Lineare Algebra und Analytische Geometrie 2 – Die Jordansche Normalform

Der Satz von Cayley-Hamilton

Satz (Teilen von charakteristischen Polynomen): Seien \(V\) ein endlich-dimensionaler \(K\)-Vektorraum, \(f \in \End _K(V)\), \(U\) ein \(f\)-invarianter Unterraum und \(\widehat {f}\) die Einschränkung von \(f\) auf \(U\).
Dann teilt das charakteristische Polynom der Einschränkung \(\widehat {f}\) das von \(f\): \(\chi _{\widehat {f}}(t) \;|\; \chi _f(t)\).

Bemerkung: Man kann Endomorphismen in Polynome über \(K\) einsetzen und erhält wieder Endomorphismen: Ist \(p(t) = \sum \alpha _i t^i \in K[t]\) und \(f \in \End _K(V)\), so ist \(p(f) = \sum \alpha _i f^i \in \End _K(V)\).
Für \(p(t), q(t) \in K[t]\) gilt \((pq)(f) = p(f) \circ q(f)\).

zyklischer Unterraum: Sei \(x \in V\).
Dann heißt \(W = \aufspann {x, f(x), f^2(x), \dotsc }\) der von \(x\) erzeugte \(f\)-zyklische Unterraum von \(V\).

Lemma (über zyklische Unterräume): Es gilt \(W = \{(p(f))(x) \;|\; p \in K[t]\}\).
Der von \(x\) erzeugte \(f\)-zyklische Unterraum \(W\) ist \(f\)-invariant.
\(W\) ist der kleinste \(f\)-invariante Unterraum von \(V\), der \(x\) enthält.

Satz (Basis des zyklischen Unterraums): Seien \(f \in \End _K(V)\), \(W\) der von \(x \in V\) erzeugte \(f\)-zyklische Unterraum von \(V\) und \(k = \dim _K W \ge 1\) (d. h. \(x \not = 0\)).
Dann ist \(\basis {B}_W = (x, f(x), f^2(x), \dotsc , f^{k-1}(x))\) eine Basis von \(W\).

Bemerkung: Es gibt \(\alpha _0, \dotsc , \alpha _{k-1} \in K\), sodass \(f^k(x) = -\alpha _0 x - \alpha _1 f(x) - \dotsb - \alpha _{k-1} f^{k-1}(x)\).
Ist \(\widetilde {f} = f|_W\), so ist \(\matrixm _{\widetilde {f}}(\basis {B}_W) =\) \(\begin {pmatrix}0 & \cdots & 0 & -\alpha _0 \\ 1 & & 0 & -\alpha _1 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 & -\alpha _{k-1}\end {pmatrix}\)
die Begleitmatrix des Polynoms \(p(t) = \alpha _0 + \alpha _1 t + \dotsb + \alpha _{k-1} t^{k-1} + t^k\).

Satz (charakteristisches Polynom der Einschränkung): Seien die Bezeichnungen wie eben und \(f^k(x) = -\alpha _0 x - \alpha _1 f(x) - \dotsb - \alpha _{k-1}(x) f^{k-1}\). Dann ist das charakteristische Polynom von \(\widetilde {f} = f|_W\) gegeben durch \(\chi _{\widetilde {f}}(t) = \alpha _0 + \alpha _1 t + \dotsb + \alpha _{k-1} t^{k-1} + t^k\).

erfüllt: Seien \(f \in \End _K(V)\) und \(p(t) \in K[t]\). Dann erfüllt \(f\) das Polynom \(p(t)\), falls \(p(f) \equiv 0\).

Satz (Cayley-Hamilton): Seien \(f \in \End _K(V)\) und \(V\) endlich-dimensional.
Dann erfüllt \(f\) sein charakteristisches Polynom \(\chi _f(t)\).

