Lineare Algebra und Analytische Geometrie 2 – Etwas multilineare Algebra

Der Dualraum

Bemerkung: Im Folgenden seien \(K\) ein Körper und \(V, U\) usw. endliche \(K\)-Vektorräume.

Dualraum:  Der \(K\)-Vektorraum \(\Hom _K(V, K)\) wird mit \(V^\ast \) bezeichnet.
\(V^\ast \) heißt der zu \(V\) duale Raum. Die Elemente von \(V^\ast \) heißen Linearformen.

Bemerkung: Bspw. sind die Abbildungen \(\tr : M_{n \times n}(K) \rightarrow K\) und \(I_a^b: V \rightarrow \real \),
\(I_a^b(f) = \int _a^b f(x)\dx \) (\(V = \{f: [a,b] \rightarrow \real \text { stetig}\}\)) Linearformen.

durch Basis definierte Linearformen:  Sei \(\basis {B} = \{v_i \;|\; i \in I\}\) eine (nicht notwendigerweise endliche) Basis von \(V\). Dann ist die Linearform \(v_i^\ast \in V^\ast \) eindeutig durch \(v_i^\ast (v_j) = \delta _{ij}\) definiert.
Ist \(x \in V\) mit \(x = \sum _{j \in I} \lambda _j v_j\) (\(\lambda _j \in K\) fast alle \(0\)), so ist \(v_i^\ast (x) = \lambda _i\).

Satz (Basis von \(V^\ast \)): Sei \(\basis {B} = (v_1, \ldots , v_n)\) eine Basis von \(V\) (endlich-dimensional!).
Dann ist \(\basis {B}^\ast = (v_1^\ast , \ldots , v_n^\ast )\) eine Basis von \(V^\ast \) (die zu \(\basis {B}\) duale Basis). Insbesondere sind \(V\) und \(V^\ast \) isomorph, ein Isomorphismus ist gegeben durch \(v_i \mapsto v_i^\ast \) (linear ausgedehnt).
Ist \(f \in V^\ast \), so ist \(f = \sum _{i=1}^n f(v_i) v_i^\ast \).

Bemerkung: Für \(\dim _K V = \infty \) ist \(\sum f(v_i) v_i^\ast \) nicht definiert, dann ist \(\dim _K V^\ast > \dim _K V\) und \(\basis {B}^\ast \) ist keine Basis von \(V^\ast \).
Der Isomorphismus \(\ast : V \rightarrow V^\ast \), \(\sum _{i=1}^n \lambda _i v_i \mapsto \sum _{i=1}^n \lambda _i v_i^\ast \) hängt wesentlich von der gewählten \(\basis {B} = (v_1, \ldots , v_n)\) von \(V\) ab. Die Bezeichnung \(v^\ast = \sum _{i=1}^n \lambda _i v_i^\ast \) ist daher irreführend, wird aber doch behalten, wenn keine Missverständnisse zu befürchten sind.

duales Kompliment:  Sei \(U \ur V\). Dann ist \(U^\bot = \{f \in V^\ast \;|\; f(U) = (0_K)\}\) ein Unterraum von \(V^\ast \) und wird duales Kompliment von \(U\) in \(V^\ast \) genannt. Ist \((v_1, \ldots , v_n)\) eine Basis von \(V\), sodass \((v_1, \ldots , v_k)\) eine Basis von \(U\) ist, so ist \((v_{k+1}^\ast , \ldots , v_n^\ast )\) eine Basis von \(U^\bot \).
Insbesondere ist \(\dim _K U^\bot = \dim _K V - \dim _K U\).

Satz (Doppeldualraum): Für \(v \in V\) ist durch \(f_v: V^\ast \rightarrow K\), \(f_v(x) = x(v)\) eine \(K\)-lineare Abbildung definiert, d. h. \(f_v\) ist eine Linearform auf \(V^\ast \) und daher Element des Dualraums \(V^{\ast \ast } = (V^\ast )^\ast \) von \(V^\ast \). Die Abbildung \(\mathcal {E}: V \rightarrow V^{\ast \ast }\), \(v \mapsto f_v\) ist ein Isomorphismus.

Bemerkung: Der Isomorphismus \(\mathcal {E}: V \rightarrow V^{\ast \ast }\) hängt nicht von einer gewählten Basis ab. Man spricht von einem kanonischen/natürlichen Isomorphismus.

Satz (\(\mathcal {E}\) unabhängig von Basis): Sei \(V\) ein \(K\)-Vektorraum. Dann wird durch \(\mathcal {E}: V \rightarrow V^{\ast \ast }\), \(v \mapsto f_v\) ein Monomorphismus definiert. Ist zusätzlich \(V\) endlich dimensional, \(\basis {B}\) eine Basis von \(V\), \(\basis {B}^\ast \) die zugehörige duale Basis von \(V\), \(\basis {B}^{\ast \ast }\) die zugehörige doppelduale Basis von \(V\) und \(b \in \basis {B}\), so ist \(b^{\ast \ast } = f_b\). Man bezeichnet daher \(\mathcal {E}\) auch mit \(\ast \ast \). \(\ast \ast : V \rightarrow V^{\ast \ast }\) ist dann ein Isomorphismus.

Satz (\(\ast \) bei linearen Abbildungen): Sei \(f: V \rightarrow U\) ein Homomorphismus. Dann wird durch \(f^\ast : U^\ast \rightarrow V^\ast \), \(f^\ast (h) = h \circ f \in V^\ast \) für \(h \in U^\ast \) eine \(K\)-lineare Abbildung \(f^\ast \) definiert.
Sind \(V\) und \(U\) endlich-dimensional, so gilt      1. \(\ker f^\ast = (\im f)^\bot \)
2. \(\dim _K(\im f) = \dim _K(\im f^\ast )\)           3. \(f^\ast \) ist surjektiv \(\;\Leftrightarrow \; f\) ist injektiv
4. \(f^\ast \) ist injektiv \(\;\Leftrightarrow \; f\) ist surjektiv       5. \(f^{\ast \ast }(v^{\ast \ast }) = (f(v))^{\ast \ast }\)
6. Ist \(g: U \rightarrow W\) Homomorphismus, so gilt \((g \circ f)^\ast = f^\ast \circ g^\ast \)
(\(\ast : \Hom _K(V, U) \rightarrow \Hom _K(U^\ast , V^\ast )\) ist kontravariant)

Satz (Matrix von \(f^\ast \)): Seien \(f: V \rightarrow U\) Homomorphismus, \(\basis {B} = (v_1, \ldots , v_n)\) bzw.
\(\basis {C} = (u_1, \ldots , u_m)\) Basen von \(V\) bzw. \(U\) sowie \(A = \hommatrix {f}{C}{B}\). Dann ist \(\hommatrix {f^\ast }{B^\ast }{C^\ast } = A^t\).

