Topologie – Algebraische Topologie

Gruppen

Gruppen und Untergruppen

Gruppe: Eine Gruppe ist ein Paar $(G, \ast )$ mit einer Menge $G$ und einer Abbildung
$\ast \colon G \times G \rightarrow G$, sodass

für alle $a, b, c \in G$ die Gleichung $(a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c)$ gilt (Assoziativität),
es ein $e \in G$ gibt mit $e \ast a = a \ast e = a$ für alle $a \in A$ (neutrales Element) sowie
es für alle $a \in G$ ein $b \in G$ gibt mit $a \ast b = b \ast a = e$ (inverses Element).

Die Gruppe heißt kommutativ oder abelsch, falls

für alle $a, b \in G$ die Gleichung $a \ast b = b \ast a$ gilt (Kommutativität).

Bemerkung:
Das neutrale Element $e$ und das zu $a \in G$ inverse Element $b$ sind eindeutig bestimmt.

Beispiel: $(\integer , +)$, $(\GL _n(\real ), \cdot )$, $(\mathfrak {S}_n, \circ )$
Sind $(G_1, \ast _1), \dotsc , (G_n, \ast _n)$ Gruppen, so ist $(G, \ast )$ eine Gruppe, wobei $G := G_1 \times \dotsb \times G_n$ und $\ast \colon G \times G \rightarrow G$, $(a_1, \dotsc , a_n) \ast (b_1, \dotsc , b_n) := (a_1 \ast _1 b_1, \dotsc , a_n \ast _n b_n)$.

Bemerkung: Man schreibt Gruppen meistens multiplikativ (oder additiv), d. h. statt $\ast $ benutzt man oft das Symbol $\cdot $. Man spricht dann von der Multiplikation $\cdot \colon G \times G \rightarrow G$ und $ab = a \cdot b$ heißt das Produkt von $a$ und $b$. Dabei bezeichnet $1 = 1_G$ das neutrale Element und $a^{-1}$ das zu $a$ inverse Element.

Operationen mit Mengen: Sind $(G, \cdot )$ eine Gruppe, $a, b \in G$ und $S, T \subset G$, so ist
$a \cdot T := \{a \cdot t \;|\; t \in T\}$, $T \cdot a := \{t \cdot a \;|\; t \in T\}$, $S \cdot T := \{s \cdot t \;|\; s \in S,\; t \in T\}$ und
$S^{-1} := \{s^{-1} \;|\; s \in S\}$.

Untergruppe: $U \subset G$ heißt Untergruppe ($U < G$), falls $1 \in U$, $U \cdot U \subset U$ und $U^{-1} \subset U$.

Satz (Untergruppen von $(\integer , +)$): $(\integer , +)$ hat nur Untergruppen der Form $n \cdot \integer $, $n \in \natural $.

erzeugte Untergruppe: Sei $S \subset G$. Dann ist die von $S$ erzeugte Untergruppe
$\aufspann {S} := \{s_1^{e_1} \dotsm s_n^{e_n} \;|\; n \in \natural ,\; s_1, \dotsc , s_n \in S,\; e_1, \dotsc , e_n \in \integer \}$ die kleinste Untergruppe von $G$, die $S$ enthält.

Beispiel: In $(\integer , +)$ gilt $\aufspann {3} = 3\integer $ und $\aufspann {3, 5} = \integer $.

zyklisch: $G$ heißt zyklisch, falls $G = \aufspann {a}$ für ein $a \in G$.

Beispiel: Die Gruppen $(\integer , +)$ und $(\integer /n\integer , +)$ sind zyklisch.

Nebenklassen und Quotientenmenge

Äquivalenzrelation auf $G$: Sei $H < G$. Dann kann man auf $G$ eine Äquivalenzrelation definieren durch $a \sim b$, falls $a^{-1} b \in H$. Für $a \in G$ ist die Äquivalenzklasse $aH$ (Linksnebenklasse) und die Menge aller Äquivalenzklassen ist $G/H := \{a \cdot H \;|\; a \in G\}$ mit der Projektion $\pi \colon G \rightarrow G/H$, $\pi (a) := aH$. $|G : H| := |G/H|$ heißt Index der Untergruppe $H$ in $G$.

Bemerkung: Im Allgemeinen ist $G/H$ keine Gruppe.

Satz (Lagrange): Für $H < G$ gilt $|G| = |H| \cdot |G/H|$ (d. h. insbesondere $|H| \;|\; |G|$).

Folgerung: Ist $|G| = p$ eine Primzahl, so ist $G$ zyklisch, d. h. besitzt keine echte nicht-triviale Untergruppe.

Gruppenhomomorphismen, Bild und Kern

Gruppenhomomorphismus: Seien $(G, \ast )$ und $(H, \circ )$ Gruppen. Eine Abbildung $h\colon G \rightarrow H$ heißt Homomorphismus, falls $h(a \ast b) = h(a) \circ h(b)$ für alle $a, b \in G$. Injektive, surjektive bzw. bijektive Homomorphismen heißen Monomorphismen, Epimorphismen bzw. Isomorphismen. Homomorphismen einer Gruppe in sich heißen Endomorphismen, im bijektiven Fall Automorphismen.

Bemerkung: Für einen Gruppenhomomorphismus $h$ gilt $h(1_G) = 1_H$ und $h(a^{-1}) = (h(a))^{-1}$.

Beispiel: Sind $V$ und $W$ $K$-Vektorräume und $h\colon V \rightarrow W$ linear, so ist $h\colon (V, +) \rightarrow (W, +)$ ein Homomorphismus. Andere Beispiele sind $\det \colon \GL _n(\real ) \rightarrow (\real \setminus \{0\}, \cdot )$ und $\exp \colon (\real , +) \rightarrow (\real , \cdot )$.

