analysiert, indem man \(e^{At}\) betrachtet hat. Allerdings kann man auch die Lyapunov-Theorie benutzen. Weil das System linear ist, verwendet man eine homogene, quadratische Lyapunov-Funktion \(V\colon \real ^n \rightarrow \real \), \(V(x) := x^T Px\) mit \(P \in \real ^{n \times n}\) symmetrisch. (\(P\) symmetrisch ist keine Einschränkung, sonst geht man zur Symmetrisierung \(\frac {1}{2} (P + P^T)\) über, was \(V\) nicht verändert.) Die partielle Ableitung von \(V(x)\) nach \(x_k\) ist gleich \(\frac {\partial }{\partial x_k} V(x) = \frac {\partial }{\partial x_k} (\sum _{i,j=1}^n x_i p_{ij} x_j)\)
\(= \sum _{i=1,\,i\not =k}^n x_i p_{ik} + \sum _{j=1,\,j\not =k}^n p_{kj} x_j + 2 x_k p_{kk} = 2 \cdot (\sum _{i=1}^n x_i p_{ik}) = (2 x^T P)_k\) (oder auch \((2Px)_k\)). Somit muss man für die Lyapunov-Theorie \(\partial V(x) f(x) = (2 x^T P) (Ax) = x^T [A^T P + PA] x\) betrachten (folgt aus \(x^T P Ax = (x^T P Ax)^T = x^T A^T P x\), weil alle Terme skalar sind).

Die direkte Methode von Lyapunov erfordert, dass \(x^T P x > 0\) und \(x^T [A^T P + PA] x < 0\) für alle \(x \not = 0\). Daraus folgt folgender Satz (man kann das aber auch direkt zeigen).

Satz (Lyapunov-Bedingung für asym. Stabilität):
Falls ein \(P \pd \) existiert mit \(A^T P + PA \nd \), dann ist \(\dot {x} = Ax\) global asymptotisch stabil.

Satz (Charakterisierung der Lyapunov-Gleichung): Für \(Q = Q^T \nd \) (z. B. \(Q = -I\)) ist \(A^T P + PA = Q\) eine lineare Gleichung in \(P\). Dann besitzt die Gleichung eine eindeutige, positiv definite Lösung genau dann, wenn \(A\) eine Hurwitz-Matrix ist.

Satz (Lyapunov-Gleichung): Sei \(A \in \real ^{n \times n}\) eine Hurwitz-Matrix.

Für jede symmetrische Matrix \(Q \in \real ^{n \times n}\) hat die Lyapunov-Gleichung \(A^T P + PA = Q\) eine eindeutige symmetrische Lösung \(P \in \real ^{n \times n}\).
Wenn \(Q \nsd \) gilt, dann ist \(P \psd \).
Wenn \(Q \nsd \) gilt und \((A, Q)\) beobachtbar ist, dann ist \(P \pd \).

Das LQ-Problem

Es gibt viele Wege, Steuergrößen \(u(\cdot )\) zu finden, sodass der Zustand des Systems \(\dot {x} = Ax + Bu\), \(x(0) = \xi \in \real ^n\) für \(t \to \infty \) gegen Null konvergiert. Bei der Gestaltung von Verstärkungsmatrizen mittels Polvorgabe muss man zwischen der Konvergenzgeschwindigkeit und dem „Aufwand“ der Steueraktion abwägen.

Zur Quantifizierung des mittleren Abstands des Zustands zu \(0\) und des Steueraufwands betrachtet man \(\int _0^\infty x(t)^T Qx(t)\dt \) und \(\int _0^\infty u(t)^T Ru(t)\dt \). Dabei sind \(Q\) und \(R\) symmetrische, positiv semidefinite bzw. symmetrische, positiv definite Gewichtsmatrizen, die es ermöglichen, einzelne Komponenten des Zustands bzw. der Steuergröße stärker zu gewichten. Um diese beiden Größen zu verbinden, könnte man das Maximum betrachten, mathematisch viel einfacher ist allerdings die Summe.

LQ-optimale Regelung: Gesucht ist eine Steuergröße \(u(\cdot )\), die die Kostenfunktion
\(\int _0^\infty (x(t)^T Qx(t) + u(t)^T Ru(t))\dt \) (C) minimiert, und zwar unter allen Steuergrößen \(u(\cdot )\), sodass \(\dot {x}(t) = Ax(t) + Bu(t)\), \(x(0) = \xi \) und \(\lim _{t \to \infty } x(t) = 0\) (S) gilt.
Dies ist das Problem der LQ-optimalen Regelung (mit Stabilität)
(linear quadratic optimal control problem (with stability)).

Durch eine quadratische Kostenfunktion für das lineare System ergeben sich eine schöne Lösung des Problems und schnelle Lösungsalgorithmen.

