Analysis 1 – Einige Grundbegriffe der Mathematik

Elemente der Aussagenlogik

Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, welches zur Beschreibung und Mitteilung von Sachverhalten dient.

Eine mathematische Aussage ist wahr oder falsch.
(Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten)
Eine mathematische Aussage kann nicht gleichzeitig wahr und falsch sein.
(Prinzip vom ausgeschlossenen Widerspruch)

Operationen: Negation $\neg a$ , Konjunktion $a \land b$ , Alternative $a \lor b$ , Implikation $a \Rightarrow b$ , Äquivalenz $a \Leftrightarrow b$

logisches Gesetz: Aussagen logisch äquivalent unabhängig von der Belegung der Aussagewerte $\Rightarrow$ immer wahr.

Aussageform (Prädikat): $H (x)$ wird durch jedes eingesetztes $x \in A$ (Subjekt/Variable) aus dem Subjektbereich $A$ zu einer Aussage.

Quantoren:
Allquantor: $\forall_{x \in A} H (x) \Leftrightarrow \underset{x \in A}{⋀} H (x)$
Existenzquantor: $\exists_{x \in A} H (x) \Leftrightarrow \underset{x \in A}{⋁} H (x)$

Verknüpfungen mit Quantoren:
$\neg \forall_{x \in A} H (x) \Leftrightarrow \exists_{x \in A} \neg H (x)$ , $\neg \exists_{x \in A} H (x) \Leftrightarrow \forall_{x \in A} \neg H (x)$
$(\forall_{x \in A} H_{1} (x)) \land (\forall_{x \in A} H_{2} (x)) \Leftrightarrow \forall_{x \in A} (H_{1} (x) \land H_{2} (x))$
$(\forall_{x \in A} H_{1} (x)) \lor (\forall_{x \in A} H_{2} (x)) \Rightarrow \forall_{x \in A} (H_{1} (x) \lor H_{2} (x))$
$(\exists_{x \in A} H_{1} (x)) \lor (\exists_{x \in A} H_{2} (x)) \Leftrightarrow \exists_{x \in A} (H_{1} (x) \lor H_{2} (x))$
$(\exists_{x \in A} H_{1} (x)) \land (\exists_{x \in A} H_{2} (x)) \Leftarrow \exists_{x \in A} (H_{1} (x) \land H_{2} (x))$
$\exists_{x} (\exists_{y} H (x, y)) \Leftrightarrow \exists_{y} (\exists_{x} H (x, y))$ , $\forall_{x} (\forall_{y} H (x, y)) \Leftrightarrow \forall_{y} (\forall_{x} H (x, y))$

Der Begriff der Menge

hier Beschränkung auf naive Mengenlehre, die auf Georg Cantor zurückgeht

Definition nach Cantor: Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte (unserer Anschauung und unseren Denkens) zu einem Ganzen. Diese Objekte heißen Elemente einer Menge.

bestimmt: Es ist eindeutig entscheidbar, ob ein Objekt zur Menge gehört oder nicht.
wohlunterschieden: Eine Menge enthält nicht zwei gleiche Objekte.

Extensionsprinzip: Eine Menge ist bestimmt durch die Elemente, die sie enthält. Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie die gleichen Elemente beinhalten.

$x \in A \Leftrightarrow H_{A} (x)$ wahr, man schreibt $A = {x | H_{A} (x)}$

Zu jeder Menge gibt es eine Aussageform, die sie definiert. Doch nicht jede Aussageform bestimmt eine Menge.

Russellsche Antinomie: $R$ sei die Familie aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten ( $H_{R} (M) = M \notin M$ bzw. $R = {M | M \notin M}$ ). R ist keine Menge.

Operationen mit Mengen:

Teilmenge: $B \subset A \Leftrightarrow ((x \in B) \Rightarrow (x \in A)) \Leftrightarrow \forall_{x \in B} x \in A$
(wobei $A = B \Leftrightarrow (A \subset B) \land (B \subset A)$ und $\emptyset = {x \in A | x \notin A} \subset A$ )
Durchschnitt: $A \cap B = {x | (x \in A) \land (x \in B)} = B \cap A$
Vereinigung: $A \cup B = {x | (x \in A) \lor (x \in B)} = B \cup A$
Differenz: $A ∖ B = {x | (x \in A) \land (x \notin B)}$
Symmetrische Differenz: $A △ B = (A ∖ B) \cup (B ∖ A) = (A \cup B) ∖ (A \cap B)$
Komplement: $A_{M}^{c} = M ∖ A = {x \in M | x \notin A}$
(wobei $(A \cap B)_{M}^{c} = A_{M}^{c} \cup B_{M}^{c}$ und $(A \cup B)_{M}^{c} = A_{M}^{c} \cap B_{M}^{c}$ )
Operationen mit Indexmengen:
$⋃_{κ \in K} A_{κ} = {x | \exists_{κ \in K} x \in A_{κ}}$ , $⋂_{κ \in K} A_{κ} = {x | \forall_{κ \in K} x \in A_{κ}}$

