Lineare Algebra und Analytische Geometrie 2 – Ringe und Moduln

Kommutative Ringe und K-Algebren: Setting the Stage

Bemerkung: Mit der Jordanschen Normalform kann man zu einer Matrix eine ähnliche Matrix (Jordansche Normalform) bzw. zu einem Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraums eine Basis finden, die sich besonders „gutartig“ verhalten. Damit dies jedoch für alle Matrizen/Endomorphismen gilt, muss der Grundkörper algebraisch abgeschlossen sein, damit das charakteristische Polynom immer in Linearfaktoren zerfällt. Man sucht nun nach Alternativen, wenn der Körper nicht algebraisch abgeschlossen ist. Dafür muss man etwas weiter ausholen und die endlich-erzeugten Moduln über Hauptidealringen klassifizieren.
Da \(\integer \) ein Hauptidealring ist und die \(\integer \)-Moduln genau die abelsche Gruppen sind, bekommt man dabei als Nebenprodukt eine Klassifikation aller endlichen abelschen Gruppen.

Bemerkung: Beim Klassifikationsproblem ist eine Struktur durch Axiome gegeben (z. B. Vektorräume, Moduln, Gruppen usw.). Außerdem gibt es strukturerhaltende Abbildungen
(Morphismen), mit denen man die Objekte vergleichen kann.
Bei der Klassifizierung aller Objekte der Kategorie muss man dann eine Liste von Objekten (Prototypen) angeben, sodass 1. die Prototypen paarweise nicht isomorph sind und
2. jedes Objekt der Kategorie isomorph zu einem Prototyp ist.
Beim Wiedererkennungsproblem geht es darum, dass eine Kategorie durch eine Liste von Prototypen klassifiziert wurde und nun ein Objekt der Kategorie gegeben ist. Zu welchem Prototyp aus der Liste ist das Objekt dann isomorph?

Bemerkung: Im Folgenden seien \(K\) ein Körper und \(R\) ein kommutativer Ring bzw. eine \(K\)-Algebra mit Einselement \(1 = 1_R\).

Unterring: Sei \(S \subseteq R\) mit \(S \not = \emptyset \) nicht-leere Teilmenge von \(R\). Dann ist \(S\) ein Unterring von \(R\), falls \(r - s \in S\) und \(rs \in S\) für alle \(r, s \in S\) gilt.

Bemerkung: Die erste Bedingung sagt aus, dass \((S, +)\) eine abelsche Untergruppe von \((R, +)\) ist.
Ist \(1_R \in S\), so ist \(1_R = 1_S\) das Einselement von \(S\). Unterringe müssen jedoch nicht notwendigerweise dasselbe Einselement wie \(R\) haben, sie müssen nicht einmal ein Einselement besitzen. Bspw. ist \(2 \integer \) ein Unterring von \(\integer \), der kein Einselement besitzt.

Ringhomomorphismus: Seien \(R\) und \(S\) Ringe sowie \(f: R \rightarrow S\) eine Abbildung. \(f\) heißt Ringhomomorphismus, falls \(f(a + b) = f(a) + f(b)\) und \(f(ab) = f(a) f(b)\) für alle \(a, b \in R\).
Ist \(f(1_R) = 1_S\), so erhält \(f\) das Einselement. \(\ker f = \{r \in R \;|\; f(r) = 0_S\}\) heißt Kern und \(\im f = \{f(r) \;|\; r \in R\}\) heißt Bild von \(f\).
Mono-, Epi- und Isomorphismen sind analog zu Vektorräumen definiert.

Lemma (Kern und Bild): Sei \(f: R \rightarrow S\) Ringhomomorphismus. Dann ist \(\ker f\) ein Unterring von \(R\) und \(\im f\) ein Unterring von \(S\). Ist \(r \in \ker f\) sowie \(x \in R\), dann ist \(rx = xr \in \ker f\).

Ideal: Ein Unterring \(S\) von \(R\) heißt Ideal von R, falls \(rs \in S\) für alle \(s \in S, r \in R\).

Faktorring: Sei \(I \trianglelefteq R\). Dann ist die Menge \(R/I = \{a + I \;|\; a \in R\}\) der Restklassen modulo \(I\) eine abelsche Gruppe bzgl. der Addition \((a + I) + (b + I) = (a + b) + I\) mit Nullelement \(0 + I\). Durch \((a + I)(b + I) = ab + I\) für \(a, b \in R\) ist eine Multiplikation auf \(R/I\) definiert, die \(R/I\) zum Ring macht (Einselement \(1 + I\)). \(R/I\) heißt daher Faktorring von \(R\) modulo \(I\).

Lemma (kanonische Projektion): Sei \(I \trianglelefteq R\). Dann ist die Abbildung \(\pi : R \rightarrow R/I\), \(\pi (a) = a + I\) ein Ringepimorphismus, die sog. kanonische Projektion von \(R\) auf \(R/I\). Es gilt \(\ker \pi = I\), d. h. jedes Ideal von \(R\) kommt als Kern eines Ringhomomorphismus vor.