Verallgemeinerte Eigenräume

Jordan-Block/-Form: \(J_\lambda (k) = \begin {pmatrix}\lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda \end {pmatrix}\), \(\begin {pmatrix}J_1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & J_2 & & 0 & 0 \\ \vdots & & \ddots & & \vdots \\ 0 & & & J_{k-1} & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & J_k\end {pmatrix}\)
Eine \(k \times k\)-Matrix der Form \(J_\lambda (k)\) heißt Jordan-Block.
Eine Matrix heißt in Jordan-Form oder Jordansche Normalform, wenn sie in der Form wie oben rechts ist mit \(J_i = J_{\lambda _i}(k_i)\) für \(i = 1, \dotsc , k\), wobei die \(\lambda _i\) die (nicht notwendigerweise verschiedenen) Eigenwerte von \(A\) sind und \(k_i \in \natural \) ist.

Jordan-Basis: Seien \(V\) ein endlich-dimensionaler Vektorraum und \(f \in \End _K(V)\), wobei das charakteristische Polynom \(\chi _f(t)\) in Linearfaktoren zerfällt.
Eine Jordan-Basis von \(f\) ist eine Basis \(\basis {B}_f\) von \(V\), sodass \(\matrixm _f(\basis {B}_f)\) in Jordanform ist.

verallgemeinerter Eigenraum: Seien \(f \in \End _K(V)\), \(V\) endlich-dimensional und \(\lambda \in K\). Dann ist \(\ker (f - \ell _\lambda ) \ur \ker (f - \ell _\lambda )^2 \ur \dotsb \ur \ker (f - \ell _\lambda )^i \ur \dotsb \) eine aufsteigende Kette von Unterräumen von \(V\), die terminiert (d. h. es gibt \(k \in \natural \), sodass \(\ker (f - \ell _\lambda )^{n+i} = \ker (f - \ell _\lambda )^n\) für alle \(i \in \natural \)). Daher ist \(\mathcal {V}_\lambda (f) = \bigcup _{i=1}^\infty \ker (f - \ell _\lambda )^i\) ein wohldefinierter Unterraum von \(V\). \(\mathcal {V}_\lambda (f)\) heißt verallgemeinerter Eigenraum zum Eigenwert \(\lambda \) von \(f\) und seine Elemente heißen verallgemeinerte Eigenvektoren von \(f\). Also gilt \(\mathcal {V}_\lambda (f) = \{v \in V \;|\; \exists _{p \in \natural }\; (f - \ell _\lambda )^p(v) = 0\}\).
Analog kann man auch für quadratische Matrizen \(\mathcal {V}_\lambda (A)\) definieren.

Bemerkung: Sei \(\matrixm _f(\basis {B}_f) = J_\lambda (n)\). Dann ist \(V_\lambda (f)\) ein- und \(\mathcal {V}_\lambda (f)\) \(n\)-dimensional. Ist \(\basis {B}_f = (v_1, \dotsc , v_n)\), so ist \(v_1 \in V_\lambda (f)\) der bis auf skalare Vielfache eindeutig bestimmte Eigenvektor von \(f\) mit Eigenwert \(\lambda \) und \(\basis {B}_f\) ist die zyklische Basis des von \(v_n\) erzeugten \(f - \ell _\lambda \)-zyklischen Unterraums von \(V\).

Satz (\(\mathcal {V}_\lambda (f)\) ist \(f\)-invarianter Unterraum): Sei \(\lambda \) ein Eigenwert von \(f \in \End _K(V)\).
Dann ist \(\mathcal {V}_\lambda (f)\) ein \(f\)-invarianter Unterraum von \(V\), der den Eigenraum \(V_\lambda (f)\) enthält.

Zykel: Seien \(\lambda \) ein Eigenwert von \(f \in \End _K(V)\), \(v\) ein verallgemeinerter Eigenvektor zu \(\lambda \) (d. h. \(v \in \mathcal {V}_\lambda (f)\)) und \(p \in \natural \) die kleinste natürliche Zahl, sodass \((f - \ell _\lambda )^p(v) = 0\).
Dann ist \(\basis {B} = ((f - \ell _\lambda )^{p-1}(v), (f - \ell _\lambda )^{p-2}(v), \dotsc , (f - \ell _\lambda )(v), v)\) eine Basis des von \(v\) erzeugten \(f - \ell _\lambda \)-zyklischen Unterraums von \(V\).
\(\basis {B}\) ist der von \(v\) erzeugte Zykel verallgemeinerter Eigenvektoren von \(f\) oder kurz \(\lambda \)-Zykel von \(f\). \(v\) heißt der Anfangsvektor und \((f - \ell _\lambda )^{p-1}(v)\) der Endvektor des Zykels.

