Analysis 4 – Fourieranalysis und trigonometrische Reihen

Motivation

Sei \(E\) ein euklidischer oder hermitescher Vektorraum der Dimension \(\dim E = n\), d. h. ein \(\real \)- oder \(\complex \)-Vektorraum, auf dem ein Skalarprodukt \(\innerproduct {\cdot , \cdot }\) gegeben ist (hier linear im ersten Argument).

In diesem Fall existiert eine Orthonormalbasis (ONB) \(\{e_1, \dotsc , e_n\}\), d. h. eine Basis, sodass \(\innerproduct {e_j, e_k} = \delta _{jk}\) für \(j, k = 1, \dotsc , n\) ist. Ist \(x \in E\) ein Vektor, so kann man \(x\) eindeutig als Linearkombination der Basis darstellen, also \(x = \xi _1 e_1 + \dotsb + \xi _n e_n\) mit Skalaren \(\xi _k\).
Es gilt \(\xi _k = \innerproduct {x, e_k}\) für \(k = 1, \dotsc , n\). Die \(\innerproduct {x, e_k}\) heißen Fourierkoeffizienten von \(x\).

Dies gilt ohne Weiteres jedoch nicht mehr für unendlich-dimensionale Vektorräume \(E\), z. B. ist auf \(E = \C ([a, b], \complex )\) die Norm \(\norm {f}_\C = \max _{x \in [a, b]} |f(x)|\) definiert, jedoch gibt es kein Skalarprodukt, das diese Norm induziert.

Im Folgenden wird das Skalarprodukt \(\innerproduct {f, g}_{L^2} = \int _{[a, b]} f(t) \overline {g(t)} \dt \) und die davon induzierte Norm \(\norm {f}_{L^2}^2 = \int _{[a, b]} |f(t)|^2 \dt \) verwendet.
Der Einfachheit halber beschränkt man sich auf \([a, b] = [-\pi , \pi ]\).

Betrachtet man die Funktionen \(1, \sin x, \cos x, \sin (2x), \cos (2x), \dotsc \), so stellt man fest:

• \(\int _{-\pi }^\pi 1\sin (nx)\dx = \int _{-\pi }^\pi 1\cos (mx)\dx = 0\) für \(n, m \in \natural \) und
  \(\int _{-\pi }^\pi \cos (nx)\cos (mx)\dx = \int _{-\pi }^\pi \sin (nx)\sin (mx)\dx = 0\) für \(n, m \in \natural \), \(n \not = m\)

• \(\int _{-\pi }^\pi \sin (nx)\cos (mx)\dx = 0\) für \(n, m \in \natural \)

• \(\int _{-\pi }^\pi \sin ^2(nx)\dx = \int _{-\pi }^\pi \cos ^2(mx)\dx = \pi \) für \(n, m \in \natural \) und \(\int _{-\pi }^\pi 1^2 \dx = 2\pi \)

Daher bildet \(\frac {1}{\sqrt {2\pi }}, \frac {1}{\sqrt {\pi }} \sin x, \frac {1}{\sqrt {\pi }} \cos x, \frac {1}{\sqrt {\pi }} \sin (2x), \frac {1}{\sqrt {\pi }} \cos (2x), \dotsc \) ein Orthonormalsystem.
Insbesondere ist dieses System linear unabhängig (d. h. jede endliche Linearkombination der \(0\) mit Vektoren aus diesem System ist trivial).

Für eine gegebene Funktion \(f \in \C ([-\pi , \pi ], \complex )\) kann man nun die Fourierkoeffizienten
\(\alpha _n := \innerproduct {f, \frac {1}{\sqrt {\pi }} \sin (nx)}_{L^2} = \frac {1}{\sqrt {\pi }} \int _{-\pi }^\pi f(x)\sin (nx)\dx \),
\(\beta _m := \innerproduct {f, \frac {1}{\sqrt {\pi }} \cos (mx)}_{L^2} = \frac {1}{\sqrt {\pi }} \int _{-\pi }^\pi f(x)\cos (mx)\dx \) und
\(\gamma := \innerproduct {f, \frac {1}{\sqrt {2\pi }}}_{L^2} = \frac {1}{\sqrt {2\pi }} \int _{-\pi }^\pi f(x)\dx \) für \(n, m \in \natural \) berechnen.

Man kann \(f\) diese Fourierkoeffizienten \((\{\alpha _n\}_{n \in \natural }, \{\beta _m\}_{m \in \natural }, \gamma )\) zuweisen und sich fragen, was \(f\) mit der zunächst formalen Fourier-Reihe \(\frac {\gamma }{\sqrt {2\pi }} + \sum _{n=1}^\infty \left (\frac {\alpha _n}{\sqrt {\pi }} \sin (nx) + \frac {\beta _n}{\sqrt {\pi }} \cos (nx)\right )\) zu tun hat. Konvergiert diese Reihe (in welchem Sinn)? Was hat der Wert der Reihe mit \(f\) zu tun? Welche Eigenschaften von \(f\) korrespondieren in welcher Art mit welchen Eigenschaften von \(\{\alpha _n\}\), \(\{\beta _m\}\) und \(\gamma \)?

alternative Schreibweise: Man kann auch die „unschönen“ Wurzeln vollständig in die Koeffizienten ziehen. Dafür schreibt man lateinische Buchstaben, d. h. \(f \mapsto (\{a_n\}_{n \in \natural }, \{b_m\}_{m \in \natural }, c)\),
\(a_n := \frac {1}{\pi } \int _{-\pi }^\pi f(x)\sin (nx)\dx \),
\(b_m := \frac {1}{\pi } \int _{-\pi }^\pi f(x)\cos (mx)\dx \) und
\(c := \frac {1}{2\pi } \int _{-\pi }^\pi f(x)\dx \) für \(n, m \in \natural \).
Die Fourier-Reihe vereinfacht sich dann zu \(c + \sum _{n=1}^\infty (a_n \sin (nx) + b_n \cos (nx))\).

Ersetzt man \(\sin (nx) = \frac {e^{\i nx} - e^{-\i nx}}{2\i }\) und \(\cos (mx) = \frac {e^{\i mx} + e^{-\i mx}}{2}\), so gilt wegen
\(\innerproduct {e^{\i nx}, e^{\i mx}}_{L^2} = \int _{-\pi }^\pi e^{\i nx} e^{-\i mx}\dx = \int _{-\pi }^\pi e^{\i (n - m)x}\dx =\) \(\begin {cases}0 & n \not = m\\2\pi & n = m\end {cases}\) für \(n, m \in \integer \),
dass \(\left \{\frac {1}{\sqrt {2\pi }} e^{\i nx}\right \}_{n \in \integer }\) ein Orthonormalsystem ist.

Definiert man \(\gamma _n := \innerproduct {f, \frac {1}{\sqrt {2\pi }} e^{\i nx}}_{L^2} = \frac {1}{\sqrt {2\pi }} \int _{-\pi }^\pi f(x) e^{-\i nx}\dx \), so kann man wieder die formale Fourier-Reihe \(\sum _{n \in \integer } \frac {\gamma _n}{\sqrt {2\pi }} e^{\i nx}\) definieren.
Analog wie eben schreibt man auch oft \(c_n := \frac {1}{2\pi } \int _{-\pi }^\pi f(x) e^{-\i nx} \dx \) bzw. \(\sum _{n \in \integer } c_n e^{\i nx}\).

Diese Reihe ist eine Laurent-Reihe \(\widetilde {f}(z) = \sum _{n=-\infty }^{+\infty } c_n z^n\) um \(z_0 = 0\). Falls \(0 \le r < 1 < R \le \infty \), so gilt für \(z = e^{\i x}\) und \(x \in [-\pi , \pi ]\), dass \(\widetilde {f}(e^{\i x}) = \sum _{n=-\infty }^{+\infty } c_n e^{\i nx}\).
In diesem Fall lässt sich die Formel \(c_n = \frac {1}{2\pi \i } \oint _{|z| = 1} \frac {\widetilde {f}(z)}{z^{n+1}}\dz \) anwenden.
Man erhält dadurch wieder die Definition der \(c_n = \frac {1}{2\pi } \int _{-\pi }^\pi f(x) e^{-\i nx} \dx \).

