Lineare Algebra und Analytische Geometrie 1 – Struktur von Vektorräumen

Vektorräume und Unterräume

Vektorraum: Ein \(K\)-Vektorraum (Vektorraum über \(K\), \(K\) Körper) ist eine Menge \(V\) mit einer binären Operation \(\boldsymbol{+}: V \times V \rightarrow V\) (Vektoraddition) und einer Operation \(\boldsymbol{\cdot }: K \times V \rightarrow V\) (skalare Multiplikation) mit den Eigenschaften (\(u, v \in V\), \(\lambda , \mu \in K\))

1) \(u + v = v + u\)	5) \(1_K \cdot v = v\)
2) \(u + (v + w) = (u + v) + w\)	6) \(\lambda (\mu v) = (\lambda \mu ) v\)
3) \(\exists _{0_V \in V} \forall _{v \in V}\; v + 0_V = v\)	7) \((\lambda + \mu ) v = \lambda v + \mu v\)
4) \(\forall _{v \in V} \exists _{-v \in V}\; v + (-v) = 0_V\)	8) \(\lambda (u + v) = \lambda u + \lambda v\).

Lemma (\(K[x]\) als Vektorraum): \(K[x]\) wird zum \(K\)-Vektorraum mit \((f + g)(x) = \sum _{i=0}^n (\alpha _i + \beta _i) x^i\) und \((\lambda f)(x) = \sum _{i=0}^n (\lambda \alpha _i) x^i\), wobei \(f(x) = \sum _{i=0}^n \alpha _i x^i\) sowie \(g(x) = \sum _{i=0}^n \beta _i x^i\).

Unterraum: Sei \(V\) ein \(K\)-Vektorraum. Eine nicht-leere Teilmenge \(U \subseteq V\) heißt Unterraum von \(V\), falls \(U\) bzgl. der Addition und der skalaren Multiplikation von \(V\) selbst wieder ein Vektorraum ist. Man schreibt dann \(U \ur V\) bzw. \(U < V\) (echter Unterraum) für \(U \not = V\).

Satz (Kriterium für Unterraum): Sei \(U \subseteq V\) nicht-leer. \(U\) ist genau dann ein Unterraum von \(V\), wenn für \(u, v \in U\), \(\lambda \in K\) gilt, dass auch \(u - v \in U\) sowie \(\lambda v \in U\) ist.

linearer Aufspann: Für eine nicht-leere Teilmenge \(T \subseteq V\) ist der lineare Aufspann
\(\aufspann {T} = \left \{\left . \sum _{i=1}^k \lambda _i v_i \;\right |\; \lambda _i \in K,\; v_i \in T \right \} = \left \{\left . \sum _{t \in T} \lambda _t t \;\right |\; \lambda _t \in K \text { fast alle } 0\right \}\). Es ist \(\aufspann {\emptyset } = (0)\).

Folgerung: Sei \(T \subseteq V\) nicht-leer. Dann ist \(\aufspann {T}\) ein Unterraum von \(V\).

Lemma (Durchschnitt/Vereinigung von Unterräumen): Der Durchschnitt von beliebig vielen Unterräumen ist wieder ein Unterraum. Die Vereinigung ist i. A. kein Unterraum.

Erzeugende

Erzeugendensystem: Eine nicht-leere Teilmenge \(T \subseteq V\) eines \(K\)-Vektorraums \(V\) heißt Erzeugendensystem für \(V\), falls \(\aufspann {T} = V\). Die Elemente von \(T\) heißen Erzeugende von \(V\).

Satz (kleinster Unterraum): Sei \(T \subseteq V\) nicht-leer. Dann ist \(\aufspann {T}\) der kleinste Unterraum von V, der \(T\) als Teilmenge enthält, d. h. \(\aufspann {T} = \bigcap _{U \ur V,\; T \subseteq U} U\).

Lemma (Mengen und ihr Aufspann): 1. \(T \subseteq \aufspann {T}\) (für \(T \subseteq V\))
2. \(\aufspann {T} \ur \aufspann {S} \ur V\) (für \(T \subseteq S \subseteq V\)) 3. \(\aufspann {\aufspann {T}} = \aufspann {T}\) (für \(T \subseteq V\))

Lemma (Aufspann von Unterräumen): Für \(U \ur V\) ist \(\aufspann {U} = U\).