Satz (Eigenschaften von Anfangs-/Endvektor): Sei \(\basis {B}\) ein \(\lambda \)-Zykel von \(f\).
Dann ist \(\basis {B}\) eine Basis des vom Anfangsvektor erzeugten \(f - \ell _\lambda \)-zyklischen Unterraums \(W\) von \(V\) und dieser ist \(f\)-invariant. Die Einschränkung von \(f\) auf \(W\) besitzt genau einen eindimensionalen Eigenraum und dieser wird vom Endvektor des Zykels \(\basis {B}\) erzeugt. Es gilt \(\enmatrix {f|_W}{B} = J_\lambda (p)\).

Satz (Jordanbasis \(\;\Leftrightarrow \;\) disjunkte Vereinigung von Zykeln): Sei \(\basis {B}\) eine geordnete Basis von \(V\).
Dann ist \(\basis {B}\) eine Jordanbasis von \(f\) genau dann, wenn \(\basis {B}\) eine disjunkte Vereinigung von Zykeln verallgemeinerter Eigenvektoren von \(f\) ist.

Satz (\(V\) ist direkte Summe der verallgemeinerten Eigenräume): Sei \(f \in \End _K(V)\), wobei \(\chi _f(t)\) in Linearfaktoren zerfällt. Dann ist \(V\) die direkte Summe der verallgemeinerten Eigenräume \(V = \bigoplus _{\lambda } \mathcal {V}_\lambda (f)\), wobei \(\lambda \) die Menge der Eigenwerte von \(f\) durchläuft.

Folgerung: Seien \(\lambda _1, \dotsc , \lambda _k\) die paarweise verschiedenen Eigenwerte von \(f\), \(\basis {B}_i\) eine Basis von \(\mathcal {V}_{\lambda _i}(f)\), \(\basis {B} = \bigcup _{i=1}^k \basis {B}_i\) und \(f_i\) die Einschränkung von \(f\) auf \(\mathcal {V}_{\lambda _{i}}(f)\).
Dann ist \(\enmatrix {f}{B} =\) \(\begin {pmatrix}A_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & A_k\end {pmatrix}\), wobei \(A_i = \matrixm _{f_i}(\basis {B}_i)\) ist.

Die Jordansche Normalform: Algorithmus

Bemerkung: Im Folgenden wird versucht, ein Algorithmus zur Bestimmung der JNF und der zugehörigen Jordanbasis eines Endomorphismus bzw. einer Matrix zu finden, wobei immer vorausgesetzt wird, dass das charakteristische Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt.
Zur Einfachheit kann dank obiger Folgerung angenommen werden, dass \(\chi _f(t) = (t - \lambda )^n\), d. h. \(f\) besitzt genau einen Eigenwert \(\lambda \) mit Vielfachheit \(n\).

Lemma (Kern-Dimensionen eines Jordanblocks): Sei \(J = J_\lambda (k)\) ein Jordanblock.
Dann ist \(\dim _K \ker (J - \lambda E)^i = i\) für \(i = 1, \dotsc , k\) und \(\dim _K \ker (J - \lambda E)^i = k\) für \(i > k\).

Lemma (Bestimmung der Anzahl und Größen der Jordanblöcke einer Matrix):
Seien \(A\) eine Matrix in Blockdiagonalform, deren \(s\) Diagonalblöcke Jordanblöcke \(J_i = J_\lambda (i)\) sind (\(\lambda \in K\) fest), sowie \(n_i = \dim _K \ker (A - \lambda E)^i\) und \(r \in \natural \), sodass \(n_{r - 1} < n_r = n_{r+1}\).
Sei außerdem \(k_i \in \natural _0\) die Anzahl der vorkommenden Kästchen \(J_i\).
Dann ist \(n_1 = k_1 + k_2 + k_3 + \dotsb + k_r\), \(n_2 = n_1 + k_2 + k_3 + \dotsb + k_r\),
\(n_3 = n_2 + k_3 + \dotsb + k_r\), …, \(n_r = n_{r-1} + k_r\).
Insbesondere ist \(n_i - n_{i-1} = k_i + k_{i+1} + \dotsb + k_r\) für \(i = 2, \dotsc , r\).
Daher lassen sich die \(k_i\) rekursiv aus den \(n_j\) ausrechnen.