Kreuzprodukt (kartesisches Produkt): $A \times B = {(a, b) | (a \in A) \land (b \in B)}$ ,
$(a_{1}, b_{1}) = (a_{2}, b_{2}) \Leftrightarrow (a_{1} = a_{2}) \land (b_{1} = b_{2})$ , Menge aller geordneten Paare (Tupel)

Relationen und Äquivalenzrelationen

Eine Relation $R$ zwischen zwei Mengen $A$ und $B$ ist eine Teilmenge aus $A \times B$ .
$R \subset A \times B$ , $(a, b) \in R \Leftrightarrow a R b$

Vorbereich: $Vb (R) = {a \in A | \exists_{b \in B} a R b}$
Nachbereich: $Nb (R) = {b \in B | \exists_{a \in A} a R b}$

inverse Relation: $R^{- 1} \subset B \times A$ , $(b, a) \in R^{- 1} \Leftrightarrow (a, b) \in R$
$Vb (R^{- 1}) = Nb (R)$ , $Nb (R^{- 1}) = Vb (R)$

$R$ voreindeutig $\Leftrightarrow \forall_{a_{1}, a_{2} \in A} \forall_{b \in B} (a_{1} R b \land a_{2} R b) \Rightarrow a_{1} = a_{2}$
$R$ nacheindeutig $\Leftrightarrow \forall_{b_{1}, b_{2} \in B} \forall_{a \in A} (a R b_{1} \land a R b_{2}) \Rightarrow b_{1} = b_{2}$
$R$ eineindeutig $\Leftrightarrow R$ vor- und nacheindeutig

Für $R \subset A \times A$ (d. h. $R$ ist in $A$ gegeben):

$R$ reflexiv $\Leftrightarrow \forall_{a \in A} a R a$ (d. h. $Vb (R) = Nb (R) = A$ )
$R$ symmetrisch $\Leftrightarrow \forall_{a_{1}, a_{2} \in A} (a_{1} R a_{2}) \Leftrightarrow (a_{2} R a_{1})$
$R$ transitiv $\Leftrightarrow \forall_{a_{1}, a_{2}, a_{3} \in A} (a_{1} R a_{2}) \land (a_{2} R a_{3}) \Rightarrow (a_{1} R a_{3})$

Eine reflexive, symmetrische und transitive Relation heißt Äquivalenzrelation.
$a_{1} R a_{2} \Leftrightarrow a_{1} \sim_{R} a_{2} \Leftrightarrow a_{1} \equiv a_{2} \mod R$

Sei $R$ Äquivalenzrelation in $A$ . Für jedes $a \in A$ definiert man die Äquivalenzklasse
$[a]_{R} = [a]_{\sim} = {a^{'} \in A | a \sim a^{'}}$ .

$[a]_{R} \subset A$ , $a^{'} \in [a]_{R}$ Repräsentant von $[a]_{R}$ , darstellendes Element

Eigenschaften der Äquivalenzklasse:

$(a^{'} \in [a]_{R}) \land (a^{}'^{'} \in [a]_{R}) \Rightarrow (a^{'} \sim a^{}'^{'})$
$[a]_{R} \neq \emptyset$ , da $a \in [a]_{R}$
entweder $[a_{1}]_{R} = [a_{2}]_{R}$ oder $[a_{1}]_{R} \cap [a_{2}]_{R} = \emptyset$ (für beliebige $a_{1}, a_{2} \in A$ )

Eine Familie von Mengen $F = {A_{κ}}_{κ \in K}$ heißt Zerlegung von $A$ , falls

$\forall_{κ \in K} A_{κ} \neq \emptyset$
$\forall_{κ_{1}, κ_{2} \in K, κ_{1} \neq κ_{2}} A_{κ_{1}} \cap A_{κ_{2}} = \emptyset$
$⋃_{κ \in K} A_{κ} = A$

Die Familie der (verschiedenen) Äquivalenzklassen bildet eine Zerlegung von $A$ .