Summen von Unterräumen

Summe von Unterräumen: Seien \(U, W \ur V\). Dann ist die Summe von \(U\) und \(W\) die Menge \(U + W = \{x + y \;|\; x \in U,\, y \in W\} \subseteq V\).

Satz (Summe als Unterraum): \(U + W\) ist ein Unterraum von \(V\). Es gilt \(U + W = \aufspann {U \cup W}\) und \(U + W\) ist der kleinste Unterraum von \(V\), der \(U\) und \(W\) enthält, d. h. \(U + W = \bigcap _{X \ur V,\;\; U, W \ur X} X\).

Folgerung: Die Addition von Unterräumen ist eine binäre Operation auf der Menge der Unterräume von \(V\).

Lemma (für den Modulsatz): Seien \(U, W, X \ur V\).
Dann ist \(U \cap (W + (U \cap X)) = (U \cap W) + (U \cap X)\).

Satz (Dedekindscher Modulsatz): Seien \(U, W, X \ur V\).
Für \(X \subseteq U\) gilt \(U \cap (W + X) = (U \cap W) + X\).

Komplement: \(U, W \ur V\) sind komplementär, falls \(U \cap W = (0)\) und \(U + W = V\).

unendliche Durchschnitte und Summen: Seien \(U_i\) für \(i \in I\) Unterräume von \(V\).
Dann ist \(\bigcap _{i \in I} = \{v \in V \;|\; \forall _{i \in I}\; v \in U_i\}\) sowie \(\sum _{i \in I} U_\nu = \left \{\left . \sum _{i \in I} v_i \in V \;\right |\; v_i \in U_i \text { fast alle } 0 \right \}\).

Lemma (Durchschnitt und Summe von Unterräumen):
Durchschnitt und Summe beliebiger Unterräume \(U_i\) (\(i \in I\)) von \(V\) sind Unterräume.

Folgerung: Eine Teilmenge \(T \subseteq V\) ist genau dann ein Erzeugendensystem von \(V\), wenn sie in keinem echten Unterraum von \(V\) enthalten ist. Jede in \(V\) enthaltene Obermenge eines Erzeugendensystems ist ebenfalls ein Erzeugendensystem.

Minimale Erzeugendensysteme

minimales Erzeugendensystem: Ein Erzeugendensystem \(T\) für \(V\) heißt minimal, falls es minimal bzgl. der Mengeninklusion ist, d. h. kein Vektor aus \(T\) kann entfernt werden, sodass die echte Teilmenge immer noch ein Erzeugendensystem ist.

Beobachtung: Für \(T \subseteq V\) ist \(0\) Linearkombination von \(T\).
Ist \(T\) ein Erzeugendensystem und \(0 \in T\), so ist \(T\) nicht minimal.

Lemma (Entfernen von linear abhängigen Vektoren):
Sei \(T \subseteq V\) und \(t \in T\) eine Linearkombination von \(T’ = T \setminus \{t\}\). Dann ist \(\aufspann {T} = \aufspann {T’}\).

Lemma (lineare Abhängigkeit): Seien \(T \subseteq V\) und \(t_0 \in T\) mit \(t_0 = \sum _{i=1}^k \alpha _i t_i\) (\(t_1, \ldots , t_k \in T\), \(\alpha _1, \ldots , \alpha _k \in K^\ast \)). Dann ist jedes \(t_i\) (\(i = 1, \ldots , k\)) Linearkombination von \(T \setminus \{t_i\}\) und der Nullvektor ist eine nichttriviale Linearkombination von \(T\).

lineare Abhängigkeit: \(T \subseteq V\) heißt linear abhängig, falls es eine nicht-triviale Darstellung des Nullvektors mit Vektoren aus \(T\) gibt. Andernfalls heißt \(T\) linear unabhängig. \(\emptyset \) ist lin. un.