Kategorie der Gruppen: Gruppen und ihre Homomorphismen bilden die Kategorie der Gruppen $\cat {Grp}$: Objekte sind die Gruppen, Morphismen sind die Homomorphismen und die Verknüpfung ist die übliche Verknüpfung (die Komposition zweier Homomorphismen ist wieder ein Homomorphismus).

Bild und Kern: Sei $f\colon G \rightarrow H$ ein Homomorphismus.
Dann heißen $\im f := f(G)$ Bild von $f$ und $\ker f := f^{-1}(\{1_H\})$ Kern von $f$.

Normale Untergruppen und Quotientengruppen

normale Untergruppe:
$K < G$ heißt normal ($K \vartriangleleft G$), falls für alle $g \in G$ gilt, dass $gKg^{-1} = K$.

Bemerkung: Diese Bedingung ist äquivalent zu $gK = Kg$ für alle $g \in G$, d. h. $K < G$ ist normal genau dann, wenn für jedes $g \in G$ die Linksnebenklasse $gK$ mit der Rechtsnebenklasse $Kg$ übereinstimmt.

Satz (Kern ist normale Untergruppe): Ist $f\colon G \rightarrow H$ ein Homomorphismus, so ist $\ker f \vartriangleleft G$.

Lemma ($\sim $ für Untergruppen verträglich mit Multiplikation):
Ist $K \vartriangleleft G$ eine normale Untergruppe, so folgt aus $a \sim b$ und $a’ \sim b’$, dass $aa’ \sim bb’$.

Satz (Faktorgruppe): Ist $K \vartriangleleft G$ eine normale Untergruppe, so gibt es genau eine Gruppenstruktur auf $G/K$, die $\pi $ zu einem Homomorphismus macht, nämlich $(a \cdot K) \cdot (b \cdot K) := (a \cdot b) \cdot K$.

Satz (Homomorphiesatz): Seien $K \vartriangleleft G$ eine normale Untergruppe und $f\colon G \rightarrow H$ ein Homomorphismus. Dann gibt es einen Homomorphismus $\overline {f}\colon G/K \rightarrow H$ mit $f = \overline {f} \circ \pi $ genau dann, wenn $K < \ker f$. $\overline {f}$ ist eindeutig und es gilt $\im (\overline {f}) = \im (f)$ sowie $\ker (\overline {f}) = \ker (f) / K$.

Isomorphiesätze

Satz (erster Isomorphiesatz): Jeder Homomorphismus $f\colon G \rightarrow H$ faktorisiert zu
$G \xrightarrow {\pi } G/\ker (f) \xrightarrow {\overline {f}} \im (f) \xrightarrow {\iota } H$ mit $\pi $ Epi-, $\overline {f}$ Iso- und $\iota $ Monomorphismus:

$(3.1–3.0) \{begin}{align*} \begin{xy} \xymatrix { G \ar [r]^f \ar @{>>} [d]_\pi & H \\ G/\ker (f) \ar [r]^\sim _{\overline {f}} & \im (f) \ar @{^{(}->} [u]_\iota } \end {xy} \{end}{align*}$

Folgerung: Jede zyklische Gruppe ist isomorph zu $\integer /n\integer $.

Kommutator: Seien $G$ eine Gruppe und $a, b \in G$. Dann heißt $[a, b] := aba^{-1}b^{-1}$ Kommutator von $a$ und $b$. Die Kommutatoruntergruppe von $G$ ist $[G, G] := \aufspann {[a, b] \;|\; a, b \in G}$.

Satz (Abelschmachung):
Es gilt $[G, G] \vartriangleleft G$ und die Abelschmachung $G_{\ab } := G/[G, G]$ ist eine abelsche Gruppe.
Jeder Homomorphismus $f\colon G \rightarrow A$ in eine abelsche Gruppe $A$ induziert einen Homomorphismus $\overline {f}\colon G_{\ab } \rightarrow A$ mit $f = \overline {f} \circ \alpha _G$, wobei $\alpha _G\colon G \rightarrow G_{\ab }$ die Quotientenabbildung ist.

Freie Gruppen

freie Gruppe: Eine Gruppe $G$ heißt frei über einer Teilmenge $S \subset G$, falls sich jedes $a \in G$ eindeutig schreiben lässt als $a = s_1^{e_1} \dotsm s_n^{e_n}$, $n \in \integer $, $s_1, \dotsc , s_n \in S$, $e_1, \dotsc , e_n \in \integer $.
In diesem Fall heißt $S$ Basis von $G$.

Beispiel: $(\integer , +)$ ist frei über $S = \{1\}$. $(\integer /n\integer , +)$ ist nicht frei.

Satz (Existenz einer freien Gruppe): Zu jeder Menge $S$ existiert eine freie Gruppe $F(S)$.

Bemerkung: Konstruktion: Definiere $A := S \times \{\pm 1\}$ mit $(s, \varepsilon )^{-1} = (s, -\varepsilon )$ für $(s, \varepsilon ) \in A$. Sei $A^\ast := \{\text {endl. Wörter in A}\}$ und $\cdot \colon A^\ast \times A^\ast \rightarrow A^\ast $ die Verknüpfung von Wörtern. Auf $A^\ast $ wird die Äquivalenzrelation $\equiv $ erzeugt durch $uaa^{-1}v \equiv uv$ mit $u, v \in A^\ast $, $a \in A$, d. h. zwei Wörter aus $A^\ast $ sind äquivalent genau dann, wenn sie durch eine endliche Folge von Einfügen oder Entfernen von Unterwörtern der Form $aa^{-1}$ mit $a \in A$ ineinander übergehen. $(F(S), \cdot )$ mit $F(S) := A^\ast /\equiv $ und $\cdot \colon F(S) \times F(S) \rightarrow F(S)$ der durch $\cdot $ auf $A^\ast $ induzierten Multiplikation ist dann nach Konstruktion eine freie Gruppe.

