Der Raum der Testfunktionen D
Im Folgenden wird die Menge \(\C _0^\infty (\real ^d, \complex )\) aller glatten Funktionen mit kompaktem Träger betrachtet. Eine Funktion \(\varphi \colon \real ^d \rightarrow \complex \) ist in \(\C _0^\infty (\real ^d, \complex )\) genau dann, wenn sie beliebig oft (stetig) partiell differenzierbar ist und es ein \(R = R(\varphi ) < \infty \) gibt mit \(\varphi (x) \equiv 0\) für alle \(|x| \ge R\).
Konvergenz auf \(\D \): Für eine Folge von Funktionen \(\{\varphi _n\}_{n \in \natural }\) und \(\varphi \) in \(\C _0^\infty (\real ^d, \complex )\) konvergiert \(\varphi _n\) auf \(\D \) gegen \(\varphi \) (\(\varphi _n \xrightarrow {\D } \varphi \)), falls \(\exists _{R < \infty } \forall _{n \in \natural } \forall _{|x| \ge R}\; \varphi _n(x) \equiv 0\) und \(\forall _{\alpha \in \natural _0^d}\; \partial ^\alpha \varphi _n \xrightarrow [\text {glm.}]{\real ^d} \partial ^\alpha \varphi \).
Raum der Testfunktionen \(\D = \D (\real ^d)\): Der Raum der Testfunktionen \(\D = \D (\real ^d)\) ist der topologische Vektorraum gebildet durch die Menge \(\C _0^\infty (\real ^d, \complex )\) und obiger Konvergenz.
Der Raum ist nicht metrisierbar, d. h. es gibt keine Metrik, die obigen Konvergenzbegriff induziert.
Träger: Für \(\varphi \in \D (\real ^d)\) ist \(\supp \varphi := \overline {\{x \in \real ^d \;|\; \varphi (x) \not = 0\}}\) der Träger von \(\varphi \).
Lemma: Es gilt \(\supp \partial ^\alpha \varphi \subset \supp \varphi \) für alle \(\varphi \in \D (\real ^d)\) und \(\alpha \in \natural _0^d\).
Raum der Testfunktionen \(\D (G)\): Sei \(G \subset \real ^d\) offen.
Dann ist \(\D (G) := \{\varphi \in \D (\real ^d) \;|\; \supp \varphi \subset G\}\) der Raum der Testfunktionen auf \(G\).
Lemma („Vollständigkeit“ von \(\D \)):
Für \(n \in \natural \) seien \(\varphi _n \in \D \) gegeben mit \(\exists _{R < \infty } \forall _{n \in \natural }\; \supp \varphi _n \subset U_R(0)\).
Außerdem gelte für alle \(\alpha \in \natural _0^d\), dass \(\partial ^\alpha \varphi _n \xrightarrow [\text {glm.}]{\real ^d} \psi _\alpha \) mit \(\psi _\alpha \) stetig.
Dann gibt es ein \(\varphi \in \D \) mit \(\varphi _n \xrightarrow {\D } \varphi \).
stetige Abbildung auf \(\D \): Sei \(T\colon \D \rightarrow \D \) eine Abbildung.
\(T\) heißt stetig, falls aus \(\varphi _n \xrightarrow {\D } \varphi \) stets \(T \varphi _n \xrightarrow {\D } T\varphi \) folgt.
Beispiel: Für \(T = \partial ^\beta \) sei \(T \varphi _n = \partial ^\beta \varphi _n =: \psi _n^{(\beta )}\) und \(\varphi _n \xrightarrow {\D } \varphi \). Aufgrund des Träger-Lemmas gilt \(\supp \psi _n^{(\beta )} = \supp \partial ^\beta \varphi _n \subset \supp \varphi _n \subset \overline {U_R(0)}\), d. h. die erste Bedingung für \(\psi _n^{(\beta )} \xrightarrow {\D } \psi ^{(\beta )} := \partial ^\beta \varphi \) ist überprüft. Außerdem gilt \(\partial ^\alpha \psi _n^{(\beta )} = \partial ^\alpha (\partial ^\beta \varphi _n) = \partial ^{\alpha + \beta } \varphi _n \xrightarrow {\text {glm.}} \partial ^{\alpha + \beta } \varphi = \partial ^\alpha \psi ^{(\beta )}\), also ist auch die zweite Bedingung erfüllt und es gilt \(\psi _n^{(\beta )} \xrightarrow {\D } \psi ^{(\beta )}\). Daher ist \(T = \partial ^\beta \) eine stetige Abbildung.
Beispiel: Für \(\alpha \in \C ^\infty (\real ^d, \complex )\) ist \(T\colon \D \rightarrow \D \), \(T\varphi = \alpha \cdot \varphi \) stetig (Leibnizregel).
Beispiel: Für eine \(d \times d\)-Matrix \(A \in \real ^{d \times d}\) mit \(\det A \not = 0\) ist \(A\colon \real ^d \rightarrow \real ^d\) eine bijektive Abbildung. Dies definiert eine stetige Abbildung \(T\colon \D \rightarrow \D \), \((T\varphi )(x) = \varphi (Ax + b)\).
Distributionen über D
Distributionen über \(\D \):
Eine Distribution \(f\) über \(\D \) ist ein lineares stetiges Funktional \(f\colon \D \rightarrow \complex \).
Man schreibt \(\varphi \mapsto f[\varphi ] = (f, \varphi )\) für \(\varphi \in \D \).
Es müssen also zwei Bedingungen erfüllt werden: Zum einen muss für \(\varphi , \psi \in \D \) und \(\lambda , \mu \in \complex \) gelten, dass \(f[\lambda \varphi + \mu \psi ] =
\lambda f[\varphi ] + \mu f[\psi ]\), und es muss aus \(\varphi _n \xrightarrow {\D } \varphi \) stets \(f[\varphi _n] \to f[\varphi ]\) folgen.
Ist Linearität gezeigt, genügt es, die Stetigkeit für \(\varphi \equiv 0\) zu überprüfen.
Zwei Distributionen sind gleich, falls sie auf allen Testfunktionen angewendet gleich sind, d. h. \(\forall _{\varphi \in \D }\; (f, \varphi ) = (g, \varphi )\).
Konvergenz auf \(\D ’\): Für eine Folge von Distributionen \(\{f_n\}_{n \in \natural }\) und eine Distribution \(f\) konvergiert \(f_n\) auf \(\D ’\) gegen \(f\) (\(f_n \xrightarrow {\D ’} f\)), falls \(\forall _{\varphi \in \D }\; (f_n, \varphi ) \to (f, \varphi )\).
Raum der Distributionen \(\D ’\): Der Raum der Distributionen \(\D ’\) ist der topologische Vektorraum gebildet durch die Menge der Distributionen über \(\D \) und obiger Konvergenz.
Da \(\D ’\) ein Vektorraum ist, gilt \((\alpha f + \beta g)[\varphi ] := \alpha f[\varphi ] + \beta g[\varphi ]\) für \(f, g \in \D ’\), \(\alpha , \beta \in \complex \) und \(\varphi \in \D
\)
(stetig, da \(f, g\) stetig sind).
Für \(f_n \xrightarrow {\D ’} f\), \(g_n \xrightarrow {\D ’} g\) und \(\alpha , \beta \in \complex \) gilt \(\alpha f_n + \beta g_n \xrightarrow {\D ’} \alpha f + \beta g\).
Lemma („Vollständigkeit“ von \(\D ’\)): Für \(n \in \natural \) seien \(f_n \in \D ’\) gegeben mit
\(\forall _{\varphi \in \D } \exists _{\ell _\varphi \in \complex }\; \ell _\varphi = \lim _{n \to \infty } (f_n, \varphi )\).
Dann gibt es ein \(\ell \in \D ’\) mit \(\ell _\varphi = \ell [\varphi ]\) für alle \(\varphi \in \D \),
d. h. es gilt \(\ell \in \D ’\) und \(f_n \xrightarrow {\D ’} \ell \) mit \((\ell , \varphi ) := \ell _\varphi \).
Gleichheit von Distributionen auf \(G\): Seien \(f, g \in \D ’\) und \(G \subset \real ^d\) offen.
Dann sei \(f|_G \equiv 0\), falls \(\forall _{\varphi \in \D ,\; \supp \varphi \subset G}\; (f, \varphi ) = 0\).
Außerdem sei \(f|_G \equiv g|_G\), falls \((f - g)|_G \equiv 0\).
Satz: Seien \(f \in \D ’\) und \(G \subset \real ^d\) offen mit \(\forall _{x \in G} \exists _{V_x \subset G \text { offen},\; x \in V_x}\; f|_{V_x} \equiv 0\) (\(f\) ist lokal \(0\)).
Dann gilt \(f|_G \equiv 0\) (\(f\) ist global \(0\)).
Träger einer Distribution: Seien \(f \in \D ’\) und \(O_f := \bigcup _{G \text { offen},\; f|_G \equiv 0} G\).
Dann ist \(\supp f := \real ^d \setminus O_f\) der Träger von \(f\) (abgeschlossen, da \(O_f\) offen).