Folgerung: Für \(A \in M_{m \times n}(K)\) sind Spalten- und Zeilenrang gleich.

Bilinearformen

Bilinearform:  Seien \(V\), \(U\) und \(W\) \(K\)-Vektorräume. Eine Abbildung \(f: V \times U \rightarrow W\) heißt bilinear, falls \(f(v_1 + v_2, u) = f(v_1, u) + f(v_2, u)\), \(f(v, u_1 + u_2) = f(v, u_1) + f(v, u_2)\) und
\(f(\lambda v, u) = f(v, \lambda u) = \lambda f(v, u)\) gilt für alle \(v, v_1, v_2 \in V\), \(u, u_1, u_2 \in U\) und \(\lambda \in K\).
Eine bilineare Abbildung \(f: V \times V \rightarrow K\) heißt Bilinearform auf \(K\).
Ersetzt man die dritte Bedingung durch \(f(\lambda v, u) = f(v, \kk {\lambda } u) = \lambda f(v, u)\), wobei \(\kk {\;\;}: K \rightarrow K\) ein Automorphismus von \(K\) mit \(\kk {\kk {\lambda }} = \lambda \) für alle \(\lambda \in K\) ist, so heißt die Abbildung semilinear.

Satz (Festlegung einer Bilinearform): Seien \(\innerproduct {\cdot , \cdot }: V \times V \rightarrow K\) eine Bilinearform
und \(\basis {B} = \{v_i \;|\; i \in I\}\) eine Basis von \(V\).
Dann ist \(\innerproduct {\cdot , \cdot }\) durch die Angabe der Skalare \(\lambda _{ij} = \innerproduct {v_i, v_j} \in K\) vollständig bestimmt.
Gibt man umgekehrt Skalare \(\lambda _{ij} \in K\) vor und definiert \(\innerproduct {v, w} = \innerproduct {\sum _{i \in I} \alpha _i v_i, \sum _{j \in I} \beta _j v_j}\)
\(= \sum _{i, j \in I} \alpha _i \lambda _{ij} \beta _j \in K\) für \(v = \sum _{i \in I} \alpha _i v_i\) und \(w = \sum _{j \in I} \beta _j v_j\) (\(\alpha _i, \beta _j \in K\) fast alle \(0\)), dann ist \(\innerproduct {\cdot , \cdot }: V \times V \rightarrow K\) eine Bilinearform auf \(V\).

Grammatrix:  Die Matrix \(\grammatrix = \grammatrix (\basis {B}) = (\lambda _{ij})_{ij}\) (mit \(i, j \in I\)) heißt Grammatrix der Bilinearform \(\innerproduct {\cdot , \cdot }\) bzgl. der Basis \(\basis {B}\). Ist \(V\) endlich-dimensional und \(\basis {B} = (v_1, \ldots , v_n)\), so ist \(\grammatrix (\basis {B})\) eine \(n \times n\)-Matrix.

Bemerkung: Ist \(\grammatrix (\basis {B}) = (\lambda _{ij})_{ij}\) die Grammatrix von \(\innerproduct {\cdot , \cdot }\) bzgl. \(\basis {B}\) und \(v = \sum _{i \in I} \alpha _i v_i\) und \(w = \sum _{j \in I} \beta _j v_j\) (\(\alpha _i, \beta _j \in K\) fast alle \(0\)), so ist \(\innerproduct {v, w} = (\alpha _i)_i^t \cdot (\lambda _{ij})_{ij} \cdot (\beta _j)_j\) als Matrizenprodukt, wobei \((\alpha _i)_i, (\beta _j)_j\) Spaltenvektoren sind.

Bemerkung: Die Menge der Bilinearformen auf \(V\) wird ein Vektorraum, wenn man \(f+g: V \times V \rightarrow K\), \((f+g)(v, w) = f(v, w) + g(v, w)\) und \(\lambda f: V \times V \rightarrow K\), \((\lambda f)(v, w) = \lambda f(v, w)\) für
\(f, g: V \times V \rightarrow K\) Bilinearformen und \(\lambda \in K\) definiert.
Dann wird \(\grammatrix _f(\basis {B})\) (die Abbildung, die jeder Bilinearform auf \(V\) die Grammatrix bzgl. einer festen Basis \(\basis {B}\) zuordnet) zum Vektorraum-Isomorphismus zwischen der Menge der Bilinearformen auf \(V\) und \(M_{n \times n}(K)\). Es gilt \(\grammatrix _f(\basis {C}) = (\hommatrix {\id }{B}{C})^t \grammatrix _f(\basis {B}) \hommatrix {\id }{B}{C}\).

links-/rechtsorthogonal:  Seien \(V\) ein \(K\)-Vektorraum, \(\innerproduct {\cdot , \cdot }: V \times V \rightarrow K\) eine Bilinearform auf \(V\) und \(x, y \in V\). Dann heißt \(x\) linksorthogonal zu \(y\) und \(y\) rechtsorthogonal zu \(x\), falls \(\innerproduct {x, y} = 0\). Man schreibt auch \(x \orth y\).

Links-/Rechtsradikal:  \(\rad _l(\innerproduct {\cdot , \cdot }) = \{x \in V \;|\; \forall _{y \in V}\; \innerproduct {x, y} = 0\}\) heißt Linksradikal und \(\rad _r(\innerproduct {\cdot , \cdot }) = \{x \in V \;|\; \forall _{y \in V}\; \innerproduct {y, x} = 0\}\) heißt Rechtsradikal der Bilinearform \(\innerproduct {\cdot , \cdot }\).

Satz (Links-/Rechtsradikal als Unterraum):
Links- und Rechtsradikal einer Bilinearform auf \(V\) sind Unterräume von \(V\).