Prozedur (Bestimmung der Jordanschen Normalform (1)):
Sei \(A \in M_n(K)\), sodass \(\chi _A(t)\) in Linearfaktoren zerfällt.
Dann kann folgendermaßen die Jordansche Normalform von \(A\) bestimmt werden:

Man ermittelt die Eigenwerte von \(A\). Für jeden Eigenwert \(\lambda \in K\) von \(A\) werden die folgenden Schritte durchgeführt:
Man berechnet \(n_i = \dim _K \ker (A - \lambda E)^i\) für \(i = 1, 2, \dotsc \). Beim ersten \(r\) mit \(n_r = n_{r+1}\) bricht man ab, denn die Dimensionen bleiben dann konstant.
Man berechnet \(l_i = n_i - n_{i-1}\) für \(i = 1, \dotsc , r\), wobei \(n_0 = 0\).
Man berechnet \(k_i = l_i - l_{i+1}\) für \(i = 1, \dotsc , r\), wobei \(l_{r+1} = 0\).
Der Block der Jordanform von \(A\), der zum Eigenwert \(\lambda \) korrespondiert, ist die Blockdiagonalmatrix, bei der \(J_\lambda (i)\) genau \(k_i\)-mal als Diagonalblock auftritt.

Prozedur (Bestimmung der Jordanschen Normalform (2)):
Gegeben seien die \(n_i\) wie eben. Man malt ein Diagramm aus Kreuzen in der Ebene in einem Gitter und zwar in die erste Zeile \(l_1 = n_1\) Kreuze, in die zweite \(l_2 = n_2 - n_1\) und in die \(i\)-te Zeile \(l_i = n_i - n_{i-1}\) Kreuze.
Wegen \(l_i = k_i + k_{i+1} + \dotsb + k_r\) erhält man eine abfallende Folge natürlicher Zahlen, die sich mit \(l_1 + l_2 + \dotsb + l_r = (n_1 - 0) + (n_2 - n_1) + \dotsb + (n_r - n_{r-1}) = n_r\) gerade zu \(n_r = \dim _K \mathcal {V}_\lambda (A)\) aufsummieren.
Die Spalten des entstehenden Diagramms geben dann gerade die \(\lambda \)-Zyklen wieder: Eine Spalte mit \(k\) Kreuzen entspricht einem Jordanblock \(J_\lambda (k)\) der Größe \(k\) von \(A\).
Das Diagramm heißt Young-Diagramm zur Partition \(l_1 \ge \dotsb \ge l_r\) von \(n_r\) oder \(\lambda \)-Diagramm von \(A\) und wird mit \(\mathfrak {D}_\lambda \) bezeichnet.
Im Diagramm entsprechen den untersten/obersten Spitzen der Spalten die Anfangs-/Endvektoren der \(\lambda \)-Zykeln.

linear unabhängig modulo \(U\): Seien \(U \ur V\) und \(y_1, \dotsc , y_s \in V\). Dann sind die \(y_i\) linear unabhängig modulo \(U\), falls die Nebenklassen \(y_1 + U, \dotsc , y_s + U\) in \(V/U\) linear unabhängig sind, d. h. ist \(\sum _{i=1}^s \lambda _i y_i \in U\) mit \(\lambda _1, \dotsc , \lambda _s \in K\), dann ist \(\lambda _1 = \dotsb = \lambda _s = 0\).
Sind \(y_1, \dotsc , y_s\) linear unabhängig modulo \(U\), so sind sie linear unabhängig in \(V\). Die Umkehrung gilt nicht.