Nach dem Satz gilt \(f|_{O_f} \equiv 0\).
Es ist \(x \in O_f\) genau dann, wenn es ein \(V_x \subset \real ^d\) offen gibt mit \(x \in V_x\) und \(f|_{V_x} \equiv 0\).
Daher ist \(x \in \supp f\) genau dann, wenn es kein \(V_x \subset \real ^d\) offen gibt mit \(x \in V_x\) und \(f|_{V_x} \equiv 0\).
Reguläre und singuläre Distributionen
Raum der lokal integrierbaren Funktionen \(L^1_\loc = L^1_\loc (\real ^d)\):
Der Raum der lokal integrierbaren Funktionen \(L^1_\loc (\real ^d)\) ist der Raum aller Funktionen
\(f\colon \real ^d \rightarrow \complex \) mit \(f|_K \in L^1(K, dx)\) für alle \(K \subset \real ^d\) kompakt.
von \(f\) erzeugte reguläre Distribution: Sei \(f \in L^1_\loc \). Dann ist die von \(f\) erzeugte reguläre Distribution \(\ell _f\) definiert durch \(\ell _f(\varphi ) = f[\varphi ] := \int _{\real ^d} f(x) \varphi (x) \dx \) für alle \(\varphi \in \D \).
Das Integral ist wohldefiniert, da \(\varphi \) als Testfunktion kompakt getragen ist.
\(\ell _f\) ist in der Tat eine Distribution: \(\ell _f\) ist offensichtlich linear, da das Integral ebenfalls linear ist. \(\ell _f\) ist außerdem in \(\varphi \equiv 0\) stetig, denn: Seien \(\varphi _n \in \D \) mit \(\varphi
_n \xrightarrow {\D } 0\), dann gilt \(\supp \varphi _n \subset \overline {U_R(0)}\) und \(\varphi _n \xrightarrow {\text {glm.}} 0\). Daraus folgt \(|\ell _f(\varphi _n)| = \left |\int _{\real ^d}
f(x) \varphi _n(x) \dx \right | \le \int _{|x| \le R} |f(x)| |\varphi _n(x)| \dx \)
\(\le \sup _{|x| \le R} |\varphi _n(x)| \cdot \int _{|x| \le R} |f(x)| \dx \). Der erste Faktor geht gegen \(0\), da \(\varphi _n \xrightarrow {\text {glm.}} 0\). Der zweite Faktor ist endlich, da \(f\) lokal
integrierbar ist. Somit gilt \(\ell _f(\varphi _n) \to 0\). Also ist \(\ell _f \in \D ’\).
reguläre und singuläre Distributionen:
Eine Distribution \(h \in \D ’\) heißt regulär, falls es ein \(f \in L^1_\loc \) gibt mit \(\ell _f = h\).
Andernfalls heißt \(h\) singulär.
Für \(f, g \in L^1_\loc \) mit \(f \not = g\) in \(L^1_\loc \) gibt es ein \(\varphi \in \D \) mit \((f, \varphi ) \not = (g, \varphi )\), d. h. es gilt \(\ell _f \not = \ell _g\).
Beispiel: Die Distribution \(\delta \in \D ’\) mit \(\delta [\varphi ] = (\delta , \varphi ) := \varphi (0)\) ist die sogenannte
Delta-Distribution. Sie ist eine singuläre Distribution.
Beispiel: Für eine Mannigfaltigkeit \(S \subset \real ^d\) mit Volumenform ist \(\delta _S[\delta ] := \int _S \varphi (x) dS\) eine
Distribution.
Beispiel: Für \(d = 1\) ist \(f(x) = \frac {1}{x}\) keine lokal-integrierbare Funktion (nicht integrierbar auf jedem Intervall, das die \(0\) enthält). Man versucht dieses Problem zu umgehen, in dem man \((\frac {1}{x \pm \i \cdot 0}, \varphi ) := \lim _{\varepsilon \to 0} \left (\int _\real \frac {\varphi (x)}{x \pm \i \varepsilon } \dx \right )\) definiert. Für \(\varepsilon > 0\) fest ist der Ausdruck in Klammern gleich \((f_\varepsilon , \varphi )\) mit einer regulären Distribution \(f_\varepsilon \).
Beispiel: \((P\frac {1}{x}, \varphi ) := \vp \int _{-\infty }^{+\infty } \frac {\varphi (x)}{x} \dx = \lim _{\varepsilon \to 0 + 0} \left (\int _{-\infty }^{-\varepsilon } + \int _\varepsilon ^{+\infty }\right ) \frac {\varphi (x)}{x} \dx \) ist eine Distribution.
Koordinatentransformation
Seien \(\pi \colon \real ^d \rightarrow \real ^d\) mit \(x = \pi y = Ay + b\) und \(A \in \real ^{d \times d}\), \(\det A \not = 0\) und \(b \in \real ^d\).
Motivation: Für \(f \in L^1_\loc (\real ^d)\) gilt \((f \circ \pi , \varphi ) = \int _{\real ^d} (f \circ \pi )(y) \varphi (y) \dy = \int _{\real ^d} f(x) \varphi (\pi ^{-1} x)
\left |\frac {Dy}{Dx}\right | \dx \)
\(= \frac {1}{|\det A|} \int _{\real ^d} f(x) (\varphi \circ \pi ^{-1})(x) \dx = \frac {1}{|\det A|} (f, \varphi \circ \pi ^{-1})\). Dies verwendet man als Definition.
Koordinatentransformation einer Distribution: Sei \(f \in \D ’\).
Dann ist die Distribution \(f \circ \pi \) definiert durch \((f \circ \pi , \varphi ) := \frac {1}{|\det A|} (f, \varphi \circ \pi ^{-1})\) für alle \(\varphi \in \D \).
Korrektheit: Für \(\varphi \in \D \) ist \(\varphi \circ \pi ^{-1} \in \D \), d. h. \((f, \varphi \circ \pi ^{-1})\) ist wohldefiniert.
\(f \circ \pi \) ist linear (klar). Für \(\varphi _n \xrightarrow {\D } 0\) gilt aufgrund \(\cdot \circ \pi ^{-1}\colon \D \rightarrow \D \) stetig, dass \(\varphi _n \circ \pi ^{-1} \xrightarrow {\D
} 0\), also gilt für \(f \in \D ’\), dass \((f, \varphi _n \circ \pi ^{-1}) \to 0\) (da \(f\) stetig ist).
Beispiel: Für \(A = E\) gleich der Einheitsmatrix gilt \(\det A = 1\) und \(x = \pi y = y + b\), also \(y = \pi ^{-1} x = x - b\). Somit ist \((f \circ \pi , \varphi ) = (f, \varphi (x -
b))\)
(im regulären Fall wäre das z. B. \(\int _{\real ^d} f(x) \varphi (x - b) \dx \)).
Insbesondere gilt für die Delta-Distribution \(\delta \), dass \((\delta \circ \pi , \varphi ) = \varphi (-b)\).
Beispiel: Für \(A = c \cdot E\) mit \(c > 0\) und \(b = 0\) gilt
\((\delta \circ \pi , \varphi ) = \frac {1}{|\det A|} (\delta , \varphi \circ \pi ^{-1}) = \frac {1}{|\det A|} (\varphi \circ \pi ^{-1})(0) = c^{-d} \varphi (0)\).
Motivation: Für \(f \in L^1_\loc (\real ^d)\) und \(\alpha \in \C ^\infty (\real ^d, \complex )\) ist \(\alpha f \in L^1_\loc (\real ^d)\) und es gilt
\((\alpha f, \varphi ) = \int _{\real ^d} \alpha (x) f(x) \varphi (x) \dx = (f, \alpha \varphi )\), da \(\alpha \varphi \in \D \).
Multiplikation einer Distribution mit einer glatten Funktion: Seien \(f \in \D ’\) und \(\alpha \in \C ^\infty \).
Dann ist die Distribution \(\alpha f\) definiert durch \((\alpha f, \varphi ) := (f, \alpha \varphi )\) für alle \(\varphi \in \D \).
Korrektheit: Für \(\varphi \in \D \) ist \(\alpha \varphi \in \D \), d. h. \((f, \alpha \varphi )\) ist wohldefiniert.
\(\alpha f\) ist linear (klar). Für \(\varphi _n \xrightarrow {\D } 0\) gilt \(\alpha \varphi _n \xrightarrow {\D } 0\), also \((f, \alpha \varphi _n) \to 0\) (da die Multiplikation \(T_\alpha \colon \D
\rightarrow \D \), \(\varphi \mapsto \alpha \varphi \) eine stetige Abbildung ist).
Beispiel: Für \(\alpha \in \C ^\infty (\real ^d, \complex )\) und der Delta-Distribution \(\delta \in \D ’\) gilt \((\alpha \cdot \delta , \varphi ) = (\delta , \alpha \cdot \varphi ) = \alpha (0) \varphi (0)\). Für \(d = 1\) ist z. B. \(x \cdot \delta = 0\) die Nulldistribution (\(\alpha (x) = x\)).