Bemerkung: \((0)\) und \(R\) sind Ideale von \(R\). Alle anderen Ideale heißen nicht-trivial/echt.
Sei \(f: R \rightarrow S\) Ringhomomorphismus, dann ist \(f\) surjektiv genau dann, wenn \(\im f = S\), und injektiv genau dann, wenn \(\ker f = (0)\) ist.
Sei \(A \subseteq R\), \(A \not = \emptyset \) eine nicht-leere Teilmenge von \(R\). Dann ist das von \(A\) erzeugte Ideal \(\aufspann {A} = \bigcap _{I \trianglelefteq R,\; A \subseteq I} I\) das kleinste Ideal von \(R\), das \(A\) als Teilmenge enthält.
Es gilt: \(\aufspann {A} = \{\sum _{a \in A} r_a a \;|\; r_a \in R \text { fast alle } 0\}\).
Der Durchschnitt von Idealen von \(R\) ist ein Ideal von \(R\).
Seien \(I, J \trianglelefteq R\) Ideale von \(R\). Dann ist \(I + J = \{a + b \;|\; a \in I,\; b \in J\}\) ein Ideal von \(R\) (die Summe der Ideale \(I\) und \(J\)), wobei \(I + J = \aufspann {I \cup J}\) gilt.
Die drei Isomorphiesätze gelten wie oben.

Satz (Ideal ist maximal \(\;\Leftrightarrow \;\) Faktorring ist Körper): Sei \(I \trianglelefteq R\) ein Ideal von \(R\). Dann ist \(I\) maximal genau dann (d. h. \(I \not = R\) und aus \(I \subsetneqq J \trianglelefteq R\) folgt \(J = R\)), wenn \(R/I\) ein Körper ist.

endlich erzeugt, Hauptideal, noethersch: Ein Ideal \(I \trianglelefteq R\) heißt endlich erzeugt, falls \(I = \aufspann {S}\) für eine endliche Teilmenge \(S \subseteq R\) ist. \(S\) heißt dann endliches Erzeugendensystem von I. Besteht \(S\) aus genau aus einem Element \(s\), so heißt \(I\) Hauptideal. In diesem Fall ist \(I = sR = \{sr \;|\; r \in R\}\). Ein Ring, in dem alle Ideale endlich erzeugt sind, heißt noethersch.

Satz (äquivalente Bedinungen für noethersch):
Sei \(R\) ein Ring. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent:
1. \(R\) ist noethersch.
2. Jede aufsteigende Kette \(I_1 \subseteq I_2 \subseteq \dotsb \) von Idealen von \(R\) wird stationär, d. h. es gibt ein \(n \in \natural \) mit \(I_k = I_n\) für alle \(k \ge n\).
3. Jede nicht-leere Menge von Idealen von \(R\) besitzt maximale Elemente bzgl. der Inklusion.

Produkt zweier Ideale: Seien \(I, J \trianglelefteq R\) zwei Ideale. Das Produkt \(I \cdot J\) ist das Ideal, das von der Menge \(\{i \cdot j \;|\; i \in I,\; j \in J\}\) erzeugt wird. Es gilt \(I \cdot J \subseteq I \cap J\).

invertierbar, Einheit: Ein Element \(a \in R\) heißt invertierbar oder Einheit, falls es ein \(b \in R\) mit \(ab = 1\) gibt. Das Inverse \(b = a^{-1} \in R\) ist dann eindeutig bestimmt und selbst invertierbar. Die Menge \(U(R)\) der invertierbaren Elemente von \(R\) bildet unter Multiplikation eine Gruppe, die Einheitengruppe von \(R\).

Polynomring: Sei \(R\) ein kommutativer Ring mit Eins. Dann besteht der Polynomring \(R[x]\) aus formalen Summen \(\sum _{i=0}^n \alpha _i x^i\) mit \(n \in \natural _0\), \(\alpha _i \in R\) und \(x\) Unbekannte. Ist \(p(x) = \sum _{i=0}^n \alpha _i x^i\) und \(\alpha _k \not = 0\), aber \(\alpha _m = 0\) für alle \(m > k\), so heißt \(k = \deg p(x)\) der Grad von \(p(x)\).
Die Addition und Multiplikation von zwei Polynomen ist wie die Multiplikation von Polynomen mit einem Skalar \(\lambda \in R\) wie üblich definiert (es gilt nicht mehr notwendigerweise \(\deg (p(x)q(x)) = \deg p(x) + \deg q(x)\)).
Der Polynomring \(R[x_1, \dotsc , x_n]\) in den Unbestimmten \(x_1, \dotsc , x_n\) ist induktiv durch
\(R[x_1, \dotsc , x_n] = (R[x_1, \dotsc , x_{n-1}])[x_n]\) definiert.
Er besteht aus formalen Summen \(\sum _{\mi {i} = (i_1, \dotsc , i_n) \in \natural ^n} \alpha _{\mi {i}} x_1^{i_1} \dotsm x_n^{i_n}\) mit \(\alpha _{\mi {i}} \in R\) gleich \(0\) für fast alle \(\mi {i} \in \natural ^n\). Terme der Form \(x^{\mi {i}} = x_1^{i_1} \dotsm x_n^{i_n}\) mit \(\mi {i} = (i_1, \dotsc , i_n) \in \natural ^n\) heißen Monome.

Satz (universelle Eigenschaft von \(K[x_1, \dotsc , x_n]\)): Seien \(K\) ein Körper und \(K[x_1, \dotsc , x_n]\) der Polynomring über \(K\). Dann hat \(K[x_1, \dotsc , x_n]\) folgende universelle Eigenschaft:
Es gibt eine Abbildung \(\iota : \{1, \dotsc , n\} \rightarrow K[x_1, \dotsc , x_n]\), nämlich die Abbildung gegeben durch \(\iota (i) = x_i\).
Sei \(R\) eine kommutative \(K\)-Algebra mit Einselement und \(f: \{1, \dotsc , n\} \rightarrow R\) eine Abbildung. Dann gibt es genau einen \(K\)-Algebrahomomorphismus \(\widehat {f}: K[x_1, \dotsc , x_n] \rightarrow R\) mit \(\widehat {f}(x_i) = f(i)\) für \(i = 1, \dotsc , n\), d. h. \(\widehat {f} \circ \iota = f\).