Wahl der Gewichtsmatrizen: Oft wählt man \(Q = \diag (q_1, \dotsc , q_n)\), \(R = \diag (r_1, \dotsc , r_m)\) diagonal. Dann ist die Kostenfunktion gleich \(\sum _{k=1}^n \int _0^\infty q_k x_k(t)^2\dt + \sum _{k=1}^m \int _0^\infty r_k u_k(t)^2\dt \).
Die Skalare \(q_k \ge 0\) und \(r_k > 0\) ermöglichen es, die Komponenten des Zustands und der Steuergröße unterschiedlich zu gewichten. Große Werte von \(q_k\) oder \(r_k\) bestrafen große Einträge von \(x_k(t)\) bzw. \(r_k(t)\) mehr, daher sollte die LQ-optimale Regelung diese Einträge klein halten. Umgekehrt erlauben kleine Werte von \(q_k\) oder \(r_k\) größere Abweichungen von \(x_k(t)\) von \(0\) bzw. einen größeren Steueraufwand von \(u_k(t)\). Mit \(q_k = 0\) wird \(x_k(t)\) nicht betrachtet. Aus technischen Gründen ist \(r_k = 0\) nicht erlaubt, d. h. alle Komponenten der Steuergröße müssen bestraft werden.

Algebraische Riccati-Gleichung

Herleitung mit quadratischer Ergänzung: Für eine symmetrische Matrix \(P\) und einen Zustand \(x(t)\), der (S) erfüllt, gilt \(\frac {d}{dt} [x(t)^T Px(t)] = \frac {d}{dt} [\sum _{i,j=1}^n x_i(t) p_{ij} x_j(t)]\)
\(= \sum _{i,j=1}^n \dot {x}_i(t) p_{ij} x_j(t) + \sum _{i,j=1}^n x_i(t) p_{ij} \dot {x}_j(t) = \dot {x}(t)^T Px(t) + x(t)^T P\dot {x}(t)\)
\(= [Ax(t) + Bu(t)]^T Px(t) + x(t)^T P [Ax(t) + Bu(t)]\)
\(= x(t)^T [A^T P + PA] x(t) + x(t)^T PB u(t) + u(t)^T B^T Px(t)\).
Daraus erhält man mit \(R = U^T U\) (\(U \in \real ^{m \times m}\) invertierbar) und \(U^{-T} := (U^T)^{-1}\):
\(\frac {d}{dt} [x(t)^T Px(t)] + x(t)^T Qx(t) + u(t)^T Ru(t)\)
\(= x(t)^T [A^T P + PA] x(t) + x(t)^T PB u(t) + u(t)^T B^T Px(t) + x(t)^T Qx(t) + u(t)^T U^T Uu(t)\)
\(+\; x(t)^T PB U^{-1} U^{-T} B^T P x(t) - x(t)^T PB U^{-1} U^{-T} B^T P x(t)\)
\(= x(t)^T [A^T P + PA - PBR^{-1} B^T P + Q] x(t) + \norm {Uu(t) + U^{-T} B^T P x(t)}^2\), wobei der letzte Schritt quadratische Ergänzung (completion of the squares) genannt wird.

Insgesamt ist damit folgende Beziehung für jede Trajektorie \(x(t)\), die (S) erfüllt, hergeleitet:
\(\frac {d}{dt} [x(t)^T Px(t)] + x(t)^T Qx(t) + u(t)^T Ru(t)\)
\(= x(t)^T [A^T P + PA - PBR^{-1} B^T P + Q] x(t) + \norm {Uu(t) + U^{-T} B^T P x(t)}^2\).

Ist \(P = P^T\) so gewählt, sodass \(A^T P + PA - PBR^{-1} B^T P + Q = 0\), dann gilt
\(\frac {d}{dt} [x(t)^T Px(t)] + x(t)^T Qx(t) + u(t)^T Ru(t) = \norm {Uu(t) + U^{-T} B^T P x(t)}^2\).
Durch Integration über \([0, \tau ]\) für \(\tau > 0\) erhält man
\(x(\tau )^T Px(\tau ) + \int _0^\tau (x(t)^T Qx(t) + u(t)^T Ru(t)) \dt = \xi ^T P \xi + \int _0^\tau \norm {Uu(t) + U^{-T} B^T P x(t)}^2 \dt \).

Weil das zweite Integral nicht-negativ ist und \(x(\tau ) \to 0\) für \(\tau \to \infty \) gilt, bekommt man
\(\int _0^\infty (x(t)^T Qx(t) + u(t)^T Ru(t)) \dt \ge \xi ^T P\xi \), d. h. die Kosten sind nie kleiner als \(\xi ^T P\xi \) (unabhänig von der Steuergröße). Man bekommt also für eine beliebige Lösung \(P = P^T\) der ARE (s. u.) eine untere Schranke der Kostenfunktion für alle zulässigen Steuergrößen.

Gleichheit gilt genau dann, wenn \(Uu(t) + U^{-T} B^T P x(t) = 0\), d. h. \(u(t) = -R^{-1} B^T Px(t)\) für alle \(t \ge 0\). Dies kann man wie folgt sicherstellen:

Löse zuerst das System \(\dot {x} = [A - BR^{-1} B^T P]x\) mit \(x(0) = \xi \).
Definiere dann die Steuergröße durch \(u_\ast (t) := -R^{-1} B^T P x(t)\).

Allerdings muss auch \(\lim _{t \to \infty } x(t) = 0\) gelten, d. h. \(A - BR^{-1} B^T P\) muss eine Hurwitz-Matrix sein. Falls ein solches \(P\) existiert, dann ist die so konstruierte Steuergröße \(u_\ast (\cdot )\) tatsächlich eine eindeutige Steuergröße für den offenen Regelkreis.