Satz (universelle Eigenschaft): Eine Gruppe $F$ ist frei über $S \subset F$ genau dann, wenn es für alle Abbildungen $f\colon S \rightarrow G$ genau einen Homomorphismus $h\colon F \rightarrow G$ gibt mit $h|_S = f$.

Folgerung: Ist $S \subset G$, dann induziert die Inklusion $\iota \colon S \rightarrow G$ einen Homomorphismus
$\phi \colon F(S) \rightarrow G$.

Folgerung: Jede Gruppe ist isomorph zu einem Quotienten einer freien Gruppe.

Fundamentalgruppe und Überlagerungen

Fundamentalgruppe

homotop bei festem $A$: Seien $X$ und $Y$ topologische Räume sowie $A \subset X$. Zwei stetige Abbildungen $f, g\colon X \rightarrow Y$ heißen homotop bei festem $A$ ($f \simeq g \text { fix } A$ oder $f \simeq _A g$), falls es eine Homotopie $H\colon [0, 1] \times X \rightarrow Y$ von $H_0 = f$ nach $H_1 = g$ gibt mit $H_s|_A = f|_A$ für alle $s \in [0, 1]$.

Lemma (Äquivalenzrelation): Homotopie bei festem $A$ ist eine Äquivalenzrelation.

äquivalente Wege: Zwei Wege $\alpha , \beta \colon [0, 1] \rightarrow X$ heißen äquivalent ($\alpha \sim \beta $), falls es eine Homotopie $H\colon [0, 1] \times [0, 1] \rightarrow X$ von $H_0 = \alpha $ und $H_1 = \beta $ gibt mit $H(s, 0) = \alpha (0)$ und $H(s, 1) = \alpha (1)$ für alle $s \in [0, 1]$.

Lemma (Äquivalenzrelation): Die Äquivalenz von Wegen ist eine Äquivalenzrelation.
Die Quotientenmenge sei $\Pi X(a, b) := PX(a, b) / \sim $.
Aus $\alpha \sim \beta $ folgt $\overline {\alpha } \sim \overline {\beta }$, d. h. man erhält $-\colon \Pi X(a, b) \rightarrow \Pi X(b, a)$, $[\gamma ] \mapsto \overline {[\gamma ]} := [\overline {\gamma }]$.
Aus $\alpha \sim \alpha ’$ in $PX(a, b)$ und $\beta \sim \beta ’$ in $PX(b, c)$ folgt $\alpha \ast \beta \sim \alpha ’ \ast \beta ’$ in $PX(a, c)$, d. h. man erhält $\ast \colon \Pi X(a, b) \times \Pi X(b, c) \rightarrow \Pi X(a, c)$, $([\alpha ], [\beta ]) \mapsto [\alpha ] \ast [\beta ] := [\alpha \ast \beta ]$.

Wegekategorie:
Jeder topologische Raum $X$ definiert eine Kategorie, die Wegekategorie $\cat {\Pi X}$:

Objekte sind die Punkte $a \in X$,
Morphismen zu $a, b \in X$ sind die Klassen $[\gamma ] \in \Pi X(a, b)$ und
die Verknüpfung ist die Komposition $\ast $ wie oben.

In $\cat {\Pi X}$ ist jeder Morphismus ein Isomorphismus (invertierbar durch $[\gamma ] \mapsto [\overline {\gamma }]$).

$f_\sharp $: Ist $f\colon X \rightarrow Y$ eine stetige Abbildung, dann kann man jedem Weg $\gamma $ von $a$ nach $b$ in $X$ den Weg $f \circ \gamma $ von $f(a)$ nach $f(b)$ in $Y$ zuordnen.
Dies definiert eine Abbildung $f_\sharp \colon PX(a, b) \rightarrow PY(f(a), f(b))$, $\gamma \mapsto f \circ \gamma $. Sie ist auch wohldefiniert auf Homotopieklassen, d. h. $f_\sharp \colon \Pi X(a, b) \rightarrow \Pi Y(f(a), f(b))$, $[\gamma ] \mapsto [f \circ \gamma ]$.

Satz ($f_\sharp $ als Funktor):
Jede stetige Abbildung $f\colon X \rightarrow Y$ induziert einen Funktor $f_\sharp \colon \cat {\Pi X} \rightarrow \Pi Y$:

Jedem Punkt $a \in X$ wird der Punkt $f(a) \in Y$ zugeordnet.
Jeder Homotopieklasse $[\gamma ] \in \Pi X(a, b)$ wird die Homotopieklasse
$f_\sharp ([\gamma ]) := [f \circ \gamma ] \in \Pi Y(f(a), f(b))$ zugeordnet.
Es gilt $f_\sharp ([1_a]) = [1_{f(a)}]$ und $f_\sharp ([\alpha ] \ast [\beta ]) = f_\sharp ([\alpha ]) \ast f_\sharp ([\beta ])$.

Fundamentalgruppe: Seien $X$ ein topologischer Raum und $x_0 \in X$.
Dann heißt $\pi _1(X, x_0) := \Pi X(x_0, x_0)$ die Fundamentalgruppe von $X$ in $x_0$. Dies ist eine Gruppe.