Beispiel: Für \(d = 1\) soll \(x \cdot P \frac {1}{x}\) betrachtet werden. Es ist
\((x \cdot P \frac {1}{x}, \varphi ) = (P \frac {1}{x}, x \cdot \varphi ) = \vp \int _{-\infty }^{+\infty } \frac {1}{x} \cdot x \varphi (x) \dx = \int _{-\infty }^{+\infty } 1 \cdot \varphi
(x) = (1, \varphi )\), also \(x \cdot P \frac {1}{x} = 1\) in \(\D ’\).
Vorsicht: Es gibt keine assoziative und kommutative Multiplikation auf den Distributionen, denn sonst wäre \(0 = 0 \cdot P \frac {1}{x} = (x \cdot \delta ) \cdot P \frac {1}{x} = \delta \cdot (x \cdot P \frac {1}{x}) = \delta \cdot 1 = \delta \).
Differentiation von Distributionen
Motivation: Für \(f \in \C ^1(\real ^d, \complex )\) gilt \(f’_{x_j} \in \C (\real ^d, \complex )\) für \(j = 1, \dotsc , d\). Betrachtet man die erzeugte reguläre
Distribution, so ergibt sich (da \(\varphi \) kompakt getragen ist)
\((f’_{x_j}, \varphi ) = \int _{\real ^d} f’_{x_j}(x) \varphi (x) \dx = \int _{\real ^{d-1}} \left (\left .f(x) \varphi (x)\right |_{x_j=-\infty }^{+\infty } - \int _{-\infty }^{+\infty }
f(x) \varphi ’_{x_j}(x) \dx _j\right ) \dx ’ = -(f, \varphi ’_{x_j})\), wobei bei \(x’\) die \(j\)-te Komponente \(x_j\) fehlt. Allgemeiner ist \((\partial ^\alpha f, \varphi ) = (-1)^{|\alpha |} (f,
\partial ^\alpha \varphi )\).
Ableitung einer Distribution: Seien \(f \in \D ’\) und \(\alpha \in \natural _0^d\).
Dann ist die Distribution \(\partial ^\alpha f\) definiert durch \((\partial ^\alpha f, \varphi ) := (-1)^{|\alpha |} (f, \partial ^\alpha \varphi )\) für alle \(\varphi \in \D \).
Korrektheit: Für \(\varphi \in \D \) ist \(\partial ^\alpha \varphi \in \D \), d. h. \((f, \partial ^\alpha \varphi )\) ist wohldefiniert.
\(\partial ^\alpha f\) ist linear (klar). Für \(\varphi _n \xrightarrow {\D } 0\) gilt \(\partial ^\alpha \varphi \xrightarrow {\D } 0\), also \((f, \partial ^\alpha \varphi _n) \to 0\), da
\(\partial ^\alpha \colon \D \rightarrow \D \) stetig ist.
Beispiel: Die Ableitung der Delta-Distribution \(\delta \in \D \) für \(d = 1\) ist
\((\delta ’, \varphi ) = (-1) \cdot (\delta , \varphi ’) = -\varphi ’(0)\). Man kann sich eine analoge Formel für \(\partial ^\alpha \delta \) überlegen. Dabei gilt, dass \(\supp \partial
^\alpha \delta = \{0\}\). In der Tat ist jede Distribution mit nur einem Punkt als Träger eine Linearkombination von der Delta-Distribution und ihren Ableitungen.
Rechenregeln: Für \(f, g \in \D ’\) gilt \(\partial ^\alpha (f + g) = \partial ^\alpha f + \partial ^\alpha g\).
Es gilt \(\partial ^\alpha (\partial ^\beta f) = \partial ^{\alpha + \beta } f\) und \(\partial ^\alpha (cf) = c (\partial ^\alpha f)\) für \(c \in \complex \).
Produktregel: Für \(f \in \D ’\) und \(\alpha \in \C ^\infty \) gilt \(\frac {\partial }{\partial x_j} (\alpha f) = \left (\frac {\partial \alpha }{\partial x_j}\right ) f + \alpha \left (\frac {\partial f}{\partial x_j}\right )\).
Träger von Ableitungen: Es ist \(\supp f = \real ^d \setminus O_f\) mit \(O_f = \bigcup _{G \text { offen},\; f|_G \equiv 0} G\).
Dabei bedeutet \(f|_G \equiv 0\), dass \(\forall _{\varphi \in \D (G)}\; (f, \varphi ) = 0\). Daraus folgt \((f, \partial ^\alpha \varphi ) = 0\) für alle \(\varphi \in \D (G)\) und daher \(\partial
^\alpha f|_G \equiv 0\). Also gilt \(O_f \subset O_{\partial ^\alpha f}\) bzw. \(\supp \partial ^\alpha f \subset \supp f\).
Satz: Die Abbildung \(\partial ^\alpha \colon \D ’ \rightarrow \D ’\) ist linear und stetig.
Folgerung: Für \(f_n \in L^1_\loc \) mit \(f_n \xrightarrow {L^1_\loc } f\) gilt \((f_n, \varphi ) = \int _{\real ^d} f_n(x) \varphi (x) \dx \to \int _{\real ^d} f(x) \varphi (x) \dx \), d. h. \(f_n \xrightarrow {\D ’} f\) und \(\partial ^\alpha f_n \xrightarrow {\D ’} \partial ^\alpha f\).
Reihen von Distributionen: Seien \(f_k \in \D ’\) für \(k \in \natural \) und \(S_n := \sum _{k=1}^n f_k \in \D ’\) für \(n \in \natural \).
Dann ist \(\sum _{k=1}^\infty f_k \overset {\D ’}{:=} S\), falls \(S_n \xrightarrow {\D ’} S\).
Folgerung: In diesem Fall gilt auch \(\partial ^\alpha S = \sum _{k=1}^\infty \partial ^\alpha f_k\).
Satz: Seien \(c_k \in \complex \) für \(k \in \integer \) mit \(|c_k| \le a |k|^m + b\) für ein \(m \in \natural \) und \(a, b > 0\).
Dann konvergiert \(S = \sum _{k=-\infty }^{+\infty } c_k e^{\i kx} = \lim _{N \to \infty } \sum _{k=-N}^N c_k e^{\i kx}\) in \(\D ’\).
Stammfunktion einer Distribution
Stammfunktion einer Distribution: Sei \(f \in \D ’\).
Dann heißt eine Distribution \(F = f^{-1} \in \D ’\) Stammfunktion von \(f\), falls \(F’ = f\), d. h.
\((F, \varphi ’) = -(f, \varphi )\) für alle \(\varphi \in \D \).
Beachte: \((F, \varphi ’) = -(f, \varphi )\) ist nur auf \(\psi = \varphi ’\) mit \(\varphi \in \D \) gegeben.
Nicht alle \(\widetilde {\varphi } \in \D \) sind Ableitungen von Stammfunktionen.
Satz: Für jede Distribution \(f \in \D ’\) existiert eine Stammfunktion \(F \in \D ’\). Diese ist bis auf eine additive Konstante eindeutig.
Folgerung: Falls \(f \in \D ’\) mit \(f’ = 0\) gilt, so ist \(f \equiv \const \).
Wichtige Beispiele
Beispiel: Ableitung von regulären Distributionen mit Sprungstellen
Sei \(f\colon \real \rightarrow \real \) (oder \(\complex \)) eine Funktion mit Sprungstelle \(x_0 \in \real \), d. h. \(f|_{\left ]-\infty , x_0\right [} \in \C ^1\) und \(f|_{\left ]x_0, +\infty
\right [} \in \C ^1\). Dabei sei \([f]_{x_0} := f(x_0 + 0) - f(x_0 - 0)\) die Höhe des Sprungs und
\(\{f’\}(x) := f’(x)\) für \(x \not = x_0\) die klassische Ableitung. Es gilt \(f \in L^1_\loc (\real )\), d. h. \(f \in \D ’\) ist eine reguläre Distribution. Was ist nun die distributionelle
Ableitung \(f’\)?
Für \(\varphi \in \D (\real )\) gilt \((f’, \varphi ) = -(f, \varphi ’) = -\int _\real f(x)\varphi ’(x)\dx \)
\(= -\int _{-\infty }^{x_0} f(x)\varphi ’(x)\dx - \int _{x_0}^{+\infty } f(x)\varphi ’(x)\dx \)
\(= -f(x)\varphi (x)|_{-\infty }^{x_0 - 0} - f(x)\varphi (x)|_{x_0 + 0}^{+\infty } + \left (\int _{-\infty }^{x_0} + \int _{x_0}^{+\infty }\right ) \{f’\}(x)\varphi (x)\dx \)
\(= -f(x_0 - 0)\varphi (x_0 - 0) + f(x_0 + 0)\varphi (x_0 + 0) + (\{f’\}, \varphi ) = [f]_{x_0} \varphi (x_0) + (\{f’\}, \varphi )\)
\(= ([f]_{x_0} \delta (x - x_0) + \{f’\}, \varphi )\), d. h. es gilt \(f’ = [f]_{x_0} \delta (x - x_0) + \{f’\}\).