${[a]_{R} | a \in A} = A / R = A / \sim$ ist die Menge der (verschiedenen) Äquivalenzklassen.

Abbildungen und Funktionen

Eine Funktion $f$ zwischen $A$ und $B$ ist eine (nach-)eindeutige Relation $R_{f}$ in $A \times B$ .
$f (a) = b \Leftrightarrow (a, b) \in R_{f}$

Definitionsbereich: $D (f) = Vb (R_{f}) = {a \in A | \exists_{b \in B} (a, b) \in R_{f}}$
Wertebereich: $W (f) = Nb (R_{f}) = {b \in B | \exists_{a \in A} (a, b) \in R_{f}}$

$f = g \Leftrightarrow R_{f} = R_{g} \Leftrightarrow D (f) = D (g) \land \forall_{a \in D (f)} f (a) = g (a)$

Einschränkung einer Funktion $f$ zwischen $A$ und $B$ auf $M \subset D (f)$ :
$f |_{M} \leftrightarrow R_{f |_{M}} = {(a, b) | (a, b) \in R_{f} \land a \in M}$ , d. h. $D (f |_{M}) = M$ , $f |_{M} (a) = f (a)$ für $a \in M$

$f : A \to B \Leftrightarrow f$ von $A$ in $B$ (d. h. $D (f) = A$ , $W (f) \subset B$ )

Bezeichnung von Funktionen: $f$ ist Funktion
aus $A$ in $B$ , wenn $D (f) \subset A$ , $W (f) \subset B$ , aus $A$ auf $B$ , wenn $D (f) \subset A$ , $W (f) = B$ ,
von $A$ in $B$ , wenn $D (f) = A$ , $W (f) \subset B$ , von $A$ auf $B$ , wenn $D (f) = A$ , $W (f) = B$ .
Für $D (f) = A$ ist $f$ auf $A$ gegeben.

$f$ injektiv $\Leftrightarrow R_{f}$ eineindeutig (vor- und nacheindeutig)
$\Leftrightarrow \forall_{b \in W (f)} \exists!_{a \in D (f)}$ $f (a) = b \Leftrightarrow \forall_{a_{1}, a_{2} \in D (f)} f (a_{1}) = f (a_{2}) \Rightarrow a_{1} = a_{2}$ (Eindeutigkeit)
$f$ surjektiv $\Leftrightarrow W (f) = B \Leftrightarrow \forall_{b \in B} \exists_{a \in D (f)} f (a) = b$ (Lösbarkeit)
$f$ bijektiv $\Leftrightarrow f$ injektiv und surjektiv

Umkehrfunktion: Sei $f : A \to B$ bijektiv.
Dann definiert $R_{f^{- 1}} = {R_{f}}^{- 1}$ eine Funktion $f^{- 1} : B \to A$ mit $f^{- 1}$ bijektiv und $(f^{- 1})^{- 1} = f$ .

Sei $f : A \to B$ , $A_{1} \subset A$ , $B_{1} \subset B$ . Dann definiert man das
Bild von $A_{1}$ : $f (A_{1}) = {b \in B | \exists_{a \in A_{1}} f (a) = b}$
Urbild von $B_{1}$ : $f^{- 1} (B_{1}) = {a \in A | f (a) \in B_{1}}$ ( $f$ muss nicht bijektiv sein)

Eigenschaften der Bilder/Urbilder: $A_{1} \subset A_{2} \subset A \Rightarrow f (A_{1}) \subset f (A_{2})$
$B_{1} \subset B_{2} \Rightarrow f^{- 1} (B_{1}) \subset f^{- 1} (B_{2})$
$f (A_{1} \cup A_{2}) = f (A_{1}) \cup f (A_{2})$
$f (A_{1} \cap A_{2}) \subset f (A_{1}) \cap f (A_{2})$
$f^{- 1} (B_{1} \cap B_{2}) = f^{- 1} (B_{1}) \cap f^{- 1} (B_{2})$
$f^{- 1} (B_{1} \cup B_{2}) = f^{- 1} (B_{1}) \cup f^{- 1} (B_{2})$

Komposition von Funktionen: Sei $f$ Funktion zwischen $A$ und $B$ , $g$ zwischen $B$ und $C$ . Dann ist $g \circ f$ Funktion mit $D (g \circ f) = {a \in D (f) | f (a) \in D (g)}$ ,
$(g \circ f) (a) = g (f (a))$ mit $a \in D (g \circ f)$ bzw. $g \circ f \leftrightarrow R_{g \circ f} = {(a, c) \in A \times C | \exists_{b \in B} (a R_{f} b) \land (b R_{g} c)}$

Assoziativität der Komposition: Mit $h$ zwischen $C$ und $D$ ist $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$ .