Satz (assoziierter Links-/Rechtshomomorphismus): Sei \(f = \innerproduct {\cdot , \cdot }: V \times V \rightarrow K\) bilinear. Dann wird durch \(E_l: V \rightarrow V^\ast \), \(E_l(v) = \lambda _v\) mit \(\lambda _v: V \rightarrow K\), \(\lambda _v(x) = \innerproduct {v, x}\) ein Homomorphismus definiert, dieser heißt der zu \(f\) assoziierte (kanonische) Linkshomomorphismus von \(V\) nach \(V^\ast \). Zur Verdeutlichung, dass \(E_l\) bzgl. \(f\) gebildet wurde, schreibt man auch \(E_l^f\). Analog wird \(E_r: V \rightarrow V^\ast \), \(E_r(v) = \rho _v\) mit \(\rho _v: V \rightarrow K\), \(\rho _v(x) = \innerproduct {x, v}\) der Rechtshomomorphismus definiert.
Es gilt \(\rad _l(\innerproduct {\cdot , \cdot }) = \ker E_l\) sowie \(\rad _r(\innerproduct {\cdot , \cdot }) = \ker E_r\).
Ist \(V\) endlich-dimensional und \(\basis {B}\) Basis von \(V\), so gilt \(\hommatrix {E_r}{B^\ast }{B} = \grammatrix _f(\basis {B}) = (\hommatrix {E_l}{B^\ast }{B})^t\).

Folgerung: Sei \(V\) endlich-dimensional. Dann ist \(\dim _K \rad _l(f) = \dim _K \rad _r(f) = n - \rg (\grammatrix _f(\basis {B}))\). Außerdem ist \(\rad _l(f) = (0) \;\Leftrightarrow \; \rad _r(f) = (0)\). In diesem Fall heißt \(f\) nicht ausgeartet, sonst ausgeartet. Für \(f\) nicht ausgeartet definieren \(E_l\), \(E_r\) kanonische Isomorphismen von \(V\) auf \(V^\ast \). (Im Falle von \(V\) unendlich-dimensional sind \(E_l\), \(E_r\) injektiv.)

Satz (Bijektion): \(f \mapsto E_l^f\) und \(f \mapsto E_r^f\) definieren Bijektionen zwischen der Menge der Bilinearformen \(f\) auf \(V\) und \(\Hom _K(V, V^\ast )\). Für \(\dim _K V < \infty \) ist dies ein Isomorphismus.

spezielle Bilinearformen:  Sei \(\innerproduct {\cdot , \cdot }\) eine Bilinearform auf \(V\).
\(\innerproduct {\cdot , \cdot }\) heißt symmetrisch, falls \(\innerproduct {v_1, v_2} = \innerproduct {v_2, v_1}\) für alle \(v_1, v_2 \in V\).
\(\innerproduct {\cdot , \cdot }\) heißt alternierend, falls \(\innerproduct {v_1, v_2} = -\innerproduct {v_2, v_1}\) für alle \(v_1, v_2 \in V\).

Lemma (Eigenschaften spezieller Bilinearformen): Ist \(\innerproduct {\cdot , \cdot }\) symmetrisch oder alternierend, so ist \(x \orth y \;\Leftrightarrow \; y \orth x\) und die Relation \(\bot \) ist symmetrisch.
Ist \(\innerproduct {\cdot , \cdot }\) symmetrisch oder alternierend, so braucht man daher nicht mehr zwischen Links- und Rechtsradikal zu unterscheiden.
Für \(\innerproduct {\cdot , \cdot }\) symmetrisch ist \(E_l = E_r\), für \(\innerproduct {\cdot , \cdot }\) alternierend ist \(E_l = -E_r\).
Ist \(\characteristic K = 2\) (also \(1 = -1\) in \(K\)), so ist alternierend und symmetrisch dasselbe.
\(\innerproduct {\cdot , \cdot }\) ist symmetrisch genau dann, wenn \(\grammatrix _{\innerproduct {\cdot , \cdot }}(\basis {B})\) bzgl. einer Basis \(\basis {B}\) symmetrisch ist.
\(\innerproduct {\cdot , \cdot }\) ist alternierend genau dann, wenn \(\grammatrix _{\innerproduct {\cdot , \cdot }}(\basis {B})\) bzgl. einer Basis \(\basis {B}\) schiefsymmetrisch ist (d. h. \(A^t = -A\)).

Symmetrische Gruppen

Satz (Existenz der Ordnung einer endlichen Gruppe): Seien \(G\) eine endliche Gruppe und \(g \in G\).
Dann gibt es ein \(k \in \natural \), sodass \(g^k = g \dotsm g = 1_G\) ist.

Ordnung:  Die kleinste Zahl \(k \in \natural \), für die \(g^k = 1_G\) gilt, heißt Ordnung \(|g|\) von \(g \in G\).

Bahn, Zykel:  Sei \(\pi \in \perm _n\) und \(i \in \{1, \dotsc , n\}\). Wegen \(\pi ^{|\pi |}(i) = \id (i) = i\) gibt es eine kleinste Zahl \(k \in \natural \), sodass \(\pi ^k(i) = i\) ist. Dann sind \(i, \pi (i), \pi ^2(i), \dotsc , \pi ^{k-1}(i)\) paarweise verschieden. Die Menge \(\{i, \pi (i), \pi ^2(i), \dotsc , \pi ^{k-1}(i)\}\) heißt Bahn von \(i\) unter \(\pi \) oder Zykel und wird mit \(i^{[\pi ]}\) bezeichnet. Dabei ist \(k\) die Länge der Bahn.

Lemma (Äquivalenzrelation auf \(\matrixm \)): Sei \(\pi \in \perm _n\) und \(\matrixm = \{1, \dotsc , n\}\). Sei die Relation \(\sim _\pi \) auf \(\matrixm \) definiert durch \(s \sim _\pi t \;\Leftrightarrow \; \exists _{k \in \natural _0}\; \pi ^k(s) = t\). Dann ist \(\sim _\pi \) eine Äquivalenzrelation auf \(\matrixm \) und die Äquivalenzklassen \([s]\) sind genau die Bahnen \(s^{[\pi ]}\) unter \(\pi \).

Folgerung: Sei \(\pi \in \perm _n\). Dann zerlegen die Bahnen bzgl. \(\pi \) die Menge \(\matrixm \) disjunkt. Also existieren Elemente \(x_i \in \matrixm \) und \(k_1, \dotsc , k_t \in \natural \) für \(i = 1, \dotsc , t\), sodass \(\matrixm \) disjunkte Vereinigung von den Bahnen \(\{x_i, \pi (x_i), \dotsc , \pi ^{k_i-1}(x_i)\}\) ist.