Im Spezialfall \(f(x) = \theta (x) :=\) \(\begin {cases} 0 & x \le 0 \\ 1 & x > 0 \end {cases}\) (Heaviside-Funktion) gilt \(\theta ’ = \delta \).
Beispiel: Distributionen mit Träger in einem Punkt
Gesucht ist \(u \in \D ’(\real )\) mit \(x^m u = 0\) für ein \(m \in \natural \).
Man sieht schnell, dass dafür notwendigerweise \(\supp u = \{0\}\) gelten muss.
Eine Lösung ist eine Linearkombination \(u = \sum _{k=0}^{m-1} c_k \delta ^{(k)}\) von Ableitungen der Delta-Distr.
Wie die Probe \((x^m c_k \delta ^{(k)}, \varphi ) = c_k (\delta ^{(k)}, x^m \varphi ) = c_k (-1)^k (\delta , \frac {d^k}{dx^k} (x^m \varphi )) = c_k (-1)^k \frac {d^k}{dx^k} (x^m \varphi
)|_{x=0} = 0\) für \(\varphi \in \D (\real )\) zeigt, ist dies tatsächlich eine Lösung. Man kann zeigen, dass das sogar die allgemeine Lösung ist (d. h. jede Lösung ist
von dieser Form).
Beispiel: Lösung von ODE
Sei \(L = \frac {d^m}{dt^m} + a_1(t) \frac {d^{m-1}}{dt^{m-1}} + \dotsb + a_{m-1}(t) \frac {d}{dt} + a_m(t)\) ein Differentialausdruck mit \(a_j \in \C ^\infty (\real )\) und \(|a_j| \le C\). Man
betrachtet das Cauchy-Problem \(Lz(t) = 0\) für \(t > 0\) mit
\(z(0) = z’(0) = \dotsb = z^{(m-2)(}(0) = 0\) und \(z^{m-1}(0) = 1\).
Mit der Heaviside-Funktion kann die Lösung erweitert werden zu \(\varepsilon (t) = \theta (t) z(t)\) für \(t \in \real \).
Dabei gilt \(\varepsilon ^{(k)}(0) = 0\) für \(k = 0, \dotsc , m - 2\) und \(\varepsilon ^{(m-1)}(0 - 0) = 0\) sowie \(\varepsilon ^{(m-1)}(0 + 0) = 1\).
Somit ist \(\varepsilon ^{(m)}(t) = \theta (t) z^{(m)}(t) + \delta (t)\) nach obiger Formel.
Wegen \(\varepsilon ^{(k)}(t) = \theta (t) z^{(k)}(t)\) für \(k = 0, \dotsc , m - 2\) gilt \(L\varepsilon (t) = \theta (t) Lz(t) + \delta (t) = \delta (t)\) (\(Lz(t) = 0\)).
Somit löst \(\varepsilon (t) = \theta (t) z(t)\) die Gleichung \(L\varepsilon (t) = \delta (t)\). Man spricht von einer Fundamentallösung.
Beispiel: Fundamentallösung für \(\Delta \) und \(d = 2\)
Es soll verifiziert werden, dass \(\varepsilon _2(x) = \frac {1}{2\pi } \ln |x|\) eine Fundamentallösung für den Laplace-Operator \(\Delta = \frac {\partial ^2}{\partial x_1^2} + \frac
{\partial ^2}{\partial x_2^2}\) in zwei Dimensionen ist. Dabei seien \(x = (x_1, x_2) \in \real ^2\) kartesische Koordinaten und \(|x| = \sqrt {x_1^2 + x_2^2}\).
Zunächst gilt \(\ln |x| \in L^1_\loc (\real ^2)\) und mit \(\chi _\varepsilon (x) :=\) \(\begin {cases} 1 & |x| \ge \varepsilon \\ 0 & |x| < \varepsilon \end {cases}\) ist \(\chi
_\varepsilon (x)\ln |x| \xrightarrow {L^1_\loc } \ln |x|\) für \(\varepsilon \to 0\). Daraus folgt \(\chi _\varepsilon (x) \ln |x| \xrightarrow {\D ’} \ln |x|\) und \(\Delta (\chi
_\varepsilon (x) \ln |x|) \xrightarrow {\D ’} \Delta \ln |x|\) für \(\varepsilon \to 0\), da \(\Delta \colon \D ’ \rightarrow \D ’\) stetig ist.
Man geht nun zu Polarkoordinaten \((r, \theta )\) über, der entsprechend transformierte Ausdruck für den Laplace-Operator ist \(\Delta = \frac {\partial ^2}{\partial x_1^2} + \frac {\partial
^2}{\partial x_2^2} = \frac {1}{r} \frac {\partial }{\partial r} r \frac {\partial }{\partial r} + \frac {1}{r^2} \frac {\partial ^2}{\partial \theta ^2}\).
Daraus folgt dann \((\Delta (\chi _\varepsilon (x)\ln |x|), \varphi ) = (\chi _\varepsilon (x)\ln |x|, \Delta \varphi ) = \int _0^{2\pi } \int _\varepsilon ^R \ln r \cdot (\Delta \varphi (r,
\theta )) \cdot r\dr \dtheta \)
\(= \int _0^{2\pi } \int _\varepsilon ^R \ln r \cdot \left (\frac {1}{r} \frac {\partial }{\partial r} r \frac {\partial }{\partial r} \varphi + \frac {1}{r^2} \frac {\partial ^2}{\partial
\theta ^2} \varphi \right ) \cdot r\dr \dtheta \).
Dabei ist \(\int _0^{2\pi } \int _\varepsilon ^R \ln r \cdot \left (\frac {1}{r^2} \frac {\partial ^2}{\partial \theta ^2} \varphi \right ) \cdot r\dr \dtheta = \int _\varepsilon ^R \frac {\ln
r}{r} \cdot \left (\int _0^{2\pi } \frac {\partial ^2 \varphi }{\partial \theta ^2}d\theta \right ) \dr = 0\), da \(\varphi \) in \(\theta \) \(2\pi \)-periodisch ist (der Ausdruck in Klammern ist \(0\)).
Also ist \(\int _0^{2\pi } \int _\varepsilon ^R \ln r \cdot \left (\frac {1}{r} \frac {\partial }{\partial r} r \frac {\partial }{\partial r} \varphi + \frac {1}{r^2} \frac {\partial
^2}{\partial \theta ^2} \varphi \right ) \cdot r\dr \dtheta = \int _0^{2\pi } \int _\varepsilon ^R \ln r \cdot \left (\frac {\partial }{\partial r} r \frac {\partial }{\partial r} \varphi
\right ) \dr \dtheta \)
\(= \int _0^{2\pi } \left (\left .\ln r \cdot r \frac {\partial }{\partial r} \varphi \right |_\varepsilon ^R - \int _\varepsilon ^R \left (\frac {1}{r} \cdot r \frac {\partial }{\partial r}
\varphi \right )d\theta \right )\dr = o(\varepsilon ) - \int _0^{2\pi } \left (\int _\varepsilon ^R \frac {\partial }{\partial r} \varphi \dr \right )d\theta \)
\(= o(\varepsilon ) - \int _0^{2\pi } \left (\varphi (R, \theta ) - \varphi (\varepsilon , \theta )\right ) d\theta \). Dabei verschwindet \(\varphi (R, \theta )\) (kompakter Träger) und
\(\varphi (\varepsilon , \theta )\) geht für \(\varepsilon \to 0\) gleichmäßig gegen \(\varphi (0)\). Somit gilt \(\lim _{\varepsilon \to 0} \left (\Delta \chi _\varepsilon (x)\ln |x|,
\varphi \right ) = 0 + \int _0^{2\pi } \varphi (0)d\theta \)
\(= 2\pi \varphi (0) = (2\pi \delta , \varphi )\), d. h. \(\Delta \ln |x| = 2\pi \delta \) für \(d = 2\) und \(\Delta \varepsilon _2 = \delta \).
Tensorprodukt von Distributionen
Tensorprodukt von Funktionen: Seien \(f \in L^1_\loc (\real ^n_x)\) und \(g \in L^1_\loc (\real ^m_y)\).
Dann ist das Tensorprodukt \(f \otimes g \in L^1_\loc (\real ^{n+m}_{(x,y)})\) gegeben durch \((f \otimes g)(x, y) := f(x) \cdot g(y)\).
Ist \(\varphi (\cdot , \cdot ) \in \D (\real ^{n+m}_{(x,y)})\) eine Testfunktion, so sind auch \(\varphi (x_0, \cdot ) \in \D (\real ^m_y)\) und \(\varphi (\cdot , y_0) \in \D (\real ^n_x)\) Tesfunktionen
und es gilt \((f \otimes g, \varphi ) = \int _{\real ^{n+m}} f(x)g(y)\varphi (x, y)d^nxd^my\)
\(= \int _{\real ^n} f(x) \cdot \left (\int _{\real ^m} g(y)\varphi (x, y)d^my\right )d^nx\). Den Ausdruck in Klammern kann man als Testfunktion \(\psi \in \D (\real ^n_x)\) auffassen. Daher gilt \((f
\otimes g, \varphi ) = (f, \psi )\) mit \(\psi (x) = (g(y), \varphi (x, y))\).