Das Kriterium von Dini

Im Folgenden betrachtet man die Partialsummen \(S_N(t) = c + \sum _{k=1}^N (a_k \sin (kt) + b_k \cos (kt))\) für \(N \in \natural \). Es gilt \(S_N(t) = \sum _{k=-N}^N c_k e^{\i kt}\), denn
\(c_k e^{\i kt} + c_{-k} e^{-\i kt} = (c_k + c_{-k}) \cos (kt) + \i (c_k - c_{-k}) \sin (kt) = \frac {1}{2\pi } \int _{-\pi }^\pi f(x) (e^{-\i kx} + e^{\i kx}) \dx \cos (kt) + \frac {\i }{2\pi } \int _{-\pi }^\pi f(x) (e^{-\i kx} - e^{\i kx}) \dx \sin (kt) = b_k \cos (kt) + a_k \sin (kt)\).

Daraus folgt dann
\(S_N(t) = \sum _{k=-N}^N \left (\frac {1}{2\pi } \int _{-\pi }^{\pi } f(\tau ) e^{-\i k\tau }\d \tau \right ) e^{ikt} = \int _{-\pi }^{\pi } f(\tau ) \left (\frac {1}{2\pi } \sum _{k=-N}^N e^{\i k(t - \tau )}\right )\d \tau \).
Dabei ist \(\sum _{k=-N}^N e^{\i ks} = e^{-\i Ns} \sum _{k=0}^{2N} e^{\i ks} = e^{-\i Ns} \cdot \frac {1 - e^{\i (2N + 1)s}}{1 - e^{\i s}}\)
\(= e^{-\i Ns} \cdot \frac {e^{\i (N + 1/2)s} \cdot (e^{-\i (N + 1/2)s} - e^{\i (N + 1/2)s})} {e^{\i s/2} \cdot (e^{-\i s/2} - e^{\i s/2})} = \frac {\sin ((N + 1/2) s)}{\sin (s/2)}\).

Daher ist \(S_N(t) = \int _{-\pi }^\pi f(\tau ) \D _N(t - \tau )\d \tau \) mit dem Dirchlet-Kern
\(\D _N(s) = \frac {1}{2\pi } \cdot \frac {\sin ((N + 1/2)s)}{\sin (s/2)} = \frac {1}{2\pi } \sum _{k=-N}^N e^{\i ks}\).

Es gilt \(\int _{-\pi }^\pi \D _N(s)\ds = 1\) (dies sieht man schnell mit der Summenformel).
Außerdem ist \(\D _N\) \(2\pi \)-periodisch, d. h. \(\D _N(s) = \D _N(s + 2k\pi )\) für alle \(s \in \real \) und \(k \in \integer \).

Außerdem setzt man \(f\colon [-\pi , \pi ] \rightarrow \complex \) \(2\pi \)-periodisch zu \(f\colon \real \rightarrow \complex \) fort, d. h. \(f(t + 2k\pi ) = f(t)\) für alle \(t \in [-\pi , \pi ]\) und \(k \in \integer \).

Damit sind \(\D _N\) und \(f\) \(2\pi \)-periodisch und \(S_N(t) = \int _{-\pi }^\pi f(\tau ) \D _N(t - \tau ) \d \tau = \int _{-\pi }^\pi \D _N(s) f(s + t) \ds \) (aufgrund der Symmetrie von \(\D _N(s)\)).

Um die Konvergenz von \(S_N(t)\) gegen \(f(t)\) zu verifizieren, nutzt man \(f(t) = \int _{-\pi }^\pi \D _N(s) f(t) \ds \) aus und berechnet \(S_N(t) - f(t) = \int _{-\pi }^\pi \D _N(s) (f(s + t) - f(t)) \ds = \int _{-\pi }^\pi \frac {f(s + t) - f(t)}{2\pi \cdot \sin (s/2)} \cdot \sin ((N + \frac {1}{2})s) \ds \).
Der erste Faktor ist eine Funktion \(F(s, t)\), die unabhängig von \(N\) ist. Der zweite Faktor ist eine Sinus-Funktion \(\sin (\omega s)\) mit für \(N \to \infty \) immer schneller werdender Frequenz \(\omega \).
Die übliche betragsmäßige Abschätzung kann hier nicht verwendet werden, da der Sinus nur mit \(1\) abgeschätzt werden kann. Stattdessen kann man sich die Konvergenz bildhaft mit der in der Signalübertragung verwendeten Amplitudenmodulation überlegen, bei der eine Information (hier \(F(s, t)\)) in der Amplitude eines Trägersignals mit konstanter Frequenz (hier \(\sin (\omega s)\)) kodiert wird. Für eine genügend hohe Frequenz \(\omega \) löschen sich positive und negative Anteile annäherend aus, sodass Konvergenz (unter gewissen Bedingungen) vorliegt.

Lemma: Sei \(F \in \C ^1([-\pi , \pi ], \complex )\). Dann gilt \(\lim _{\omega \to \infty } \left (\int _{-\pi }^\pi F(s) \sin (\omega s) \ds \right ) = 0\).

Lemma: Die Menge \(\C _0^\infty ([-\pi , \pi ], \complex )\) der unendlich oft differenzierbaren Funktionen, die auf dem Rand von \([-\pi , \pi ]\) verschwinden, liegt dicht in \(L^1([-\pi , \pi ], dx)\) mit dem Lebesgue-Maß \(dx\), d. h. \(\forall _{F \in L^1} \exists _{\{F_n\}_{n \in \natural },\; F_n \in \C _0^\infty }\; \norm {F_n - F}_{L^1} \xrightarrow {n \to \infty } 0\).

Riemann-Lemma: Sei \(F \in L^1([-\pi , \pi ], dx)\). Dann gilt \(\lim _{\omega \to \infty } \left (\int _{[-\pi , \pi ]} F(s) \sin (\omega s) \ds \right ) = 0\).

Kriterium von Dini zur punktweisen Konvergenz der Fourier-Reihe:
Seien \(f \in L^1([-\pi , \pi ], dx)\) und \(t_0 \in [-\pi , \pi ]\).
Es existiere ein \(\delta = \delta (t_0) > 0\) mit \(\int _{[-\delta , \delta ]} \left |\frac {f(t_0 + \tau ) - f(t_0)}{\tau }\right | \d \tau < \infty \).
Dann gilt \(\lim _{N \to \infty } S_N(t_0) = f(t_0)\).

Bemerkung: Die zweite Bedingung ist erfüllt, wenn \(f\) in \(t_0\) differenzierbar ist.
Die zweite Bedingung ist erfüllt, wenn \(|f(t_0 + \tau ) - f(\tau )| \le M |\tau |^\alpha \) für ein \(\alpha > 0\) und \(|\tau | < \delta \).

Die Stetigkeit von \(f\) in \(t_0\) reicht im Allgemeinen nicht!

Was passiert, wenn \(f\) in \(t_0\) einen Sprung besitzt? In diesem Fall kann \(f\) als Summe einer stetigen Funktion und einer charakteristischen Funktion dargestellt werden. Falls die Fourier-Reihe der stetigen Funktion konvergiert, reicht es, die Konvergenz der Fourier-Reihe für die charakteristische Funktion zu prüfen. Es zeigt sich, dass dabei Konvergenz gilt. Der Grenzwert befindet sich genau in der „Mitte“ des Sprungs.

modifiziertes Kriterium von Dini für Sprungstellen:
Seien \(f \in L^1([-\pi , \pi ], dx)\) und \(t_0 \in [-\pi , \pi ]\). Es existieren \(f(t_0 - 0)\), \(f(t_0 + 0)\) und
ein \(\delta = \delta (t_0) > 0\) mit \(\int _{[-\delta , 0]} \left |\frac {f(t_0 + \tau ) - f(t_0 - 0)}{\tau }\right | \d \tau < \infty \) und \(\int _{[0, \delta ]} \left |\frac {f(t_0 + \tau ) - f(t_0 + 0)}{\tau }\right | \d \tau < \infty \).
Dann gilt \(\lim _{N \to \infty } S_N(t_0) = \frac {f(t_0 - 0) + f(t_0 + 0)}{2}\).