Bemerkung: Sind also \(s_1, \dotsc , s_n \in R\) beliebig, so kann man die Abbildung \(x_i \mapsto s_i\) zu einem \(K\)-Algebrahomomorphismus \(\sum _{\mi {i}} \alpha _{\mi {i}} x^{\mi {i}} \mapsto \sum _{\mi {i}} \alpha _{\mi {i}} s^{\mi {i}}\) fortsetzen.

Hauptidealringe (HIR)

Bemerkung: Im Folgenden sei \(R\) ein kommutativer Ring oder \(K\)-Algebra mit Eins.

Nullteiler, Integritätsbereich: Ein Element \(a \in R\) heißt Nullteiler, falls es ein \(b \in R\), \(b \not = 0\) gibt, sodass \(ab = 0\) ist.
Besitzt \(R\) außer \(0\) keinen Nullteiler, so heißt \(R\) Integritätsbereich oder nullteilerfrei.

Quotientenkörper: Sei \(R\) ein Integritätsbereich.
Auf der Menge \(\{(a, b) \in R \times R \;|\; b \not = 0\}\) definiert man eine Äquivalenzrelation durch
\((a, b) \sim (c, d) \;\Leftrightarrow \; ad = bc\). Die Äquivalenzklasse von \((a, b)\) wird mit \(\frac {a}{b}\) bezeichnet.
Auf der obigen Menge kann man mit \(a, b, c, d \in R\), \(b, d \not = 0\) eine Addition und Multiplikation definieren durch \(\frac {a}{b} + \frac {c}{d} = \frac {ad + bc}{bd}\) und \(\frac {a}{b} \cdot \frac {c}{d} = \frac {ac}{bd}\).
Damit wird \(K = \{\frac {a}{b} \;|\; a, b \in R,\; b \not = 0\}\) ein Körper, der sog. Quotientenkörper \(Q(R)\) von \(R\).
Die Abbildung \(R \rightarrow K\), \(r \mapsto \frac {r}{1}\) ist ein injektiver Ringhomomorphismus, sodass man \(R\) als Unterring des Körpers \(K = Q(R)\) betrachten kann.

Hauptidealring: Ein Integritätsbereich \(R\) heißt Hauptidealring (HIR), falls jedes Ideal von \(R\) ein Hauptideal ist.

Euklidische Ringe: Ein Integritätsbereich \(R\) heißt Euklidischer Ring, falls es eine Abbildung (Gradfunktion) \(\deg : R \rightarrow \natural _0 \cup \{-1\}\) gibt, sodass
1. für alle \(r \in R\) mit \(r \not = 0\) gilt, dass \(\deg 0 < \deg r\), und
2. für alle \(f, g \in R\) mit \(g \not = 0\) es \(q, r \in R\) mit \(\deg r < \deg g\) gibt, sodass \(f = q \cdot g + r\) ist.

Bemerkung: Beispiele für Euklidische Ringe sind \(\integer \) mit \(\deg z = |z|\) sowie \(K[x]\).

Satz (ERs sind HIRs): Euklidische Ringe sind Hauptidealringe.

Folgerung: Also sind auch \(\integer \) und \(K[x]\) Hauptidealringe.

Teilbarkeit: Seien \(R\) ein Integritätsbereich und \(a, b \in R\).
Dann teilt \(a\) \(b\), d. h. \(a|b\), falls es ein \(c \in R\) mit \(b = ca\) gibt. Es gilt \(a|b \;\Leftrightarrow bR \subseteq aR\).

assoziiert: Seien \(R\) ein Integritätsbereich und \(a, b \in R\).
Dann heißen \(a\) und \(b\) assoziiert, falls es eine Einheit \(u \in U(R)\) gibt mit \(a = bu\).

Lemma (assoziiert): Sei \(R\) ein Integritätsbereich. Dann ist „assoziiert sein“ eine Äquivalenzrelation und \(a, b \in R\) sind assoziiert \(\;\Leftrightarrow \; aR = bR \;\Leftrightarrow \; a|b \;\land \; b|a\).

ggT und kgV: Seien \(R\) ein Integritätsbereich und \(a, b \in R\).
\(c \in R\) heißt größter gemeinsamer Teiler von \(a\) und \(b\), falls \(c|a\) und \(c|b\) sowie für \(d \in R\) mit \(d|a\) und \(d|b\) auch \(d|c\) gilt. Der größte gemeinsame Teiler \(\ggT (a, b)\) von \(a\) und \(b\) ist, falls er existiert, bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmt.
\(c \in R\) heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches von \(a\) und \(b\), falls \(a|c\) und \(b|c\) sowie für \(d \in R\) mit \(a|d\) und \(b|d\) auch \(c|d\) gilt. Das kleinste gemeinsame Vielfache \(\kgV (a, b)\) von \(a\) und \(b\) ist, falls es existiert, bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmt.
Ist \(R\) ein HIR, dann existieren \(\ggT (a, b)\) und \(\kgV (a, b)\) und es gilt
\(aR + bR = \ggT (a, b)R\), \(aR \cap bR = \kgV (a, b)R\) sowie \((aR) \cdot (bR) = abR\).

Bemerkung: Teilbarkeit ist eine Ordnungsrelation auf der Menge der Assoziiertenklassen von \(R\), nicht auf \(R\) selbst.