Notation: Für \(\pi \in \perm _n\) schreibt man \(\pi = (x_1, \pi (x_1), \dotsc , \pi ^{k_1-1}(x_1)) \dotsm (x_t, \pi (x_t), \dotsc , \pi ^{k_t-1}(x_t))\). Diese Schreibweise heißt Zykelschreibweise. Die Teile mit \(k_i = 1\) kann man auch weglassen.

Bemerkung: \(\pi = \begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 4 & 7 & 1 & 5 & 6 & 3 \end {pmatrix}\) lautet in Zykelschreibweise
\(\pi = (124)(37)(5)(6) = (124)(37)\).

Zykel:  Ein Zykel ist eine Permutation \(\pi \in \perm _n\), die höchstens eine Bahn hat, die länger als \(1\) ist, d. h. \(\pi = (a_1, \dotsc , a_k)\). Es gilt \(\pi (a_i) = a_{i+1}\) für \(i = 1, \dotsc , k - 1\), \(\pi (a_k) = a_1\) und \(\pi (b) = b\) für \(b \in \matrixm \setminus \{a_1, \dotsc , a_k\}\). Die Ordnung von \(\pi \) ist \(|\pi | = k\).

Lemma (disjunkte Zyklen kommutieren): Disjunkte Zyklen kommutieren, d. h. es ist z. B.
\((124)(356) = (356)(124)\), aber \((123)(245) \not = (245)(123)\).

Folgerung: Jede Permutation \(\pi \in \perm _n\) kann bis auf die Reihenfolge eindeutig als Produkt von disjunkten Zyklen beschrieben werden. Die Zyklen entsprechen dabei den Bahnen der Länge größer \(1\).

Satz (\(|\pi | = \kgV \)): Sei \(\pi \in \perm _n\).
Dann ist \(|\pi |\) das kleinste gemeinsame Vielfache der Längen aller Bahnen von \(\pi \).

Transposition:  Ein Zykel der Länge \(2\) heißt Transposition.
Eine Transposition der Form \((i, i + 1)\) heißt Fundamentaltransposition.

Satz (Permutation als Produkt von Transpositionen): Jede Permutation \(\pi \in \perm _n\) kann als Produkt von Transpositionen geschrieben werden. Jede Transposition (und daher auch jede Permutation) kann als Produkt von Fundamentaltranspositionen geschrieben werden.

reduzierter Ausdruck:  Sei \(\pi \in \perm _n\). Ein reduzierter Ausdruck von \(\pi \) ist ein Produkt von Fundamentaltranspositionen \(\pi = (i_1, i_1 + 1)(i_2, i_2 + 1) \dotsm (i_l, i_l + 1)\), sodass \(l\) minimal ist (d. h. \(\pi \) lässt sich nicht als Produkt von weniger als \(l\) Fundamentaltranspositionen schreiben).
Der reduzierte Ausdruck für \(\id \) sei dabei der leere Ausdruck mit \(l = 0\) Faktoren.
\(l(\pi ) = l\) heißt die Länge der Permutation \(\pi \).

Fehlstände:  Sei \(\pi \in \perm _n\). Die Menge der Fehlstände von \(\pi \) ist definiert als
\(\{[i,j] \;|\; 1 \le i < j \le n \text { mit } \pi (i) > \pi (j)\}\).

Lemma (Fehlstände und Fundamentaltransposition): Seien \(n(\pi )\) die Anzahl der Fehlstände von \(\pi \in \perm _n\) und \((k, k + 1)\) eine Fundamentaltransposition.
Dann gilt \(n(\pi \; (k, k + 1)) =\) \(\begin {cases} n(\pi ) + 1 & \pi (k) < \pi (k + 1) \\ n(\pi ) - 1 & \pi (k) > \pi (k + 1) \end {cases}\).

Satz (Länge der Permutation gleich Anzahl Fehlstände):
Sei \(\pi \in \perm _n\). Dann ist \(l(\pi )\) gleich der Anzahl der Fehlstände von \(\pi \).

Folgerung: Kein Produkt einer geraden Anzahl von (Fundamental-)Transpositionen ist gleich einem Produkt einer ungeraden Anzahl von (Fundamental-)Transpositionen.

gerade/ungerade, Signum:  Eine Permutation \(\pi \) heißt gerade/ungerade, wenn \(l(\pi )\) gerade/ungerade ist. \(\sign (\pi ) = (-1)^{l(\pi )}\) heißt Signum von \(\pi \).

Lemma (\(\sign \) als Gruppenhomomorphismus): Die Abbildung \(\sign : \perm _n \rightarrow \{1, -1\}\) ist ein Gruppenhomomorphismus in die multiplikative Gruppe \(\{1, -1\}\), d. h. \(\sign (\sigma \pi ) = \sign (\sigma ) \sign (\pi )\).

Folgerung: Ein Produkt von einer geraden Anzahl von Transpositionen multipliziert mit einer ebensolchen ist wieder ein Produkt einer geraden Anzahl von Transpositionen.

Konjugationsklasse:  Zwei Elemente \(x, y \in G\) einer Gruppe \(G\) heißen konjugiert, falls es ein \(g \in G\) gibt, sodass \(x = g y g^{-1}\).
Die Äquivalenzklasse \(x^G = \{g x g^{-1} \;|\; g \in G\}\) heißt Konjugationsklasse von \(x \in G\).

Lemma („konjugiert“ als Äquivalenzrelation): Die Relation \(\sim \) auf \(G\) definiert durch
\(x \sim y \;\Leftrightarrow \; \exists _{g \in G}\; x = g y g^{-1}\) ist eine Äquivalenzrelation. Die Äquivalenzklassen sind genau die Konjugationsklassen, also ist \(G\) disjunkte Vereinigung seiner Konjugationsklassen.

Lemma (Zykel konjugieren): Seien \(\pi , \sigma \in \perm _n\) und \(\sigma = (a_1, \dotsc , a_k)\) ein Zykel.
Dann ist \(\pi \sigma \pi ^{-1} = (\pi (a_1), \dotsc , \pi (a_k))\).

Partition:  Sei \(n \in \natural \). Eine Partition von \(n\) ist eine Folge \(\lambda = (\lambda _1, \dotsc , \lambda _k)\) von Zahlen \(\lambda _i \in \natural \), sodass \(\lambda _1 \ge \dotsb \ge \lambda _k\) und \(\sum _{i=1}^k \lambda _i = n\).

