Lineare Algebra und Analytische Geometrie 2 – Moduln über Hauptidealringen

Torsionsmoduln

Annullator: Sei \(R\) ein kommutativer Ring mit Eins und \(M\) ein \(R\)-Modul.
Dann ist der Annullator \(\ann _R(m)\) von \(m \in M\) definiert durch \(\ann _R(m) = \{r \in R \;|\; rm = 0\}\).
Ähnlich ist für \(S \subseteq M\) \(\ann _R(S) = \{r \in R \;|\; \forall _{m \in S}\; rm = 0\} = \bigcap _{m \in S}\; \ann _R(m)\).

Lemma (Annullator ist Ideal): \(\ann _R(m)\) und \(\ann _R(S)\) sind Ideale von \(R\).

Lemma (Annullator eines endlich erzeugten Moduls): Sei \(M = \aufspann {m_1, \dotsc , m_k}\) endlich erzeugt. Dann ist \(\ann _R(M) = \bigcap _{i=1}^k \ann _R(m_i)\).

Torsionselement: Seien \(R\) Integritätsbereich und \(M\) ein \(R\)-Modul.
Ein Element \(m \in M\) heißt Torsionselement, falls \(\ann _R(m) \not = 0\) ist, d. h. es gibt ein \(r \in R\), \(r \not = 0\) mit \(rm = 0\). Das Nullelement \(0_M\) von \(M\) ist immer ein Torsionselement. Ist es auch das einzige Torsionselement, so heißt \(M\) torsionsfrei.

Torsionsmoduln und -untermoduln: Seien \(R\) Integritätsbereich und \(M\) ein \(R\)-Modul.
Dann ist die Menge \(T(M)\) der Torsionselemente von \(M\) ein Untermodul von \(M\), der
Torsionsuntermodul von \(M\). Ist \(T(M) = M\), so heißt \(M\) Torsionsmodul.

Bemerkung: Beispielsweise ist \({}_\integer \integer \) ein torsionsfreier Modul und \(\integer /z\integer \) ist Torsionsmodul.

Satz (Torsionsmoduln und torsionsfreie Moduln): Sei \(R\) ein Integritätsbereich.
Ist \(M\) ein freier \(R\)-Modul, dann ist \(M\) torsionsfrei.
Ist \(M\) ein \(R\)-Modul, dann ist \(M/T(M)\) torsionsfrei.
Epimorphe Bilder von Torsionsmoduln sind Torsionsmoduln.
Sei \(\{M_\alpha \;|\; \alpha \in \mathcal {A}\}\) eine Menge von \(R\)-Moduln. Dann ist \(T\left (\bigoplus _{\alpha \in \mathcal {A}} M_\alpha \right ) = \bigoplus _{\alpha \in \mathcal {A}} T(M_\alpha )\). Sind insbesondere die \(M_\alpha \) Torsionsmoduln bzw. torsionsfrei, so ist auch ihre direkte Summe Torsionsmodul bzw. torsionsfrei.
Untermoduln von Torsionsmoduln sind Torsionsmoduln.
Untermoduln von torsionsfreien Moduln sind torsionsfrei.

zyklischer \(R\)-Modul: Seien \(R\) ein kommutativer Ring mit Eins und \(M\) ein \(R\)-Modul.
\(M\) heißt zyklischer \(R\)-Modul, falls \(M\) einelementig erzeugt wird, d. h. \(M = Rm\) für ein \(m \in M\).
In diesem Fall wird durch \(f: {}_R R \rightarrow M\), \(r \mapsto rm\) ein \(R\)-Modulepimorphismus vom regulären \(R\)-Modul \({}_R R\) auf \(M\) definiert.
Insbesondere ist \(M\) isomorph zum Faktormodul \(R/\ker f\) mit \(\ker f \trianglelefteq R\).
Umgekehrt ist \(R/I\) zyklischer \(R\)-Modul ertezgt von der Nebenklasse \(1 + I\), falls \(I \trianglelefteq R\) ist.

Lemma (torsionsfreie, zyklische Moduln sind frei):
Seien \(R\) ein Integritätsbereich und \((0) \not = M = Rm\) ein torsionsfreier, zyklischer \(R\)-Modul.
Dann ist \(M \cong {}_R R\) frei mit Basis \(\{m\}\).