Primideal: Seien \(R\) ein kommutativer Ring mit Eins und \(P \trianglelefteq R\).
Dann heißt \(P\) Primideal, falls für alle \(x, y \in R\) mit \(xy \in P\) gilt, dass \(x \in P\) oder \(y \in P\) ist.

Satz (Primideale): \(R\) ist ein Integritätsbereich genau dann, wenn \((0)\) ein Primideal ist.
Sei \(P \trianglelefteq R\). Dann ist \(P\) ein Primideal genau dann, wenn \(R/P\) ein Integritätsbereich ist.

Folgerung: Sei \(M\) ein maximales Ideal von \(R\). Dann ist \(M\) ein Primideal.

irreduzibel, Primelement: Seien \(R\) ein kommutativer Ring mit Eins und \(a \in R\) mit \(a \not = 0\).
\(a \not = 0\) heißt irreduzibel, falls \(a\) eine Nicht-Einheit und nicht als Produkt zweier Nicht-Einheiten darstellbar ist, d. h. \(a \notin U(R)\) sowie für alle \(x, y \in R\) mit \(a = xy\) gilt \(x \in U(R)\) oder \(y \in U(R)\).
\(a \not = 0\) heißt Primelement, falls \(aR\) ein Primideal ist, d. h. aus \(a|xy\) folgt \(a|x\) oder \(a|y\).

Satz (in Integritätsbereichen sind Primelemente irreduzibel):
Seien \(R\) ein Integritätsbereich und \(p \in R\) Primelement. Dann ist \(p\) irreduzibel.

Zerlegung in irreduzible Faktoren: Seien \(R\) ein kommutativer Ring mit Eins und \(a \in R\) mit \(a \not = 0\).
Dann besitzt \(a \not = 0\) eine Zerlegung in irreduzible Faktoren, falls \(a = \varepsilon \pi _1 \dotsm \pi _r\) mit \(\varepsilon \in U(R)\), \(\pi _i \in R\) irreduzible Elemente und \(r \in \natural _0\).
\(a \not = 0\) besitzt eine eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren, falls zusätzlich gilt:
Ist \(a = \varepsilon ’ \pi _1’ \dotsm \pi _s’\) mit \(\varepsilon ’ \in U(R)\), \(\pi _i’ \in R\) irreduzibel und \(s \in \natural _0\) eine weitere solche Zerlegung, dann ist \(s = r\) und nach Umnummerierung sind die \(\pi _i\) und \(\pi _i’\) assoziiert (\(i = 1, \dotsc , r\)), d. h. es gibt \(\varepsilon _1, \dotsc , \varepsilon _r \in U(R)\) mit \(\pi _i’ = \varepsilon _i \pi _i\) für \(i = 1, \dotsc , r\).

faktoriell: Ein Integritätsbereich heißt faktoriell (UFD, unique factorisation domain), falls jedes Element von \(R\) ungleich \(0\) eine eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt.

Satz (in UFDs stimmen irreduzible und Primelemente überein):
Sei \(R\) faktoriell und \(p \in R\) irreduzibel.
Dann ist \(p\) ein Primelement, d. h. für UFDs stimmen irreduzible und Primelemente überein.

Satz (Kriterium für UFD): Sei \(R\) ein Integritätsbereich. Dann ist \(R\) UFD genau dann, wenn
1. jede aufsteigende Kette von Hauptidealen stationär wird und
2. jedes irreduzible Element von \(R\) Primelement ist.

Satz (in HIRs sind irreduzible Elemente Primelemente): Sei \(R\) ein Hauptidealring.
Dann ist jedes irreduzible Element von \(R\) ein Primelement.

Satz (HIRs sind UFDs): Hauptidealringe sind UFDs.

Satz (Primideale von HIRs sind maximal): Sei \(R\) ein Hauptidealring. Dann ist jedes Primideal \(P \not = (0)\) von \(R\) maximal und daher ist \(R/P\) ein Körper.

Moduln

Modul: Sei \(A\) ein Ring mit Einselement oder eine \(K\)-Algebra mit einem Körper \(K\). Ein \(A\)-Linksmodul ist eine abelsche Gruppe \((M, +)\) zusammen mit einer äußeren binären Operation \(A \times M \rightarrow M\), \((a, m) \mapsto am\), sodass
M1) \(1_A m = m\) M2) \(a(bm) = (ab)m\)
M3) \((a + b)m = am + bm\) M4) \(a(m_1 + m_2) = am_1 + am_2\)
für alle \(a, b \in A\) und \(m, m_1, m_2 \in M\) gilt.
Analog wird ein \(A\)-Rechtsmodul definiert (Operation \(M \times A \rightarrow M\), \((m, a) \mapsto ma\)).
Man kann auch Moduln für Ringe ohne Einselement betrachten oder Moduln, bei denen \(1_A\) nicht notwendigerweise wie die Eins operiert, d. h. M1) entfällt. Will man betonen, dass M1) immer gilt, so spricht man von einem unitalen Modul.
Im Folgenden ist ein \(A\)-Modul immer ein unitaler \(A\)-Linksmodul.

Satz (Linksmodul als Rechtsmodul und Vektorraum): Ist \(R\) kommutativer Ring mit Eins und \(M\) ein \(R\)-Linksmodul, so wird \(M\) zum \(R\)-Rechtsmodul, indem man \(M \times A \rightarrow M\), \((m, a) \mapsto am\) definiert. Bei nicht-kommutativen Ringen gilt dies i. A. nicht, da dann M2) verletzt ist.
Ist \(A\) eine \(K\)-Algebra und \(M\) ein \(A\)-Linksmodul, so wird \(M\) zum \(K\)-Vektorraum mit
\(\lambda m = (\lambda \cdot 1_A) m\) für \(\lambda \in K\), \(m \in M\).