Bemerkung: Die Bedingung \(f \in L^1([-\pi , \pi ], dx)\) ist so zu verstehen, dass ein Repräsentant aus der Äquivalenzklasse von \(f\) gewählt wird, der diese Bedingung erfüllt. Die Existenz des Sprunges und seine Höhe ist dann invariant für alle äquivalenten Funktionen.

Satz: Sei \(f\colon \real \rightarrow \complex \) auf \([-\pi , \pi ]\) \(\ell \)-fach differenzierbar mit \(f^{(j)}(-\pi ) = f^{(j)}(\pi )\) für \(j = 0, \dotsc , \ell - 1\).
Außerdem sei \(f^{(\ell )}\) Riemann-integrierbar auf \([-\pi , \pi ]\).
Dann gilt \(a_n = o(n^{-\ell })\), \(b_n = o(n^{-\ell })\) und \(c_n = o(n^{-\ell })\) für \(n \to \infty \).

Bemerkung: Für solche Funktionen fallen die Fourierkoeffizienten also schnell ab. Dies ist wichtig, damit z. B. ein Tiefpass (Weglassen der hohen Frequenzen) bei periodischen Signalen keine allzu großen Störungen mit sich bringt.

Gilt auch die Umkehrung, d. h. folgt aus dem schnellen Abfallen der Koeffizienten, dass \(f\) glatt ist? Dazu sei \(\{c_k\}_{k \in \integer } \in \ell _1\) (also \(\sum _{k=1}^\infty |c_k| < \infty \)). Die Summanden der Reihe \(S(t) = \sum _{k \in \integer } c_k e^{\i kt}\), \(t \in [-\pi , \pi ]\) können durch \(|c_k e^{\i k t}| = |c_k|\) gleichmäßig abgeschätzt werden. Da \(\{c_k\}_{k \in \integer } \in \ell _1\), konvergiert \(S(t)\) absolut und gleichmäßig. Jeder der Summanden ist stetig, also ist \(S(t)\) stetig.

Falls sogar \(\{k^\ell c_k\}_{k \in \integer } \in \ell _1\) gilt, folgt nach \(\ell \)-maligem Differenzieren, dass \(S(t)\) \(\ell \)-fach differenzierbar ist.

Fourier-Integral und Fourier-Transformation

Fourier-Transformation: Sei \(f\colon \real \rightarrow \complex \) mit \(f \in L^1(\real , dx)\).
Dann ist \(\widehat {f}(\lambda ) = \F [f](\lambda ) := \frac {1}{\sqrt {2\pi }} \int _\real f(\tau ) e^{-\i \lambda \tau } \d \tau \) für \(\lambda \in \real \) die Fouriertransformierte von \(f\).

Eigenschaften von \(\F [f]\):

• Für \(f \in L^1(\real , dx)\) existiert \(\widehat {f}(\lambda )\) für alle \(\lambda \in \real \), denn \(|\widehat {f}(\lambda )| \le \frac {1}{\sqrt {2\pi }} \int _\real |f(\tau )| \d \tau = \frac {\norm {f}_{L^1}}{\sqrt {2\pi }}\).
  Daraus folgt insbesondere, dass \(\widehat {f}\) eine beschränkte Funktion ist.

• \(\widehat {f}\) ist stetig, denn für eine Folge \(\{\lambda _n\}\) mit \(\lambda _n \to \lambda \) gilt \(f(\tau ) e^{-i \lambda _n \tau } \to f(\tau ) e^{-i \lambda \tau }\). Wegen \(|f(\tau ) e^{-\i \lambda _n \tau }| = |f(\tau )|\) ist \(f(\tau )\) eine integrierbare Majorante für alle \(\tau \in \real \) und \(n \in \natural \). Aus dem Satz von Lebesgue zur majorisierten Konvergenz folgt daher \(\widehat {f}(\lambda _n) \to \widehat {f}(\lambda )\).

• Es gilt \(\lim _{\lambda \to \infty } \widehat {f}(\lambda ) = 0\), denn aus der \(\sigma \)-Additivität des Lebesgue-Integrals folgt
  \(\int _\real f \dx = \sum _{j \in \integer } (\int _{\left ]j, j + 1\right ]} f\dx ) = \lim _{R \to \infty } (\int _{[-R, R]} f\dx )\), also gibt es für alle \(\varepsilon > 0\) ein \(R(\varepsilon ) > 0\) mit \(\int _{|x| > R(\varepsilon )} |f|\dx < \varepsilon \). Man teilt nun \(\int _\real f(\tau ) e^{-\i \lambda \tau } \d \tau = (\int _{|x| > R(\varepsilon )} + \int _{|x| \le R(\varepsilon )}) f(\tau ) e^{-\i \lambda \tau } \d \tau \) auf. Der erste Summand ist vom Betrag her nach eben Gesagtem \(\le \int _{|x| > R(\varepsilon )} |f(\tau )| \d \tau < \varepsilon \), der zweite Summand geht für \(\lambda \to \infty \) nach dem Lemma von Riemann gegen \(0\), ist also \(< \varepsilon \) für \(\lambda \) groß genug.

• Die Fourier-Transformation \(\F \) ist linear, d. h. für \(f, g \in L^1(\real , dx)\) und \(\alpha , \beta \in \complex \) gilt \(\F [\alpha f + \beta g] = \alpha \F [f] + \beta \F [g]\). \(\F \) ist zusätzlich stetig, d. h. \(\F \in \L (L^1, L^\infty )\).

Unter welchen Umständen existiert die inverse Fouriertransformierte, d. h. wann ist
\(f(t) = \frac {1}{\sqrt {2\pi }} \int \F [f](\lambda ) e^{\i \lambda t} d\lambda \)?

Kriterium von Dini für die Konvergenz der inversen Fouriertransformierten:
Seien \(f \in L^1(\real , dx)\) und \(t_0 \in \real \).
Es existiere ein \(\delta = \delta (t_0) > 0\) mit \(\int _{[-\delta , \delta ]} \left |\frac {f(t_0 + x) - f(t_0)}{x}\right | \dx < \infty \).
Dann konvergiert das uneigentliche Riemann-Integral \(\frac {1}{\sqrt {2\pi }} \int _{-\infty }^{+\infty } \F [f](\lambda ) e^{\i \lambda t_0} d\lambda = f(t_0)\).

Hilberträume und Fourierreihen

Sei \(H\) ein \(K\)-Vektorraum mit \(K = \complex \).

Sei \(\innerproduct {\cdot , \cdot }\colon H \times H \rightarrow \complex \) ein Skalarprodukt, d. h. \(\innerproduct {x, x} \ge 0\), \(\innerproduct {x, x} = 0 \iff x = 0\), \(\innerproduct {x, y} = \overline {\innerproduct {y, x}}\) und \(\innerproduct {\alpha _1 x_1 + \alpha _2 x_2, y} = \alpha _1 \innerproduct {x_1, y} + \alpha _2 \innerproduct {x_2, y}\) (also \(\innerproduct {x, \beta _1 y_1 + \beta _2 y_2} = \overline {\beta _1} \innerproduct {x, y_1} + \overline {\beta _2} \innerproduct {x, y_2}\)).

Das Skalarprodukt definiert eine Norm \(\norm {\cdot }\colon H \rightarrow \real \) mit \(\norm {x} = \sqrt {\innerproduct {x, x}} \ge 0\).
Es gilt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung, d. h. \(|\innerproduct {x, y}| \le \norm {x} \cdot \norm {y}\).

Hilbertraum: Sei \(H\) ein \(K\)-Vektorraum mit Skalarprodukt \(\innerproduct {\cdot , \cdot }\).
Dann heißt \((H, \innerproduct {\cdot , \cdot })\) Hilbertraum, falls \((H, \norm {\cdot })\) vollständig ist.