Zusätzlich kann man die optimale Steuergröße als Rückführung \(u = -Fx\) mit Verstärkung \(F = R^{-1} B^T P\) implementieren.

algebraische Riccati-Gleichung: Seien \(A \in \real ^{n \times n}\), \(B \in \real ^{n \times m}\), \(Q \in \real ^{n \times n}\) und \(R \in \real ^{m \times m}\), wobei \(Q = Q^T\) und \(R \pd \). Dann heißt die quadratische Matrix-Gleichung
\(A^T P + PA - PBR^{-1} B^T P + Q = 0\) für \(P \in \real ^{n \times n}\) unbekannt algebraische Riccati-Gleichung (algebraic Riccati equation, ARE) für das lineare System \((A, B)\) und die quadratische Kostenfunktion definiert durch \((Q, R)\).

stabilisierende Lösung: Eine Lösung \(P\) der ARE mit \(\Eig (A - BR^{-1} B^T P) \subset \complex ^-\) heißt
stabilisierende Lösung (stabilizing solution).

Normalerweise ist man nur an symmetrischen Lösungen \(P\) der ARE interessiert.
Dabei ist \(\complex ^- := \{\lambda \in \complex \;|\; \Re (\lambda ) < 0\}\) (analog \(\complex ^+ := -\complex ^-\)).

Hamilton-Matrix und Riccati-Theorie

Im Folgenden soll die Existenz von (stabilisierenden) Lösungen der ARE charakterisiert werden.

Hamilton-Matrix: Die Hamilton-Matrix (Hamiltonian matrix) der ARE ist definiert als \(H := \smallpmatrix {A & -BR^{-1}B^T \\ -Q & -A^T} \in \real ^{2n \times 2n}\).

Wenn \(P\) eine Lösung der ARE ist (\(-Q - A^T P = P[A - BR^{-1}B^T P]\)), dann kann \(H\) durch \(\smallpmatrix {I & 0 \\ P & I}\) in Blockdreiecksform gebracht werden, da \(H \smallpmatrix {I & 0 \\ P & I} = \smallpmatrix {I & 0 \\ P & I} \smallpmatrix {A - BR^{-1}B^TP & -BR^{-1}B^T \\ 0 & -[A - BR^{-1}B^TP]^T}\), also \(\Eig (H) = \Eig (A - BR^{-1}B^TP) \cup \Eig (-[A - BR^{-1}B^TP]^T)\).
Wegen \(\lambda \in \Eig (W) \iff -\overline {\lambda } \in \Eig (-W^T)\) treten sowohl die Eigenwerte von \(A - BR^{-1}B^TP\) als auch diese symmetrisch gespiegelt an der imaginären Achse als Eigenwerte von \(H\) auf.

Lemma (Symmetrie der Eigenwerte von \(H\)): Wenn \(\lambda \) ein Eigenwert von \(H\) ist, dann ist \(-\overline {\lambda }\) ebenfalls ein Eigenwert von \(H\) mit derselben algebraischen Vielfachheit.

Die Eigenwerte von \(H\) sind also stets symmetrisch bzgl. der reellen und bzgl. der imaginären Achse (auch wenn keine Lösung der ARE existiert). Dazu definiert man \(J = \smallpmatrix {0 & -I \\ I & 0}\). Es gilt \(JH = (JH)^T = H^T J^T = -H^T J\), also \(JHJ^{-1} = -H^T\), was die Aussage beweist.

Ist \(P\) eine stabilisierende Lösung, so gilt \(\Eig (A - BR^{-1}B^TP) \subset \complex ^-\), d. h. \(H\) hat keine Eigenwerte auf der imaginären Achse. Außerdem stabilisiert die Matrix \(R^{-1} B^T P\) in diesem Fall \((A, B)\), d. h. \((A, B)\) ist stabilisierbar. Das beweist eine Richtung des folgenden Satzes. Die andere Richtung kann konstruktiv bewiesen werden.

Satz (Existenz einer stabilisierenden Lösung): Die ARE besitzt eine stabilisierende Lösung \(P\) genau dann, wenn \((A, B)\) stabilisierbar ist und \(\Eig (H) \cap \complex ^0 = \emptyset \) mit \(\complex ^0 := \iu \real \).
In diesem Fall ist \(P\) symmetrisch.

Der Beweis der Existenz der stabilisierenden Lösung der ARE, wenn \((A, B)\) stabilisierbar ist und \(\Eig (H) \cap \complex ^0 = \emptyset \) gilt, ist konstruktiv. Weil \(H\) keine Eigenwerte auf \(\complex ^0\) und daher jeweils \(n\) Eigenwerte in \(\complex ^-\) und \(\complex ^+\) besitzt, gibt es eine invertierbare Matrix \(S \in \complex ^{2n \times 2n}\), sodass \(S^{-1}HS = \smallpmatrix {M & M_{12} \\ 0 & M_{22}}\) mit \(M \in \complex ^{n \times n}\) einer Hurwitz-Matrix (z. B. mit JNF). Wenn man nun \(S = \smallpmatrix {U & T_{12} \\ V & T_{22}}\) in vier (\(n \times n\))-Blöcke zerlegt, dann ist \(P := VU^{-1}\) die stabilisierende Lösung der ARE (wegen \((A, B)\) stabilisierbar ist \(U\) invertierbar und \(P\) ist reell), die sogar symmetrisch ist.