Satz (abelsche Gruppe sind \(\integer \)-Moduln): Sei \((M, +)\) eine abelsche Gruppe.
Dann wird \(M\) zum \(\integer \)-Modul mit \(z \cdot m = m + \dotsb + m\) (\(z\)-mal) für \(z > 0\), \(z \cdot m = -(m + \dotsb + m)\) (\(-z\)-mal) für \(z < 0\) und \(z \cdot m = 0\) für \(z = 0\). Umgekehrt ist jeder \(\integer \)-Modul eine abelsche Gruppe nach Definition. Macht man diese zu einem \(\integer \)-Modul, so erhält man die ursprüngliche \(\integer \)-Modulstruktur zurück. Daher sind die \(\integer \)-Moduln genau die abelschen Gruppen.

Darstellung: Homomorphismen \(f: A \rightarrow \End (M,+)\) für Ringe und \(f: A \rightarrow \End _K(M)\) für \(K\)-Algebren \(A\) heißen (lineare) Darstellungen von \(A\).
Seien \(A\) ein Ring mit Eins und \(M\) ein \(A\)-Modul. Für \(a \in A\) definiert man \(f_a: M \rightarrow M\), \(m \mapsto am\). Dann ist \(f_a \in \End (M,+)\) und \(F: A \rightarrow \End (M,+)\), \(a \mapsto f_a\) ist ein Ringhomomorphismus, der die Eins enthält. Ist \(A\) eine \(K\)-Algebra, so ist \(f_a \in \End _K(M)\) und \(F\) ist \(K\)-Algebrahomomorphismus. \(F\) heißt die zum \(A\)-Modul \(M\) gehörende Darstellung von \(A\).
Darstellungen und Moduln sind völlig äquivalente Konzepte.

trivialer Modul: Der Nullmodul \((0)\) ist ein \(A\)-Modul mit \(A\)-Operation \(a \cdot 0 = 0\) für alle \(a \in A\). Er heißt trivialer Modul.

regulärer Modul: \(A\) wird zum \(A\)-Modul \({}_A A\), wobei \(a \in A\) auf \(A\) durch die normale Linksmultiplikation operiert. Er heißt regulärer Modul.

Folgerung: Jedes Linksideal und daher auch jedes Ideal von \(A\) ist \(A\)-Modul.

Modulhomomorphismus: Seien \(A\) ein Ring mit Eins und \(M, N\) \(A\)-Moduln.
Eine Abbildung \(f: M \rightarrow N\) heißt (\(A\)-Modul-)Homomorphismus, falls \(f\) ein Homomorphismus der abelschen Gruppen \((M,+)\) und \((N,+)\) ist, der zusätzlich die \(A\)-Operation respektiert, d. h. \(f(am) = af(m)\) für alle \(a \in A\), \(m \in M\).
\(\ker f = \{m \in M \;|\; f(m) = 0_N\}\) heißt Kern, \(\im f = \{f(m) \;|\; m \in M\}\) heißt Bild von \(f\).
Injektive/surjektive/bijektive Homomorphismen heißen Mono-/Epi-/Isomorphismen.
\(M\) und \(N\) heißen isomorph (\(M \cong N\)), falls es einen Isomorphismus \(f: M \rightarrow N\) gibt.