Zykeltyp:  Sei \(\pi \in \perm _n\). Der Zykeltyp von \(\pi \) ist die Partition von \(n\), die entsteht, wenn man \(\pi \) als Produkt von disjunkten Zykeln schreibt und die Längen der Zykel (einschließlich der Zykel der Länge \(1\)) absteigend ordnet.

Lemma (Zykeltyp und konjugiert): Zwei Permutationen aus \(\perm _n\) sind konjugiert genau dann, wenn sie vom selben Zykeltyp sind.

Satz (Bijektion): Es gibt eine Bijektion zwischen den Konjugationsklassen der \(\perm _n\) und den Partitionen von \(n\), diese bildet eine Konjugationsklasse \(\pi ^{\sigma _n}\) auf den Zykeltyp von \(\pi \) ab.

Multilinearformen

Multilinearform:  Seien \(K\) ein Körper, \(V_1, \dotsc , V_k, W\) \(K\)-Vektorräume und
\(f: V_1 \times \dotsb \times V_k \rightarrow W\) eine Abbildung. Dann heißt \(f\) multilinear (oder \(k\)-fach linear), falls für alle \(i = 1, \dotsc , k\) gilt, dass \(f(v_1, \dotsc , v_i’ + v_i’’, \dotsc , v_k) = f(v_1, \dotsc , v_i’, \dotsc , v_k) + f(v_1, \dotsc , v_i’’, \dotsc , v_k)\) und \(f(v_1, \dotsc , \lambda v_i, \dotsc , v_k) = \lambda f(v_1, \dotsc , v_i, \dotsc , v_k)\) für \(v_1 \in V_1\), …, \(v_k \in V_k\), \(v_i’, v_i’’ \in V_i\) und \(\lambda \in K\).
Eine multilineare Abbildung \(f: V \overset {k\text {-fach}}{\times \dotsb \times } V \rightarrow K\) heißt \(k\)-fache Multilinearform auf \(V\).

Satz (Menge der multilinearen Abbildungen als \(K\)-Vektorraum):
Sei \(M = \{f: V_1 \times \dotsb \times V_k \rightarrow W \;|\; f \text { multilinear}\}\). Definiere auf \(M\) eine Addition
\(f + g: V_1 \times \dotsb \times V_k \rightarrow W\), \((f + g)(v_1, \dotsc , v_k) = f(v_1, \dotsc , v_k) + g(v_1, \dotsc , v_k)\) sowie eine skalare Multiplikation \(\lambda f: V_1 \times \dotsb \times V_k \rightarrow W\), \((\lambda f)(v_1, \dotsc , v_k) = \lambda f(v_1, \dotsc , v_k)\) mit \(v_i \in V_i\) (\(i = 1, \dotsc , k\)), \(f, g \in M\) und \(\lambda \in K\). Dann wird \(M\) mit diesen Operationen zum \(K\)-Vektorraum.

Bemerkung: Das Nullelement von \(M\) ist die Nullabbildung \(0: V_1 \times \dotsb \times V_k \rightarrow W\), \(0(v_1, \dotsc , v_k) = 0_W\).

Multiindex:  Seien \(I_1 = \{1, \dotsc , n_1\}\), …, \(I_k = \{1, \dotsc , n_k\}\) endliche Indexmengen. Ein Element \(\mi {i} \in I_1 \times \dotsb \times I_k\) heißt Multiindex und \(\mi {I} = I_1 \times \dotsb \times I_k\) heißt Menge der Multiindizes.
Sind \(V_1, \dotsc , V_k\) Vektorräume und \(\mi {i} = (i_1, \dotsc , i_k)\), dann sei \(v_\mi {i} \in V_1 \times \dotsb \times V_k\) definiert durch \(v_\mi {i} = (v_{i_1}^{(1)}, \dotsc , v_{i_k}^{(k)})\), wobei \(v_1^{(\nu )}, \dotsc , v_{n_\nu }^{(\nu )} \in V_\nu \) für \(\nu = 1, \dotsc , k\).
Damit ist auch das Kronecker-Delta für Multiindizes definiert durch \(\delta _{\mi {i} \mi {j}} = \begin {cases} 1 & \mi {i} = \mi {j} \\ 0 & \mi {i} \not = \mi {j} \end {cases}\), da für \(\mi {i}, \mi {j} \in \mi {I}\) mit \(\mi {i} = (i_1, \dotsc , i_k)\) und \(\mi {j} = (j_1, \dotsc , j_k)\) gilt, dass \(\mi {i} = \mi {j} \;\Leftrightarrow \; (i_1 = j_1) \land \dotsb \land (i_k = j_k)\).

Satz (Dimension von \(M\), Basis): Seien \(V_1, \dotsc , V_k, W\) endlich-dimensionale Vektorräume.
Dann ist \(M\) ebenfalls endlich-dimensional und \(\dim _K M = \dim _K V_1 \dotsm \dim _K V_k \dim _K W\).
Seien \(n_\nu = \dim _K V_\nu \), \(\basis {B}_\nu = (v_1^{(\nu )}, \dotsc , v_{n_\nu }^{(\nu )})\) eine Basis von \(V_\nu \) für \(\nu = 1, \dotsc , k\) sowie \((w_1, \dotsc , w_m)\) eine Basis von \(W\), dann ist \(\basis {B} = \{f_{\mi {i},j} \;|\; \mi {i} \in \mi {I},\; 1 \le j \le m\}\) eine Basis von \(M\), wobei
\(f_{\mi {i},j}: V_1 \times \dotsb \times V_k \rightarrow W\), \(f_{\mi {i},j}(v_\mi {k}) = \begin {cases} w_j & \mi {i} = \mi {k} \\ 0 & \text {sonst} \end {cases}\) multilinear für \(\mi {i}, \mi {k} \in \mi {I}\) und \(j = 1, \dotsc , m\).

symmetrische Multilinearform: 
Sei \(f: V^{\times k} \rightarrow K\) eine \(k\)-fache Multilinearform auf \(V\) (dabei ist \(V^{\times k} = V \overset {k \text { Faktoren}}{\times \dotsb \times } V\)).
\(f\) heißt symmetrisch, falls \(f(v_1, \dotsc , v_k) = f(v_{\pi (1)}, \dotsc , v_{\pi (k)})\) für alle \(\pi \in \perm _k\) ist.

alternierende Multilinearform (1. Versuch): 
Sei \(f: V^{\times k} \rightarrow K\) eine \(k\)-fache Multilinearform auf \(V\).
\(f\) heißt alternierend, falls \(f(v_1, \dotsc , v_k) = \sign (\pi ) \cdot f(v_{\pi (1)}, \dotsc , v_{\pi (k)})\) für alle \(\pi \in \perm _k\) ist.