Die stabilisierende Lösung \(P\) ist auch eindeutig (wenn sie existiert): Es gilt wie oben
\(\smallpmatrix {I & 0 \\ P & I}^{-1} H \smallpmatrix {I & 0 \\ P & I} = \smallpmatrix {A_- & \ast \\ 0 & A_+}\), also \(\smallpmatrix {I & 0 \\ P & I}^{-1} (H - \lambda I)^{2n} \smallpmatrix {I & 0 \\ P & I} = \smallpmatrix {(A_- - \lambda I)^{2n} & \ast \\ 0 & (A_+ - \lambda I)^{2n}}\),
wobei \(A_- := A - BR^{-1} B^T P\) und \(A_+ := -A_-^T\). Für \(\lambda \in \complex ^-\) gilt \(N((A_+ - \lambda I)^{2n}) = \{0\}\), weil \(A_+\) nur Eigenwerte in \(\complex ^+\) hat. Außerdem gilt \(\sum _{\lambda \in \complex ^-} N(A_- - \lambda I)^{2n} = \complex ^n\), wobei die Summanden nur für die Eigenwerte von \(A_-\) nicht gleich \(\{0\}\) sind: Wenn \(\lambda \) ein Eigenwert ist, dann ist \(N(A_- - \lambda I)^{2n}\) der verallgemeinerte Eigenraum von \(A_-\) zum Eigenwert \(\lambda \). Die Summe ist gleich \(\complex ^n\), weil alle Haupträume zusammen eine direkte Zerlegung von \(\complex ^n\) bilden. Somit erhält man \(\sum _{\lambda \in \complex ^-} N\!\smallpmatrix {(A_- - \lambda I)^{2n} & \ast \\ 0 & (A_+ - \lambda I)^{2n}} = R\!\smallpmatrix {I \\ 0}\). Durch Rücktransformation bekommt man \(\sum _{\lambda \in \complex ^-} N(H - \lambda I)^{2n} = \smallpmatrix {I & 0 \\ P & I} R\!\smallpmatrix {I \\ 0} \smallpmatrix {I & 0 \\ P & I}^{-1} = R\!\smallpmatrix {I \\ P}\). Der verallgemeinerte Eigenraum \(\sum _{\lambda \in \complex ^-} N(H - \lambda I)^{2n}\) von \(H\) bzgl. der Eigenwerte in \(\complex ^-\) heißt auch stabiler Unterraum von \(H\) über \(\complex ^-\) (stable subspace of \(H\) over \(\complex ^-\)) und hängt nicht mehr von \(P\) ab. Für zwei stabilisierende Lösungen \(P_1\) und \(P_2\) gilt also \(R\!\smallpmatrix {I \\ P_1} = R\!\smallpmatrix {I \\ P_2}\), also \(\smallpmatrix {I \\ P_1} = \smallpmatrix {I \\ P_2} K\) für eine Matrix \(K\). Aus der ersten Gleichung ergibt sich \(K = I\), also \(P_1 = P_2\).

Satz (Eindeutigkeit der stabilisierenden Lösung):
Die ARE hat höchstens eine stabilisierende Lösung.

Möglichkeiten, \(H\) auf Blockdreiecksform zu bringen:

\(S\) so wählen, dass \(H\) sogar blockdiagonalisiert wird. Zum Beispiel kann man \(H\) in die entsprechend geordnete reelle oder komplexe JNF bringen und die ersten \(n\) Spalten der Transformationsmatrix verwenden. In der Praxis ist \(H\) oft diagonalisierbar, dann können die ersten \(n\) Spalten von \(S\) als \(n\) linear unabhängige Eigenvektoren von \(H\) zu Eigenwerten in \(\complex ^-\) gewählt werden.
Numerisch vorzuziehen ist die geordnete Schur-Zerlegung. Mit ihr lässt sich eine unitäre Matrix \(S\) berechnen, die \(H\) in Blockdreiecksform bringt.
Moderne Algorithmen für große Matrizen konstruieren \(S\) mit symplektischen Transformationen auf \(H\), die die Hamilton-Struktur erhalten.

Normalerweise hat die ARE unendlich viele Lösungen, allerdings hat die stabilisierende Lösung (falls sie existiert) eine besondere Eigenschaft.

Satz (stab. Lsg. am größten): Die stabilisierende Lösung \(P\) der ARE ist die größte unter allen anderen Lösungen, d. h. \(X - P \nsd \) für jede symmetrische Lösung \(X\) der ARE.

Bedingungen für die Lösbarkeit der ARE

Man schreibt \(\Eig \!\smallpmatrix {A - sI & B} := \{\lambda \in \complex \;\left |\; \rg \!\smallpmatrix {A - \lambda I & B} < n\right \}\) für die unregelbaren Eigenwerte von \((A, B)\) und \(\Eig \!\smallpmatrix {A - sI \\ Q} := \{\lambda \in \complex \;\left |\; \rg \!\smallpmatrix {A - \lambda I \\ Q} < n\right \}\) für die unbeobachtbaren Eigenwerte von \((A, Q)\).