Die Parallelogramgleichung \(\norm {x + y}^2 + \norm {x - y}^2 = 2 \norm {x}^2 + 2 \norm {y}^2\) ist erfüllt genau dann, wenn eine gegebene Norm ein Skalarprodukt induziert (in diesem Fall gilt z. B. für \(K = \real \), dass \(4 \innerproduct {x, y} = \norm {x + y}^2 - \norm {x - y}^2\)).

Beispiel: Ein Beispiel für einen Hilbertraum ist \(\ell ^2(\natural )\) (oder auch \(\ell ^2(\integer )\)). Es gilt
\(\ell ^2(\natural ) = \{\{a_n\}_{n \in \natural } \;|\; \sum _{n \in \natural } |a_n|^2 < \infty \}\), das Skalarprodukt ist \(\innerproduct {\{a_n\}, \{b_n\}}_{\ell ^2(\natural )} = \sum _{n \in \natural } a_n \overline {b_n}\).
\(\ell ^2(\natural )\) und \(\ell ^2(\integer )\) sind separabel, d. h. es gibt eine abzählbare dichte Teilmenge.

Beispiel: Die Verallgemeinerung ist \(L^2(X, \mu ) = \{f\colon X \rightarrow \complex \;|\; \norm {f}_{L^2}^2 = \int _X |f|^2 d\mu < \infty \}\) mit dem Skalarprodukt \(\innerproduct {f, g}_{L^2} = \int _X f \overline {g} d\mu \). Falls \((X, \mu )\) ein separabler Maßraum ist, so ist auch \(L^2(X, \mu )\) separabel (z. B. Lebesgue-Maß).

Orthogonalität: Sei \((H, \innerproduct {\cdot , \cdot })\) ein Hilbertraum. Man definiert eine Relation \(\bot \) auf \(H\) mit \(f \orth g\), falls \(\innerproduct {f, g} = 0\) (\(f\) und \(g\) sind zueinander orthogonal).

Für \(f \orth g\) gilt der Satz des Pythagoras, d. h. \(\norm {f + g}^2 = \innerproduct {f + g, f + g} = \norm {f}^2 + \norm {g}^2\).

Für \(f_n \xrightarrow {\norm {\cdot }} f\) und \(g_n \xrightarrow {\norm {\cdot }} g\) gilt \(\innerproduct {f_n, g_n} \to \innerproduct {f, g}\), da \(|\innerproduct {f_n, g_n} - \innerproduct {f, g}|\)
\(= |\innerproduct {f_n, g_n - g} + \innerproduct {f_n - f, g}| \le \norm {f_n} \cdot \norm {g_n - g} + \norm {f_n - f} \cdot \norm {g} \le C \cdot \norm {g_n - g} + \norm {f_n - f} \cdot C \to 0\).

orthonormiertes System (ONS): Sei \((H, \innerproduct {\cdot , \cdot })\) ein Hilbertraum.
Ein System \(\{\varphi _n\}_n \subset H\) heißt orthonormiertes System (ONS), falls \(\innerproduct {\varphi _n, \varphi _k} = \delta _{nk}\).

linear unabhängig: Sei \((H, \innerproduct {\cdot , \cdot })\) ein Hilbertraum.
Ein System \(\{\varphi _n\}_n \subset H\) heißt linear unabhängig, falls jedes endliche Teilsystem lin. unabh. ist.

Jedes ONS ist linear unabhängig (aus \(\alpha _1 \varphi _1 + \dotsb + \alpha _n \varphi _n = 0\) folgt
\(\innerproduct {\alpha _1 \varphi _1 + \dotsb + \alpha _n \varphi _n, \varphi _k} = \alpha _k = \innerproduct {0, \varphi _k} = 0\) für alle \(k = 1, \dotsc , n\)).

vollständig: Sei \((H, \innerproduct {\cdot , \cdot })\) ein Hilbertraum.
Ein System \(\{\varphi _n\}_{n \in \natural } \subset H\) heißt vollständig, falls
\(\forall _{x \in H} \forall _{\varepsilon > 0} \exists _{N(\varepsilon , x) \in \natural } \exists _{\{\alpha _k(\varepsilon , x)\}_{k=1,\dotsc ,N(\varepsilon ,x)}}\; \norm {x - \sum _{k=1}^{N(\varepsilon ,x)} \alpha _k(\varepsilon , x) \varphi _k} < \varepsilon \).

Basis, Orthonormalbasis (ONB): Sei \((H, \innerproduct {\cdot , \cdot })\) ein Hilbertraum.
Ein System \(\{\varphi _n\}_{n \in \natural } \subset H\) heißt Basis, falls es vollständig und linear unabhängig ist.
Ein ONS heißt Orthonormalbasis (ONB), falls es vollständig ist.

Beispiel: Für \(H = \ell ^2(\natural )\) ist \(\{\varphi _k\}_{k \in \natural }\) mit \(\varphi _k = (0, \dotsc , 0, 1, 0, \dotsc )\) eine Basis (sogar eine ONB).

Beispiel: Für \(H = L^2([-\pi , \pi ], dx)\) ist \(\{\varphi _k\}_{k \in \integer }\) mit \(\varphi _k(x) = \frac {1}{\sqrt {2\pi }} e^{\i kx}\) ein ONS.
Frage: Ist dies auch eine Basis?

Dafür erweitert man die Orthogonalität \(\bot \) auf Mengen, d. h. für \(f \in H\) und \(M \subset H\) soll \(f \orth M\) gelten, falls \(\forall _{g \in M}\; f \orth g\). Außerdem bezeichnet im Folgenden \(\bigvee M\) die Menge aller endlichen Linearkombinationen von \(M\). Aus \(f \orth M\) folgt \(f \orth \bigvee M\).

Projektion auf Unterraum:
Seien \((H, \innerproduct {\cdot , \cdot })\) ein Hilbertraum, \(\{\varphi _n\}_{n \in \natural }\) ein ONS und \(L = \bigvee \{\varphi _1, \dotsc , \varphi _N\}\) mit \(N \in \natural \).
Dann ist \(P_L\colon H \rightarrow H\), \(P_L x := \sum _{k=1}^N \innerproduct {x, \varphi _k} \varphi _k\) die Projektion auf den Unterraum \(L\).

Eigenschaften:

• \(P_L\) ist ein linearer Operator (d. h. ein Endomorphismus)

• \(P_L(H) = L\) (d. h. \(P_L\colon H \rightarrow L\))

• \(x - P_L x =: h \orth L\), denn für \(f = \beta _1 \varphi _1 + \dotsb + \beta _N \varphi _N \in L\) gilt
  \(\innerproduct {h, f} = \innerproduct {x, f} - \innerproduct {P_L x, f} = \sum _{k=1}^N \innerproduct {x, \varphi _k} \overline {\beta _k} - \sum _{k=1}^N \sum _{j=1}^N \innerproduct {\innerproduct {x, \varphi _j} \varphi _j, \varphi _k} \overline {\beta _k} = 0\)

• \(\norm {x}^2 = \norm {P_L x}^2 + \norm {h}^2 \ge \norm {P_L x}^2\) (da \(P_L x \in L\) und \(h \orth L\)), d. h. \(P_L\) ist beschränkt

• \(\norm {P_L x} = \norm {x} \iff \norm {h} = 0 \iff P_L x = x \iff x \in L\)
  (für \(\norm {h} = 0\) gilt \(h = x - P_L x = 0\), also \(x = P_L x \in L\),
  für \(x \in L\) ist \(h \in L\), da \(P_L x\) in \(L\), aus \(h \orth L\) folgt \(h \orth h\), also \(\norm {h}^2 = 0\))

• \(P_L (P_L x) = P_L x\) (da \(P_L x \in L\) und \(P_L y = y\) für \(y = P_L x \in L\))

Folgerung: Für \(x \in H\) und \(f \in L\) gilt \(\norm {x - f} \ge \norm {x - P_L x}\).

Anschaulich besagt die Folgerung, dass der Abstand von \(x\) zur senkrechten Projektion von \(x\) auf \(L\) am kürzesten ist.