Lemma (alternierende Multilinearform ist \(0\) bei gleichen Vektoren): Seien \(\characteristic K \not = 2\) (d. h. es ist \(-1_K \not = 1_K\)) und \(f: V^{\times k} \rightarrow K\) eine \(k\)-fache alternierende Multilinearform auf \(V\).
Dann gilt \(f(v_1, \dotsc , v_k) = 0\), falls \(v_1, \dotsc , v_k \in V\) mit \(v_i = v_j\) für bestimmte \(i \not = j\) ist.

Lemma (alternierende Multilinearform ist \(0\) bei linear abhängigen Vektoren):
Seien \(\characteristic K \not = 2\) und \(f: V^{\times k} \rightarrow K\) eine \(k\)-fache alternierende Multilinearform auf \(V\).
Dann gilt \(f(v_1, \dotsc , v_k) = 0\), falls \(v_1, \dotsc , v_k \in V\) linear abhängige Vektoren sind.

Lemma (Umkehrung): Sei \(f: V^{\times k} \rightarrow K\) eine \(k\)-fache Multilinearform auf \(V\). Dann ist \(f\) alternierend, wenn \(f(v_1, \dotsc , v_k) = 0\) für jede linear abhängige Menge \(\{v_1, \dotsc , v_k\}\) ist.

Bemerkung: Also: Ist \(\characteristic (K) \not = 2\), dann ist \(f\) alternierend genau dann, wenn \(f(v_1, \dotsc , v_k) = 0\) für jedes linear abhängige Tupel \((v_1, \dotsc , v_k)\) ist. Für \(\characteristic (K) = 2\) gibt es alternierende Multilinearformen, die diese Bedingung nicht erfüllen. Sie ist daher stärker als die Definition „alternierend“ von oben und deswegen wird die Definition verschärft.

alternierende Multilinearform:  Sei \(f: V^{\times k} \rightarrow K\) eine \(k\)-fache Multilinearform auf \(V\).
\(f\) heißt alternierend, falls \(f(v_1, \dotsc , v_k) = 0\) für jedes linear abhängige Tupel \((v_1, \dotsc , v_k)\) ist, wobei \(v_i \in V\) für \(i = 1, \dotsc , k\).

Satz (Basis und alternierende Multilinearform): Seien \(n = \dim _K V\), \(f: V^{\times n} \rightarrow K\) eine \(n\)-fache alternierende Multilinearform auf \(V\) mit \(f \not = 0\) und \(v_1, \dotsc , v_n \in V\).
Dann ist \(\basis {B} = (v_1, \dotsc , v_n)\) Basis von \(V\) genau dann, wenn \(f(v_1, \dotsc , v_n) \not = 0\) ist.

Satz (alternierende Multilinearformen als Unterraum):
Die Menge \(\alt _k(V)\) der \(k\)-fachen alternierenden Multilinearformen auf \(V\) ist ein Unterraum der Menge der \(k\)-fachen Multilinearformen auf \(V\).

Satz (Basis des Vektorraums aller (alternierenden) Multilinearformen auf \(V\)):
Sei \(\basis {B} = (v_1, \dotsc , v_n)\) Basis von \(V\).
\(e_\mi {j}\) sei definiert durch \(e_\mi {j}: V^{\times k} \rightarrow K\), \(e_\mi {j}(v_\mi {\ell }) = \delta _{\mi {j} \mi {\ell }}\), wobei \(\mi {j}, \mi {\ell } \in \{1, \dotsc , n\}^{\times k}\) ist.
\(\pi (\mi {i}) \in \mi {I}\) sei für \(\mi {i} = (i_1, \dotsc , i_n)\) und \(\pi \in \perm _k\) definiert durch \(\pi (\mi {i}) = (i_{\pi (1)}, \dotsc , i_{\pi (k)})\). Dann gilt:
1. Sind \(u_1, \dotsc , u_k \in V\) und \(\pi \in \perm _k\), dann ist \(e_\mi {i}(u_{\pi (1)}, \dotsc , u_{\pi (k)}) = e_{\pi ^{-1}(\mi {i})}(u_1, \dotsc , u_k)\).
2. \(\{e_\mi {j} \;|\; \mi {j} \in \{1, \dotsc , n\}^{\times k}\}\) ist Basis des Vektorraums aller \(k\)-fachen Multilinearformen auf \(V\).
3. Sei \(a_\mi {i} = \sum _{\pi \in \perm _k} \sign (\pi ) e_{\pi (\mi {i})}\). Dann ist \(\{a_\mi {i} \;|\; \mi {i} = (i_1, \dotsc , i_k) \in \{1, \dotsc , n\}^{\times k},\; i_1 < \dotsb < i_k\}\) Basis von \(\alt _k(V)\).

Folgerung: Es gilt \(\dim _K \alt _k(V) = \binom {n}{k} = \Big |\{(i_1, \dotsc , i_k) \in \{1, \dotsc , n\}^{\times k} \;|\; 1 \le i_1 < \dotsb < i_k \le n\}\Big |\).
Insbesondere gilt \(\dim _K \alt _k(V) = 1\) für \(k = n\) und \(\dim _K \alt _k(V) = 0\) für \(k > n\).

Satz (alternierende Multilinearformen und Determinanten):
Seien \(\dim _K V = n\) und \(f\) eine \(n\)-fache alternierende Multilinearform auf \(V\).
Ist \(\basis {B} = (v_1, \dotsc , v_n)\) Basis von \(V\) und ist \(u_i = \sum _{j=1}^n \lambda _{i,j} v_j\) für \(\lambda _{i,j} \in K\) und \(i = 1, \dotsc , n\), dann ist \(f(u_1, \dotsc , u_n) = f(v_1, \dotsc , v_n) \cdot \sum _{\pi \in \perm _n} \sign (\pi ) \lambda _{1,\pi (n)} \dotsm \lambda _{n,\pi (n)} = f(v_1, \dotsc , v_n) \cdot \det (\lambda _{ij})\).