Satz (Eigenwerte von \(H\) auf \(\complex ^0\) für \(Q \psd \)):
Für \(Q \psd \) gilt \(\Eig (H) \cap \complex ^0 = \left (\Eig \!\smallpmatrix {A - sI & B} \cup \Eig \!\smallpmatrix {A - sI \\ Q}\right ) \cap \complex ^0\).

Satz (Hauptresultat): Für \(Q \psd \) hat die ARE eine stabilisierende Lösung genau dann, wenn \((A, B)\) stabilisierbar ist und \((A, Q)\) keine unbeobachtbaren Eigenwerte auf \(\complex ^0\) hat.

Wenn \(Q = C^T C\) gilt, dann sind die unbeobachtbaren Eigenwerte von \((A, Q)\) identisch mit denen von \((A, C)\). Daher ist es für die Existenz einer stabilisierenden Lösung hinreichend, wenn \((A, B)\) stabilisierbar und \((A, C)\) entdeckbar ist (diese Bedingung ist aber nicht notwendig).

Satz (Definitheit der stab. Lösung): Für \(Q \psd \) ist die stabilisierende Lösung \(P\) der ARE (falls sie existiert) positiv semidefinit. Wenn zusätzlich \((A, Q)\) beobachtbar ist, dann ist sie sogar positiv definit.

Satz (Definitheit hinreichend für stab.): Für \(Q \psd \), \(P \psd \) einer Lösung der ARE und \((A, Q)\) entdeckbar ist \(P\) die stabilisierende Lösung.

Zusammenfassung für die ARE: Gegeben sei die ARE \(A^T P + PA - PBR^{-1} B^T P + C^T C = 0\), wobei \((A, B)\) stabilisierbar und \((A, C)\) entdeckbar sei (\(C\) hat vollen Zeilenrang).

Die ARE hat genau eine stabilisierende Lösung.
Die stabilisierende Lösung ist die größte unter allen anderen Lösungen.
Eine Lösung \(P\) ist stabilisierend genau dann, wenn \(P \psd \).

Zusammenfassung für das LQ-Problem: Sei \((A, B)\) stabilisierbar und \((A, Q)\) mit \(Q \psd \) hat keine unbeobachtbaren Eigenwerte auf der imaginären Achse.

Dann kann man die eindeutige Lösung \(P \psd \) der ARE \(A^T P + PA - PBR^{-1} B^T P + Q = 0\), für die \(A - BR^{-1} B^T P\) eine Hurwitz-Matrix ist, berechnen.
Das LQ-Problem hat eine eindeutige Lösung.
Der optimale Wert ist \(\xi ^T P \xi \) und die optimale Regelung kann als statische Zustandsrückführung \(u = -R^{-1} B^T Px\) implementiert werden. Die Eigenwerte des geschlossenen Regelkreises sind identisch mit den Eigenwerten der Hamilton-Matrix, die in \(\complex ^-\) liegen.

Billige Regelung

Ist \(\smallpmatrix {A & B \\ C & D}\) eine Blockmatrix mit invertierbarem \(D\), so gilt \(\smallpmatrix {I & -BD^{-1} \\ 0 & I} \smallpmatrix {A & B \\ C & D} = \smallpmatrix {A - BD^{-1}C & 0 \\ C & D}\). Durch Bildung der Determinanten auf beiden Seiten gelangt man zur folgenden Formel.

Schur-Determinantenformel: Für \(D\) invertierbar gilt
\(\det \!\smallpmatrix {A & B \\ C & D} = \det (A - BD^{-1}C) \det (D)\).

Ist \(\smallpmatrix {A & B \\ B^T & D}\) eine symmetrische Blockmatrix mit invertierbarem \(D\) (also \(A = A^T\) und \(D = D^T\)), so gilt \(\smallpmatrix {I & -BD^{-1} \\ 0 & I} \smallpmatrix {A & B \\ B^T & D} \smallpmatrix {I & 0 \\ -D^{-1} B^T & I} = \smallpmatrix {A - BD^{-1}C & 0 \\ 0 & D}\). Das folgende Lemma folgt daraus, dass für symmetrische Matrizen \(R\) und invertierbare Matrizen \(V\) gilt, dass \(R \pd \iff V^T RV \pd \).

Schur-Komplement-Lemma: Für \(D = D^T\) invertierbar und \(A = A^T\) gilt
\(\smallpmatrix {A & B \\ B^T & D} \pd \iff (D \pd ) \land (A - BD^{-1}C \pd )\) mit \(C := B^T\).

Schur-Komplement: Für \(D\) invb. heißt \(A - BD^{-1}C\) heißt Schur-Komplement von \(\smallpmatrix {A & B \\ C & D}\).

