Funktionalanalysis 1 – Lineare Abbildungen in normierten Räumen

Stetigkeit und Beispiele

Satz (Äquivalenz für Stetigkeit bei linearen Operatoren):
Seien \((E, \norm {\cdot }_E)\) und \((F, \norm {\cdot }_F)\) normierte Räume sowie \(T\colon E \rightarrow F\) eine lineare Abbildung.
Dann sind äquivalent:

\(T\) ist stetig.
\(T\) ist stetig in \(0\).
Aus \((x_n)_{n \in \natural }\) Folge in \(E\) mit \(x_n \to 0\) folgt \(Tx_n \to 0\).
\(\exists _{\alpha \ge 0}\; TB_E \subset \alpha B_F\), wobei \(B_E := \{x \in E \;|\; \norm {x} \le 1\}\) und \(\alpha B_F := \{y \in F \;|\; \norm {y} \le \alpha \}\).
\(T\) ist beschränkt, d. h. \(\exists _{\beta \ge 0} \forall _{x \in E}\; \norm {Tx}_F \le \beta \norm {x}_E\).

Dualraum: Sei \((E, \norm {\cdot }_E)\) ein normierter Raum.
Dann heißt \(E’ := \{T\colon E \rightarrow \KK \;|\; T \text { linear und stetig}\}\) Dualraum von \(E\).

Beispiel:

Seien \(E := (\real ^n, \norm {\cdot }_2)\) und \(F := (\real ^m, \norm {\cdot }_2)\). Dann ist jede lineare Abbildung \(T\colon E \rightarrow F\) stetig und kann durch eine Matrix dargestellt werden. Dasselbe gilt auch für alle anderen Normen (wegen der Normäquivalenz).
Seien \(E := (\C ^0([a, b]), \norm {\cdot }_{\C ^0})\) und \(T\colon E \rightarrow \KK \) mit \(Tf := \int _a^b f(s)\ds \) (wobei \(a, b \in \real \) mit \(a \le b\)). \(T\) ist linear und stetig und damit \(T \in E’\). Außerdem ist \(V\colon E \rightarrow E\), \(f \mapsto Vf\) mit \((Vf)(t) := \int _a^t f(s)\ds \) linear und stetig, denn \(\norm {Vf}_{\C ^0} \le (b - a) \norm {f}_{\C ^0}\). \(V\) ist auch stetig als Abbildung von \((\C ^0([a, b]), \norm {\cdot }_{\C ^0})\) nach \((\C ^1([a, b]), \norm {\cdot }_{\C ^1})\).

Lineare, stetige Abbildungen

Raum der linearen, stetigen Abbildungen: Seien \((E, \norm {\cdot }_E)\) und \((F, \norm {\cdot }_F)\) normierte Räume. Dann heißt \(\Lin (E, F) := \{T\colon E \rightarrow F \;|\; T \text { linear und stetig}\}\) der Raum der linearen, stetigen Abbildungen von \(E\) nach \(F\). Man schreibt \(\Lin (E) := \Lin (E, E)\).

Satz (Operatornorm): Für \(T \in \Lin (E, F)\) sei
\(\norm {T} := \sup _{x \in B_E} \norm {Tx}_F = \sup _{x \in \interior {B_E}} \norm {Tx}_F = \sup _{x \in \partial B_E} \norm {Tx}_F = \sup _{x \in E \setminus \{0\}} \frac {\norm {Tx}_F}{\norm {x}_E}\).
Dann ist \(\norm {\cdot }\) eine Norm auf \(\Lin (E, F)\), die sog. Operatornorm. Ist \(F\) vollständig, dann ist auch \((\Lin (E, F), \norm {\cdot })\) vollständig. Insbesondere ist der Dualraum \(E’\) vollständig.