Tensorprodukt von Distributionen: Seien \(f \in \D ’(\real ^n_x)\) und \(g \in \D ’(\real ^m_y)\).
Dann ist die Distribution \(f \otimes g \in \D ’(\real ^{n+m}_{(x,y)})\) definiert durch \((f \otimes g, \varphi ) := (f(x), (g(y), \varphi (x, y)))\) für alle \(\varphi \in \D (\real
^{n+m}_{(x,y)})\).
Lemma: Seien \(g \in \D ’(\real ^m_y)\) und \(\varphi \in \D (\real ^{n+m}_{(x,y)})\). Dann gilt:
\(\psi (x) = (g(y), \varphi (x, y)) \in \D (\real ^n_x)\)
\(\partial ^\alpha _x \psi (x) = (g(y), \partial ^\alpha _x \varphi (x, y))\) für alle \(\alpha \in \natural _0^n\)
Gilt \(\varphi _k \xrightarrow {\D (\real ^{n+m}_{(x,y)})} 0\), so gilt \(\psi _k(x) = (g(y), \varphi _k(x, y)) \xrightarrow {\D (\real ^n_x)} 0\).
Korrektheit: Wohldefiniertheit folgt aus 1. Linearität ist klar und Stetigkeit folgt aus 3.
Beispiel: Für \(\delta _x \in \D ’(\real ^n_x)\) und \(\delta _y \in \D ’(\real ^m_y)\) gilt \((\delta _x \otimes \delta _y, \varphi ) = (\delta _x, (\delta _y, \varphi (x, y))) =
(\delta _x, \varphi (x, 0))\)
\(= \varphi (0, 0) = (\delta _{(x,y)}, \varphi )\) für alle \(\varphi \in \D (\real ^{n+m}_{(x,y)})\).
Eigenschaften: \(f \in \D ’(\real ^n_x)\), \(g \in \D ’(\real ^m_y)\)
„Kommutativität“: Für \(f \in L^1_\loc (\real ^n_x)\) und \(g \in L^1_\loc (\real ^m_y)\) gilt \((f(x) \cdot g(y), \varphi (x, y))\)
\(= (f(x), (g(y), \varphi (x, y))) = (g(y), (f(x), \varphi (x, y))) = (g(y) \cdot f(x), \varphi (x, y))\). Es stellt sich heraus, dass dies auch allgemein für Distributionen \(f, g \in \D ’\) gilt, d. h. es gilt \((f \otimes g, \varphi )\)
\(= (f(x), (g(y), \varphi (x, y))) = (g(y), (f(x), \varphi (x, y)))\). Es gilt allerdings nicht \(f \otimes g = g \otimes f\), da sich die Variablenreihenfolge in \(\varphi \) nicht ändert.Differenzierbarkeit: Es gilt \(\partial _x^\alpha (f \otimes g) = (\partial _x^\alpha f) \otimes g\) und \(\partial _y^\beta (f \otimes g) = f \otimes (\partial _y^\beta g)\), denn mit 2. von oben gilt \((\partial _x^\alpha (f \otimes g), \varphi ) = (-1)^{|\alpha |} (f \otimes g, \partial _x^\alpha \varphi ) = (-1)^{|\alpha |} (f(x), (g(y), \partial _x^\alpha \varphi (x, y)))\)
\(= (-1)^{|\alpha |} (f(x), \partial _x^\alpha (g(y), \varphi (x, y))) = (\partial _x^\alpha f(x), (g(y), \varphi (x, y))) = ((\partial _x^\alpha f) \otimes g, \varphi )\).Stetigkeit: Die Abbildung \(\tau _g\colon \D ’(\real ^n_x) \rightarrow \D ’(\real ^{n+m}_{(x,y)})\) mit \(\tau _g f = f \otimes g\) ist stetig, d. h.
aus \(f_k \xrightarrow {\D ’(\real ^n_x)} f\) folgt \(f_k \otimes g \xrightarrow {\D ’(\real ^{n+m}_{(x,y)})} f \otimes g\).
Analog ist \(\tau _f\colon \D ’(\real ^m_y) \rightarrow \D ’(\real ^{n+m}_{(x,y)})\) mit \(\tau _f g = f \otimes g\) stetig.Assoziativität: \((f \otimes g) \otimes h = f \otimes (g \otimes h)\)
skalare Assoziativität: \((\alpha f) \otimes g = \alpha (f \otimes g)\) für \(\alpha \in \C ^\infty (\real ^n_x)\)
Translation: \(f(x + h) \cdot g(y) = (f \otimes g)(x + h, y)\)
Faltung von Distributionen
Für \(f, g \in L^1(\real ^n)\) gilt \(f \ast g \in L^1(\real ^n)\) mit \((f \ast g)(x) = \int _{\real ^n} f(\tau )g(x - \tau )\d \tau \).Allerdings folgt aus \(f, g \in L^1_\loc (\real ^n)\) nicht, dass \(f \ast g \in L^1_\loc (\real ^n)\) (ein Gegenbeispiel ist \(f = g \equiv 1\)).
Man kann zeigen, dass für \(f \in L^1_\loc (\real ^n)\) und \(g \in L^1(\real ^n)\) mit \(\supp g = K\) kompakt gilt, dass \(f \ast g \in L^1(\real ^n)\) existiert.
Motivation: Um eine Definition für Distributionen herzuleiten, betrachtet man \(f, g \in L^1(\real ^n)\). Dann ist \((f \ast g, \varphi ) = \int _{\real ^n} (f \ast g)(x)\varphi (x)\dx = \int
_{\real ^n} \int _{\real ^n} f(\tau )g(x - \tau )\varphi (x)\d \tau \dx \)
\(= \int _{\real ^n} g(y) \cdot \left (\int _{\real ^n} f(\tau )\varphi (y + \tau )\d \tau \right )\dy = (g(y), (f(\tau ), \varphi (y + \tau )))\).
Man würde nun gern schreiben, dass dies gleich \((g(y) f(\tau ), \varphi (y + \tau ))\) ist, allerdings ist
\(\psi (y, \tau ) = \varphi (y + \tau ) \notin \D (\real ^{2n}_{(y,\tau )})\), da \(\psi \) i. A. nicht kompakt getragen ist
(sei z. B. \(\varphi (0) \not = 0\), dann ist \(\psi (y, -y) = \varphi (0) \not = 0\) für alle \(y \in \real ^n\)).
Man muss daher vorher ein geeignetes Abschneiden durchführen, um eine Definition der Faltung für Distributionen zu ermöglichen.
\(\eta _k \to 1\): Seien \(\eta _k \in \D (\real ^{2n})\) für \(k \in \natural \).
Man schreibt \(\eta _k \to 1\), falls \(\forall _{K \subset \real ^{2n} \text { kpkt.}} \exists _{N(K) \in \natural } \forall _{n \ge N(K)} \forall _{(x, y) \in K}\; \eta _n(x, y) = 1\) und
\(\forall _{\alpha \in \natural _0^{2n}} \exists _{C_\alpha < \infty } \forall _{k \in \natural }\; |\partial ^\alpha \eta _k(x, y)| \le C_\alpha \).
Mit dieser Definition ist nun \((f \ast g, \varphi ) = \int _{\real ^n} g(y) \cdot \left (\int _{\real ^n} f(\tau )\varphi (y + \tau )\d \tau \right )\dy \)
\(= \lim _{k \to \infty } \left (g(y), \int _{\real ^n} f(\tau )\varphi (y + \tau )\eta _k(y, \tau )\d \tau \right ) = \lim _{k \to \infty } (g(y) f(\tau ), \varphi (y + \tau )\eta _k(y, \tau
))\).
Dabei ist \(\psi _k(y, \tau ) = \varphi (y + \tau )\eta _k(y, \tau ) \in \D (\real ^{2n})\) für alle \(k \in \natural \).
Faltung von Distributionen: Seien \(f, g \in \D ’(\real ^n)\) und \(\eta _k \in \D (\real ^{2n})\) mit \(\eta _k \to 1\).
Falls für alle \(\varphi \in \D (\real ^n)\) der Grenzwert \(\lim _{k \to \infty } (f(x)g(y), \varphi (x + y)\eta _k(x, y)) =: \ell _{f \ast g}(\varphi )\) existiert und unabhängig von
der Wahl der \(\eta _k\) ist, dann ist die Distribution \(f \ast g \in \D ’(\real ^n)\) definiert durch \((f \ast g, \varphi ) := \ell _{f \ast g}(\varphi )\) für alle \(\varphi \in \D (\real ^n)\).
Die Faltung existiert nicht immer (z. B. \(1 \ast 1\)).
Beispiel: Seien \(f, \delta \in \D ’(\real ^n)\). Dann ist \(f \ast \delta = \delta \ast f = f\), da \((f(x)\delta (y), \varphi (x + y)\eta _k(x, y))\)
\(= (f(x), (\delta (y), \varphi (x + y)\eta _k(x, y))) = (f(x), \varphi (x)\eta _k(x, 0)) = (f, \varphi )\) für \(k \ge N(K)\) mit \(K = \supp \varphi \), da \(\eta _k(x, 0) = 1\)
für diese \(k\) und alle \(x \in K\).