Variation der Eingangsgewichtung: Die Eigenwerte des geschlossenen Regelkreises mit der LQ-optimalen Verstärkung sind gleich denen der Hamilton-Matrix in \(\complex ^-\).
Sei nun \(R_0 \pd \) fest und \(\varrho \in (0, \infty )\) ein Skalar. Für \(R := \varrho R_0\) erhält man die Hamilton-Matrix \(H = \smallpmatrix {A & -\frac {1}{\varrho } BR_0^{-1} B^T \\ -Q & -A^T}\).

teure Regelung: Für großes \(\varrho \) versucht der LQ-Regler, mit so wenig Regelaufwand wie möglich auszukommen. Weil der rechte obere Block für \(\varrho \to \infty \) verschwindet, nähern sich die Eigenwerte des geschlossenen Regelkreises an die stabilen Eigenwerte von \(\smallpmatrix {A & 0 \\ -Q & -A^T}\) an, also an die Eigenwerte von \(A\) und die Eigenwerte von \(A\) gespiegelt an der imaginären Achse (in \(\complex ^-\)).

billige Regelung: Für kleines \(\varrho \) erlaubt man einen großen Regelaufwand (billige Regelung (cheap control)). Mit \(Q =: C^T C\), \(R_0^{-1} =: U_0 U_0^T\) (\(U_0\) invertierbar) und \(G(s) := C(sI - A)^{-1} BU_0\) erhält man durch die Schur-Determinatenformel und \(\det (I - UV) = \det \smallpmatrix {I & V \\ U & I} = \det (I - VU)\), dass \(\det (sI - H) = \det (sI + A^T) \det (sI - A - \frac {1}{\varrho } BR_0^{-1}B^T (sI + A^T)^{-1} Q)\)
\(= \det (sI + A^T) \det (sI - A) \det (I - \frac {1}{\varrho } (sI - A)^{-1} BU_0 U_0^T B^T (sI + A^T)^{-1} C^T C)\)
\(= \det (sI + A^T) \det (sI - A) \det (I - \frac {1}{\varrho } C^T C (sI - A)^{-1} BU_0 U_0^T B^T (sI + A^T)^{-1})\)
\(= \det (sI + A^T) \det (sI - A) \det (I - \frac {1}{\varrho } C^T G(s) U_0^T B^T (sI + A^T)^{-1})\)
\(= \det (sI + A^T) \det (sI - A) \det (I - \frac {1}{\varrho } U_0^T B^T (sI + A^T)^{-1} C^T G(s))\)
\(= \det (sI + A^T) \det (sI - A) \det (I + \frac {1}{\varrho } G(-s)^T G(s))\). Im Allgemeinen sind die Nullstellen dieses Polynoms für \(\varrho \to 0\) nicht einfach zu analysieren. Man kann zeigen, dass einige Nullstellen zu \(\infty \) gehen, während andere zu denen von \(\det (G(-s)^T G(s))\) gehen, wenn dieses Polynom nicht verschwindet.

Satz (Butterworth-Muster): Sei das System ein SISO-System, \(d(s) := \det (sI - A)\) und \(n(s) := d(s) G(s)\) mit Nullstellen \(z_1, \dotsc , z_m\). Es gilt
\(\det (sI + A^T) \det (sI - A) \det (I + \frac {1}{\varrho } G(-s)^T G(s)) = 0 \iff d(-s) d(s) + \frac {1}{\varrho } n(-s) n(s) = 0\)
und für die Nullstellen gilt für \(\varrho \to 0\):

\(2m\) der Nullstellen gehen gegen \(\pm z_1, \dotsc , \pm z_m\).
Die anderen \(2(n - m)\) Nullstellen gehen gegen \(\infty \). Die Divergenz erfolgt asymptotisch entlang Ursprungsgeraden mit den folgenden Winkeln bzgl. der positiven reellen Halbachse:
- Für \(n - m\) ungerade \(\frac {k\pi }{n - m}\), \(k = 0, \dotsc , 2n - 2m - 1\),
- für \(n - m\) gerade \(\frac {(k + 1/2)\pi }{n - m}\), \(k = 0, \dotsc , 2n - 2m - 1\).

Die Nullstellen in \(\complex ^-\) sind die Eigenwerte des geschlossenen Regelkreises.

Robustheit

Robustheit: Die perfekte Implementierung eines Zustandsrückführungs-Reglers führt zu
\(\dot {x} = Ax + Bu\), \(z = -Fx\), \(x(0) = \xi \) mit \(u = z\). Allerdings ist diese Modellierung eines unverzerrten und simultanen Reglers idealisisiert, da es z. B. bei der Signalübertragung zum System zu Störungen oder kleinen Verzögerungen führen kann. Dies kann man durch einen Filter \(\Delta \) berücksichtigen, wobei nun \(u = \Delta (z)\) gelten soll. Im einfachsten Fall ist \(\Delta \in \real ^{m \times m}\) eine statische Verstärkung mit \(\norm {\Delta - I} \approx 0\). Für \(\Delta = I_m\) gelangt man wieder zur obigen perfekten Implementierung, sonst erhält man das System \(\dot {x} = (A - B\Delta F)x\), \(x(0) = \xi \). Dieses System ist für \(\norm {\Delta - I}\) klein wieder stabil, wenn \(A - BF\) bereits eine Hurwitz-Matrix war.