Satz (Vereinigung von Zykeln ist linear unabhängig): Seien \(f \in \End _K(V)\) und \(\lambda \in K\) ein Eigenwert von \(f\). Für \(i = 1, \dotsc , s\) seien \(\lambda \)-Zyklen \(Z_i\) von \(f\) mit derselben Länge \(t\) gegeben, wobei \(y_i\) der Anfangsvektor von \(Z_i\) ist.
Ist die Menge der Anfangsvektoren \(\{y_1, \dotsc , y_s\}\) linear unabhängig modulo \(\ker (f - \ell _\lambda )^{t-1}\), so ist \(Z = \bigcup _{i=1}^s Z_i\) ebenfalls linear unabhängig.
Insbesondere ist daher die Summe der von den \(Z_i\) aufgespannten Unterräume direkt.

Folgerung: Seien wie eben \(y_1, \dotsc , y_s \in \ker (f - \ell _\lambda )^t\), deren Restklassen im Faktorraum
\(\ker (f - \ell _\lambda )^t / \ker (f - \ell _\lambda )^{t-1}\) linear unabhängig sind.
Dann sind die von den \(y_i\) erzeugten \(\lambda \)-Zykel paarweise disjunkt.

Lemma (höhere Kerne bleiben gleich): Sei \(\mathcal {N}_i = \ker (f - \ell _\lambda )^i\).
Gilt \(\mathcal {N}_r = \mathcal {N}_{r+1}\), so gilt \(\mathcal {N}_r = \mathcal {N}_{r+i}\) für alle \(i \in \natural \).

Prozedur (Bestimmung der Jordanbasis):
Sei \(f \in \End _K(V)\), sodass \(\chi _f(t)\) in Linearfaktoren zerfällt.
Dann kann folgendermaßen die Jordansche Normalform von \(f\) bestimmt werden:

Sei \(r \in \natural \) minimal mit \(\mathcal {N}_r = \mathcal {N}_{r+1}\) (Anzahl der Zeilen im \(\lambda \)-Diagramm). Man ergänzt eine Basis von \(\mathcal {N}_{r-1}\) mit \(y_1, \dotsc , y_{k_r}\) zu einer Basis von \(\mathcal {N}_r\).
Im \(\lambda \)-Diagramm ordnet man der \(i\)-ten Spalte von unten nach oben den Kreuzen die Elemente \(y_i, (f - \ell _\lambda )(y_i), \dotsc , (f - \ell _\lambda )^{r-1}(y_i)\) für \(i = 1, \dotsc , k_r\) zu. Die Vektoren einer Spalte bilden dann einen \(\lambda \)-Zykel von \(f\). Sei \(U_1\) die Summe der von diesen \(\lambda \)-Zykeln aufgespannten Unterräumen, dann bilden die \((f - \ell _\lambda )^k y_i\) mit \(i = 1, \dotsc , k_r\) und \(k = 1, \dotsc , r\) eine Basis von \(U_1\).
Die nächste, also die \(k_r + 1\)-te Spalte ist kürzer als die vorherigen. Sei sie von der Länge \(t\) und \(k_t\) die Anzahl der Spalten dieser Länge. Es gibt \(k_t\) Basiselemente in einem Komplement von \((U_1 \cap \mathcal {N}_t) + \mathcal {N}_{t-1}\) in \(\mathcal {N}_t\) und nehmen wie eben die davon erzeugten \(\lambda \)-Zyklen von \(f\). Diese erzeugen \(U_2\) und sind eine Basis von \(U_2\).
Die nächste, also die \(k_r + k_t + 1\)-te Spalte ist kürzer als die vorherigen. Sei sie von der Länge \(w\) und \(k_w\) die Anzahl der Spalten dieser Länge. Es gibt \(k_w\) Basiselemente in einem Komplement von \(((U_1 + U_2) \cap \mathcal {N}_w) + \mathcal {N}_{w-1}\) in \(\mathcal {N}_w\) und nehmen wie eben die davon erzeugten \(\lambda \)-Zyklen von \(f\). Diese erzeugen \(U_3\) und sind eine Basis von \(U_3\).
Man fährt so fort, bis man eine Basis von ganz \(\mathcal {V}_\lambda (f)\) konstruiert hat. Jedem Kreuz im \(\lambda \)-Diagramm ist nun genau ein Basiselement zugeordnet. Diese werden nun spaltenweise (und von oben nach unten) durchnummeriert und bilden dann die Jordanbasis.