Satz (linear abhängige Teilmengen): Der Nullvektor ist von jeder Teilmenge von \(V\) linear abhängig. Ist \(0 \in T \subseteq V\), so ist \(T\) linear abhängig.
Jede Teilmenge einer linear unabhängigen Menge ist linear unabhängig.
Jede Obermenge eines Erzeugendensystems ist ein Erzeugendensystem.

Satz (minimale Erzeugendensysteme): Sei \(T\) ein Erzeugendensystem von \(V\).
Dann ist \(T\) minimal genau dann, wenn \(T\) linear unabhängig ist.

Basis: Ein minimales Erzeugendensystem von \(V\) heißt Basis von \(V\).

Satz (maximale linear unabhängige Teilmengen): Sei \(T \subseteq V\).
\(T\) ist Basis genau dann, wenn \(T\) eine maximale, linear unabhängige Teilmenge von \(V\) ist.

Satz (Erzeugendensysteme enthalten Basis):
Jedes endliche Erzeugendensystem enthält eine Basis.

Satz (Eindeutigkeit): Sei \(T\) ein Erzeugendensystem von \(V\). Dann ist \(T\) eine Basis genau dann, wenn es sich jeder Vektor aus \(V\) eindeutig als Linearkombination von \(T\) darstellen lässt.

Folgerung: \(K[x]\) hat die Basis \(\basis {E} = \{x^i \;|\; i \in \natural _0\}\). \(K_n[x]\) hat die Basis \(\basis {E}_n = \{x^i \;|\; i = 0, \ldots , n\}\).

Bemerkung: Sei \(V\) ein \(K\)-Vektorraum mit Basis \(\basis {B} = \{v_1, \ldots , v_n\}\). Dann kann jeder Vektor \(v \in V\) eindeutig als Linearkombination \(v = \sum _{i=1}^n \lambda _i v_i\) geschrieben werden. Bei fester Basis gibt es also eine Bijektion zwischen \(V\) und \(K^n\) mit \(v \leftrightarrow (\lambda _1, \ldots , \lambda _n) \in K^n\) (\(V\), \(K^n\) sind isomorph). Man schreibt dann \(v =\) \(\begin {pmatrix}\lambda _1 \\ \vdots \\ \lambda _n\end {pmatrix}_\basis {B}\). Dabei kommt es auf die Reihenfolge der Basisvektoren an!

geordnete Basis: Eine geordnete Basis von \(V\) ist eine Basis \(\basis {B}\) zusammen mit einer vollständigen Ordnung auf \(\basis {B}\) (Existenz durch Wohlordnungssatz). Man schreibt \(\basis {B} = (v_1, \ldots , v_n)\).

Basen und Dimension

Satz (Existenz einer Basis): Mit dem Auswahlaxiom besitzt jeder Vektorraum eine Basis.
Schärfere Aussage: Mit dem Auswahlaxiom enthält jedes Erzeugendensystem eine Basis.

Satz (Austauschsatz von Steinitz): Seien \(\basis {B}\) ein Erzeugendensystem und \(T = \{x_1, \ldots , x_k\}\) eine linear unabhängige Teilmenge von \(V\). Dann gibt es eine \(k\)-elementige Teilmenge \(\basis {C} \subseteq \basis {B}\), sodass \((\basis {B} \setminus \basis {C}) \cup T\) ein Erzeugendensystem ist.

Folgerung: Sei \(V\) von einer \(n\)-elementigen Menge erzeugt.
Dann hat jede linear unabhängige Teilmenge von \(V\) höchstens \(n\) Elemente.

Folgerung: In einem endlich erzeugten Vektorraum sind alle Basen endlich und haben gleich viele Elemente.

Satz (Basisergänzungssatz): Seien \(\basis {C}\) eine \(n\)-elementige Basis und \(B = \{b_1, \ldots , b_k\}\) eine linear unabhängige Teilmenge von \(V\). Dann ist \(k \le n\) und es gibt \(c_1, \ldots , c_{n-k} \in \basis {C}\), sodass
\(\tilde {B} = \{b_1, \ldots , b_k, c_1, \ldots , c_{n-k}\}\) eine Basis von \(V\) ist.