Eigenschaften:
Stetigkeit gilt nicht: \(\tau _f\colon T \subset \D ’(\real ^n) \rightarrow \D ’(\real ^n)\), \(g \mapsto f \ast g\) ist linear, aber i. A. nicht stetig (\(T\) sei die Teilmenge von \(\D ’(\real ^n)\), sodass \(f \ast g\) für \(g \in T\) definiert ist).
Ein Gegenbeispiel ist für \(d = 1\) die Distributionenfolge \(g_k = \delta (x - k)\) für \(k \in \natural \). Es gilt \((g_k, \varphi ) = \varphi (k) \to 0\) für \(k \to 0\), da \(\varphi \) kompakt getragen ist. Somit ist \(g_k = \delta (x - k) \xrightarrow {\D ’} 0\). Für \(f \equiv 1\) gilt allerdings \(f \ast g_k = f \ast \delta (x - k) = f = 1 \not \to 0\), d. h. die Abbildung \(\tau _f\) ist nicht stetig. Analog argumentiert man für \(\tau _g\colon f \mapsto f \ast g\).Kommutativität: Für \(f, g \in \D ’(\real ^n)\) mit \(\exists f \ast g \in \D ’(\real ^n)\) gibt es auch \(g \ast f \in \D ’(\real ^n)\) und es gilt \(g \ast f = f \ast g\), denn \((f \ast g, \varphi ) = \lim _{k \to \infty } (f(x)g(y), \eta _k(x, y)\varphi (x + y))\)
\(= \lim _{k \to \infty } (g(y)f(x), \eta _k(x, y)\varphi (x + y)) = \lim _{k \to \infty } (g(x)f(y), \eta _k(y, x)\varphi (x + y)) = (g \ast f, \varphi )\), da \(\eta _k(y, x) \to 1\) wie \(\eta _k(x, y)\).Differenzierbarkeit: Für \(f, g \in \D ’(\real ^n)\) mit \(\exists f \ast g \in \D ’(\real ^n)\) und \(\alpha \in \natural _0^n\) gibt es auch \((\partial ^\alpha f) \ast g, f \ast (\partial ^\alpha g) \in \D ’(\real ^n)\) und es gilt \((\partial ^\alpha f) \ast g = f \ast (\partial ^\alpha g) = \partial ^\alpha (f \ast g)\).
Die Umkehrung gilt nicht: Aus der Existenz von \(\theta ’ \ast 1\) und \(\theta \ast 1’\) kann man nicht folgern, dass \(\theta \ast 1\) existiert (sonst gäbe es \(\theta ’ \ast 1 = \delta \ast 1 = 1\) und \(\theta \ast 1’ = \theta \ast 0 = 0\) und die beiden Ausdrücke wären gleich).Assoziativität gilt nicht: Sonst wäre \((\theta \ast \delta ’) \ast 1 = \theta \ast (\delta ’ \ast 1)\), allerdings ist die linke Seite \((\theta \ast \delta ’) \ast 1 = (\theta \ast \delta )’ \ast 1 = (\theta )’ \ast 1 = \delta \ast 1 = 1\) und die rechte Seite
\(\theta \ast (\delta ’ \ast 1) = \theta \ast (\delta \ast 1)’ = \theta \ast (1)’ = \theta \ast 0 = 0\).Translation: Existiert \(f \ast g\), so existiert auch \(f(x + h) \ast g = (f \ast g)(x + h)\).
Existenzkriterium bei kompaktem Träger: Seien \(f, g \in \D ’(\real ^n)\) mit \(\supp g = K\) kompakt.
Dann existiert die Faltung \(f \ast g\).Stetigkeit bei kompaktem Träger: Seien \(f_k, f, g \in \D ’(\real ^n)\) mit \(f_k \xrightarrow {\D ’(\real ^n)} f\) und \(\supp g = K\) kompakt. Dann gilt \(f_k \ast g \xrightarrow {\D ’(\real ^n)} f \ast g\). Umgekehrt seien \(g_k, f, g \in \D ’(\real ^n)\) mit \(g_k \xrightarrow {\D ’(\real ^n)} g\) und \(\exists _{R < \infty } \forall _{k \in \natural }\; \supp g_k \subset U_R(0)\). Dann gilt \(f \ast g_k \xrightarrow {\D ’(\real ^n)} f \ast g\).
Faltung mit Testfunktion: Sei \(\psi \in \D (\real ^n)\). Dann ist \((f \ast \psi )(y) = (f(x), \psi (y - x)) \in \C ^\infty (\real ^n)\).
Als Beispiel betrachtet man eine Delta-Folge \(\psi _k \in \D \). Dann gilt \(f_k = f \ast \psi _k \in \C ^\infty \) und \(f_k \xrightarrow {\D ’} f \ast \delta = f\) aufgrund der Stetigkeit. Damit ist \(\D \) dicht in \(\D ’\).
Fundmentallösungen für PDE
Differentialausdruck: Seien \(m \in \natural \) und \(a_\alpha \in \complex \) konstant für alle \(\alpha \in \natural _0^d\) mit \(|\alpha | \le m\).Dann heißt \(L(\partial ) = \sum _{|\alpha | \le m} a_\alpha \partial ^\alpha \) Differentialausdruck.
Fundamentallösung: \(\varepsilon \in \D ’(\real ^d)\) heißt Fundamentallösung von \(L(\partial )\), falls \(L(\partial ) \varepsilon = \delta \).
Beispiel: Sei \(L(\partial ) = \Delta = \frac {\partial ^2}{\partial x_1^2} + \dotsb + \frac {\partial ^2}{\partial x_d^2}\) der Laplace-Operator.
Dann ist \(\varepsilon _2 = \frac {1}{2\pi } \ln |x|\) eine Fundamentallösung für \(d = 2\) und \(\varepsilon _d = \frac {-|x|^{2-d}}{(d - 2)\sigma _d}\) eine Fundamentallösung
für \(d \ge 2\) mit \(\sigma _d = \frac {2\pi ^{d/2}}{\Gamma (d/2)}\) der Oberfläche der \(d\)-dimensionalen Einheitskugel.
Anmerkung: Die Fundamentallösung ist i. A. nicht eindeutig, denn für \(u_0 \in \D ’\) mit \(L(\partial ) u_0 = 0\) gilt \(L(\partial )(\varepsilon + u_0) = L(\delta )\varepsilon + L(\partial )u_0 = L(\delta )\varepsilon = \delta \).
Satz: Seien \(\varepsilon \) eine Fundamentallösung von \(L(\partial )\) und \(f \in \D ’\), sodass \(u = \varepsilon \ast f \in \D ’\) existiert.
Dann gilt \(L(\partial )u = f\) und jede Lösung \(u\) von \(L(\partial )u = f\) ist eindeutig in der Klasse der \(u\), für welche \(u \ast \varepsilon \) existiert.
Der Raum der temperierten Distributionen S’
Für Anwendungen wie die Fourier-Transformation sieht man, dass die bisher betrachtete Räume \(\D \) und \(\D ’\) von Testfunktionen und Distributionen zu weit gefasst sind. Daher werden nun andere Räume \(\S \) und \(\S ’\) von Testfunktionen und Distributionen eingeführt, um die Fourier-Transformationen auf \(\S ’\) zu verallgemeinern.
Raum der Testfunktionen \(\S = \S (\real ^d)\): Als Raum der Testfunktionen betrachtet man nun
\(\S = \S (\real ^d) := \{\varphi \in \C ^\infty (\real ^d) \;|\; \forall _{\alpha , \beta \in \natural _0^d} \exists _{C(\alpha , \beta ) < \infty }\; |(1 + x^\alpha )\partial ^\beta
\varphi | \le C(\alpha , \beta )\}\).
Konvergenz auf \(\S \): Für eine Folge von Testfunktionen \(\{\varphi _k\}_{k \in \natural }\) und \(\varphi \) in \(\S \) schreibt man \(\varphi _k \xrightarrow {\S } \varphi \), falls \(\forall _{\alpha , \beta \in \natural _0^d}\; \sup _{x \in \real ^d} |(1 + x^\alpha ) \partial ^\beta (\varphi _k - \varphi )| \to 0\).
Bemerkung: Es gilt \(\D \subset \S \) dicht und aus \(\varphi _k \xrightarrow {\D } \varphi \) folgt \(\varphi _k \xrightarrow {\S } \varphi \).
Eigenschaften:
\(\partial ^\alpha \colon \S \rightarrow \S \) ist linear und stetig.
\(\pi _{A,b}\colon \S \rightarrow \S \) ist linear und stetig.
Für \(\alpha \in \C ^\infty \) und \(\varphi \in \S \) gilt i. A. nicht \(\alpha \cdot \varphi \in \S \) (wenn \(\alpha \) schneller wächst wie \(\varphi \) abfällt). Daher geht man über zu \(\Theta _M := \{\alpha \in \C ^\infty \;|\; \forall _{\beta \in \natural _0^d} \exists _{C(\beta ) < \infty }\; |\partial ^\beta \alpha (x)| \le C(\beta ) (1 + |x|^{m_\beta })\}\).