Determinanten

Determinante:  Seien \(V\) ein \(K\)-Vektorraum mit \(\dim _K V = n\) und \(\phi \in \End _K(V)\).
Dann ist die Determinante \(D(\phi )\) des Endomorphismus \(\phi \) von \(V\) folgendermaßen definiert:
Man wähle eine von der Nullform verschiedene \(n\)-fache alternierende Multilinearform \(f\) von \(V\) (existiert nach Folgerung oben) sowie eine beliebige Basis \(\basis {B} = (v_1, \dotsc , v_n)\) von \(V\).
Dann ist \(D(\phi ) = \frac {f(\phi (v_1), \dotsc , \phi (v_n))}{f(v_1, \dotsc , v_n)}\).

Satz (Determinante wohldefiniert): Sei \(\phi \in \End _K(V)\). Dann ist \(D(\phi ) \in K\) unabhängig von der Wahl der Basis \(\basis {B}\) von \(V\) und von der Wahl der Form \(f \in \alt _n(V)\), \(f \not = 0\) definiert.

Satz (Determinante stimmt mit bekannter Definition überein): Seien \(\phi \in \End _K(V)\),
\(\basis {B} = (v_1, \dotsc , v_n)\) eine Basis von \(V\) sowie \(\phi (v_j) = \sum _{i=1}^n \lambda _{ij} v_i\) für \(j = 1, \dotsc , n\).
Dann ist \(D(\phi ) = \sum _{\pi \in \perm _n} \sign (\pi ) \lambda _{1 \pi (1)} \dotsm \lambda _{n \pi (n)}\) und deswegen stimmen die Definitionen der Determinante überein.

Satz (Rechenregeln): Seien \(\phi , \psi \in \End _K(V)\). Dann gilt: 1. \(D(\phi ) \not = 0 \;\Leftrightarrow \; \phi \in \Aut _K(V)\),
2. \(D(\id _V) = 1\),   3. \(D(\phi \circ \psi ) = D(\phi ) D(\psi )\),   4. \(D(\phi ^{-1}) = (D(\phi ))^{-1}\) für \(\phi \in \Aut _K(V)\).

Bemerkung: Man kann leicht auch folgende bekannte Regeln zeigen: Ist eine Spalte von \(A\) der Nullvektor, so ist \(\det A = 0\). Hat \(A\) zwei identische Spalten, so ist \(\det A = 0\). Addiert man zu einer Spalte von \(A\) das \(\lambda \)-fache einer anderen, so ändert sich die Determinante nicht. Vertauscht man zwei Spalten von \(A\), so ändert sich das Vorzeichen der Determinante. Wenn man eine Spalte mit \(\lambda \in K\), \(\lambda \not = 0\) multipliziert, so multipliziert sich die Determinante mit \(\lambda \).
Außerdem kann man mit der ursprünglichen Definition leicht \(\det (A) = \det (A^t)\) zeigen. Daher gelten alle Behauptungen auch für Zeilen.

Satz (Entwicklungssatz von Laplace): Seien \(k \in \{1, \dotsc , n\}\) und \(A = (\alpha _{ij})\).
Dann gilt \(\det A = \sum _{i=1}^n (-1)^{i+k} a_{ik} \det (A_{ik})\).

Zusatz: Projekt 9 und 10 (projektive Geometrie)

projektiver Raum:  Ein projektiver Raum \(P\) über einem Körper \(K\) ist die Menge aller eindimensionaler Unterräume eines \(K\)-Vektorraums \(V_P\).

projektiver Unterraum:  Eine Teilmenge \(U \subseteq P\) heißt projektiver Unterraum von \(P\), falls sie genau aus den eindimensionalen Unterräumen eines Unterraums \(V_U \ur V_P\) besteht.
Alternativ: \(U \subseteq P\) ist projektiver Unterraum von \(P\), falls \(U\) ein projektiver Raum ist.

projektive Dimension:  Die projektive Dimension eines projektiven Raums \(P\) ist definiert durch \(\pdim P = \dim _K V_P - 1\).

Punkt, Gerade, Ebene:  Für einen Punkt \(p \in P\) gibt es ein \(p’ \in V_P\) mit \(p’ \not = 0\), sodass \(p = \aufspann {p’}\). Die leere Menge ist ein Unterraum von \(P\), wobei \(V_\emptyset = (0)\) ist (daher gilt \(\pdim \emptyset = -1\)).
Punkte, Geraden und Ebenen sind Unterräume der p-Dimension \(0\), \(1\) und \(2\).
Ein Unterraum \(H\) von \(P\) mit \(\pdim P = n\) und \(\pdim H = n - 1\) heißt Hyperebene.

Fernhyperebene:  Sei \(P \not = \emptyset \) ein \(n\)-dimensionaler projektiver Raum und \(H\) eine Hyperebene von \(P\). Dann ist \(A = P \setminus H\) der zu \(H\) gehörende affine Raum von \(P\).
Die Punkte von \(A\) heißen eigentliche Punkte, die Punkte von \(H\) heißen uneigentliche Punkte.
\(H\) heißt uneigentliche Hyperebene oder Fernhyperebene von \(P\).

Satz (Dimensionsformel): Seien \(M\) und \(N\) projektive Unterräume von \(P\).
Dann sind auch \(M \cap N\) (Schnittraum) bzw. \(M \lor N = \bigcap _{U \ur P,\; U \supseteq M,N} U\) (Verbindungsraum) Unterräume von \(P\) mit \(V_{M \cap N} = V_M \cap V_N\) bzw. \(V_{M \lor N} = V_M + V_N\).
Es gilt \(\pdim M + \pdim N = \pdim (M \lor N) + \pdim (M \cap N)\).

unabhängige Punkte:  Seien \(p_0, \ldots , p_k\) Punkte des projektiven Raums \(P\).
\(p_0, \ldots , p_k\) heißen unabhängig, falls \(\pdim (p_0 \lor \cdots \lor p_k) = k\) gilt.
Die Punkte \(p_0, \ldots , p_k \in P\) sind genau dann unabhängig, falls \(p_0’, \ldots , p_k’\) linear unabhängige Vektoren sind (\(\aufspann {p_i’} = p_i\) für \(i = 0, \ldots , k\)).

projektives Koordinatensystem:  Ein geordnetes \(n+2\)-Tupel \(K = (q_0, \ldots , q_n, e)\) heißt projektives Koordinatensystem, falls je \(n + 1\) Punkte aus \(K\) unabhängig sind. Die Punkte \(q_0, \ldots , q_n\) heißen Grundpunkte und \(e\) heißt Einheitspunkt von \(K\).