Dimension: Sei \(V\) endlich erzeugt. Dann hat jede Basis von \(V\) \(n \in \natural _0\) Elemente.
\(n = \dim V = \dim _K V\) heißt Dimension von \(V\). (\(n\) ist eindeutig!)

Folgerung: Sei \(V\) Vektorraum der Dimension \(n \in \natural _0\). Dann ist jede Teilmenge von \(V\) mit mehr als \(n\) Elementen linear abhängig und eine \(n\)-elementige Teilmenge ist Basis genau dann, wenn sie linear unabhängig ist oder \(V\) erzeugt.

Satz (Basis von Unterräumen ergänzen): Seien \(V\) endlich erzeugt mit der Dimension \(n \in \natural _0\) und \(U \ur V\). Dann ist \(U\) ebenfalls endlich-dimensional und \(\dim U \le \dim V\). Ist \(B = (b_1, \ldots , b_k)\) eine Basis von \(U\), so gibt es \(b_{k+1}, \ldots , b_n \in V\), sodass \(\tilde {B} = (b_1, \ldots , b_n)\) eine Basis von \(V\) ist.

Unterräume, Komplemente und direkte Summen

Satz (Dimensionsformel): Seien \(V\) ein endlich erzeugter Vektorraum und \(U, W \ur V\).
Dann gibt es drei disjunkte Teilmengen \(\basis {A}, \basis {B}, \basis {C}\) von \(V\), sodass \(\basis {A}\) Basis von \(U \cap W\), \(\basis {A} \cup \basis {B}\) Basis von \(U\), \(\basis {A} \cup \basis {C}\) Basis von \(W\) und \(\basis {A} \cup \basis {B} \cup \basis {C}\) Basis von \(U + W\) ist.
Daraus folgt die Dimensionsformel: \(\dim (U + W) + \dim (U \cap W) = \dim U + \dim W\).

(innere) direkte Summe: Sei \(\{U_i \;|\; i \in I\}\) ein mit der Menge \(I\) indiziertes System von Unterräumen von \(V\). Dann ist \(V\) die (innere/interne) direkte Summe der \(U_i\), falls \(V = \sum _{i \in I} U_i\) sowie \(\forall _{j \in I}\; U_j \cap \sum _{i \in I,\; i \not = j} U_i = (0)\). Man schreibt \(V = \bigoplus _{i \in I} U_i\).

Satz (direkte Summe \(\Leftrightarrow \) jeder Vektor eindeutige Summe): Seien \(U_i\) (\(i \in I\)) Unterräume von \(V\).
Dann ist \(V = \bigoplus _{i \in I} U_i\) genau dann, wenn sich jeder Vektor \(v \in V\) eindeutig als Summe
\(v = \sum _{i \in I} v_i\) (\(v_i \in U_i\) fast alle \(0\)) schreiben lässt.

Satz (direkte Summe einer Basis): Sei \(\basis {A}\) Basis von \(V\). Dann ist \(V = \bigoplus _{v \in \basis {A}} Kv\).

(äußere) direkte Summe: Seien \(U, W\) \(K\)-Vektorräume. Dann ist \(U \oplus W = U \times W\) die (äußere) direkte Summe mit der Addition \((u_1, w_1) + (u_2, w_2) = (u_1 + u_2, w_1 + w_2)\) und der skalaren Multiplikation \(\lambda (u_1, w_1) = (\lambda u_1, \lambda w_1)\) mit \(u_1, u_2 \in U\), \(w_1, w_2 \in W\), \(\lambda \in K\).

Satz (äußere direkte Summe als Vektorraum): Die äußere direkte Summe \(U \oplus W\) ist ein \(K\)-Vektorraum mit Nullelement \((0_V, 0_W)\), das Inverse zu \((u, w)\) ist \((-u, -w)\).

Folgerung: Seien \(V\) die äußere direkte Summe \(U \oplus W\) sowie \(\widetilde {U} = \{(u, 0_W) \;|\; u \in U\}\) und
\(\widetilde {W} = \{(0_U, w) \;|\; w \in W\}\). Dann ist \(\widetilde {U}, \widetilde {W} \ur V\) und \(V\) ist innere direkte Summe \(\widetilde {U} \oplus \widetilde {W}\).