Fahne, angepasst: Sei \(V\) ein \(K\)-Vektorraum. Eine Fahne der Länge \(k\) in \(V\) ist eine aufsteigende Kette \(\mathcal {F}: (0) = U_0 \ur U_1 \ur \dotsb \ur U_k \ur V\) von Unterräumen \(U_i\) von \(V\).
Eine Basis \(\basis {B} = (v_1, \dotsc , v_n)\) von \(V\) heißt an \(\mathcal {F}\) angepasst, falls \((v_1, \dotsc , v_{m_i})\) eine Basis von \(U_i\) ist, wobei \(m_i = \dim _K U_i\) ist.

Die Unterräume \(\ker (f - \ell _\lambda )^i\) von \(\mathcal {V}_\lambda (f)\) sind ein Beispiel von Fahnen, wobei die zugehörige Jordanbasis angepasst ist.

Lemma (Eigenwerte und charakteristisches Polynom von nilpotenten/unipotenten Matrizen):
Eine nilpotente Matrix \(A \in M_n(K)\) kann nur \(0\) als Eigenwert haben, d. h. \(\chi _A(t) = t^n\).
Ist \(A\) unipotent, dann muss für jeden Eigenwert \(\lambda ^k = 1\) gelten, d. h. \(\lambda \) ist eine \(k\)-te Einheitswurzel. Also ist \(\chi _A(t) = \prod _{i=1}^n (t - \zeta _i)\) mit \(\zeta _i^k = 1\).

Lemma (binomischer Lehrsatz im Ring): Seien \(R\) ein Ring und \(a, b \in R\) mit \(ab = ba\).
Dann gilt \((a + b)^n = \sum _{i=0}^n \binom {n}{i} a^i b^{n-i}\). Ist zusätzlich eines der beiden Ringelemente nilpotent, so lässt sich die Summe einfach auswerten.

Lemma (Jordanform ist Summe einer Diagonalmatrix und einer nilpotenten Matrix):
Sei \(A \in M_n(K)\) in Jordanform. Dann ist \(A = D + N\) mit \(DN = ND\), wobei \(D\) eine Diagonalmatrix und \(N\) eine nilpotente Matrix ist.

Lemma (ähnliche Matrizen zu nilpotenter Matrix sind nilpotent):
Seien \(A, N \in M_n(K)\) ähnlich, wobei \(N\) nilpotent (unipotent) ist.
Dann ist \(A\) ebenfalls nilpotent (unipotent).

Satz (Jordanzerlegung): Sei \(A \in M_n(K)\), sodass \(\chi _A(t)\) in Linearfaktoren zerfällt.
Dann ist \(A = S + N\) mit \(SN = NS\), wobei \(S\) eine diagonalisierbare und \(N\) eine nilpotente Matrix ist. Diese Zerlegung heißt Jordanzerlegung von \(A\).

Das Minimalpolynom

Ideal: Sei \(R\) ein Ring (oder eine \(K\)-Algebra). Eine nicht-leere Teilmenge \(I \subseteq R\) heißt Rechtsideal, falls \(a - b \in I\) und \(ar \in I\) für alle \(a, b \in I\), \(r \in R\) ist. Gilt \(a - b \in I\) und \(ra \in I\) für alle \(a, b \in I\), \(r \in R\), so heißt I Linksideal.
Ein (zweiseitiges) Ideal ist eine nicht-leere Teilmenge \(I \subseteq R\), die zugleich Links- und Rechtsideal ist. In diesem Fall schreibt man \(I \trianglelefteq R\).

Bemerkung: Es gilt \(0 \cdot i = 0 \in I\) für jedes Ideal. Sind \(a, b \in I\), so ist auch \(a + b \in I\), da \(0 - b = -b \in I\) ist. Jedes Ideal \(I \trianglelefteq R\) ist auch ein Ring, indem man die Addition und Multiplikation von \(R\) auf \(I\) einschränkt. Ist \(J \trianglelefteq R\) und \(J \subseteq I\), so ist \(J \trianglelefteq I\). Ist \(R\) ein kommutativer Ring, so sind Ideale, Links- und Rechtsideale dasselbe.