Bemerkung: Seien \(A\) ein Ring mit Eins und \(M, N\) \(A\)-Moduln.
Untermodul: Eine nicht-leere Teilmenge \(U \subseteq M\), \(U \not = \emptyset \) heißt Untermodul von \(M\), falls \((U,+)\) abelsche Untergruppe von \((M,+)\) ist und \(a \cdot u \in U\) für alle \(a \in A\), \(u \in U\) ist. Man schreibt dann \(U \ur M\).
Die \(A\)-Untermoduln von \({}_A A\) sind genau die Linksideale von \(A\).
Durchschnitt von Untermoduln: Der Durchschnitt von Untermoduln von \(M\) ist wieder ein Untermodul von \(M\). Dabei handelt es sich um den größten Untermodul von \(M\), der in allen geschnittenen Untermoduln enthalten ist.
Aufspann einer Teilmenge: Sei \(S \subseteq M\). Der von \(S\) erzeugte Untermodul \(U = \aufspann {S}\) ist definiert als \(\bigcap _{U \ur M,\; U \supseteq S} U\), der eindeutig bestimmte, kleinste Untermodul von \(M\), der \(S\) als Teilmenge enthält. \(S\) heißt Erzeugendensystem von \(U\). \(M\) heißt endlich erzeugt, falls es eine endliche Menge \(S \subseteq M\) gibt mit \(\aufspann {S} = M\). Es gilt \(\aufspann {S} = \left .\left \{\sum _{s \in S} a_s s \;\right |\; a_s \in A \text { fast alle } 0_A\right \}\).
Summe von Untermoduln: Sei \(U_i \ur M\) für \(i \in I\).
Die Summe \(U = \sum _{i \in I} U_i\) ist definiert als \(\aufspann {\bigcup _{i \in I} U_i}\). Es gilt \(U = \left .\left \{\sum _{i \in I} u_i \;\right |\; u_i \in U_i \text { fast alle } 0_A\right \}\).
Faktormodul: Sei \(U \ur M\). Man definiert eine Äquivalenzrelation auf \(M\) mit \(x \equiv y \mod U \;\Leftrightarrow \; x - y \in U\) für \(x, y \in M\). Die Äquivalenzklasse von \(x \in M\) ist dann die Nebenklasse
\(x + U = \{x + u \;|\; u \in U\}\). Auf der Menge der Äquivalenzklassen \(M/U = \{x + U \;|\; x \in M\}\) wird eine Addition \((x + U) + (y + U) = (x + y) + U\) sowie eine \(A\)-Operation durch \(a(x + U) = ax + U\) definiert. Diese sind wohldefiniert und machen \(M/U\) zu einem \(A\)-Modul, dem Faktormodul. Die Abbildung \(\pi : M \rightarrow M/U\), \(\pi (m) = m + U\) ist ein Epimorphismus (Projektion von \(M\) auf \(M/U\)).
Modulhomomorphismus: Sei \(f: M \rightarrow N\) ein \(A\)-Homomorphismus. Dann ist \(\ker f \ur M\) und \(\im f \ur N\).
Sei \(f: M \rightarrow N\) ein Isomorphismus. Dann ist \(f^{-1}: N \rightarrow M\) ebenfalls einer. Die Relation „isomorph sein“ ist Äquivalenzrelation auf der Klasse der \(A\)-Moduln.
1. Isomorphiesatz: Sei \(f: M \rightarrow N\) eine \(A\)-lineare Abbildung und \(U \ur M\) mit \(U \subseteq \ker f\). Dann gibt es genau eine \(A\)-lineare Abbildung \(\widetilde {f}: M/U \rightarrow N\) mit \(\widetilde {f} \circ \pi = f\). Es gilt \(\im \widetilde {f} = \im f\) und \(\ker \widetilde {f} = (\ker f)/U\). \(\widetilde {f}\) ist gegeben durch \(\widetilde {f}(m + U) = f(m)\). Ist insbesondere \(\ker f = U\), so ist \(\widetilde {f}\) ein \(A\)-Modulisomorphismus von \(M/(\ker f)\) auf \(\im f\) und \(M/(\ker f) \cong \im f\).
2. Isomorphiesatz: Seien \(U, V \ur M\). Dann ist \((U + V)/V \cong U/(U \cap V)\).
3. Isomorphiesatz: Seien \(U \ur V \ur M\). Dann ist \(V/U \ur M/U\) und \((M/U)/(V/U) \cong (M/V)\).
Modul über \(K\)-Algebra als Vektorraum: Ist \(A\) eine \(K\)-Algebra, so ist \(M\) ein \(K\)-Vektorraum mit \(\lambda m = (\lambda \cdot 1_A) m\) für \(\lambda \in K\), \(m \in M\). Dabei sind Untermoduln von \(M\) auch \(K\)-Unterräume und \(A\)-lineare Abbildungen zwischen \(A\)-Moduln sind auch \(K\)-linear.
direkte Summe: Seien \(M_i \ur M\) für \(i \in I\). Die Summe \(U = \sum _{i \in I} M_i\) heißt (interne) direkte Summe der \(M_i\), falls \(M_i \cap \sum _{j \in I,\; j \not = i} M_j = (0)\) für alle \(i \in I\) ist. Dies gilt genau dann, wenn jedes \(u \in U\) eindeutig als \(u = \sum _{i \in I} x_i\) mit \(x_i \in M_i\) fast alle \(0\) dargestellt werden kann.
Sind \(M_i\) für \(i \in I\) eine Menge von \(A\)-Moduln, so ist die (äußere) direkte Summe
\(\bigoplus _{i \in I} M_i = \{(x_i)_{i \in I} \;|\; x_i \in M_i \text { fast alle } 0\}\) mit Addition und \(A\)-Operation definiert durch \((x_i)_{i \in I} + (y_i)_{i \in I} = (x_i + y_i)_{i \in I}\) und \(a (x_i)_{i \in I} = (ax_i)_{i \in I}\). Damit ist \(\bigoplus _{i \in I} M_i\) ein \(A\)-Modul.

freier Modul: Ein \(A\)-Modul \(M\) heißt frei, falls er isomorph zu einer direkten Summe von Kopien des regulären \(A\)-Moduls \({}_A A\) ist.

Basis: Sei \(M\) ein \(A\)-Modul. Dann heißt eine Teilmenge \(S \subseteq N\) linear unabhängig, falls es nur die triviale Darstellung der \(0\) gibt, d. h. aus \(\sum _{s \in S} a_s s = 0\), \(a_s \in A\) fast alle \(0\) folgt, dass \(a_s = 0\) für alle \(s \in S\).
Eine linear unabhängiges Erzeugendensystem von \(N\) heißt Basis von \(N\).
\(S\) ist eine Basis von \(N\) genau dann, wenn sich jedes Element von \(N\) eindeutig als Linearkombination \(\sum _{s \in S} a_s s\), \(a_s \in A\) fast alle \(0\) darstellen lässt.
In diesem Fall gilt dann \(N = \bigoplus _{s \in S} A s\) mit \(A s = \{as \;|\; a \in A\}\).

Satz (Modul ist frei \(\;\Leftrightarrow \;\) Modul hat eine Basis): Sei \(M\) ein \(A\)-Modul.
Dann ist \(M\) frei genau dann, wenn \(M\) eine \(A\)-Basis besitzt.