In diesem Fall folgt aus \(\alpha \in \Theta _M\) und \(\varphi \in \S \), dass \(\alpha \cdot \varphi \in \S \) und die Abbildung \(\varphi \mapsto \alpha \cdot \varphi \) ist stetig in \(\S \).
Motivation: Für \(f \in L^1_\loc \) und \(\int f(x) (1 + |x|)^{-m} \dx < \infty \) für ein geeignetes \(m \in \natural \) definiert \((f, \varphi ) = \int f(x) \varphi (x)\dx \) ein lineares stetiges Funktional auf \(\S \).
Raum der temperierten Distributionen \(\S ’\):
\(\S ’\) ist der Raum der linearen stetigen Funktionale auf \(\S \).
Konvergenz auf \(\S ’\): Für eine Folge von Distributionen \(\{f_k\}_{k \in \natural }\) und \(f\) in \(\S ’\) schreibt man \(f_k \xrightarrow {\S ’} f\), falls \(\forall _{\varphi \in \S }\; (f_k, \varphi ) \to (f, \varphi )\).
Es gilt \(\D _f’ \subset \S ’ \subset \D ’\), wobei \(\D _f’\) der Raum der Distributionen aus \(\D ’\) mit kompaktem Träger ist. Somit können alle Operationen (Ableitung, Tensorprodukt, Faltung usw.) für \(\S ’\) analog wie für \(\D ’\) definiert werden, die Rechenregeln bleiben dabei dieselben.
Die Fourier-Transformation für temperierte Distributionen
Sei \(\varphi \in \S (\real ^d)\).
Dann ist die Fourier-Transformation definiert durch \(\F [\varphi ](\xi ) = \frac {1}{(2\pi )^{d/2}} \int _{\real ^d} e^{-\i \innerproduct {x, \xi }}\varphi (x)\dx \).
Die Fourier-Transformation \(\F \colon \S \rightarrow \S \) ist wie schon gezeigt eine bijektive Abbildung.
Lemma: \(\F \colon \S \rightarrow \S \) ist eine stetige Bijektion.
Aus \(\varphi _n \xrightarrow {\S } 0\) folgt \(\partial ^\alpha _\xi (\xi ^\beta \F [\varphi _n]) \to 0\) gleichmäßig.
Man nun den Begriff der Fourier-Transformation auf Distributionen erweitern.
Beispielsweise soll für die Delta-Distribution gelten, dass
\(\F [\delta (x - x_0)](\xi ) = \frac {1}{(2\pi )^{d/2}} \int _{\real ^d} e^{-\i \innerproduct {x, \xi }}\delta (x - x_0)\dx = \frac {1}{(2\pi )^{d/2}} e^{-\i \innerproduct {x_0, \xi }}\).
Motivation: Für \(f \in L^1(\real ^d)\) gilt nach Fubini \((\F [f], \varphi ) = \frac {1}{(2\pi )^{d/2}} \int _{\real ^d} \varphi (\xi ) \left (\int _{\real ^d} e^{-\i \innerproduct
{x, \xi }}f(x)\dx \right ) \d \xi \)
\(= \frac {1}{(2\pi )^{d/2}} \int _{\real ^d} f(x) \left (\int _{\real ^d} e^{-\i \innerproduct {\xi , x}}\varphi (\xi )\d \xi \right ) \dx = (f, \F [\varphi ])\).
Fourier-Transformation: Sei \(f \in \S ’(\real ^d)\).
Dann ist die Distribution \(\F [f] \in \S ’(\real ^d)\) definiert durch \((\F [f], \varphi ) := (f, \F [\varphi ])\) für alle
\(\varphi \in \S (\real ^d)\).
Korrektheit: Für \(\varphi \in \S \) ist \(\F [\varphi ] \in \S \), d. h. \((f, \F [\varphi ])\) ist wohldefiniert.
Die Linearität folgt aus der Linearität von \(\F \colon \S \rightarrow \S \).
Die Stetigkeit folgt aus obigem Lemma:
Für \(\varphi _k \xrightarrow {\S } \varphi \) gilt \(\F [\varphi _k] \xrightarrow {\S } \F [\varphi ]\), d. h. \((f, \F [\varphi _k]) \to (f, \F [\varphi ])\).
Beispiel: Für die Fourier-Transformation der Delta-Distribution gilt \((\F [\delta (x - x_0)](\xi ), \varphi (\xi ))\)
\(= (\delta (x - x_0), \F [\varphi ](x)) = \F [\varphi ](x_0) = \frac {1}{(2\pi )^{d/2}} \int _{\real ^d} e^{-\i \innerproduct {x_0, \xi }}\varphi (\xi )\d \xi = (\frac {1}{(2\pi )^{d/2}}
e^{-\i \innerproduct {x_0, \xi }}, \varphi (\xi ))\), also
\(\F [\delta (x - x_0)] = \frac {1}{(2\pi )^{d/2}} e^{-\i \innerproduct {x_0, \xi }}\).
Wichtige Formeln sind \(\F [\delta ] = \frac {1}{(2\pi )^{d/2}}\) und \(\F [1] = \frac {1}{(2\pi )^{d/2}} \delta \).
Motivation: Für \(\psi \in \S \) gilt \(\F ^{-1}[\psi ](x) = \frac {1}{(2\pi )^{d/2}} \int _{\real ^d} e^{\i \innerproduct {x, \xi }}\psi (\xi )\d \xi = \F [\psi \circ \pi ](x)\)
mit
\((\psi \circ \pi )(\xi ) = \psi (-\xi )\).
inverse Fourier-Transformation: Sei \(f \in \S ’(\real ^d)\).
Dann ist die Distribution \(\F ^{-1}[f]\) definiert durch \(\F ^{-1}[f] := \F [f \circ \pi ]\) mit \(\pi \colon \real ^d \rightarrow \real ^d\), \(\xi \mapsto -\xi \).
Eigenschaften
FT und inverse FT sind invers zueinander: Sei \(f \in \S ’(\real ^d)\).
Dann gilt \(\F [\F ^{-1}[f]] = \F ^{-1}[\F [f]] = f\), denn
\((\F ^{-1}[\F [f]], \varphi ) = (\F [\F [f] \circ \pi ], \varphi ) = (\F [f] \circ \pi , \F [\varphi ]) = (\F [f], \F [\varphi ] \circ \pi )\)
\(= (\F [f], \F ^{-1}[\varphi ]) = (f, \F [\F ^{-1}[\varphi ]]) = (f, \varphi )\) aufgrund \(\F [\F ^{-1}[\varphi ]] = \varphi \) für \(\varphi \in \S (\real ^d)\).FT ist eine Bijektion: \(\F \colon \S ’ \rightarrow \S ’\) ist eine Bijektion, denn sie ist
surjektiv (für \(g \in \S ’\) gilt \(\F [f] = g\) mit \(f = \F ^{-1}[g] \in \S \)) und
injektiv (aus \(f \in \S ’\) mit \(\F [f] = 0\) folgt \(\forall _{\varphi \in \S }\; (\F [f], \varphi ) = (f, \F [\varphi ]) = 0\), also
\(\forall _{\psi \in \S }\; (f, \psi ) = 0\) und daher \(f = 0\), indem man \(\varphi = \F ^{-1}(\psi ) \in \S \) setzt).Ableitung der FT: Für \(f \in \S ’(\real ^d)\) und \(\alpha \in \natural _0^d\) gilt \(\partial _\xi ^\alpha \F [f] = \F [(-\i x)^\alpha f]\), denn
\((\partial _\xi ^\alpha \F [f](\xi ), \varphi (\xi )) = (-1)^{|\alpha |} (\F [f](\xi ), \partial _\xi ^\alpha \varphi (\xi )) = (-1)^{|\alpha |} (f(x), \F [\partial _\xi ^\alpha \varphi (\xi )](x))\)
\(= (-1)^{|\alpha |} (f(x), (ix)^\alpha \F [\varphi (\xi )](x)) = (-1)^{|\alpha |} ((ix)^\alpha f(x), \F [\varphi (\xi )](x))\)
\(= ((-ix)^\alpha f(x), \F [\varphi (\xi )](x)) = (\F [(-ix)^\alpha f](\xi ), \varphi (\xi ))\).FT der Ableitung: Analog beweist man \(\F [\partial _x^\alpha f] = (i\xi )^\alpha \F [f]\).
FT einer skalierten Funktion: Sei \(c \in \real \) mit \(c \not = 0\). Dann ist \(\F [f(cx)](\xi ) = |c|^{-d} \F [f](\frac {\xi }{c})\).