Also besitzt das Problem \(\{f \in L \;|\; \norm {x - f} = \min _{y \in L} \norm {x - y}\}\) genau eine Lösung \(f = P_L x\).

Satz (Besselsche Ungleichung): Seien \((H, \innerproduct {\cdot , \cdot })\) ein Hilbertraum, \(\{\varphi _k\}_{k \in \natural }\) ein ONS, \(x \in H\) und \(c_k := \innerproduct {x, \varphi _k}\) die Fourierkoeffizienten.
Dann gilt \(\sum _{k=1}^\infty |c_k|^2 \le \norm {x}^2\).

Satz: Es gilt \(\sum _{k=1}^\infty |c_k|^2 = \norm {x}^2\) genau dann, wenn \(\sum _{k=1}^N c_k \varphi _k \xrightarrow {\norm {\cdot }} x\).

abgeschlossen: Seien \((H, \innerproduct {\cdot , \cdot })\) ein Hilbertraum. Ein ONS \(\{\varphi _k\}_{k \in \natural }\) heißt abgeschlossen, falls für alle \(x \in H\) die Gleichung von Parseval gilt, d. h. \(\forall _{x \in H}\; \sum _{k=1}^\infty |c_k|^2 = \norm {x}^2\)
(das ist nach dem vorherigen Satz äquivalent zu \(\forall _{x \in H}\; \sum _{k=1}^\infty c_k \varphi _k = x\)).

Die Gleichung von Parseval ist eine unendliche Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras.

total: Seien \((H, \innerproduct {\cdot , \cdot })\) ein Hilbertraum. Ein ONS \(\{\varphi _k\}_{k \in \natural }\) heißt total, falls
\(\forall _{x \in H}\; (\forall _{k \in \natural }\; c_k = \innerproduct {x, \varphi _k} = 0) \;\Rightarrow \; (x = 0)\).

Satz: Seien \((H, \innerproduct {\cdot , \cdot })\) ein Hilbertraum und \(\{\varphi _k\}_{k \in \natural }\) ein ONS.
Dann ist das ONS abgeschlossen \(\iff \) vollständig \(\iff \) total.

Zuordnung von Vektoren und Folgen:
Seien \((H, \innerproduct {\cdot , \cdot })\) ein Hilbertraum und \(\{\varphi _n\}_{n \in \natural }\) ein ONS.
Definiere eine Abbildung \(\phi \colon H \rightarrow \ell ^2(\natural )\), \(x \mapsto \{c_k\}_{k \in \natural }\) mit \(c_k = \innerproduct {x, \varphi _k}\).

Eigenschaften:

• \(\phi \colon H \rightarrow \ell ^2(\natural )\) ist linear

• \(\norm {\phi x}_{\ell ^2(\natural )}^2 = \sum _{k=1}^\infty |c_k|^2 \le \norm {x}^2\), d. h. \(\norm {\phi }_{\L (H, \ell ^2(\natural ))} \le 1\).
  Es gilt sogar \(\norm {\phi }_{\L (H, \ell ^2(\natural ))} = 1\) (wähle \(x = \varphi _k\) für ein \(k \in \natural \)).

• \(\phi \colon H \rightarrow \ell ^2(\natural )\) ist surjektiv, denn:
  Sei \(\{c_k\}_{k \in \natural } \in \ell ^2(\natural )\) gegeben. Für \(S_N = \sum _{k=1}^N c_k \varphi _k\) ergibt sich dann
  \(\norm {S_M - S_N}^2 = \norm {\sum _{k=N+1}^M c_k \varphi _k}^2 \le \sum _{k=N+1}^M |c_k|^2 < \varepsilon \) (da die Reihe \(\sum _{k=1}^\infty |c_k|^2\) konvergiert, d. h. die Partialsummen bilden eine Cauchy-Folge). Also ist \(\{S_N\}_{N \in \natural }\) eine Cauchy-Folge und wegen der Vollständigkeit von \((H, \innerproduct {\cdot , \cdot })\) existiert ein \(x \in H\) mit \(\sum _{k=1}^\infty c_k \varphi _k = x\).
  Es gilt \(\innerproduct {x, \varphi _k} = \lim _{N \to \infty } \innerproduct {S_N, \varphi _k} = c_k\), also \(\phi x = \{c_k\}_{k \in \natural }\).

• Falls \(\{\varphi _n\}_{n \in \natural }\) eine ONB ist, so ist \(\phi \colon H \rightarrow \ell ^2(\natural )\) injektiv, denn dann gilt
  \(\norm {x}^2 = \sum _{k=1}^\infty |c_k|^2\), d. h. \(\Kern \phi = \{0\}\).

Für einen Hilbertraum und eine Orthonormalbasis erhält man also eine 1:1-Beziehung (Bijektion) zwischen den Vektoren und den Folgen der Fourierkoeffizienten.

Delta-Folgen

Seien \(a < 0 < b\) und \(g_n \in L^1([a, b], dx)\) für \(n \in \natural \).

Delta-Folge: \(\{g_n\}_{n \in \natural }\) heißt Delta-Folge, falls

• \(\forall _{n \in \natural }\; g_n \ge 0\),

• \(\int _{[a, b]} g_n(t)\dt \xrightarrow {n \to \infty } 1\) und

• \(\forall _{\delta > 0} \forall _{\varepsilon > 0} \exists _{N(\varepsilon , \delta ) \in \natural } \forall _{n \ge N(\varepsilon , \delta )}\; \left (\int _{[a, -\delta ]} + \int _{[\delta , b]}\right ) g_n(t) \dt < \varepsilon \).

Satz: Seien \(f \in \C ([a, b], \complex )\) und \(\{g_n\}_{n \in \natural }\) eine Delta-Folge.
Dann gilt \(\int _{[a, b]} f(t)g_n(t) \dt \xrightarrow {n \to \infty } f(0)\).

Beispiel: Seien \([a, b] = [-\pi , \pi ]\) und \(\phi _n(x) := \frac {1}{2\pi n} \left (\frac {\sin (nx/2)}{\sin (x/2)}\right )^2\). Dann ist \(\{\phi _n\}_{n \in \natural }\) eine Delta-Folge:

• \(\phi _n \ge 0\)

• Mit \(\D _k(x) = \frac {1}{2\pi } \frac {\sin ((k + 1/2)x)}{\sin (x/2)}\) gilt \(\int _{-\pi }^\pi \D _k(x) \dx = 1\) und \(\phi _n(x) = \frac {1}{n} \sum _{k=0}^{n-1} \D _k(x)\) (s. u.).
  Daraus folgt \(\int _{-\pi }^\pi \phi _n(x)\dx = \frac {1}{n} \sum _{k=0}^{n-1} \int _{-\pi }^\pi \D _k(x) \dx = 1\) für alle \(n \in \natural \).

• Für \(\delta > 0\) und \(\varepsilon > 0\) beliebig gilt \(\left (\int _{-\pi }^{-\delta } + \int _\delta ^\pi \right ) \phi _n(x)\dx \le \left (\int _{-\pi }^{-\delta } + \int _\delta ^\pi \right ) \frac {1}{2\pi n} \frac {1}{\sin ^2(|\delta |/2)} \dx \)
  \(\le 2\pi \cdot \frac {1}{2\pi n} \frac {1}{\sin ^2(|\delta |/2)} = \frac {1}{n \sin ^2(\delta /2)} < \varepsilon \) für \(n \ge N(\varepsilon , \delta ) := \frac {1}{\varepsilon \sin ^2(\delta /2)}\).