Geordnete Mengen

$R$ Relation in A, d. h. $R \subset A \times A$

$R$ antisymmetrisch $\Leftrightarrow \forall_{a_{1}, a_{2} \in A} (a_{1} R a_{2}) \land (a_{2} R a_{1}) \Rightarrow a_{1} = a_{2}$

Eine reflexive, antisymmetrische und transitive Relation heißt Ordnungsrelation.
$a_{1} R a_{2} \Leftrightarrow a_{1} ≺ a_{2}$

Die natürlichen Zahlen

Um abstrakte Begriffe wie die natürlichen Zahlen zu beschreiben, gibt man deren Eigenschaften in Axiomensystemen an. Diese müssen folgende Kriterien erfüllen:

Vollständigkeit: Mit den Axiomen lassen sich alle Eigenschaften zeigen.
Unabhängigkeit: Kein Axiom lässt sich durch die anderen herleiten.
Widerspruchsfreiheit: Die Axiome müssen erfüllt werden können, d. h. sie widersprechen einander nicht.

Axiome von Peano:

1 ist eine natürliche Zahl
(Existenz der natürlichen Zahlen, $N \neq \emptyset$ ).
Zu jeder natürlichen Zahl $n$ gibt es genau einen Nachfolger $n^{'}$
(Existenz/Eindeutigkeit des Nachfolgers).
1 ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl
(Existenz von unendlich vielen natürlichen Zahlen).
$n^{'} = m^{'} \Rightarrow n = m$
(Eindeutigkeit des Vorgängers).
Sei $M \subset N$ mit den Eigenschaften $1 \in M$ (IA), $n \in M \Rightarrow n^{'} \in M$ (IS). Dann ist $M = N$
(Prinzip der vollständigen Induktion).

Addition natürlicher Zahlen:
$(IA)_{+}$ $n + 1 \overset{def.}{=} n^{'}$
$(IS)_{+}$ $n + m^{'} \overset{def.}{=} (n + m)^{'}$

Multiplikation natürlicher Zahlen:
$(IA)_{\cdot}$ $n \cdot 1 \overset{def.}{=} n$
$(IS)_{\cdot}$ $n \cdot m^{'} \overset{def.}{=} n \cdot m + n$

Ordnung natürlicher Zahlen: $n < m \Leftrightarrow \exists_{p \in N} n + p = m$
Satz: Für beliebige $m, n \in N$ ist genau einer der Fälle $n < m$ , $n = m$ , $m < n$ erfüllt.

Die reellen Zahlen

Betrag: $| q | = {\begin{cases} q, & q \geq 0 \\ - q, & q < 0 \end{cases}$ , Eigenschaften: $| p \cdot q | = | p | \cdot | q |$ , $| q | \geq 0$ , $| q | = 0 \Leftrightarrow q = 0$ , $| p + q | \leq | p | + | q |$ (Dreiecksungleichung), $| | p | - | q | | \leq | p \pm q | \leq | p | + | q |$

Abstand zweier rationaler Zahlen: $d (p, q) = | p - q |$
Eigenschaften: $d (p, q) \geq 0$ , $d (p, q) = 0 \Leftrightarrow p = q$ , $d (p, q) = d (q, p)$ , $d (p, r) \leq d (p, q) + d (q, r)$

Sei A eine nichtleere Menge. Eine Folge $(a_{n})_{n \in N}$ bzw. ${a_{n}}_{n \in N}$ ist eine Abbildung $f : N \to A$ , $a_{n} = f (n)$ , $n \in N$ .

Konvergenz einer Folge: Seien $A = Q$ , $a_{n} \in Q$ sowie $a \in Q$ .
$a = lim_{n \to \infty} a_{n} \Leftrightarrow \forall_{ε > 0} \exists_{N (ε) \in N} \forall_{n \geq N (ε)} | a_{n} - a | < ε$
Ist $a = lim_{n \to \infty} a_{n}$ (auch $a_{n} \overset{n \to \infty}{\to} a$ ), so heißt ${a_{n}}_{n \in N}$ konvergent mit Grenzwert $a$ , andernfalls divergent.