Satz (Untermoduln von e.e. freien Moduln über HIR sind frei von kleinerem Rang):
Seien \(R\) ein Hauptidealring, \(F\) ein endlich erzeugter, freier \(R\)-Modul mit \(\rg F = n\) und \(R\)-Basis \(\basis {B} = \{v_1, \dotsc , v_n\}\) sowie \(M \ur F\). Dann ist \(M\) ein freier \(R\)-Modul mit \(\rg M = k \le n\).

Folgerung: Seien \(R\) ein Hauptidealring und \(M\) ein torsionsfreier, endlich erzeugter \(R\)-Modul mit Erzeugendensystem \(S\) der Kardinalität \(|S| = k\). Dann ist \(M\) frei vom Rang \(n \le k\).

Bemerkung: Für Hauptidealringe \(R\) sind also die torsionsfreien, endlich erzeugten \(R\)-Moduln genau die freien \(R\)-Moduln mit endlichem Rang. Für andere Integritätsbereiche ist dies i. A. falsch.
Obige Folgerung besagt nicht, dass Erzeugendensysteme freier \(R\)-Moduln eine Basis enthalten. (Beispielsweise wird der freie \(\integer \)-Modul \({}_\integer \integer \) von \(\{2, 3\}\) erzeugt, \(\{2, 3\}\) enthält aber keine Basis.)

Satz (e.e. Modul über HIR als Summe von Torsionsmodul und freiem Modul):
Seien \(R\) ein Hauptidealring und \(M\) ein endlich erzeugter \(R\)-Modul.
Dann ist \(M = T(M) \oplus U\) mit \(U \ur M\) freier \(R\)-Modul von endlichem Rang mit \(U \cong M/T(M)\).

Das Ziel, alle endlich erzeugten Moduln über Hauptidealringen \(R\) zu klassifizieren, kann man nun darauf reduzieren, alle endlich erzeugten \(R\)-Torsionsmoduln zu klassifizieren.
Hat man nämlich eine Liste \(\{M_\alpha \;|\; \alpha \in \mathcal {A}\}\) aller paarweise nicht-isomorphen, endlich erzeugten \(R\)-Torsionsmoduln, bekommt man eine aller paarweise nicht-isomorphen, endlich erzeugten \(R\)-Moduln als \(\{M_{\alpha ,k} \;|\; \alpha \in \mathcal {A},\; k \in \natural _0\}\) mit \(M_{\alpha ,k} = M_\alpha \oplus R \oplus \overset {k\text {-mal}}{\dotsb } \oplus R\).
Nun will man eine Liste \(\{M_\alpha \;|\; \alpha \in \mathcal {A}\}\) konstruieren.

Primärkomponenten

Bemerkung: Im Folgenden sei \(R\) immer ein Hauptidealring und \(M\) ein endlich erzeugter \(R\)-Modul.

\(M_p\), Primärkomponente: Sei \(p \in R\). Dann ist \(M_p\) der Untermodul
\(M_p = \{m \in M \;|\; \exists _{k \in \natural }\; p^k m = 0\}\) von \(M\).
Ist \(p \not = 0\) ein Primelement, so heißt \(M_p\) Primärkomponente.

Lemma (direkte Summe von \(M_p\) und \(M_q\)): Seien \(p, q \in R\), \(p, q \not = 0\) mit \(\ggT (p, q) = 1\).
Dann ist \(M_p \cap M_q = (0)\) und daher ist ihre Summe \(M_p + M_q\) direkt.

Ordnung: Seien \(R\) ein Hauptidealring und \(M\) ein endlich erzeugter \(R\)-Torsionsmodul.
Dann ist der Annullator \(\ann _R(M)\) ist nicht-trivial und wird von einem bis auf Einheiten eindeutig bestimmten \(r \in R\) erzeugt, d. h. \(\ann _R(M) = rR \not = (0)\).
Ein Erzeuger von \(\ann _R(M)\) wird Ordnung von \(M\) genannt und mit \(r = \ordnung (M)\) bezeichnet.