Satz (induzierter Isomorphismus): Jeder Weg $\gamma \colon [0, 1] \rightarrow X$ von $x_0$ nach $x_1$ induziert einen Isomorphismus $h_\gamma \colon \pi _1(X, x_0) \rightarrow \pi _1(X, x_1)$, $h_\gamma ([\alpha ]) := [\overline {\gamma } \ast \alpha \ast \gamma ]$ mit $h_\gamma ^{-1} = h_{\overline {\gamma }}$.

einfach zusammenhängend: Sei $X$ ein topologischer Raum. $X$ heißt einfach zusammenhängend, falls $X$ wegzusammenhängend und $\pi _1(X, x_0)$ für ein $x_0 \in X$ trivial ist.

Bemerkung: In diesem Fall ist $\pi _1(X, x_0)$ automatisch für alle $x_0 \in X$ trivial.
$X$ ist wegzusammenhängend genau dann, wenn für alle $x, y \in X$ $\Pi X(x, y)$ genau aus einem Element besteht.

Beispiel: $\real ^n$ ist einfach zusammenhängend.

Satz ($\sphere ^n$, $n \ge 2$ einfach zush.): Für $n \ge 2$ ist $\sphere ^n$ einfach zusammenhängend.

Bemerkung: $\sphere ^1$ ist nicht einfach zusammenhängend, da $\pi _1(\sphere ^1, 1) \cong \integer $ (siehe unten).

punktierter Raum: Ein punktierter Raum ist ein Paar $(X, x_0)$ mit einem topologischen Raum $X$ und einem Punkt $x_0 \in X$. Analog zu $\cat {Top}$ ist die Kategorie $\cat {Top}_\ast $ der punktierten Räume definiert. Eine Abbildung $f\colon (X, x_0) \rightarrow (Y, y_0)$ zwischen punktierten Räumen ist eine Abbildung $f\colon X \rightarrow Y$ mit $f(x_0) = y_0$.

Satz (Fundamentalgruppe als Funktor): Die Fundamentalgruppe ist ein Funktor $\cat {Top}_\ast \rightarrow \cat {Grp}$:

Jedem punktierten Raum $(X, x_0)$ wird die Gruppe $\pi _1(X, x_0)$ zugeordnet.
Jeder stetigen Abbildung $f\colon (X, x_0) \rightarrow (Y, y_0)$ wird der Gruppenhomomorphismus
$f_\sharp =: \pi _1(f)\colon \pi _1(X, x_0) \rightarrow \pi _1(Y, y_0)$, $f_\sharp ([\alpha ]) = [f \circ \alpha ]$ zugeordnet.
Es gilt $\pi _1(\id _{(X, x_0)}) = \id _{\pi _1(X, x_0)}$ und $\pi _1(f \circ g) = \pi _1(f) \circ \pi _1(g)$.

Folgerung:
Aus $f\colon (X, x_0) \homoe (Y, y_0)$ folgt, dass $f_\sharp \colon \pi _1(X, x_0) \bij \pi _1(Y, y_0)$ ein Gruppenisomorphismus ist.

Satz ($f \sim g \;\Rightarrow \; f_\sharp = g_\sharp $):
Sind $f, g\colon (X, x_0) \rightarrow (Y, y_0)$ homotop bei festem $x_0$, dann gilt $f_\sharp = g_\sharp $.

Überlagerungen

triviale Überlagerung:
Seien $X$ und $\widetilde {X}$ topologische Räume sowie $p\colon \widetilde {X} \rightarrow X$ stetig und surjektiv.
Ein Teilraum $U \subset X$ heißt von $p$ trivial überlagert, falls $p^{-1}(U) = \bigsqcup _{i \in I} \widetilde {U}_i$ mit offenen Mengen $\widetilde {U}_i \subset \widetilde {X}$, wobei $p_i := p|_{U_i}\colon \widetilde {U}_i \rightarrow U$ für alle $i \in I$ ein Homöomorphismus ist.

Überlagerung: $p\colon \widetilde {X} \rightarrow X$ heißt Überlagerung, falls jeder Punkt $x \in X$ eine offene Umgebung $U \subset X$ besitzt, die von $p$ trivial überlagert wird.
In diesem Fall heißt $\widetilde {X}$ der Überlagerungsraum und $X$ der überlagerte Raum.

Beispiel: $\id \colon X \rightarrow X$ ist eine Überlagerung.
Jeder Homöomorphismus $p\colon \widetilde {X} \rightarrow X$ ist eine Überlagerung.
Ist $F$ ein diskreter Raum, dann ist $\pr \colon X \times F \rightarrow X$, $\pr (x, y) = x$ eine (triviale) Überlagerung.
Sind $p_i\colon \widetilde {X}_i \rightarrow X_i$ Überlagerungen, dann auch $\bigsqcup _{i \in I} p_i\colon \bigsqcup _{i \in I} \widetilde {X}_i \rightarrow \bigsqcup _{i \in I} X_i$.

Faser, Blätter: Für $x \in X$ heißt $p^{-1}(x) := p^{-1}(\{x\}) \subset \widetilde {X}$ die Faser über $x$.
Jede Faser $p^{-1}(x)$ ist diskret in $\widetilde {X}$. Die Kardinalität $|p^{-1}(x)|$ heißt Anzahl der Blätter über $x$.
Gilt $|p^{-1}(x)| = k \in \natural $ für alle $x \in X$, so heißt $p$ eine $k$-blättrige Überlagerung.

Satz ($p(t) = e^{2\pi \i t}$ ist Überlagerung):
Die Abbildung $p\colon \real \rightarrow \sphere ^1$, $p(t) := e^{2\pi \i t}$ ist eine Überlagerung.

Hochhebung: Seien $p\colon (\widetilde {X}, \widetilde {x}_0) \rightarrow (X, x_0)$ und $f\colon (W, w_0) \rightarrow (X, x_0)$ stetige Abbildungen mit gleichem Zielraum. Dann heißt eine stetige Abbildung $\widetilde {f}\colon (W, w_0) \rightarrow (\widetilde {X}, \widetilde {x}_0)$ Hochhebung von $f$ bzgl. $p$, falls $p \circ \widetilde {f} = f$.