Begründung für \(\phi _n(x) = \frac {1}{n} \sum _{k=0}^{n-1} \D _k(x)\): \(\phi _n(x) = \frac {1}{2\pi n} \left (\frac {\sin (nx/2)}{\sin (x/2)}\right )^2 = \frac {\sin (nx/2)}{2\pi n \sin ^2(x/2)} \Im (e^{\i nx/2})\)
\(= \frac {1}{2\pi n \sin (x/2)} \Im \left (\frac {\sin (nx/2)}{\sin (x/2)} e^{\i nx/2}\right ) = \frac {1}{2\pi n \sin (x/2)} \Im \left (\frac {e^{\i nx} - 1}{e^{\i x/2} - e^{-\i x/2}}\right ) = \frac {1}{2\pi n \sin (x/2)} \Im (e^{\i x/2} \cdot \sum _{k=0}^{n-1} e^{\i kx})\)
\(= \frac {1}{2\pi n \sin (x/2)} \Im (\sum _{k=0}^{n-1} e^{\i (k + 1/2)x}) = \frac {1}{n} \sum _{k=0}^{n-1} \frac {1}{2\pi } \frac {\sin ((k + 1/2)x)}{\sin (x/2)} = \frac {1}{n} \sum _{k=0}^{n-1} \D _k(x)\).

Der Satz von Fejer

Im Folgenden bezeichnet \(\C _p([-\pi , \pi ], \complex ) := \{f \in \C ([-\pi , \pi ], \complex ) \;|\; f(-\pi ) = f(\pi )\}\) den Raum der stetigen Funktionen auf \([-\pi , \pi ]\), die \(2\pi \)-periodisch sind.

Satz von Fejer: Sei \(f \in \C _p([-\pi , \pi ], \complex )\).
Dann gilt \(\sigma _N(x) \xrightarrow {N \to \infty } f(x)\) gleichmäßig, wobei \(\sigma _N(x) := \frac {1}{N} \sum _{n=0}^{N-1} S_n(x)\) das arithmetische Mittel der ersten \(N\) Fourier-Partialsummen \(S_n(x) = \sum _{k=-n}^n c_k e^{\i kx}\), \(c_k = \frac {1}{2\pi } \int _{-\pi }^\pi f(x) e^{-\i kx} \dx \) ist.

Folgerung:

• \(f \in \C _p([-\pi , \pi ], \complex )\) ist durch die Fourierkoeffizienten eindeutig bestimmt, denn falls
  \(f, \widetilde {f} \in \C _p([-\pi , \pi ], \complex )\) die gleichen Fourierkoeffizienten \(\{c_k\}_{k \in \integer }\) besitzen, konvergiert jeweils \(\sigma _N(x)\) bzw. \(\widetilde {\sigma }_N(x)\) gegen \(f(x)\) bzw. \(g(x)\). Aufgrund der gleichen Fourierkoeffizienten gilt jedoch \(\sigma _N(x) = \widetilde {\sigma }_N(x)\) für alle \(N \in \natural \), aus der Eindeutigkeit des Grenzwerts folgt dann \(f(x) \equiv g(x)\) für \(x \in [-\pi , \pi ]\).

• \(\{e^{\i nx}\}_{n \in \integer }\) ist ein vollständiges System in \(L^2([-\pi , \pi ], dx)\). Dies lässt sich aus der Dichtheit von \(\C _p([-\pi , \pi ], \complex )\) in \(L^2([-\pi , \pi ], dx)\) folgern (Funktionalanalysis): Für eine gegebene Funktion \(f \in L^2([-\pi , \pi ], dx)\) gibt es eine Funktion \(f_\varepsilon \in \C _p([-\pi , \pi ], \complex )\) mit \(\norm {f - f_\varepsilon }_{L^2} < \varepsilon \).
  Nach dem Satz von Fejer gibt es ein \(N(\varepsilon )\) mit \(|f_\varepsilon (t) - \sigma _{N(\varepsilon )}(t)| < \varepsilon \) für alle \(t \in [-\pi , \pi ]\).
  Daraus folgt \(\norm {f_\varepsilon - \sigma _{N(\varepsilon )}}_{L^2}^2 = \int _{-\pi }^\pi |f_\varepsilon (t) - \sigma _{N(\varepsilon )}(t)|^2 \dt \le \varepsilon ^2 \cdot 2\pi \) bzw.
  \(\norm {f - \sigma _{N(\varepsilon )}}_{L^2} \le \norm {f - f_\varepsilon }_{L^2} + \norm {f_\varepsilon - \sigma _{N(\varepsilon )}}_{L^2} \le \varepsilon + \varepsilon \sqrt {2\pi } < \widetilde {\varepsilon }\).
  Dabei ist \(\sigma _{N(\varepsilon )}(t) = \frac {1}{N(\varepsilon )} \sum _{\ell =0}^{N(\varepsilon )-1} \left (\sum _{k=-\ell }^\ell c_k(f_\varepsilon ) e^{\i kt}\right )\) eine Linearkombination von
  \(\{e^{\i kt} \;|\; k = -(N-1),\; \dotsc ,\; (N-1)\}\), d. h. \(\{e^{\i nx}\}_{n \in \integer }\) ist vollständig.

Gibbs-Effekt: Dieser tritt bei der punktweisen Approximation eines Signals mit Sprungstellen durch die Fouriersumme \(S_N(t)\) auf. Auch wenn \(N\) groß gewählt wird, verbleibt immer ein Überschwinger von ca. \(9\,\%\) der Sprunghöhe vor und nach dem Sprung. Dieser Effekt heißt Gibbs-Effekt und kann durch die Approximation durch die Mittelwerte \(\sigma _N(t)\) vermieden werden. Diese ist zwar schlechter in der \(L^2\)-Norm, aber dafür konvergiert sie gleichmäßig, d. h. solche Überschwinger können nicht auftreten. Dies liegt daran, dass in \(\sigma _N(t) = \sum _{k=-N}^N \alpha _k(N) e^{\i kt}\) die Gewichte \(\alpha _k(N)\) für jedes \(N\) unterschiedlich sind.

Zusammenfassung zur Konvergenz von Fourier-Reihen:

• Für \(f \in L^2([-\pi , \pi ], dx)\) ist \(\{\varphi _n\}_{n \in \integer }\) mit \(\varphi _n(t) = \frac {1}{\sqrt {2\pi }} e^{\i nt}\) eine ONB. Für die Fourierkoeff. \(\gamma _k = \innerproduct {f, \varphi _k}_{L^2} = \frac {1}{\sqrt {2\pi }} \int _{[-\pi , \pi ]} f(t) e^{-\i kt}\dt \) gilt \(\sum _{k \in \integer } |\gamma _k|^2 = \norm {f}_{L^2}^2 = \int _{[-\pi , \pi ]} |f(t)|^2 \dt \).
  Außerdem konvergiert \(f(x) = \sum _{k \in \integer } \frac {\gamma _k}{\sqrt {2\pi }} e^{\i kx}\) absolut im \(L^2\). Es gilt: Für \(f \in L^2([-\pi , \pi ], dx)\) konvergiert \(S_N(t) \xrightarrow {(\cdot )} f(t)\) punktweise Lebesgue-fast-überall (Satz von Carleson).

• Für \(f \in \C _p([-\pi , \pi ], \complex )\) lassen sich wegen \(\C _p \subset L^2\) die gleichen Schlussfolgerungen ziehen. Im Allgemeinen weiß man zwar nicht, wo die Lebesgue-Nullmenge liegt, auf der die Fourier-Reihe nicht konvergiert. Allerdings lässt sich hier der Satz von Fejer anwenden, der eine gleichmäßige Konvergenz von \(\sigma _N\) gibt (d. h. \(\sigma _N \xrightarrow {\norm {\cdot }_{\C _p}} f\)). Wichtig ist, dass für den Satz gebraucht wurde, dass \(\phi _n\) eine Delta-Folge ist – mit \(\D _k\) geht das nicht (\(\not \ge 0\)). Konvergenz von \(S_N(t)\) lässt sich somit nur über die Dini-Bedingung mit zusätzlichen Voraussetzungen beweisen (Stetigkeit reicht nicht aus).

• Für \(f \in L^1([-\pi , \pi ], dx)\) existieren zwar die Fourier-Koeff. \(c_k = \frac {1}{2\pi } \int _{[-\pi , \pi ]} f(t) e^{-\i kt} \dt \),
  aber wegen \(L^1 \not \subset L^2\) lässt sich die \(L^2\)-Theorie nicht verallgemeinern.
  Es gibt aber einen \(L^1\)-Satz von Fejer (für \(f \in L^1([-\pi , \pi ], dx)\) gilt \(\sigma _N \xrightarrow {\norm {\cdot }_{L^1}} f\)).