Satz (Primärkomponentenzerlegung):
Seien \(R\) ein Hauptidealring und \(M\) ein e.e. \(R\)-Torsionsmodul.
Ist \(\ordnung (M) = r\) und \(r = p_1^{k_1} \dotsm p_n^{k_n}\) die Primfaktorzerlegung von \(r\) in paarweise nicht-assoziierte Primelemente \(p_1, \dotsc , p_n \in R\), \(k_1, \dotsc , k_n \in \natural \) (möglich da \(R\) UFD),
so zerlegt sich \(M\) in die direkte Summe \(M = M_{p_1} \oplus \dotsb \oplus M_{p_n}\) seiner (eindeutig bestimmten) Primärkomponenten \(M_{p_i}\) für \(i = 1, \dotsc , n\).
Diese Zerlegung heißt Primärkomponentenzerlegung des e.e. Torsionsmoduls \(M\).

Folgerung: Seien \(M\) und \(r = p_1^{k_1} \dotsm p_n^{k_n}\) wie eben. Dann ist \(\ordnung (M_{p_i}) = p_i^{k_i}\).

Ordnung: Seien \(M\) ein e.e. \(R\)-Torsionsmodul, \(m \in M\) und \(\ann _R(m) = rR\).
Dann heißt \(r\) die Ordnung von \(m\), die mit \(\ordnung (m)\) bezeichnet wird.

Bemerkung: Ist nun ein beliebiger e.e. \(R\)-Modul \(M\) gegeben (\(R\) HIR), so kann man zunächst mit
\(M = T(M) \oplus U\) den torsionsfreien Teil \(U\) von \(M\) abspalten. Der freie \(R\)-Modul \(U \cong M/T(M)\) ist auch e.e. und bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Der Rang von \(U\) ist eindeutig bestimmt und endlich.
Der Torsionsmodul \(T(M) \cong M/U\) ist ebenfalls e.e. und hat eine eindeutige Zerlegung in Primärkomponenten \(T(M) = T(M)_{p_1} \oplus \dotsc \oplus T(M)_{p_n}\), wobei die paarweise verschiedenen Primelemente \(p_i \in R\), \(i = 1, \dotsc , n\) gerade die Primfaktoren der Ordnung \(\ordnung (M)\) sind, die in der Primfaktorzerlegung von \(\ordnung (M)\) vorkommen. Nun muss man also die Moduln \(T(M)_{p_i}\) weiter zerlegen und bestimmen.

Elementarteiler und Prototypen

zyklischer Modul: Seien \(R\) ein Ring mit Einselement und \(M\) ein \(R\)-Modul.
Dann ist \(M\) ein zyklischer \(R\)-Modul, falls \(M\) von einem Element erzeugt wird, d. h.
\(M = Rm = \{rm \;|\; r \in R\}\) für ein \(m \in M\).

Satz (\(M\) zyklisch \(\Leftrightarrow M\) epimorphes Bild von \({}_R R\)): \(M\) ist zyklischer \(R\)-Modul genau dann, wenn \(M\) epimorphes Bild des regulären \(R\)-Moduls \({}_R R\) ist.
In diesem Fall (sei \(M = Rm\)) ist \(M \cong R/\ann _R(m)\).

Folgerung:
Seien \(R\) ein HIR, \(M\) ein zyklischer \(R\)-Torsionsmodul mit Erzeuger \(m \in M\) sowie \(r = \ordnung (m)\).
Dann ist \(M \cong R/rR\) als \(R\)-Modul und \(\ordnung (M) = r\).

unabhängig: Seien \(R\) ein Ring mit Eins und \(M\) ein \(R\)-Modul.
Dann heißen \(y_1, \dotsc , y_m \in M\) unabhängig, falls aus \(\lambda _1 y_1 + \dotsb + \lambda _m y_m = 0\) mit \(\lambda _1, \dotsc , \lambda _m \in R\) stets \(\lambda _i y_i = 0\) für alle \(i = 1, \dotsc , m\) folgt.

Bemerkung: Vorsicht: Lineare Unabhängigkeit fordert mehr wie Unabhängigkeit, d. h. aus linearer Unabhängigkeit folgt immer Unabhängigkeit. Die Umkehrung gilt nicht.