Faktorring: Seien \(R\) ein Ring und \(I \trianglelefteq R\) ein Ideal.
Dann wird durch \(r \sim s \;\Leftrightarrow \; r - s \in I\) für \(r, s \in R\) auf \(R\) eine Äquivalenzrelation definiert.
Die Äquivalenzklasse von \(r \in R\) heißt \(r + I\) und die Menge der Äquivalenzklassen mit
\(R/I = \{r + I \;|\; r \in R\}\). \(R/I\) wird zum Ring durch \((r + I) + (s + I) = (r + s) + I\) und \((r + I) \cdot (s + I) = (r \cdot s) + I\) und heißt Faktorring.
Die natürliche Projektion \(\pi : R \rightarrow R/I\), \(\pi (r) = r + I\) ist ein Ringhomomorphismus.

Lemma (Kern von Ringhomomorphismen): Sei \(f: R \rightarrow S\) ein Ringhomomorphismus.
Dann ist \(\ker f \trianglelefteq R\) und \(f\) ist injektiv genau dann, wenn \(\ker f = (0)\).

Satz (Isomorphiesätze für Ringe):

Seien \(f: R \rightarrow S\) ein Ringhomomorphismus und \(I \trianglelefteq R\) ein Ideal mit \(I \subseteq \ker f\). Dann gibt es genau einen Ringhomomorphismus \(\widetilde {f}\), sodass \(f = \widetilde {f} \circ \pi \). Es gilt \(\widetilde {f}: R/I \rightarrow S\), \(\widetilde {f}(r + I) = f(r)\). Mit \(I = \ker f\) gilt insbesondere, dass \(R/\ker f\) isomorph zu \(\im f\) ist.
Seien \(R\) ein Ring und \(I, J \trianglelefteq R\) zwei Ideale. Dann sind \(I \cap J\) und
\(I + J = \{i + j \;|\; i \in I\;, j \in J\}\) ebenfalls Ideale von \(R\) und es gilt \(I/(I \cap J) \cong (I + J)/J\).
Seien \(R\) ein Ring und \(I, J, K \trianglelefteq R\) drei Ideale mit \(K \subseteq J \subseteq I\).
Dann ist \(I/J \cong (I/K)/(J/K)\).

Bemerkung: Jeder Kern eines Ringhomomorphismus ist ein Ideal. Jedes Ideal \(I \trianglelefteq R\) ist Kern eines Ringhomomorphismus, nämlich der von \(\pi : R \rightarrow R/I\). Also sind Ideale genau die Kerne von Ringhomomorphismen.

Verschwindungsideal: Sei \(V\) ein endlich-dimensionaler Vektorraum und \(f \in \End _K(V)\). Dann ist \(\mathcal {I}_f = \{p(t) \in K[t] \;|\; p(f) \equiv 0\}\) ein Ideal von \(K[t]\) und wird Verschwindungsideal genannt.

Satz (Polynomdivision): Seien \(h, g \in K[t]\) Polynome mit \(\deg g \le \deg h\). Dann gibt es Polynome \(q, r \in K[t]\) mit \(\deg r < \deg g\), sodass \(h = gq + r\) ist. Das Polynom \(r\) ist der Rest bei der Polynomdivision.

normiert: Ein Polynom \(g(t) \in K[t]\) heißt normiert, falls der führende Koeffizient (also der nicht-verschwindende Koeffizient bei der höchsten Potenz) gleich \(1\) ist.

Satz (Ideale des Polynomrings): Seien \(I \trianglelefteq K[t]\) ein Ideal mit \(I \not = (0)\) und \(p \in I\) ein nicht-triviales Polynom minimalen Grades in \(I\). Dann ist \(I = p K[t]\) und es gilt \(I = r K[t] \;\Leftrightarrow \; r = \beta p\), wenn \(r \in K[t]\) und \(\beta \in K\) mit \(\beta \not = 0\) ist.