$(3.1–3.0) \{begin}{align*} \begin{xy} \xymatrix { & (\widetilde {X}, \widetilde {x}_0) \ar [d]^p \\ (W, w_0) \ar [r]_f \ar @{-->}[ru]^{\widetilde {f}} & (X, x_0) } \end {xy} \{end}{align*}$

Satz (Fundamentalsatz der Überlagerungstheorie): Sei $p\colon (\widetilde {X}, \widetilde {x}_0) \rightarrow (X, x_0)$ eine Überlagerung.
Dann existiert zu jeder stetigen Abbildung $f\colon ([0, 1]^n, 0) \rightarrow (X, x_0)$ genau eine Hochhebung $\widetilde {f}\colon ([0, 1]^n, 0) \rightarrow (\widetilde {X}, \widetilde {x}_0)$.

Bemerkung: Für $n = 1$ besagt der Satz, dass zu jedem Weg $\gamma \colon ([0, 1], 0) \rightarrow (X, x_0)$ genau eine Hochhebung $\widetilde {\gamma }\colon ([0, 1], 0) \rightarrow (\widetilde {X}, \widetilde {x}_0)$ existiert.
Für $n = 2$ besagt der Satz, dass zu jeder Homotopie $H\colon ([0, 1]^2, 0) \rightarrow (X, x_0)$ von $H_0 = \gamma $ nach $H_1 = \gamma ’$ eine Homotopie $\widetilde {H}\colon ([0, 1]^2, 0) \rightarrow (\widetilde {X}, \widetilde {x}_0)$ von $\widetilde {H}_0 = \widetilde {\gamma }$ nach $\widetilde {H}_1 = \widetilde {\gamma }’$ existiert
(dabei sind $\gamma , \gamma ’\colon ([0, 1], 0) \rightarrow (X, x_0)$ Wege).

Menge aller Wege, die in einem Punkt beginnen: Für einen topologischen Raum $X$ sei $P(X, x_0) := \bigcup _{x \in X} PX(x_0, x)$ die Menge aller Wege in $X$, die in $x_0$ beginnen.
Entsprechend ist $\Pi (X, x_0) := \bigcup _{x \in X} \Pi X(x_0, x) = P(X, x_0)/\sim $ die Menge aller Äquivalenzklassen von Wegen in $X$, die in $x_0$ beginnen.

Satz (induzierte Bijektionen $p_\sharp $): Jede Überlagerung $p\colon (\widetilde {X}, \widetilde {x}_0) \rightarrow (X, x_0)$ induziert Bijektionen $p_\sharp \colon P(\widetilde {X}, \widetilde {x}_0) \bij P(X, x_0)$, $\alpha \mapsto p \circ \alpha $ und $p_\sharp \colon \Pi (\widetilde {X}, \widetilde {x}_0) \bij \Pi (X, x_0)$, $[\alpha ] \mapsto [p \circ \alpha ]$.

Folgerung: $p_\sharp \colon \pi _1(\widetilde {X}, \widetilde {x}_0) \rightarrow \pi _1(X, x_0)$ ist injektiv.

Fasertransport: Sei $p\colon \widetilde {X} \rightarrow X$ eine Überlagerung. Für $x \in X$ ist $F_x := p^{-1}(x)$ die Faser über dem Punkt $x$. Zu jedem Startwert $\widetilde {x} \in F_x$ und jedem Weg $\gamma \in PX(x, y)$ existiert genau eine Hochhebung $\widetilde {\gamma }\colon ([0, 1], 0) \rightarrow (\widetilde {X}, \widetilde {x})$. Der Endpunkt $\widetilde {y} = \widetilde {\gamma }(1)$ ergibt sich aus dem Startwert $\widetilde {x}$ und dem Verlauf von $\gamma $. Man setzt $\widetilde {x} \cdot \gamma := \widetilde {y}$. Dies ist wohldefiniert auf $[\gamma ]$, d. h. man kann $\widetilde {x} \cdot [\gamma ] := \widetilde {y}$ schreiben.

Satz (Fasertransport als Funktor):
Jede Überlagerung $p\colon \widetilde {X} \rightarrow X$ definiert einen Funktor $F\colon \cat {\Pi X} \rightarrow \cat {Set}$:

Jedem Punkt $x \in X$ wird seine Faser $F_x = p^{-1}(x)$ zugeordnet.
Jedem Morphismus $[\gamma ] \in \Pi X(x, y)$ wird die Abbildung $F_{[\gamma ]}\colon F_x \rightarrow F_y$, $\widetilde {x} \mapsto \widetilde {x} \cdot [\gamma ]$ zugeordnet.
Es gilt $\widetilde {x} \cdot [1_x] = \widetilde {x}$ und $(\widetilde {x} \cdot [\alpha ]) \cdot [\beta ] = \widetilde {x} \cdot ([\alpha ] \ast [\beta ])$.

Da jeder Morphismus $[\gamma ] \in \Pi X(x, y)$ in der Kategorie $\cat {\Pi X}$ invertierbar ist, ist die Abbildung $F_{[\gamma ]}\colon F_x \rightarrow F_y$ eine Bijektion zwischen den Fasern.

Folgerung: Sei $p\colon \widetilde {X} \rightarrow X$ eine Überlagerung. Dann operiert die Fundamentalgruppe
$G := \pi _1(X, x_0)$ auf der Faser $F := p^{-1}(x_0)$ gemäß $F \times G \rightarrow F$, $(\widetilde {x}, [\gamma ]) \mapsto \widetilde {x} \cdot [\gamma ]$.