Satz (Erzeugendensystem unabhängig \(\Leftrightarrow M\) zerfällt in direkte Summe): Seien \(R\) ein Ring mit Eins, \(M\) ein \(R\)-Modul und \(\{y_1, \dotsc , y_m\}\) ein unabhängiges Erzeugendensystem.
Dann ist \(M = Ry_1 \oplus \dotsb \oplus Ry_m\).
Ist umgekehrt \(M = Ry_1 \oplus \dotsb \oplus Ry_m\), so ist \(\{y_1, \dotsc , y_m\}\) unabhängig.

Folgerung: Sei \(R\) ein HIR, \(M\) ein \(R\)-Modul, \(\{y_1, \dotsc , y_m\}\) ein unabhängiges Erzeugendensystem und \(s_i = \ordnung (y_i)\). Dann ist \(M = Ry_1 \oplus \dotsb \oplus Ry_m \cong R/Rs_1 \oplus \dotsb \oplus R/Rs_m\).

Bemerkung: Nun muss für e.e. \(R\)-Torsionsmoduln \(M\) (\(R\) HIR) ein unabhängiges Erzeugendensystem gefunden werden.

Lemma (in Nebenklassen gibt es Elemente gleicher Ordnung): Seien \(R\) ein HIR und \(M\) ein e.e. \(R\)-Torsionsmodul, dessen Ordnung \(\ordnung (M) = p^k\) für ein Primelement \(p \in R\), \(k \in \natural \) ist (d. h. es gilt \(M = M_p\)). Seien außerdem \(m \in M\) mit \(\ordnung (m) = \ordnung (M) = p^k\) und \(\nk {M} = M/Rm\). Dann gibt es in jeder Nebenklasse \(\nk {x} = x + Rm \in \nk {M}\) einen Vektor \(y \in x + Rm\) mit \(\ordnung (\nk {x}) = \ordnung (y)\).

Lemma (unabhängige Mengen): Seien \(R\) ein HIR und \(M\) ein e.e. \(R\)-Torsionsmodul mit
\(\ordnung (M) = p^k\) für ein Primelement \(p \in R\), \(k \in \natural \). Seien außerdem \(m \in M\), sodass
\(\ordnung (m) = \ordnung (M) = p^k\) ist, und \(y_1, \dotsc , y_n \in M\), sodass \(\nk {y_i} = y_i + Rm \in M/Rm\) unabhängig sind.
Die Repräsentanten \(y_i \in \nk {y_i}\) seien so gewählt, dass \(\ordnung (\nk {y_i}) = \ordnung (y_i)\) (\(i = 1, \dotsc , n\)).
Dann ist auch \(\{m, y_1, \dotsc , y_n\} \subseteq M\) unabhängig.

Satz (Untermoduln des zyklischen Moduls): Sei \(R\) ein HIR und \(M = Rm\) (\(m \in M\)) ein zyklischer \(R\)-Modul mit \(\ordnung (M) = p^k\) für ein Primelement \(r \in R\), \(k \in \natural \). Dann gilt:
1. Für \(\nu = 0, \dotsc , k\) sei \(M_\nu = p^\nu M = Rp^\nu \cdot m\).
Dann ist \(M_\nu \in M\) und \(\{M_\nu \;|\; \nu = 0, \dotsc , k\}\) ist genau die Menge der Untermoduln von \(M\).
2. \((0) = M_k \lneqq M_{k-1} \lneqq \dotsb \lneqq M_1 \lneqq M_0 = M\) und \(\ordnung (M_\nu ) = p^{k - \nu }\) für \(nu = 0, \dotsc , k\).
\(M_\nu \) ist zyklisch mit Erzeuger \(p^\nu m\) der Ordnung \(p^{k-\nu }\).
3. Sei \(x \in M\). Dann ist \(M = Rx\) (d. h. \(x\) Erzeuger von \(M\)) genau dann, wenn \(x \notin M_1\) ist.
4. Jedes Erzeugendensystem von \(M\) enthält ein \(x \notin M_1\) mit \(M = Rx\).

minimales Erzeugendensystem: Seien \(R\) ein Ring mit Einselement, \(M\) ein \(R\)-Modul und \(S \subseteq M\) Erzeugendensystem von \(M\), d. h. \(M = \aufspann {S} = \sum _{x \in S} Rx\).
\(S\) heißt minimales Erzeugendensystem von \(M\), falls \(\aufspann {T} \lneqq M\) für jede echte Teilmenge \(T \subset S\).