Erzeuger, Hauptideal: Es gibt genau ein normiertes Polynom \(q \in I\), sodass \(I = q K[t]\) ist. \(q\) heißt normierter Erzeuger von \(I\). Ideale, die von einem Element erzeugt werden, heißen Hauptideale.

Bemerkung: Der Satz sagt also aus, dass alle Ideale von \(K[t]\) Hauptideale sind.

Minimalpolynom: Sei \(f \in \End _K(V)\). Das eindeutig bestimmte normierte Polynom kleinsten Grades in \(\mathcal {I}_f\) heißt Minimalpolynom von \(f\) und wird mit \(\mu _f(t)\) bezeichnet.
Analog ist das Minimalpolynom \(\mu _A(t)\) einer Matrix \(A \in M_n(K)\) definiert.

Folgerung: Sei \(p \in K[t]\) ein Polynom mit \(p(f) \equiv 0\). Dann gibt es \(q \in K[t]\), sodass
\(p(t) = q(t) \cdot \mu _f(t)\) ist, d. h. das Minimalpolynom \(\mu _f(t)\) teilt \(p\). Insbesondere teilt das Minimalpolynom das charakteristische Polynom von \(f\).

Satz (Minimalpolynome ähnlicher Matrizen gleich):
Die Minimalpolynome ähnlicher Matrizen stimmen überein.
Analog: Konjugierte Endomorphismen \(f, g \in \End _K(V)\) (d. h. \(f = h^{-1} g h\) für ein \(h \in \Aut _K(V)\)) haben dasselbe Minimalpolynom.

Satz (\(\chi _f(t)\) und \(\mu _f(t)\) haben dieselben Nullstellen): Sei \(f \in \End _K(V)\). Dann ist \(\lambda \in K\) eine Nullstelle von \(\mu _f(t)\) genau dann, wenn er Eigenwert von \(f\) ist. Also haben \(\chi _f(t)\) und \(\mu _f(t)\) dieselben Nullstellen.

Satz (Minimalpolynome teilen sich): Seien \(f \in \End _K(V)\), wobei \(\chi _f(t)\) in Linearfaktoren zerfalle, \(V = V_1 \oplus \dotsb \oplus V_k\) eine Zerlegung in \(f\)-invariante Unterräume \(V_i\) sowie \(\mu _i\) das Minimalpolynom von der Einschränkung \(f_i\) von \(f\) auf \(V_i\) für \(i = 1, \dotsc , k\).
Dann teilt \(\mu _f(t)\) das Polynom \(\prod _{i=1}^k \mu _i(t)\) und jedes \(\mu _i(t)\) teilt \(\mu _f(t)\).
Insbesondere gilt \(\mu _f(t) = \prod _{i=1}^k \mu _i(t)\), falls die \(\mu _i(t)\) paarweise teilerfremd sind.

Folgerung:
Sei \(A = \diag \{J_1, \dotsc , J_k\}\) eine Blockdiagonalmatrix und \(\chi _A(t)\) zerfalle in Linearfaktoren.
Dann ist \(\mu _A(t) = \prod _{i=1}^k \mu _{J_i}(t)\), falls die \(\mu _{J_i}(t)\) paarweise teilerfremd sind.

Satz (Minimalpolynom bestimmen): Sei \(f \in \End _K(V)\) mit \(\chi _f(t) = (t - \lambda _1)^{n_1} \dotsm (t - \lambda _k)^{n_k}\), wobei die \(\lambda _i\) paarweise verschieden sind.
Dann ist \(\mu _f(t) = (t - \lambda _1)^{m_1} \dotsm (t - \lambda _k)^{m_k}\), wobei \(m_i\) für \(i = 1, \dotsc , k\) die kleinste natürliche Zahl \(s \in \natural \) mit \(\ker (f - \ell _{\lambda _i})^s = \ker (f - \ell _{\lambda _i})^{s+1}\) ist (d. h. die Größe des größten Jordanblocks zum Eigenwert \(\lambda _i\)).
Insbesondere ist \(f\) diagonalisierbar genau dann, wenn \(\mu _f(t) = (t - \lambda _1) \dotsm (t - \lambda _k)\) ist.