Satz (Fundamentalgruppe der Kreislinie): Die Überlagerung $p\colon (\real , 0) \rightarrow (\sphere ^1, 1)$ mit $p(t) = e^{2\pi \i t}$ induziert einen Gruppenisomorphismus $h\colon \pi _1(\sphere ^1, 1) \rightarrow \integer $ mit $h([\gamma ]) := 0 \cdot [\gamma ]$.

Quotienten

Operation einer Gruppe: Seien $X$ ein topologischer Raum und $G$ eine Gruppe.
Eine (Links-)Operation von $G$ auf $X$ ist eine Abbildung $\varphi \colon G \times X \rightarrow X$, $(g, x) \mapsto g \cdot x = gx$, sodass $1x = x$ und $(gh)x = g(hx)$ für alle $g, h \in G$ und $x \in X$ gilt.
Analog sind Rechts-Operationen $\varphi \colon X \times G \rightarrow X$ definiert.
Eine Operation heißt stetig, falls $\varphi _g\colon X \rightarrow X$, $x \mapsto xg$ stetig ist für alle $g \in G$.

Bahn: Für $x \in X$ heißt $Gx := \{gx \;|\; g \in G\}$ die Bahn von $x$ unter der Operation von $G$. Zwei Bahnen sind entweder gleich oder disjunkt. Die Quotientenmenge ist $X/G := \{Gx \;|\; x \in X\}$ mit der Quotientenabbildung $q\colon X \rightarrow X/G$, $x \mapsto Gx$. Die Quotiententopologie macht $X/G$ zu einem topologischen Raum und $q$ zu einer stetigen Abbildung.

freie (diskontinuierliche) Operation: Sei $\varphi \colon G \times X \rightarrow X$ eine Operation.
$\varphi $ heißt frei, falls $gx \not = x$ für jeden Punkt $x \in X$ und alle $g \in G$ mit $g \not = 1$.
$\varphi $ heißt frei diskontinuierlich, falls jeder Punkt $x \in X$ eine offene Umgebung $U \subset X$ besitzt, sodass $U \cap gU = \emptyset $ für alle $g \in G$ mit $g \not = 1$.

Beispiel: $(\integer , +)$ operiert auf $\real $ durch $\integer \times \real \rightarrow \real $, $(k, x) \mapsto k + x$ (Translation). Diese Operation ist frei diskontinuierlich. Analog operiert $(\integer ^n, +)$ auf $\real ^n$ durch $\integer ^n \times \real ^n \rightarrow \real ^n$, $(k, x) \mapsto k + x$.
Der Quotient $q\colon \sphere ^n \rightarrow \real \projective ^n = \sphere ^n/\{\pm 1\}$ entsteht durch die Operation ${\pm 1} \times \sphere ^n \rightarrow \sphere ^n$, $(g, x) \mapsto gx$ (Punktspiegelung am Ursprung im $\real ^{n+1}$). Die Operation ist frei diskontinuierlich.
Die nicht-orientierbaren Flächen $F_g^- = F_g^+/\{\pm 1\}$ entstehen ebenso als Quotienten aus den orientierbaren Flächen $F_g^+$.
Sei $a \in \real \setminus \rational $ und $\xi := e^{2\pi \i a}$. Dann ist $\integer \times \sphere ^1 \rightarrow \sphere ^1$, $(k, x) \mapsto \xi ^k x$ eine freie Operation, aber nicht frei diskontinuierlich.

Satz (Homomorphismus durch Fasertransport): Sei $G \times \widetilde {X} \rightarrow \widetilde {X}$ eine stetige, freie diskontinuierliche Operation einer Gruppe $G$ auf einem topologischen Raum $\widetilde {X}$. Dann gilt:

Die Quotientenabbildung $q\colon \widetilde {X} \rightarrow X := \widetilde {X}/G$ ist eine Überlagerung.
Die Operation von $G$ kommutiert mit dem Fasertransport durch $\cat {\Pi X}$, d. h.
$(g \cdot \widetilde {x}) \cdot [\gamma ] = g \cdot (\widetilde {x} \cdot [\gamma ])$ für alle $g \in G$, $[\gamma ] \in \Pi (X, x)$ und $\widetilde {x} \in q^{-1}(x)$.
Für jeden Basispunkt $\widetilde {x}_0 \in \widetilde {X}$ und $x_0 := q(\widetilde {x}_0)$ existiert der Gruppenhomomorphismus $h\colon \pi _1(X, x_0) \rightarrow G$ mit $h([\alpha ]) \cdot \widetilde {x}_0 = \widetilde {x}_0 \cdot [\alpha ]$.
Ist $\widetilde {X}$ wegzusammenhängend, dann ist $h$ surjektiv.
Allgemein gilt $\im (h) = \{g \in G \;|\; \widetilde {x}_0 \text { und } g \cdot \widetilde {x}_0 \text { sind in } \widetilde {X} \text { verbindbar}\}$.
Ist $\widetilde {X}$ einfach zusammenhängend, dann ist $h$ bijektiv.
Allgemein gilt $\ker (h) = q_\sharp (\pi _1(\widetilde {X}, \widetilde {x}_0))$.

Hochhebungen

Satz (Eindeutigkeit von Hochhebungen auf wegzush. Räumen):
Sei $p\colon (\widetilde {X}, \widetilde {x}_0) \rightarrow (X, x_0)$ eine Überlagerung. Ist $(W, w_0)$ wegzusammenhängend, dann existiert zu jeder stetigen Abbildung $f\colon (W, w_0) \rightarrow (X, x_0)$ höchstens eine Hochhebung
$\widetilde {f}\colon (W, w_0) \rightarrow (\widetilde {X}, \widetilde {x}_0)$.