Folgerung: Seien \(R\) ein HIR, \(M\) ein zyklischer \(R\)-Modul der Ordnung \(p^k\) für ein Primelement \(p \in R\), \(k \in \natural \) sowie \(S \subseteq M\) minimales Erzeugendensystem von \(M\).
Dann ist \(S = \{x\}\) für ein \(x \in M\), aber \(x \notin pM\).

Satz (Modul zerfällt in Faktormoduln): Seien \(R\) ein HIR, \(M\) ein e.e. \(R\)-Torsionsmodul der Ordnung \(p^k\) für ein Primelement \(p \in R\), \(k \in \natural \) sowie \(S = \{m_1, \dotsc , m_n\} \subseteq M\) ein minimales Erzeugendensystem von \(M\). Dann enthält jedes minimale Erzeugendensystem von \(M\) exakt \(n\) Elemente und es gibt eindeutig bestimmte natürliche Zahlen \(k = e_1 \ge e_2 \ge \dotsb \ge e_n\), sodass \(M \cong R/Rq_1 \oplus \dotsb \oplus R/Rq_n\) mit \(q_i = p^{e_i}\), \(i = 1, \dotsc , n\) ist. (Es gilt \(q_n \;|\; \dotsb \;|\; q_2 \;|\; q_1 = p^k\).)

Satz (Liste I von Prototypen):
Seien \(R\) ein HIR und \(p_1, \dotsc , p_k \in R\) paarweise nicht-assoziierte Primelemente.
Für \(i = 1, \dotsc , k\) seien \(e_1^{(i)} \ge e_2^{(i)} \ge \dotsb \ge e_{n_i}^{(i)} \ge 1\) natürliche Zahlen sowie \(I_\nu ^{(i)} = Rp^{e_\nu ^{(i)}}\) für \(\nu = 1, \dotsc , n_i\). Sei \(\mi {e}_i := (e_1^{(i)}, \dotsc , e_{n_i}^{(i)})\) und \(E(p_i, \mi {e}_i) := R/I_1^{(i)} \oplus \dotsb \oplus R/I_{n_i}^{(i)}\).
Zusätzlich sei \(M(p_1, \mi {e}_1, \dotsc , p_k, \mi {e}_k, \alpha ) = E(p_1, \mi {e}_1) \oplus \dotsb \oplus E(p_k, \mi {e}_k) \oplus (R \oplus \overset {\alpha \text {-mal}}{\dotsb } \oplus R)\) für \(\alpha \in \natural _0\).
Dann ist \(\{M(p_1, \mi {e}_1, \dotsc , p_k, \mi {e}_k, \alpha ) \;|\; k \in \natural _0,\; p_1, \dotsc , p_k \in R \text { Primelemente}\)
\(\text {(bis auf Assoziierung)}, \alpha \in \natural _0,\; n_i \in \natural \text { und } \mi {e}_i = (e_1^{(i)}, \dotsc , e_{n_i}^{(i)}) \text { mit } e_1^{(i)} \ge \dotsb \ge e_{n_i}^{(i)} \text { für } i = 1, \dotsc , k\}\) eine vollständige Liste von paarweise nicht-isomorphen, endlich erzeugten \(R\)-Moduln.

Bemerkung: Nun ist zunächst das Klassifikationsproblem gelöst. Das Wiedererkennungsproblem ist damit noch nicht gelöst. Sei \(M = R/Rr\) mit \(r \in R\), \(R\) HIR (d. h. \(M\) ist zyklischer \(R\)-Modul der Ordnung \(r\)). Zu welchem der \(R\)-Moduln aus obiger Liste ist \(M\) dann isomorph?

Satz (Zerlegung von \(R/Rr\) in teilerfremde Faktoren): Seien \(R\) ein HIR sowie \(r = s \cdot t\) eine Zerlegung von \(r \in R\) in Faktoren \(s, t \in R\), \(s, t \notin U(R)\), wobei \(\ggT (s, t) = 1\) ist.
Dann ist der zyklische \(R\)-Modul \(M = R/Rr\) isomorph zu \(R/Rs \oplus R/Rt\).