Bemerkung: Der Basissatz für Vektorräume sagt, dass alle \(K\)-Vektorräume für einen Körper \(K\) frei sind. I. A. haben jedoch \(A\)-Moduln keine \(A\)-Basis. Ist \(A\) eine \(K\)-Algebra, so ist ein \(A\)-Modul zugleich ein \(K\)-Vektorraum und muss daher eine \(K\)-Basis besitzen.

(kurze) exakte Folge: Seien \(M_1, M_2, \dotsc , M_i, \dotsc \) \(A\)-Moduln und \(\alpha _i: M_i \rightarrow M_{i+1}\) \(A\)-linear.
\(M_1 \xrightarrow {\alpha _1} M_2 \xrightarrow {\alpha _2} \dotsb \xrightarrow {\alpha _{i-1}} M_i \xrightarrow {\alpha _i} \dotsb \) heißt exakte Folge, falls \(\ker \alpha _{i+1} = \im \alpha _i\) für alle \(i \in \natural \) ist.
Eine exakte Folge der Form \((0) \rightarrow N \xrightarrow {\alpha } M \xrightarrow {\beta } E \rightarrow (0)\) heißt kurze exakte Folge (keF).

Bemerkung: Es gibt genau einen \(A\)-Modulhomomorphismus \((0) \rightarrow N\) und \(E \rightarrow (0)\) (Nullabbildung).
Die Folge \((0) \rightarrow N \xrightarrow {\alpha } M \xrightarrow {\beta } E \rightarrow (0)\) ist exakt genau dann, wenn \(\alpha \) injektiv, \(\beta \) surjektiv sowie \(\ker \beta = \im \alpha \) ist. In diesem Fall gilt nach dem 1. Isomorphiesatz \(N/\im \alpha \cong E\).
Ist \(M\) ein \(A\)-Modul, \(U \ur M\), so gibt es immer eine keF \((0) \rightarrow U \xrightarrow {\alpha } M \xrightarrow {\beta } M/U \rightarrow (0)\), wobei \(\alpha \) die natürliche Einbettung von \(U\) in \(M\) und \(\beta \) die natürliche Projektion von \(M\) auf \(M/U\) ist.

Satz (Erzeugendensystem von epimorphen Bildern): Seien \(M, N\) \(A\)-Moduln, \(f: M \rightarrow N\) ein \(A\)-Epimorphismus und \(S \subseteq M\) ein Erzeugendensystem für \(M\). Dann wird \(N\) von \(f(S)\) erzeugt, d. h. insbesondere sind epimorphe Bilder von endlich erzeugten \(A\)-Moduln endlich erzeugt.

Satz (\(N, E\) endlich erzeugt \(\Rightarrow M\) ebenfalls):
Sei \((0) \rightarrow N \xrightarrow {\alpha } M \xrightarrow {\beta } E \rightarrow (0)\) keF von \(A\)-Moduln. Sind \(N\) und \(E\) endlich erzeugt, so auch \(M\).

Satz (\(M\) als direkte Summe):
Seien \((0) \rightarrow N \xrightarrow {\alpha } M \xrightarrow {\beta } E \rightarrow (0)\) keF von \(A\)-Moduln und \(E\) freier \(A\)-Modul.
Dann gibt es ein \(U \ur M\) mit \(U \cong E\) und \(M = \im \alpha \oplus U\).

Satz (Rang freier Moduln über noethersche Ringe ist wohldefiniert):
Seien \(R\) ein kommutativer, noetherscher Ring mit Eins und \(M\) ein freier \(R\)-Modul.
Sind \(\{m_\alpha \;|\; \alpha \in \mathcal {A}\}\) und \(\{v_\beta \;|\; \beta \in \mathcal {B}\}\) Basen von \(M\) mit Indexmengen \(\mathcal {A}\) und \(\mathcal {B}\), so ist \(|\mathcal {A}| = |\mathcal {B}|\).

Bemerkung: Der Beweis des vorherigen Satzes funktioniert auch für Ringe \(R\), die nicht kommutativ sind und kein Einselement haben, solange \(R\) maximale Ideale besitzt.
Hat \(R\) ein Einselement, so kann man aus dem Zornschen Lemma die Existenz von maximalen Idealen folgern, d. h. auch hier ist der Rang eines freien \(R\)-Moduls wohldefiniert.
Da Hauptidealringe noethersch sind, gilt der Satz insbesondere für HIRs (sogar ohne Zornsches Lemma).

Rang: Seien \(R\) ein kommutativer noetherscher Ring mit Eins und \(M\) ein freier \(R\)-Modul.
Dann ist der Rang \(\rg M\) definiert als Kardinalität einer Basis von \(M\) (unabhängig von der Wahl der Basis).

Lemma (Annullator): Seien \(A\) ein beliebiger Ring, \(I \trianglelefteq A\) und \(M\) ein \(A\)-Modul.
Dann ist \(I M\) ein \(A\)-Untermodul von \(M\). Die Menge \(\ann _A(M) = \{a \in A \;|\; \forall _{m \in M}\; am = 0\}\) ist ein Ideal von \(A\) und heißt Annullator von \(M\) in \(A\). Es gilt \(I \subseteq \ann _A(M/IM)\). Ist \(L \trianglelefteq A\) und \(L \subseteq \ann _A(M)\), so ist \(M\) ein \(A/L\)-Modul durch \((a + L)m = am\) für \(a \in A\), \(m \in M\).
\(M/IM\) ist \(A/I\)-Modul mit \(A/I\)-Operation \((a + I)(m + IM) = am + IM\).