Satz (Existenz von Hochhebungen auf wegzush. und lokal wegzush. Räumen):
Seien $p\colon (\widetilde {X}, \widetilde {x}_0) \rightarrow (X, x_0)$ eine Überlagerung und $(W, w_0)$ ein wegzusammenhängender und lokal wegzusammenhängender Raum. Dann erlaubt eine stetige Abbildung $f\colon (W, w_0) \rightarrow (X, x_0)$ eine Hochhebung $\widetilde {f}\colon (W, w_0) \rightarrow (\widetilde {X}, \widetilde {x}_0)$ genau dann, wenn $f_\sharp (\pi _1(W, w_0)) \subset p_\sharp (\pi _1(\widetilde {X}, \widetilde {x}_0))$.
(In diesem Fall ist die Hochhebung gemäß obigem Satz eindeutig.)

Decktransformationen und normale Überlagerungen

Automorphismus: Sei $p\colon \widetilde {X} \rightarrow X$ eine Überlagerung. Ein Homöomorphismus $f\colon \widetilde {X} \homoe \widetilde {X}$ mit $p \circ f = p$ heißt Automorphismus oder Decktransformation der Überlagerung $p$. Die Menge $\Aut (p) := \{g\colon \widetilde {X} \homoe \widetilde {X} \;|\; p \circ g = p\}$ heißt Automorphismengruppe der Überlagerung $p$.

Beispiel: Für die Überlagerung $p\colon \real \rightarrow \sphere ^1$ mit $p(t) = e^{2\pi \i t}$ ist die Translation $\tau \colon \real \rightarrow \real $ mit $\tau (x) = x + 1$ eine Decktransformation. Es gilt $\Aut (p) = \aufspann {\tau } \cong \integer $.
Für die Überlagerung $p\colon \sphere ^1 \rightarrow \sphere ^1$ mit $p(z) = z^k$ ist die Rotation $\rho \colon \sphere ^1 \rightarrow \sphere ^1$ mit $\rho (z) = e^{2\pi \i /k} z$ eine Decktransformation. Es gilt $\Aut (p) = \aufspann {\rho } \cong \integer /k$.

Satz (Automorphismengruppe): Sei $\widetilde {X}$ wegzusammenhängend und $G < \Homeo (\widetilde {X})$ operiere frei diskontinuierlich auf $\widetilde {X}$. Für die Überlagerung $q\colon \widetilde {X} \rightarrow X := \widetilde {X}/G$ gilt dann $\Aut (q) = G$.

Satz (Transitivität der Decktransformationsgruppe): Sei $p\colon \widetilde {X} \rightarrow X$ eine wegzusammenhängende Überlagerung (d. h. $\widetilde {X}$ und $X$ sind wegzusammenhängend). Dann gilt:

Die Automorphismengruppe $\Aut (p)$ operiert frei diskontinuierlich auf $\widetilde {X}$.
Operiert $\Aut (p)$ transitiv auf einer Faser, dann operiert $\Aut (p)$ transitiv auf jeder Faser und $p$ ist homöomorph zum Quotienten $q\colon \widetilde {X} \rightarrow \widetilde {X}/\Aut (p)$.

normale Überlagerung: Eine Überlagerung $p\colon \widetilde {X} \rightarrow X$ heißt normal oder galoisch, falls $\widetilde {X}$ wegzusammenhängend ist und $\Aut (p)$ transitiv auf jeder Faser operiert.

Beispiel: $p\colon \real \rightarrow \sphere ^1$ mit $p(t) = e^{2\pi \i t}$ ist eine normale Überlagerung.
Jede zweiblättrige, wegzusammenhängende Überlagerung $p\colon \widetilde {X} \rightarrow X$ ist normal.

Satz (Kriterium für Normalität): Sei $p\colon (\widetilde {X}, \widetilde {x}_0) \rightarrow (X, x_0)$ eine Überlagerung wegzusammenhängender und lokal wegzusammenhängender Räume $\widetilde {X}$ und $X$.
Dann ist $p$ normal genau dann, wenn die Untergruppe $p_\sharp (\pi _1(\widetilde {X}, \widetilde {x}_0))$ in $\pi _1(X, x_0)$ normal ist.

Galois-Korrespondenz

Kategorie der wegzush. Überlagerungen:
Sei $(X, x_0)$ wegzusammenhängend und lokal wegzusammenhängend.
Die wegzusammenhängenden Überlagerungen bilden eine Kategorie $\cat {Cor(X, x_0)}$:

Die Objekte sind die wegzusammenhängenden Überlagerungen $p\colon (Y, y_0) \rightarrow (X, x_0)$.
Die Morphismen zwischen wegzusammenhängenden Überlagerungen
$p\colon (Y, y_0) \rightarrow (X, x_0)$ und $q\colon (Z, z_0) \rightarrow (X, x_0)$ sind die stetigen Abbildungen $f\colon (Y, y_0) \rightarrow (Z, z_0)$ mit $q \circ f = p$.
Die Komposition ist die für stetige Abbildungen übliche.

Bemerkung: Aufgrund der Eindeutigkeit von Hochhebungen enthält jede Morphismenmenge $\Mor (p, q)$ höchstens ein Element. Im Falle $\Mor (p, q) \not = \emptyset $ schreibt man kurz $f\colon p \rightarrow q$ oder $p \rightarrow q$. Dies definiert eine Ordnung auf $\cat {Cor(X, x_0)}$, denn es gilt $p \rightarrow p$ (durch die Identität), aus $p \rightarrow q$ und $q \rightarrow r$ folgt $p \rightarrow r$ (durch die Komposition) und aus $p \rightarrow q$ und $q \rightarrow p$ folgt $p \cong q$.