FT vom Tensorprodukt: Mit \(x, \xi \in \real ^n\) und \(y, \eta \in \real ^m\) gilt \(\F _{(x, y) \to (\xi , \eta )}[f(x) \cdot g(y)](\xi , \eta )\)
\(= \F _{x \to \xi }[f](\xi ) \cdot \F _{y \to \eta }[g](\eta ) = \F _{y \to \eta }[\F _{x \to \xi }[f](\xi ) \cdot g(y)](\eta ) = \F _{x \to \xi }[\F _{y \to \eta }[g](\eta ) \cdot f(x)](\xi )\).FT bei kompaktem Träger: Für \(g \in \D ’(\real ^d)\) mit \(\supp g = K\) kompakt (d. h. insbesondere \(g \in \S ’(\real ^d)\)) gilt \(\F [g] \in \Theta _M\) mit \(\F [g] = (g(x), \eta (x)\frac {e^{-\i \innerproduct {x, y}}}{(2\pi )^{d/2}})\).
Dabei ist \(\eta \in \D (\real ^d)\) mit \(\eta \equiv 1\) auf \(K\).FT der Faltung: Seien \(f, g \in \S ’(\real ^d)\) mit \(\supp g = K\) kompakt.
Dann ist \(\frac {1}{(2\pi )^{d/2}} \F [f \ast g] = \F [f] \cdot \F [g]\) mit \(\F [f] \in \S ’(\real ^d)\) und \(\F [g] \in \Theta _M\), denn
\((\F [f \ast g], \varphi ) = (f \ast g, \F [\varphi ]) = (f(x), (g(y)\eta (y) \cdot \frac {1}{(2\pi )^{d/2}} \int _{\real ^d} e^{-\i \innerproduct {x + y, \xi }}\varphi (\xi )\d \xi ))\)
\(= (f(x), \int _{\real ^d} \left (\frac {1}{(2\pi )^{d/2}} (g(y), \eta (y)e^{-\i \innerproduct {y, \xi }})\right ) \varphi (\xi )e^{-\i \innerproduct {x, \xi }}\d \xi )\)
\(= (f(x), \int _{\real ^d} \F [g](\xi )\varphi (\xi )e^{-\i \innerproduct {x, \xi }}\d \xi ) = (2\pi )^{d/2} (f(x), \F [\F [g](\xi ) \cdot \varphi (\xi )](x))\)
\(= (2\pi )^{d/2} (\F [f], \F [g] \cdot \varphi ) = (2\pi )^{d/2} (\F [g] \cdot \F [f], \varphi )\). Dabei ist \(\eta (y)\) gleich \(1\) auf \(\supp g\) und es wurde die Formel aus 7. angewandt.
Die Fourier-Transformation zur Berechnung von Fundamentallösungen
Sei \(L(\partial ) = \sum _{|\alpha | \le m} a_\alpha \partial ^\alpha \) ein Differentialausdruck auf \(\real ^d\) mit konstanten \(a_\alpha \in \complex \).
Gesucht ist ein \(\varepsilon \in \S ’(\real ^d)\) mit \(L(\partial )\varepsilon = \delta \) (Fundmentallösung).
Für dieses \(\varepsilon \) gilt dann \(\F [L(\partial )\varepsilon ] = \F [\delta ]\), d. h. \(L(\i \xi ) \F [\varepsilon ] = \frac {1}{(2\pi )^{d/2}}\).
Beispiel: Für \(d = 2\) und \(L(\partial ) = \Delta = \frac {\partial ^2}{\partial x_1^2} + \frac {\partial ^2}{\partial x_2^2}\) gilt \(L(\i \xi ) = (\i \xi _1)^2 + (\i \xi _2)^2 =
-(\xi _1^2 + \xi _2^2)\).
Daher gilt für \(\varepsilon \in \S ’(\real ^2)\), dass \(\Delta \varepsilon = \delta \) genau dann, wenn \(-(\xi _1^2 + \xi _2^2) \F [\varepsilon ] = \frac {1}{2\pi }\).
Aus der Gleichung \(L(\i \xi ) \F [\varepsilon ] = \frac {1}{(2\pi )^{d/2}}\) kann man \(\varepsilon \) herleiten: Falls \(\frac {1}{L(\i \xi )} \in L^1_\loc \) gilt, so ist \(\F [\varepsilon ] = \frac {1}{(2\pi )^{d/2} L(\i \xi )}\). Andernfalls führt man eine geeignete Regularisation durch (z. B. Annähern von \(\frac {1}{x}\) durch \(P\frac {1}{x}\) oder \(\frac {1}{x \pm \i \cdot 0}\)). Der Satz von Hörmander besagt, dass obige Gleichung immer eine distributionelle Lösung \(X\) besitzt. Dann kann man \(\varepsilon = \F ^{-1}[X]\) berechnen.
Beispiel: Um die Fundmentallösung für \(d = 3\) und den Laplace-Operator \(\Delta \) zu finden, verwendet man wieder die Gleichung \(-|\xi |^2 \F [\varepsilon ] = \frac {1}{(2\pi
)^{3/2}}\). Dabei ist \(|\xi |^2 = \xi _1^2 + \xi _2^2 + \xi _3^2\) und \(X := \F [\varepsilon ]\).
Man erhält also \(X = -\frac {1}{(2\pi )^{3/2} |\xi |^2}\). Dies ist allerdings nur lokal integrierbar (nicht im \(L^1\)).
Man verwendet daher die Approximation (Regularisierung) \(X_\nu := -\frac {\chi |_{|\xi | \le R(\nu )}} {(2\pi )^{3/2} (|\xi |^2 + |\nu |^2)}\).
Für \(\nu \to 0\) und \(R(\nu ) \to 0\) gilt \(X_\nu (\xi ) \xrightarrow {(\cdot )} X(\xi )\), also \(X_\nu \xrightarrow {\S ’} X\) und \(F^{-1}[X_\nu ] \xrightarrow {\S ’} \F ^{-1}[X] =
\varepsilon \).
Daher ist \(\varepsilon = \lim _{\nu \to 0, R(\nu ) \to \infty } \F ^{-1}[X_\nu ]\).
Für die Berechnung von \(\F ^{-1}[X_\nu ] = \frac {1}{(2\pi )^3} \int _{\real ^3,\; |\xi | \le R(\nu )} \frac {e^{\i \innerproduct {x, \xi }}}{|\xi |^2 + \nu ^2}d^3\xi \) führt
man eine Koordinatentransformation in Kugelkoordinaten \((R, \varphi , \theta )\) durch, sodass \(x\) auf der \(z\)-Achse liegt. Mit \(r := |x|\) und \(R := |\xi |\) ist dann \(\innerproduct {x, \xi } = rR\cos
\theta \) mit \(\theta \) dem Winkel zwischen \(x\) und \(\xi \).
Damit ist dann \(\F ^{-1}[X_\nu ] = \frac {1}{(2\pi )^3} \int _{\real ^3,\; |\xi | \le R(\nu )} \frac {e^{\i \innerproduct {x, \xi }}}{|\xi |^2 + \nu ^2}d^3\xi = \frac {1}{(2\pi )^3} \int
_0^{2\pi } \int _0^\pi \int _0^{R(\nu )} \frac {e^{\i rR\cos \theta }}{R^2 + \nu ^2} R^2 \dr \sin \theta d\theta d\varphi \)
\(= \frac {1}{(2\pi )^2} \int _0^\pi \int _0^{R(\nu )} \frac {e^{\i rR\cos \theta }}{R^2 + \nu ^2} R^2 \dr \sin \theta d\theta = \frac {1}{(2\pi )^2} \int _{-1}^1 \int _0^{R(\nu )} \frac
{R^2}{R^2 + \nu ^2} e^{\i rRy} dR\dy \)
\(= \frac {1}{(2\pi )^2} \int _0^{R(\nu )} \frac {R^2}{R^2 + \nu ^2} \cdot \frac {1}{\i rR} (e^{\i rR} - e^{-\i rR}) dR = \frac {1}{(2\pi )^2} \cdot 2 \cdot \frac {1}{r} \int _0^{R(\nu )}
\frac {R}{R^2 + \nu ^2} \cdot \sin (rR) dR\)
\(= \frac {1}{(2\pi )^2} \cdot \frac {1}{r} \int _{-R(\nu )}^{R(\nu )} \frac {R}{R^2 + \nu ^2} \cdot \sin (rR) dR = \frac {1}{(2\pi )^2} \cdot \frac {1}{2\i r} \int _{-R(\nu )}^{R(\nu )}
\frac {R}{R^2 + \nu ^2} (e^{\i rR} - e^{-\i rR}) dR\) mit \(y = \cos \theta \).
Per Integration über einen Halbkreis in der oberen bzw. unteren Halbebene sieht man
\(I_\nu ^\pm := \int _{-R(\nu )}^{R(\nu )} \frac {R}{R^2 + \nu ^2} e^{\pm \i rR}dR = \pm \i \pi e^{-\nu r} + o(1)\) für \(\nu \to 0\) (mit dem Lemma von Riemann).
Damit ist \(\F ^{-1}[X_\nu ] = \frac {1}{(2\pi )^2} \cdot \frac {1}{2\i r} \cdot (I_\nu ^+ - I_\nu ^-) = \frac {1}{(2\pi )^2} \cdot \frac {1}{2\i r} \cdot (\i \pi - (-\i \pi ))e^{\nu r} + o(1)
\xrightarrow {\nu \to 0} \frac {1}{4\pi r}\).