homogene Koordinaten:  Nach obigem Lemma gibt es \(q_i’ \in q_i\) und \(e’ \in e\) mit \(e = q_0 + \cdots + q_n\). Für jeden Punkt \(x = \aufspann {x’} \in P\) hat \(x’ \not = 0\) die eindeutige Darstellung \(x’ = \lambda _0 q_0’ + \cdots + \lambda _n q_n’\). Dabei sind die Skalare \(\lambda _i \in K\) bis auf einen gemeinsamen Faktor durch \(x\) eindeutig bestimmt. Die Skalare \(\lambda _0, \ldots , \lambda _n \in K\) heißen die homogenen Koordinaten des Punktes \(x \in P\) bzgl. des projektiven Koordinatensystems \(K\). \((\lambda _0, \ldots , \lambda _n) \in K^{n+1}\) heißt homogener Koordinatenvektor und ist bis auf einen Faktor eindeutig bestimmt.

projektive Abbildung, Projektivität:  Seien \(P_1, P_2\) ein projektiver Raum mit zugehörigen \(K\)-Vektorräumen \(V_{P_1}, V_{P_2}\). Eine projektive Abbildung \(f: P_1 \rightarrow P_2\) wird durch eine injektive lineare Abbildung \(F: V_{P_1} \rightarrow V_{P_2}\) mit \(f(\aufspann {x}) = \aufspann {F(x)}\) induziert. \(F\) muss injektiv sein, denn sonst gäbe es Elemente \(x \in \ker F\), \(x \not = 0\) mit \(f(\aufspann {x}) = \aufspann {0} \notin P_2\).
Ist \(F\) bijektiv, so ist auch \(f\) bijektiv und heißt Projektivität.

Satz (\(P(V) \cong P(V^\ast )\)): Sei \(V\) endlich-dimensional. Dann ist \(P(V)\) isomorph zu \(P(V^\ast )\), wenn \(P(V)\) der projektive Raum mit zugehörigem Vektorraum \(V_{P(V)} = V\) ist.

Satz (Dualitätsprinzip allgemein): Vertauscht man in einer wahren Aussage über Punkte, Geraden usw. eines projektiven Raums der p-Dimension \(n\) die Begriffe „Punkt“ mit „Hyperebene“, „Gerade“ mit „\(n - 2\)-dimensionaler Unterraum“ usw. (also „\(i\)-dimensionaler Unterraum“ mit „\(n - i - 1\) dimensionaler Unterraum“), so erhält man wieder eine wahre Aussage.

Satz (Dualitätsprinzip für projektive Ebenen): Vertauscht man in einer wahren Aussage über Punkte und Geraden einer projektiven Ebene die Begriffe „Punkt“ mit „Gerade“ sowie „Verbindung“ mit „Schnitt“ und umgekehrt, so erhält man wieder eine wahre Aussage.

Zusatz: Projekt 11 (Tensorprodukte)

freier Vektorraum über einer Menge:  Sei \(M\) eine Menge und \(K\) ein Körper. Dann ist der freie \(K\)-Vektorraum \(\mathcal {F}(M)\) über der Menge \(M\) definiert durch
\(\mathcal {F}(M) = \{(k_m)_{m \in M} \;|\; k_m \in K \text { fast alle } 0\} = \{k: M \rightarrow K \;|\; k(m) = 0 \text { für fast alle } m \in M\}\).
\(\mathcal {F}(M)\) wird zum \(K\)-Vektorraum durch \((k + l): M \rightarrow K\), \((k + l)(m) = k(m) + l(m)\) und \((\lambda k): M \rightarrow K\), \((\lambda k)(m) = \lambda k(m)\) für \(k \in \mathcal {F}(M)\).

Tensorprodukt als Faktorraum:  Seien \(V, W\) \(K\)-Vektorräume. Dann ist das Tensorprodukt \(V \otimes W\) definiert durch \(V \otimes W = \mathcal {F}(V \times W)/R\) mit \(R = \aufspann {S} \ur \mathcal {F}(V \times W)\) und
\(S = \{(v_1 + v_2, w) - (v_1, w) - (v_2, w),\; (v, w_1 + w_2) - (v, w_1) - (v, w_2),\; (\lambda v, w) - \lambda (v, w),\; (v, \lambda w) - (v, \lambda w) \;|\; v_1, v_2, v \in V,\; w_1, w_2, w \in W, \lambda \in K\} \subseteq \mathcal {F}(V \times W)\), wobei \((v, w) \in \mathcal {F}(V \times W)\) die Abbildung \(f_{(v, w)}: V \times W \rightarrow K\), \(f_{(v, w)}(x, y) = 1\) für \((x, y) = (v, w)\) und \(f_{(v, w)}(x, y) = 0\) sonst darstellt. \(v \otimes w = (v, w) + R \in V \otimes W\) mit \(v \in V\), \(w \in W\) ist ein einfacher Tensor.

Lemma (Basis von \(V \otimes W\)): Ist \(\basis {B} = (v_1, v_2, \dotsc )\) eine Basis von \(V\) und \(\basis {C} = (w_1, w_2, \dotsc )\) eine Basis von \(W\), so ist \((v_1 \otimes w_1, v_1 \otimes w_2, \dotsc , v_2 \otimes w_1, v_2 \otimes w_2, \dotsc )\) eine Basis von \(V \otimes W\).

Satz (Tensorprodukt über universelle Eigenschaft): Seien \(V\) und \(W\) \(K\)-Vektorräume. Sei außerdem \(A\) ein \(K\)-Vektorraum, der die folgenden Eigenschaften hat:
1. Es gibt eine bilineare Abbilduing \(j: V \times W \rightarrow A\).   2. Ist \(U\) ein \(K\)-Vektorraum und \(f: V \times W \rightarrow U\) bilinear, so gibt es genau einen Homomorphismus \(\widetilde {f}: A \rightarrow U\) mit \(\widetilde {f} \circ j = f\).
Dann ist \(A \cong V \otimes W\).

Bemerkung: Man kann auch das Tensorprodukt über diesen Satz definieren, d. h. jeder \(K\)-Vektorraum \(A\), der die universelle Eigenschaft erfüllt, heißt Tensorprodukt \(V \otimes W\). Der Satz garantiert, dass so das Tensorprodukt bis auf Isomorphie eindeutig definiert ist.