Beispiel: Über der Kreislinie $(\sphere ^1, 1)$ gibt es die Überlagerungen $p_0\colon (\real , 0) \rightarrow (\sphere ^1, 1)$ mit
$p_0(t) = e^{2\pi \i t}$ und $p_k\colon (\sphere ^1, 1) \rightarrow (\sphere ^1, 1)$ mit $p_k(z) = z^k$ für $k \in \integer $, $k \not = 0$.
Es gilt $p_0 \rightarrow p_k$ für alle $k \in \integer $, $k \not = 0$.
Für $k, \ell \in \integer $ gilt $p_k \rightarrow p_\ell $ genau dann, wenn $\ell \;|\; k$. Genauer: Aus $k = m\ell $ folgt $z^k = z^{m\ell } = (z^m)^{\ell }$.

Satz (Faktorisierung von Überlagerungen): Seien $X$ lokal wegzusammenhängend, $r\colon Y \rightarrow Z$ und $q\colon Z \rightarrow X$ stetige, surjektive Abbildungen sowie $p := q \circ r\colon Y \rightarrow X$ ihre Komposition.

Sind $p$ und $q$ Überlagerungen, dann auch $r$.
Sind $p$ und $r$ Überlagerungen, dann auch $q$.

Bemerkung: Im Allgemeinen ist $p = q \circ r$ keine Überlagerung, wenn $q$ und $r$ Überlagerungen sind.

Folgerung: Sei $X$ wegzusammenhängend und lokal wegzusammenhängend,
$p\colon (Y, y_0) \rightarrow (X, x_0)$ und $q\colon (Z, z_0) \rightarrow (X, x_0)$ wegzusammenhängende Überlagerungen sowie $K := p_\sharp (\pi _1(Y, y_0))$ und $H := q_\sharp (\pi _1(Z, z_0))$ die zugehörigen Untergruppen in $\pi _1(X, x_0)$.

Ein Morphismus $f\colon p \rightarrow q$ existiert genau dann, wenn $K < H$ gilt.
In diesem Fall ist $f$ eine Überlagerung mit Blätterzahl gleich dem Index von $K$ in $H$.
Die Überlagerugn $f\colon p \rightarrow q$ ist normal genau dann, wenn $K \vartriangleleft H$ gilt.
In diesem Fall gibt es einen Gruppenisomorphismus, sodass $\Aut (f) \cong H/K$.

Satz (Galois-Korrespondenz): Sei $X$ wegzusammenhängend und lokal wegzusammenhängend, $p\colon (Y, y_0) \rightarrow (X, x_0)$ eine normale Überlagerung und $K := p_\sharp (\pi _1(Y, y_0))$ die zugehörige normale Untergruppe in der Fundamentalgruppe $G := \pi _1(X, x_0)$. Dann gibt es folgende Korrespondenz von wegzusammenhängenden Überlagerungen und Untergruppen:

Zu jeder Zwischenüberlagerung $q\colon (Z, z_0) \rightarrow (X, x_0)$ mit $p \rightarrow q$ gehört die Zwischengruppe $H := q_\sharp (\pi _1(Z, z_0))$ mit $K < H < G$.
Zu jeder Zwischengruppe $H$ mit $K < H < G$ gehört eine (bis auf Homöomorphie eindeutige) Zwischenüberlagerung $q\colon (Z, z_0) \rightarrow (X, x_0)$ mit $q_\sharp (\pi _1(Z, z_0)) = H$.

Universelle Überlagerung

universelle Überlagerung: Sei $X$ wegzusammenhängend und lokal wegzusammenhängend. Eine Überlagerung $p\colon (\widetilde {X}, \widetilde {x}_0) \rightarrow (X, x_0)$ heißt universell, falls $\widetilde {X}$ einfach zusammenhängend ist.

Bemerkung: In diesem Fall ist auch $p\colon (\widetilde {X}, \widetilde {x}) \rightarrow (X, x)$ für alle $\widetilde {x} \in \widetilde {X}$ und $x := p(\widetilde {x})$ eine universelle Überlagerung.

Satz (notwendige Bedingung): Ist $p\colon \widetilde {X} \rightarrow X$ eine universelle Überlagerung, dann existiert zu jedem $x \in X$ eine offene Umgebung $U \subset X$, sodass $\iota \colon (U, x) \rightarrow (X, x)$ den trivialen Homomorphismus $\iota _\sharp \colon \pi _1(U, x) \rightarrow \pi _1(X, x)$ induziert.

semilokal einfach zusammenhängend: Ein topologischer Raum $X$ heißt semilokal einfach zusammenhängend in $x \in X$, falls eine Umgebung $U \subset X$ von $x$ in $X$ existiert, sodass jede Schleife in $(U, x)$ in $(X, x)$ zusammenziehbar ist. Äquivalent dazu ist, dass die Inklusion $\iota \colon (U, x) \rightarrow (X, x)$ den trivialen Homomorphismus $\iota _\sharp \colon \pi _1(U, x) \rightarrow \pi _1(X, x)$ induziert.

Beispiel: Der Hawaiianische Ohrring $W := \bigcup _{n \in \natural } \frac {1}{n} (\sphere ^1 - 1)$ ist wegzusammenhängend und lokal wegzusammenhängend, aber nicht semilokal einfach zusammenhängend.
Der Hawaiianische Kegel $CW$ ist semilokal einfach zusammenhängend, aber nicht lokal einfach zusammenhängend.

Satz (Konstruktion der universellen Überlagerung): Sei $X$ wegzusammenhängend und lokal wegzusammenhängend. Eine universelle Überlagerung $p\colon (\widetilde {X}, \widetilde {x}_0) \rightarrow (X, x_0)$ existiert genau dann, wenn $X$ semilokal einfach zusammenhängend ist.