Folgerung: Sei \(V = U \oplus W\), dann ist \(\dim V = \dim U + \dim W\).

direkte Summe: Sei \(U_i\) (\(i \in I\)) ein System von \(K\)-Vektorräumen.
Die direkte Summe der \(U_i\) ist \(U = \bigoplus _{i \in I} U_i = \{(u_i)_{i \in I} \;|\; u_i \in U_i \text { fast alle } 0\}\) mit komponentenweiser Addition und skalarer Multiplikation.

Satz (direkte Summe als Vektorraum): Die direkte Summe \(U = \bigoplus _{i \in I} U_i\) der \(K\)-Vektorräume \(U_i\) ist ein \(K\)-Vektorraum mit Nullelement \((0_i)_{i \in I} \in U\), das Inverse von \((v_i)_{i \in I} \in U\) ist \((-v_i)_{i \in I}\). Für \(i \in I\) ist \(\widetilde {U_i} = \{(v_j)_{j \in I} \in U \;|\; j \in I,\; v_j = 0 \text { für } j \not = i\}\) ein Unterraum von \(U\), der mit \(U_i\) identifiziert werden kann. \(U\) ist die interne direkte Summe der \(\widetilde {U_i}\) (\(i \in I\)).
Es gilt \(\dim U = \sum _{i \in I} \dim U_i\).

Folgerung: Die Vereinigung der Basen der \(\widetilde {U_i}\) ist eine Basis von \(U = \bigoplus _{i \in I} U_i\).

Satz (Existenz eines Komplements): Sei \(V\) ein \(K\)-Vektorraum. Ist \(V\) endlich erzeugt, so besitzt jeder Unterraum von \(V\) ein Komplement. Andernfalls besitzt jeder Unterraum von \(V\) ein Komplement, wenn man das Auswahlaxiom voraussetzt.

Faktorräume

Nebenklassen: Sei \(U \ur V\). Dann wird durch \(v \sim _U w \;\Leftrightarrow \; w - v \in U\) eine Äquivalenzrelation auf \(V\) definiert (\(v, w \in V\)). Für \(v \sim _U w\) schreibt man \(v \equiv w \mod U\) (\(v\) kongruent zu \(w\) modulo \(U\)). Die Äquivalenzklassen von \(\sim _U\) (\(\nk {v} = v + U = \{v + u \;|\; u \in U\}\)) heißen Neben-/Restklassen. Die Menge aller Nebenklassen modulo \(U\) ist \(\nk {V} = \{v + U \;|\; v \in V\}\) und wird mit \(V/U\) bezeichnet.
Die Liste von Elementen \(v + U\) ist redundant (enthält viele Wiederholungen).

Faktorraum: Sei \(U \ur V\). Für die Nebenklassen \(\nk {v} = v + U\) und \(\nk {w} = w + U\) definiert man eine Addition mit \(\nk {v} + \nk {w} = \nk {v + w}\) und für \(\lambda \in K\) eine skalare Multiplikation mit \(\lambda \nk {v} = \nk {\lambda v}\).
Diese Operationen sind wohldefiniert. Mit ihnen wird \(V/U\) zum \(K\)-Vektorraum.
Der Nullvektor in \(V/U\) ist die Nebenklasse \(\nk {0_V} = 0_V + U = U\), das Inverse von \(\nk {v}\) ist \(\nk {-v}\).
Der \(K\)-Vektorraum \(V/U\) mit diesen Operationen wird als Faktor-/Quotientenraum bezeichnet.

Satz (Komplemente): Sei \(U \ur V\) und \(W\) ein Komplement von \(U\) in \(V\) (also \(V = U \oplus W\)).
Für \(w, w’ \in W\) ist \(w \equiv w’ \mod U\) genau dann, wenn \(w = w’\) ist. Jede Nebenklasse \(\nk {v}\) enthält genau ein Element \(w = w_v \in W\). Für \(x, y \in V\), \(\lambda \in K\) gilt \(\nk {x} + \nk {y} = \nk {w_x + w_y}\) sowie \(\lambda \nk {x} = \nk {\lambda w_x}\). Ist \(\basis {B}\) eine Basis von \(W\), dann ist \(\nk {\basis {B}} = \{b + U \;|\; b \in \basis {B}\}\) eine Basis von \(V/U\).
Für die Dimension von \(V/U\) gilt \(\dim V = \dim U + \dim V/U\).