Folgerung: Seien \(R\) ein HIR und \(q = p_1^{e_1} \dotsm p_k^{e_k}\) Primfaktorzerlegung von \(q \in R\).
Dann ist \(R/Rq \cong R/Rp_1^{e_1} \oplus \dotsb \oplus R/Rp_k^{e_k}\).
Diese Zerlegung ist genau die Zerlegung von \(R/Rq\) in Primärkomponenten \(M = M_{p_1} \oplus \dotsb \oplus M_{p_k}\).

Bemerkung: Seien \(R\) ein HIR und \(p_1, \dotsc , p_k \in R\) paarweise nicht-assoziierte Primelemente von \(R\). Für \(i = 1, \dotsc , k\) seien \(e_1^{(i)}, \dotsc , e_{n_i}^{(i)} \in \natural \) mit \(e_1^{(i)} \ge \dotsb \ge e_{n_i}^{(i)}\). Man setzt \(e_\nu ^{(i)} = 0\) für \(\nu = n_i, \dotsc , n\) mit \(n = \max \{n_1, \dotsc , n_k\}\). Außerdem seien wie oben \(\mi {e}_i = (e_1^{(i)}, \dotsc , e_{n_i}^{(i)})\) und \(E_i = E(p_i, \mi {e}_i) = R/Rp_i^{e_1^{(i)}} \oplus \dotsb \oplus R/Rp_i^{e_n^{(i)}}\). (Beachte: Für \(\nu > n_i\) ist \(R/Rp_i^{e_\nu ^{(i)}} = R/R = (0)\).)
Sei \(M = M(p_1, \mi {e}_1, \dotsc , p_k, \mi {e}_k) = E_1 \oplus \dotsb \oplus E_k\) aus der Liste oben.

\(\begin {array}{ccccccc} e_1^{(1)} & \ge & \cdots & \ge & e_n^{(1)} & \ge & 0 \\ \vdots & & & & \vdots & & \vdots \\ e_n^{(k)} & \ge & \cdots & \ge & e_n^{(k)} & \ge & 0 \end {array}\)

Betrachte linksstehendes Schema. Für \(i = 1, \dotsc , n\) sei

\(q_i = p_1^{e_i^{(1)}} \dotsm p_k^{e_i^{(k)}}\). Dann ist \(q_n \;|\; \dotsb \;|\; q_1\). Nach obiger Liste I ist \(M = M_1 \oplus \dotsb \oplus M_n\) mit \(M_i = R/Rp_1^{e_i^{(1)}} \oplus \dotsb \oplus R/Rp_k^{e_i^{(k)}}\).

Es gilt \(M_i \cong R/Rq_i\) nach obiger Folgerung. Die \(q_i\) heißen dabei Elementarteiler von \(M\).
So kommt man auf folgende alternative Liste von e.e. \(R\)-Moduln.

Satz (Liste II von Prototypen): Seien \(R\) ein HIR, \(q_1, \dotsc , q_n \in R\) Repräsentanten von Assoziierungsklassen von Elementen von \(R\) mit \(q_n \;|\; \dotsb \;|\; q_1\) und \(\alpha \in \natural _0\).
Sei außerdem \(M(q_1, \dotsc , q_n, \alpha ) = R/Rq_1 \oplus \dotsb \oplus R/Rq_n \oplus R \oplus \overset {\alpha \text {-mal}}{\dotsb } \oplus R\).
Ist \(R_\alpha \) ein Repräsentantensystem der Assoziierungsklassen von \(R\), dann ist
\(\{M(q_1, \dotsc , q_n, \alpha ) \;|\; q_1, \dotsc , q_n \in R_\alpha ,\; q_n \;|\; \dotsb \;|\; q_1,\; n \in \natural ,\; \alpha \in \natural _0\}\) ein vollständiges System paarweise nicht-isomorpher endlich erzeugter \(R\)-Moduln.
Dabei ist \(q_1 = \ordnung (M(q_1, \dotsc , q_n, 0))\) und \(\ordnung (M(q_1, \dotsc , q_n, \alpha )) = 0\) für \(\alpha \not = 0\).