Wichtige Eigenschaften der Fourier-Transformation

Für \(f \in L^1(\real , dx)\) und \(\lambda \in \real \) ist die Fouriertransformierte definiert als
\(\widehat {f}(\lambda ) = \F [f](\lambda ) = \frac {1}{\sqrt {2\pi }} \int _\real f(x) e^{-\i \lambda x}\dx \).
\(\F [f]\) ist stetig auf \(\real \) und es gilt \(\F [f](\lambda ) \to 0\) für \(\lambda \to \pm \infty \). Falls \(f\) in \(t = t_0\) die Dini-Bedingung erfüllt, dann gilt \(f(t_0) = \frac {1}{\sqrt {2\pi }} \int _{-\infty }^{+\infty } \F [f](\lambda ) e^{\i \lambda t_0} d\lambda \). Man schreibt auch \(f(t_0) = \F ^{-1}[\F [f]](t_0)\).
Wegen \(|\F [f](\lambda )| \le \frac {1}{\sqrt {2\pi }} \cdot \norm {f}_{L^1}\) ist \(\F \colon L^1(\real , dx) \rightarrow \C (\real , \complex )\) ein linearer und stetiger Operator.

Lemma: Sei \(f(t), t f(t), \dotsc , t^n f(t) \in L^1(\real , dx)\).
Dann ist \(\widehat {f} = \F [f]\) \(n\)-mal stetig differenzierbar und es gilt \(\F ^{(k)}[f](\lambda ) = \F [(-\i t)^k f(t)](\lambda )\),
insbesondere gilt \(\F ^{(k)}[f](\lambda ) \to 0\) für \(\lambda \to \pm \infty \) und \(k = 0, \dotsc , n\).

Lemma: Seien \(f\) \(n\)-fach stetig differenzierbar und \(f, f’, \dotsc , f^{(n)} \in L^1(\real , dx)\).
Dann gilt \(\F [f^{(k)}](\lambda ) = (\i \lambda )^k \F [f](\lambda )\), insbesondere gilt \(\F [f](\lambda ) = o(|\lambda |^{-n})\) für \(\lambda \to \pm \infty \).

Schwartzsche Funktionenklasse \(\S (\real )\): Für \(f \colon \real \rightarrow \complex \) beliebig oft differenzierbar sei
\(f \in \S (\real )\), falls \(\forall _{p, q \in \natural _0} \exists _{C(p, q) < \infty } \forall _{x \in \real }\; |x^p f^{(q)}(x)| \le C(p, q)\).
\(\S (\real )\) heißt Schwartzsche Funktionenklasse und wird zur Betonung der Variablen auch manchmal als \(\S _t(\real )\) geschrieben.

Fourier-Transformation als Bijektion zwischen \(\S (\real )\)-Räumen:
Für \(f \in \S _t(\real )\) gilt \(\F [f] \in \S _\lambda (\real )\) und \(\F \colon \S _t(\real ) \rightarrow \S _\lambda (\real )\) ist eine Bijektion.

Faltung: Seien \(f, g \in L^1(\real , dx)\).
Dann ist die Faltung \(f \ast g\colon \real \rightarrow \complex \) definiert als \((f \ast g)(t) := \int _\real f(\tau ) g(t - \tau ) \d \tau \).

In welchem Sinn existiert \(f \ast g\)?
Der Satz von Fubini lässt aus \(h(t, \tau ) \in L^1(\real ^2, d(t, \tau ))\) folgern, dass
\(\int _{\real ^2} h(t, \tau ) d(t, \tau ) = \int _\real \left (\int _\real h(t, \tau ) \dt \right ) \d \tau = \int _\real \left (\int _\real h(t, \tau ) \d \tau \right ) \dt \).
Die Funktionen in Klammern existieren jeweils fast überall und sind Lebesgue-integrierbar.
Für \(h(t, \tau ) = f(\tau ) g(t - \tau )\) folgt, dass \(\norm {f \ast g}_{L^1} = \int _\real |(f \ast g)(t)| \dt = \int _\real |\int _\real f(\tau ) g(t - \tau ) \d \tau | \dt \)
\(\le \int _\real \left (\int _\real |f(\tau )| |g(t - \tau )| \d \tau \right ) \dt = \int _\real |f(\tau )| \left (\int _\real |g(t - \tau )| \dt \right ) \d \tau = \int _\real |f(\tau )| \d \tau \cdot \norm {g}_{L^1}\)
\(= \norm {f}_{L^1} \cdot \norm {g}_{L^1}\), daraus folgt die Ungleichung von Hausdorff-Young
\(\norm {f \ast g}_{L^1} \le \norm {f}_{L^1} \cdot \norm {g}_{L^1}\) und die Faltung ist eine Lebesgue-integrierbare Funktion, die in \(t\) bis auf eine Lebesgue-Nullmenge existiert.

Lemma: Für \(f, g \in L^1(\real , dx)\) gilt \(\frac {1}{\sqrt {2\pi }} \F [f \ast g](\lambda ) = \F [f](\lambda ) \cdot \F [g](\lambda )\).

Fourier-Transformation im \(L^2(\real , dx)\):
Für beschränkte Intervalle ist \(L^2 \subset L^1\), da zum Beispiel
\(\norm {f}_{L^1} = \int _{[-\pi , \pi ]} |f| \cdot 1 \dx \le \left (\int _{[-\pi , \pi ]} |f|^2 \dx \right )^{1/2} \cdot \left (\int _{[-\pi , \pi ]} 1^2 \dx \right )^{1/2} = \sqrt {2\pi } \norm {f}_{L^2} < \infty \)
aufgrund der Hölderschen Ungleichung,
es gilt also \(f \in L^2([-\pi , \pi ], dx) \;\Rightarrow \; f \in L^1([-\pi , \pi ], dx)\).

Allerdings gilt im Allgemeinen \(f \in L^2(\real , dx) \;\not \Rightarrow \; f \in L^1(\real , dx)\)! Somit kann das Fourier-Integral evtl. nicht definiert sein.

Im Folgenden nutzt man aus, dass man zeigen kann, dass \(\S (\real )\) dicht in \(L^2(\real , dx)\) ist.
Für \(f, g \in \S (\real )\) ist \(\F [f], \F [g] \in \S (\real ) \subset L^2(\real , dx)\).

Satz von Plancherel für \(\S (\real )\): Für \(f, g \in \S (\real )\) gilt \(\innerproduct {\F [f], \F [g]}_{L^2} = \innerproduct {f, g}_{L^2}\),
d. h. \(\F \colon \S _t(\real ) \rightarrow \S _\lambda (\real )\) ist ein unitärer Operator. Insbesondere gilt \(\norm {\F [f]}_{L^2} = \norm {f}_{L^2}\).

Herleitung, Existenz: Um nun die Fourier-Transformation für eine Funktion \(f \in L^2(\real , dx)\) zu bestimmen, nutzt man die Existenz einer Folge \(\{f_n\}_{n \in \natural }\), \(f_n \in \S (\real )\) mit \(f_n \xrightarrow {L^2} f\) aus. Für die Fourier-Transformationen der Folgenglieder \(g_n := \F [f_n]\) gilt aufgrund des Satzes von Plancherel \(\norm {g_n - g_m}_{L^2} = \norm {\F [f_n] - \F [F_m]}_{L^2} = \norm {\F [f_n - f_m]}_{L^2} = \norm {f_n - f_m}_{L^2} < \varepsilon \), da \(\{f_n\}_{n \in \natural }\) eine Cauchy-Folge im \(L^2\) ist. Also ist auch \(\{\F [f_n]\}_{n \in \natural }\) eine Cauchy-Folge im \(L^2\) und aufgrund der Vollständigkeit von \(L^2(\real , dx)\) gibt es ein \(g \in L^2(\real , dx)\) mit \(g_n \xrightarrow {L^2} g\). Dieses \(g\) wird als Fourier-Transformation von \(f\) definiert.