Repräsentantensystem: Wählt man bei einer beliebigen Äquivalenzrelation zu jeder Äquivalenzklasse einen Repräsentanten, so nennt man deren Zusammenfassung ein Repräsentantensystem.

Zusätzliches: Projekt 3 (Polynome und Treppenfunktionen)

Satz (Zuordnung Polynom – polynomiale Funktion): Sei \(K\) ein Körper. Dann ist die Abbildung \(e: K[x] \rightarrow K^K: p(x) \mapsto (f_p: K \rightarrow K: y \mapsto p(y))\) entweder injektiv oder surjektiv und zwar ist \(e\) injektiv, wenn \(K\) unendlich ist, und surjektiv, wenn \(K\) endlich ist.

Treppenfunktionen: Treppenfunktionen auf dem Intervall \([0, 1] \subseteq \real \) sind abschnittsweise konstante Funktionen, d. h. Funktionen, die als \(f(x) = \sum _{i=1}^n \left (\alpha _i \cdot \chi _{A_i}(x)\right )\) dargestellt werden können, wobei die \(A_i = [a_i, a_{i+1})\) eine Partition von \([0, 1]\) bilden (\(a_i \in \real \) für \(1 \le i \le n + 1\)).
Dabei ist \(\chi _M\) die charakteristische Funktion mit \(\chi _M(x) = 1\) für \(x \in M\) und \(\chi _M(x) = 0\) sonst.

Satz (Treppenfunktionen als Unterraum): Die Menge der Treppenfunktionen ist ein Unterraum von der Menge der Funktionen \(\real ^\real \), d. h. Summe und skalares Produkt von Treppenfunktionen sind wieder Treppenfunktionen.
Eine mögliche Basis ist \(\left \{ \chi _{[0, t]} \;|\; 0 < t \le 1,\; t \in \mathbb {R} \right \} \cup \left \{ \chi _{\{t\}} \;|\; 0 \le t \le 1,\; t \in \mathbb {R} \right \}\), je nachdem, ob Treppenfunktionen auch endlich viele nicht-abschnittsweise Sprünge enthalten dürfen.

Zusätzliches: Projekt 4 (Faktorgruppen)

Faktorgruppen: Ähnlich wie bei Vektorräumen kann man auch bei Gruppen eine Äquivalenzrelation \(\sim _H\) einführen mit \(a \sim _H b \;\Leftrightarrow \; a^{-1} \ast b \in H\), wobei \(H\) eine Untergruppe der Gruppe \(G\) und \(a, b \in G\) ist. Die Äquivalenzklasse von \(a \in G\) ist dann \(aH = \{a \ast u \;|\; u \in H\}\) und wird Linksnebenklasse genannt.
Allerdings kann man bei nicht-abelschen Gruppen auch analog die Äquivalenzrelation definieren als \(a \sim _H b \;\Leftrightarrow \; a \ast b^{-1} \in H\). Die Äquivalenzklasse \(Ha = \{u \ast a \;|\; u \in H\}\) heißt dann Rechtsnebenklasse.
Für gewöhnliche nicht-abelsche Gruppen \(G\) ist \(G/H\) nicht sinnvoll definiert, falls \(H\) eine beliebige Untergruppe ist, da Links- und Rechtsnebenklasse eines Elements \(a \in G\) nicht übereinstimmen müssen.
Für eine bestimmte Untergruppe \(H\) kann es jedoch sein, dass \(aH = Ha\) für alle \(a \in G\). Dann nennt man \(H\) Normalteiler von \(G\). Man kann zeigen, dass dann die Menge aller Nebenklassen \(G/H = \{aH \;|\; a \in G\} = \{Ha \;|\; a \in G\}\) wieder eine Gruppe bildet, die sog. Faktorgruppe.
In einer abelschen Gruppe \(G\) ist jede Untergruppe \(H\) Normalteiler und daher ist \(G/H\) auch immer eine Faktorgruppe.