Bemerkung: Das Supremum der Operatornorm muss auf dem Rand angenommen werden, denn würde es in \(x \in E\) mit \(\norm {x}_E < 1\) angenommen, dann wäre \(\norm {Tx’}_F = \frac {\norm {Tx}_F}{\norm {x}_E} > \norm {Tx}_F\) mit \(x’ := \frac {x}{\norm {x}_E} \in \partial B_E\), d. h. wegen der Stetigkeit von \(T\) gäbe es einen Punkt im Inneren von \(B_E\), bei dem das Supremum überschritten wäre (zumindest, wenn \(\norm {Tx}_F > 0\) – falls das Supremum verschwindet, ist der Operator gleich dem Nulloperator).

Beispiel: Sei \(\psi \in \C ^0([0, 1]^2)\). Dann ist \(T\colon (\C ^0([0, 1]), \norm {\cdot }_{\C ^0}) \rightarrow (\C ^0([0, 1]), \norm {\cdot }_{\C ^0})\), \(f \mapsto Tf\) mit
\((Tf)(x) := \int _0^1 \psi (x, y) f(y)\dy \) linear und stetig und es gilt \(\norm {T} = \sup _{x \in [0, 1]} \int _0^1 |\psi (x, y)| \dy \).

Lemma (Komposition von linearen, stetigen Abbildungen):
Seien \((E, \norm {\cdot }_E)\), \((F, \norm {\cdot }_F)\) und \((G, \norm {\cdot }_G)\) normierte Räume, \(B \in \Lin (E, F)\) und \(A \in \Lin (F, G)\).
Dann gilt:

\(A \circ B \in \Lin (E, G)\) und \(\norm {A \circ B} \le \norm {A} \cdot \norm {B}\)
\(M_r\colon \Lin (E, F) \rightarrow \Lin (E, G)\), \(T \mapsto A \circ T\) und \(M_\ell \colon \Lin (F, G) \rightarrow \Lin (E, G)\), \(S \mapsto S \circ B\) sind linear und stetig, wobei \(\norm {M_r} \le \norm {A}\) und \(\norm {M_\ell } \le \norm {B}\).

Satz (Neumannsche Reihe): Seien \((E, \norm {\cdot }_E)\) ein Banachraum und \(T \in \Lin (E)\) mit
\(\limsup _{n \to \infty } \norm {T^n}^{1/n} < 1\) (z. B. erfüllt, wenn \(\norm {T} < 1\)).
Dann ist \(\id - T\) bijektiv und es gilt \((\id - T)^{-1} = \sum _{n=0}^\infty T^n \in \Lin (E)\) (die Reihe konvergiert bzgl. der Operatornorm). Die Reihe \(\sum _{n=0}^\infty T^n\) heißt Neumannsche Reihe.

Operatornormen in ℝⁿ

Satz (Operatornormen in \(\real ^n\)):

Seien \(E := (\real ^n, \norm {\cdot }_\infty )\) und \(A \in \Lin (E)\) beschrieben durch die \(n \times n\)-Matrix \((a_{ij})_{i,j=1,\dotsc ,n}\). Dann kann die zugehörige Operatornorm berechnet werden durch
\(\norm {A} = \max _{i=1,\dotsc ,n} \sum _{j=1}^n |a_{ij}|\), sie heißt Zeilensummennorm \(\norm {A}_\infty \).
Seien \(E := (\real ^n, \norm {\cdot }_1)\) und \(A \in \Lin (E)\) beschrieben durch die \(n \times n\)-Matrix \((a_{ij})_{i,j=1,\dotsc ,n}\). Dann kann die zugehörige Operatornorm berechnet werden durch
\(\norm {A} = \max _{j=1,\dotsc ,n} \sum _{i=1}^n |a_{ij}|\), sie heißt Spaltensummennorm \(\norm {A}_1\).
Seien \(E := (\real ^n, \norm {\cdot }_2)\) und \(A \in \Lin (E)\) beschrieben durch die \(n \times n\)-Matrix \((a_{ij})_{i,j=1,\dotsc ,n}\). Dann ist die zugehörige Operatornorm gleich der Wurzel des größten Eigenwerts der symmetrischen, positiv definiten Matrix \(A^T A\), sie heißt Spektralnorm \(\norm {A}_2\).