Satz (freie Moduln über noethersche Ringe gleichen Rangs sind isomorph):
Sei \(R\) ein kommutativer, noetherscher Ring und seien \(M\) und \(N\) freie \(R\)-Moduln mit \(\rg M = \rg N\). Dann sind \(M\) und \(N\) isomorph. Für jede Kardinalität \(\alpha \) gibt es daher einen bis auf Isomorphie eindeutigen freien \(R\)-Modul \(\mathcal {F}_\alpha \) vom Rang \(\alpha \), nämlich die direkte Summe von \(\alpha \) vielen Kopien von \({}_R R\).

Zusatz: Projekt 12 (e hoch Matrix und lineare Differentialgleichungen)

Satz (endlich-dimensionale normierte Vektorräume): Jeder endlich-dimensionale normierte Vektorraum ist vollständig. Zwei Normen auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum sind äquivalent.

Algebranorm: Sei \(\mathfrak {A}\) eine \(K\)-Algebra mit \(K = \real \) oder \(K = \complex \). Eine Vektorraum-Norm \(\norm {\cdot }\) auf \(\mathfrak {A}\) heißt Algebranorm, falls \(\norm {AB} \le \norm {A} \cdot \norm {B}\) für alle \(A, B \in \mathfrak {A}\) ist.

\(p\)-Norm: Auf \(M_n(K)\) ist mit \(1 \le p \le \infty \) eine Norm definiert durch \(\norm {A}_p = \left (\sum _{i,j=1}^n |\alpha _{ij}|^p\right )^{1/p}\) für \(A = (\alpha _{ij})_{ij} \in M_n(K)\). Für \(1 \le p \le 2\) ist dies eine Algebranorm.

\(e\) hoch Matrix: Sei \(S_k = \sum _{i=0}^k \frac {A^i}{i!}\) mit \(A \in M_n(\complex )\). Dann existiert der Grenzwert der Folge \(\{S_k\}_{k \in \natural }\) sowohl komponentenweise als auch bzgl. jeder Algebranorm auf \(M_n(\complex )\).
Der Grenzwert wird mit \(e^A = \sum _{i=0}^\infty \frac {A^i}{i!}\) bezeichnet.

Satz (Aussagen über \(e\) hoch Matrix): Seien \(A, B \in M_n(\complex )\) und \(P \in \GL _n(\complex )\).
Dann ist \(P^{-1} e^A P = e^{P^{-1} A P}\), \(e^A e^B = e^{A + B} = e^B e^A\) für \(AB = BA\), \((e^A)^{-1} = e^{-A}\),
\(\det e^A = e^{\tr A}\) und \(e^{\diag \{B_1, \dotsc , B_S\}} = \diag \{e^{B_1}, \dotsc , e^{B_s}\}\).
Sind \(\lambda _1, \dotsc , \lambda _n\) die Eigenwerte von \(A\), so sind \(e^{\lambda _1}, \dotsc , e^{\lambda _n}\) die Eigenwerte von \(e^A\).

Prozedur (Berechnung von \(e^A\)):

Man bringt \(A\) auf Jordanform, d. h. man bestimmt eine Matrix \(P \in \GL _n(\complex )\) mit
\(P^{-1} A P = \diag \{J_1, \dotsc , J_s\}\), wobei \(J_i\) ein Jordanblock ist.
Es gilt nun \(e^A = e^{P \diag \{J_1, \dotsc , J_s\} P^{-1}} = P e^{\diag \{J_1, \dotsc , J_s\}} P^{-1}\).
Es ist \(e^{\diag \{J_1, \dotsc , J_s\}} = \diag \{e^{J_1}, \dotsc , e^{J_s}\}\).
Um \(e^{J_i}\) zu berechnen, sei \(J_i = J_\lambda (k)\) ein Jordanblock sowie \(N = J_0(k)\).
Dann ist \(J_\lambda (k) = \lambda E + N\) sowie \(\lambda E \cdot N = N \cdot \lambda E\).
Es ist \(e^{J_i} = e^{\lambda E + N} = e^{\lambda E} e^N\), da \(\lambda E\) und \(N\) kommutieren.
Es gilt \(e^{\lambda E} e^N = e^\lambda e^N\) sowie \(e^N =\) \(\begin {pmatrix} 1 & \frac {1}{1!} & \frac {1}{2!} & \frac {1}{3!} & \cdots & \frac {1}{(k - 1)!} \\ 0 & 1 & \frac {1}{1!} & \frac {1}{2!} & \cdots & \frac {1}{(k - 2)!} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & \frac {1}{1!} & \frac {1}{2!} \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & 1 & \frac {1}{1!} \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 1 \end {pmatrix}\).
Also ist \(e^A = P \diag \{e^{\lambda _1} e^{N_1}, \dotsc , e^{\lambda _s} e^{N_s}\} P^{-1}\).

Zusatz: Projekt 13 (Beispiele von Ringen)

Lemma (Lemma von Gauß): Sei \(R\) ein faktorieller Ring und \(Q\) der Quotientenkörper von \(R\). Außerdem sei \(p \in R[x]\) ein Polynom, sodass die Koeffizienten in \(R\) den größten gemeinsamen Teiler \(1\) haben.
Ist \(p = g \cdot h\) mit \(g, h \in Q[x]\), so gibt es \(g’, h’ \in R[x]\) mit \(p = g’h’\) und \(g’\) bzw. \(h’\) unterscheiden sich von \(g\) bzw. \(h\) nur um ein Element aus \(Q\).

Satz (Satz von Gauß): Sei \(R\) ein faktorieller Ring. Dann ist \(R[x]\) auch ein faktorieller Ring.