Fourier-Transformation für \(f \in L^2(\real , dx)\): Sei \(f \in L^2(\real , dx)\).
Dann ist \(\F [f]\) definiert als \(\F [f] \overset {L^2}{:=} \lim _{n \to \infty } \F [f_n]\) für \(f_n \in \S (\real )\) mit \(f_n \xrightarrow {L^2} f\).

Eindeutigkeit: Die Definition könnte evtl. nicht eindeutig sein, da die \(f_n\) nicht eindeutig sein müssen. Für \(f_n, \widetilde {f}_n \in \S (\real )\) mit \(f_n, \widetilde {f}_n \xrightarrow {L^2} f\) gilt mit \(g_n = \F [f_n]\) und \(\widetilde {g}_n = \F [\widetilde {f}_n]\), dass \(\norm {g_n - \widetilde {g}_n}_{L^2} = \norm {\F [f_n - \widetilde {f}_n]}_{L^2} = \norm {f_n - \widetilde {f}_n}_{L^2} < \varepsilon \). Somit müssen die \(g_n\) und \(\widetilde {g}_n\) gegen den gleichen Grenzwert konvergieren. Daraus folgt die Eindeutigkeit von \(\F [f]\).

Abschluss eines Operators: Diese Vorgehensweise der Verallgemeinerung eines Operators und anschließender Verifikation der gewünschten Eigenschaften wird öfters angewandt und heißt Abschluss eines Operators. Allgemein gibt es für einen Hilbertraum \(H\), eine dichte Teilmenge \(D \subset H\) und einen linearen und beschränkten Operator \(T\colon D \rightarrow H\) eine lineare und beschränkte Fortsetzung \(\widetilde {T}\colon H \rightarrow H\) mit \(\widetilde {T}|_D = T\).

Für zwei Funktionen \(f, g \in L^2(\real , dx)\) lässt sich der Satz von Plancherel verallgemeinern: Ist \(f_n, g_n \in \S (\real )\) mit \(f_n \xrightarrow {L^2} f\) und \(g_n \xrightarrow {L^2} g\), so gilt einerseits \(\innerproduct {\F [f_n], \F [g_n]}_{L^2} = \innerproduct {f_n, g_n}_{L^2} \to \innerproduct {f, g}_{L^2}\) aufgrund des Satzes von Plancherel für \(\S (\real )\) und der Stetigkeit des Skalarprodukts, andererseits gilt aber \(\innerproduct {\F [f_n], \F [g_n]}_{L^2} \to \innerproduct {\F [f], \F [g]}_{L^2}\) aufgrund der Stetigkeit des Skalarprodukts und der Defintion von \(\F [f]\) bzw. \(\F [g]\). Also gilt \(\innerproduct {\F [f], \F [g]}_{L^2} = \innerproduct {f, g}_{L^2}\).

Satz von Plancherel für \(L^2(\real , dx)\): Für \(f, g \in L^2(\real , dx)\) gilt \(\innerproduct {\F [f], \F [g]}_{L^2} = \innerproduct {f, g}_{L^2}\),
d. h. \(\F \colon L^2(\real , dx) \rightarrow L^2(\real , dx)\) ist ein unitärer Operator. Insbesondere gilt \(\norm {\F [f]}_{L^2} = \norm {f}_{L^2}\).

Fourier-Transformation als Bijektion zwischen \(L^2(\real , dx)\)-Räumen:
\(\F \colon L^2(\real , dx) \rightarrow L^2(\real , dx)\) ist eine Bijektion.

Fourier-Transformation im \(\real ^d\): Sei \(d \in \natural \).

Multiindex: Man bezeichnet Elemente \(\alpha = (\alpha _1, \dotsc , \alpha _d) \in \natural _0^d\) als Multiindex.
\(|\alpha | := \sum _{j=1}^d \alpha _j\) heißt die Ordnung von \(\alpha \).
Für einen Vektor \(\xi = (\xi _1, \dotsc , \xi _d)\) und einen Multiindex \(\alpha \) schreibt man \(\xi ^\alpha := \xi _1^{\alpha _1} \dotsm \xi _d^{\alpha _d}\).

mehrfache partielle Ableitungen:
Falls die Ableitungen vertauscht werden können, schreibt man \(\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x^\alpha } = \partial ^\alpha := \frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_1^{\alpha _1} \dotsm \partial x_d^{\alpha _d}}\).

Schwartzsche Funktionenklasse \(\S (\real ^d)\): Für \(f \colon \real ^d \rightarrow \complex \) beliebig oft differenzierbar sei
\(f \in \S (\real ^d)\), falls \(\forall _{m, n \in \natural _0} \exists _{C(m, n) < \infty } \forall _{\alpha , \beta \in \natural _0^d,\; |\alpha | \le n,\; |\beta | \le m} \forall _{x \in \real }\; |x^\alpha \partial ^\beta f(x)| \le C(n, m)\).
\(\S (\real ^d)\) heißt Schwartzsche Funktionenklasse.

Fourier-Transformation im \(\real ^d\):
Für \(f \in \S (\real ^d)\) sei \(\F [f](\xi ) := \frac {1}{(2\pi )^{d/2}} \int _{\real ^d} f(x) e^{-\i \innerproduct {x, \xi }} \dx \) für \(\xi \in \real ^d\).

Wegen \(\innerproduct {x, \xi }_{\real ^d} = x_1 \xi _1 + \dotsb + x_d \xi _d\) gilt \(e^{-\i \innerproduct {x, \xi }} = e^{-\i x_1 \xi _1} \dotsm e^{-i x_d \xi _d}\). Nach dem Satz von Fubini gilt daher \(\F [f](\xi ) = \frac {1}{\sqrt {2\pi }} \int _\real e^{-\i x_d \xi _d} \Big (\frac {1}{\sqrt {2\pi }} \int _\real e^{-\i x_{d-1} \xi _{d-1}} \Big (\dotsb \)
\(\Big (\frac {1}{\sqrt {2\pi }} \int _\real e^{-\i x_1 \xi _1} f(x_1, \dotsc , x_d) \dx _1\Big )\dotsb \Big )\dx _{d-1}\Big )\dx _d\), d. h.
\(\F _{x \to \xi }[f] = \F _{x_d \to \xi _d}[\F _{x_{d-1} \to \xi _{d-1}}[\dotsb [ \F _{x_1 \to \xi _1}[f]]\dotsb ]]\) gilt für \(f \in L^1(\real ^d, dx)\).

Satz: Für \(f \in \S (\real ^d)\) ist \(\F [f] \in \S (\real ^d)\).

wichtige Formeln: Für \(f \in \S (\real ^d)\) gilt \(\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial \xi ^\alpha } \F [f](\xi ) = (-\i )^{|\alpha |} \F [x^\alpha f(x)](\xi )\) sowie
\(\F [\frac {\partial ^{|\beta |}}{\partial x^\beta } f(x)](\xi ) = \i ^{|\beta |} \xi ^\beta \F [f](\xi )\). Außerdem gilt \(\norm {\F [f]}_\C \le \frac {1}{(2\pi )^{d/2}} \norm {f}_{L^1}\), also \(\F \colon L^1(\real ^d, dx) \rightarrow \C \).

Satz: \(\F \colon \S (\real ^d) \rightarrow \S (\real ^d)\) ist eine Bijektion.

Satz: Für \(f, g \in \S (\real ^d)\) gilt \(\innerproduct {\F [f], \F [g]}_{L^2(\real ^d, dx)} = \innerproduct {f, g}_{L^2(\real ^d, dx)}\).

Man kann analog wie eben \(\F \) zu \(\F \colon L^2(\real ^d, dx) \rightarrow L^2(\real ^d, dx)\) erweitern. Die Formel von Plancherel gilt dann für alle \(f, g \in L^2(\real ^d, dx)\).

Satz: \(\F \colon L^2(\real ^d, dx) \rightarrow L^2(\real ^d, dx)\) ist eine Bijektion.