Die Frage ist nun, wie weit \(\Delta \) von \(I\) abweichen darf, ohne dass die Stabilität verloren geht, d. h. \(\lim _{t \to \infty } x(t) = 0\) für \(\xi \in \real ^n\) beliebig.

Für die Analyse dieser Frage benötigt man ein paar Lemmas. Im Folgenden seien
\(L_2^n := L_2([0, \infty ), \real ^n)\) und \(L_{2,\loc }^n := \{x\colon [0, \infty ) \rightarrow \real ^n \text { messbar} \;|\; \forall _{T > 0}\; x(\cdot ) \in L_2([0, T], \real ^n)\}\).

lokal absolute Stetigkeit: Eine Abbildung \(f\colon [0, \infty ) \rightarrow \real ^n\) heißt lokal absolut stetig, falls
\(\forall _{[a, b] \subset [0, \infty )} \forall _{\varepsilon > 0} \exists _{\delta > 0}\; \big (([x_k, y_k])_{k \in \natural } \text { Folge paarweise disjunkter Intervalle in } [a, b] \text { mit}\)
\(\sum _{k=1}^\infty (y_k - x_k) < \delta \big ) \;\Rightarrow \; \sum _{k=1}^\infty \norm {f(y_k) - f(x_k)} < \varepsilon \) (d. h. \(f\) ist absolut stetig auf jedem Intervall \([a, b] \subset [0, \infty )\)). Lokale absolute Stetigkeit ist eine Verallgemeinerung von lokal gleichmäßiger Stetigkeit, allerdings ist lokale Lipschitz-Stetigkeit hinreichend für lokal absolute Stetigkeit.

Lemma (Barbalat-Lemma): Seien \(x(\cdot ) \in L_2^n\) lokal absolut stetig und \(\dot {x}(\cdot ) \in L_2^n\).
Dann gilt \(\lim _{t \to \infty } x(t) = 0\).

Lemma (Young-Ungleichung für Faltungen):
Seien \(1 \le p \le q \le \infty \) mit \(a \in [1, \infty ]\), sodass \(\frac {1}{p} + \frac {1}{a} = 1 + \frac {1}{q}\) Für \(u \in L_p([0, \infty ), \real ^m)\) und \(M \in L_a([0, \infty ), \real ^{k \times m})\) sei \(y\colon [0, \infty ) \rightarrow \real ^k\), \(y(t) := \int _0^t u(\tau )M(t - \tau ) \d \tau = (u \ast M)(t)\).
Dann gilt \(y \in L_q([0, \infty ), \real ^k)\) und \(\norm {y}_q \le \norm {u}_p \norm {M}_a\).

Dabei wird auf \(L_a([0, \infty ), \real ^{k \times m})\) die Norm \(\norm {M}_a := \left (\int _0^\infty \norm {M(t)}^a\dt \right )^{1/a}\) für \(a < \infty \) bzw.
\(\norm {M}_\infty := \esssup _{t \in [0, \infty )} \norm {M(t)}\) verwendet, wobei \(\norm {\cdot }\) die Spektralnorm für Matrizen in \(\real ^{k \times m}\) bezeichnet.

Lemma (Konvergenz der Trajektorie): Sei \(\dot {x} = Ax + Bu\), \(y = Cx\) entdeckbar.
Wenn \((x(\cdot ), u(\cdot ), y(\cdot ))\) eine Trajektorie mit \(u \in L_2^m\) und \(y \in L_2^k\) ist, dann gilt \(\lim _{t \to \infty } x(t) = 0\).

Herleitung der Robustheitseigenschaften:
Seien \(P\) eine Lösung der ARE mit \(Q \psd \) und \(F := R^{-1} B^T P\).
Dann gilt wegen \(Q \psd \), dass \(0 = \smallpmatrix {A^T P + PA - PBR^{-1} B^T P + Q & 0 \\ 0 & 0} = \smallpmatrix {A^T P + PA + Q - F^T RF & PB - F^T R \\ B^T P - RF & 0}\)
\(= \smallpmatrix {A^T P + PA & PB \\ B^T P & 0} + \smallpmatrix {Q & 0 \\ 0 & 0} - \smallpmatrix {F^T R F & F^T R \\ RF & 0} \succcurlyeq \smallpmatrix {I & 0 \\ A & B}^T \smallpmatrix {0 & P \\ P & 0} \smallpmatrix {I & 0 \\ A & B} + \smallpmatrix {-F & 0 \\ 0 & I}^T \smallpmatrix {-R & R \\ R & 0} \smallpmatrix {-F & 0 \\ 0 & I}\).
Für jede Trajektorie des Systems und alle \(t \ge 0\) gilt daher
\(0 \ge \smallpmatrix {x(t) \\ u(t)}^T \smallpmatrix {I & 0 \\ A & B}^T \smallpmatrix {0 & P \\ P & 0} \smallpmatrix {I & 0 \\ A & B} \smallpmatrix {x(t) \\ u(t)} + \smallpmatrix {x(t) \\ u(t)}^T \smallpmatrix {-F & 0 \\ 0 & I}^T \smallpmatrix {-R & R \\ R & 0} \smallpmatrix {-F & 0 \\ 0 & I} \smallpmatrix {x(t) \\ u(t)}\)
\(= \smallpmatrix {x(t) \\ \dot {x}(t)}^T \smallpmatrix {0 & P \\ P & 0} \smallpmatrix {x(t) \\ \dot {x}(t)} + \smallpmatrix {z(t) \\ u(t)}^T \smallpmatrix {-R & R \\ R & 0} \smallpmatrix {z(t) \\ u(t)} = \frac {d}{dt} x(t)^T P x(t) + \smallpmatrix {z(t) \\ u(t)}^T \smallpmatrix {-R & R \\ R & 0} \smallpmatrix {z(t) \\ u(t)}\).
Für jede Trajektorie des Systems und \(\tau > 0\) gilt also
\(x(\tau )^T P x(\tau ) + \int _0^\tau \smallpmatrix {z(t) \\ u(t)}^T \smallpmatrix {-R & R \\ R & 0} \smallpmatrix {z(t) \\ u(t)} \dt \le \xi ^T P \xi \).

