Funktionalanalysis 1 – Differentiation und Integration in Banachräumen

Gâteaux- und Fréchet-Ableitung

Gâteaux-Differenzierbarkeit: Seien \((X, \norm {\cdot }_X)\) und \((Y, \norm {\cdot }_Y)\) Banachräume, \(U \subset X\) offen, \(x \in U\) und \(F\colon X \rightarrow Y\) eine Abbildung. Dann heißt \(F\) Gâteaux-differenzierbar in \(x\), falls die Gâteaux-Ableitung \(DF(x)[v]\) an der Stelle \(x\) in Richtung \(v\) für alle \(v \in X\) existiert, wobei
\(DF(x)[v] := \lim _{h \to 0} \frac {F(x + hv) - F(x)}{h}\) mit \(h \in \real \).

Fréchet-Differenzierbarkeit: \(F\) heißt Fréchet-differenzierbar in \(x\), falls die
Fréchet-Ableitung \(JF(x) \in \Lin (X, Y)\) an der Stelle \(x\) existiert, wobei
\(\lim _{h \to 0} \frac {\norm {F(x + h) - F(x) - JF(x)[h]}_Y}{\norm {h}_X} = 0\) mit \(h \in X\).

Bemerkung: Gâteaux- und Fréchet-Ableitung verallgemeinern die Richtungsableitung bzw. totale Ableitung aus der reellen Differentialrechnung. Für \(X = \real \) gilt \(JF(x) = DF(x)[1]\), d. h. \(JF(x)[v] = v \cdot DF(x)[1]\) für alle \(v \in \real \). Mithilfe von Gâteaux- und Fréchet-Ableitung lassen sich zentrale Sätze aus der reellen Differentialrechnung (z. B. der Satz von Taylor, der Satz über implizite Funktionen und die Sätze über die Berechnung von Extremstellen ohne oder mit Nebenbedingungen) auf den Fall von Banachräumen verallgemeinern.

Riemann-Integrale in Banachräumen

Riemann-Summe: Seien \((X, \norm {\cdot }_X)\) ein Banachraum, \(a < b\) und \(f\colon [a, b] \rightarrow X\) eine Abbildung. Seien außerdem \(P = \{x_0, \dotsc , x_n\}\) mit \(a = x_0 < \dotsb < x_n = b\) eine Partition des Intervalls \([a, b]\) und \(\xi = (\xi _1, \dotsc , \xi _n)\) Stützstellen mit \(\xi _k \in [x_{k-1}, x_k]\) für alle \(k = 1, \dotsc , n\). Dann heißt \(S(f, P, \xi ) := \sum _{k=1}^n (x_k - x_{k-1}) f(\xi _k)\) Riemann-Summe von \(f\) zur Partition \(P\) mit Stützstellen \(\xi \).

Riemann-integrierbar: \(f\) heißt Riemann-integrierbar, falls der Grenzwert
\(\lim _{n \to \infty } S(f, P(n), \xi (n))\) für alle Folgen \((P(n), \xi (n))_{n \in \natural }\) von Partitionen \(P(n)\) und Stützstellen \(\xi (n)\), die \(\lim _{n \to \infty } |P(n)| = 0\) erfüllen, existiert und unabhängig von den Folgen ist (dabei ist \(|P| := \max _{k=1,\dotsc ,n} (x_k - x_{k-1})\) die Feinheit der Partition \(P\)). In diesem Fall nennt man \(\int _a^b f(x)\dx := \lim _{|P| \to 0} S(f, P, \xi )\) Riemann-Integral von \(f\) von \(a\) bis \(b\).

Bemerkung: Mithilfe dieses Integralbegriffs lassen sich zentrale Sätze aus der reellen Integralrechnung auf den Fall von Banachräumen verallgemeinern, z. B. gilt: Jede stetige Funktion \(f\colon [a, b] \rightarrow X\) ist Riemann-integrierbar. Außerdem kann man den lokalen Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf auf den Fall von gewöhnlichen Differentialgleichungen mit Werten in Banachräumen verallgemeinern.