Satz (Robustheit des LQ-optimalen Reglers):
Sei \(F\) die LQ-optimale Verstärkung für \((A, B)\) mit der Kostenfunktion definiert durch \((Q, R)\), d. h. \(F = R^{-1} B^T P\) mit \(P\) der stabilisierenden Lösung der ARE für \(Q \psd \) und \(R \pd \).
Seien außerdem \(\Delta \colon L_{2,\loc }^m \rightarrow L_{2,\loc }^m\) und \(\gamma , \varepsilon > 0\), sodass für alle \(z \in L_{2,\loc }^m\) und \(\tau > 0\) gilt, dass

\(\int _0^\tau \norm {\Delta (z)(t)}^2 \dt \le \gamma ^2 \int _0^\tau \norm {z(t)}^2 \dt \) und
\(\int _0^\tau \smallpmatrix {z(t) \\ \Delta (z)(t)}^T \smallpmatrix {-R & R \\ R & 0} \smallpmatrix {z(t) \\ \Delta (z)(t)} \dt \ge \varepsilon \int _0^\tau \norm {z(t)}^2 \dt \).

Dann gilt für jede Lösung \(x(\cdot ) \in L_{2,\loc }^n\) des Systems \(\dot {x} = Ax + Bu\), \(z = -Fx\), \(x(0) = \xi \), \(u = \Delta (z)\), dass \(\lim _{t \to \infty } x(t) = 0\).

Beispiel: Sei \(D \in \real ^{m \times m}\) eine statische Verstärkungsmatrix (static gain-matrix) mit
\(\smallpmatrix {I \\ D}^T \smallpmatrix {-R & R \\ R & 0} \smallpmatrix {I \\ D} \pd \). Dann erfüllt \(\Delta \) mit \(\Delta (z)(\cdot ) := Dz(\cdot )\) alle Voraussetzungen des Satzes,
da \(\int _0^\tau \norm {\Delta (z)(t)}^2 \dt = \int _0^\tau \norm {Dz(t)}^2 \dt \le \gamma ^2 \int _0^\tau \norm {z(t)}^2 \dt \) mit \(\gamma := \norm {D}\).
Außerdem gilt nach Voraussetzung, dass \(\smallpmatrix {I \\ D}^T \smallpmatrix {-R & R \\ R & 0} \smallpmatrix {I \\ D} \succcurlyeq \varepsilon I\) für ein \(\varepsilon > 0\). Daraus folgt
\(\int _0^\tau \smallpmatrix {z(t) \\ \Delta (z)(t)}^T \smallpmatrix {-R & R \\ R & 0} \smallpmatrix {z(t) \\ \Delta (z)(t)} \dt = \int _0^\tau z(t)^T \smallpmatrix {I \\ D}^T \smallpmatrix {-R & R \\ R & 0} \smallpmatrix {I \\ D} z(t) \dt \)
\(= \int _0^\tau z(t)^T \left [\smallpmatrix {I \\ D}^T \smallpmatrix {-R & R \\ R & 0} \smallpmatrix {I \\ D} - \varepsilon I\right ] z(t) \dt + \int _0^\tau z(t)^T [\varepsilon I] z(t) \dt \ge \varepsilon \int _0^\tau \norm {z(t)}^2 \dt \).
Daher erfüllt das System \(\dot {x} = (A - BDF)x\), \(x(0) = \xi \) für jede Anfangsbedingung
\(\lim _{t \to \infty } x(t) = 0\).

Setzt man \(D := dI\) für \(d \in \real \), so gilt \(\smallpmatrix {I \\ D}^T \smallpmatrix {-R & R \\ R & 0} \smallpmatrix {I \\ D} \pd \iff 2dR - R \pd \)
\(\iff (2d - 1)R \pd \). Wegen \(R \pd \) gilt dies genau dann, wenn \(2d - 1 > 0 \iff d \in (\frac {1}{2}, \infty )\). Man spricht von einem Amplitudenrand (gain-margin) von \(\frac {1}{2}\): Wenn \(F\) die LQ-optimale Verstärkung ist, dann kann \(F\) zu \(dF\) für \(d \in (\frac {1}{2}, \infty )\) geändert werden, ohne die Stabilität des geschlossenen Regelkreises zu gefährden.