Eindeutigkeit des Grenzwerts: Falls die Folge der $a_{n} \in Q$ konvergiert, so ist der Grenzwert eindeutig bestimmt.

Grenzwertsätze: Sei $a_{n} \in Q$ , $b_{n} \in Q$ , $a, b \in Q$ , $a_{n} \to a$ , $b_{n} \to b$ .

$lim_{n \to \infty} (a_{n} + b_{n}) = a + b$
$lim_{n \to \infty} (a_{n} \cdot b_{n}) = a \cdot b$
$lim_{n \to \infty} (\frac{a_{n}}{b_{n}}) = \frac{a}{b}$ ( $b_{n} \neq 0$ , $b \neq 0$ )
$\forall_{n \in N} a_{n} \leq b_{n} \Rightarrow a \leq b$

Eine Folge rationaler Zahlen ${a_{n}}_{n \in N}$ heißt Fundamentalfolge oder Cauchy-Folge
$\Leftrightarrow \forall_{ε > 0} \exists_{N (ε) \in N} \forall_{n, m \geq N (ε)} | a_{n} - a_{m} | < ε$ -.
In diesem Fall ist ${a_{n}}_{n \in N} \in CF (Q)$ , $CF (Q)$ ist die Menge aller Fundamentalfolgen über $Q$ .

Besitzt eine Folge rationaler Zahlen ${a_{n}}_{n \in N}$ einen Grenzwert $a \in Q$ , so gilt ${a_{n}}_{n \in N} \in CF (Q)$ .
D. h. jede konvergente Folge ist eine Fundamentalfolge.

Allerdings besitzt nicht jede Fundamentalfolge aus $Q$ einen Grenzwert in $Q$ , denn es gibt Folgen wie $a_{n + 1} = \frac{1}{a_{n}} + 1$ ( $a_{1} = 1$ ), deren Grenzwert $a^{2} - a - 1 = 0$ erfüllen müsste. Man kann zeigen, dass kein $a \in Q$ diese Bedingung erfüllt.

Definition der reellen Zahlen: Sei $A = CF (Q) ∋ {r_{n}}_{n \in N}$ , $r_{n} \in Q$ Fundamentalfolge. Zwei Folgen ${r_{n}}_{n \in N}$ und ${s_{n}}_{n \in N}$ sind bzgl. einer Äquivalenzrelation $\sim$ genau dann äquivalent, wenn sie gegen denselben Grenzwert zu streben scheinen, d. h.
${r_{n}}_{n \in N} \sim {s_{n}}_{n \in N} \Leftrightarrow lim_{n \to \infty} (r_{n} - s_{n}) = 0$ .

Die reellen Zahlen sind dann die Menge der Äquivalenzklassen der Cauchy-Folgen bzgl. dieser Äquivalenzrelation, d. h. $R = CF (Q) / \sim$ .

Dabei ist jedes $q \in Q$ eine reelle Zahl, denn die konstante rationale Folge ${q, q, \dots}$ ist Repräsentant einer Äquivalenzklasse $[q]$ .

Reelle Zahlen lassen sich dabei als unendliche Dezimalbrüche auffassen. Allerdings ist die Darstellung als Dezimalbruch nicht eindeutig (z. B. ist $0, \bar{9} = 1$ ).

Rechenoperationen auf den reellen Zahlen

$x, y \in R$ , wir betrachten ${r_{n}}_{n \in N} \in x$ , ${s_{n}}_{n \in N} \in y$ (d. h. ${r_{n}}, {s_{n}} \in CF (Q)$ ).

Addition auf den reellen Zahlen: $x + y \overset{def.}{=} [{r_{n} + s_{n}}_{n \in N}]$

Korrektheit der Definition: ${r_{n} + s_{n}} \in CF (Q)$
Eindeutigkeit der Definition: ${r_{n}^{'}} \sim {r_{n}}, {s_{n}^{'}} \sim {s_{n}} \Rightarrow {r_{n}^{'} + s_{n}^{'}} \sim {r_{n} + s_{n}}$

Kommutativität: $x + y = y + x$
Assoziativität: $(x + y) + z = x + (y + z)$

Multiplikation auf den reellen Zahlen: $x \cdot y \overset{def.}{=} [{r_{n} \cdot s_{n}}_{n \in N}]$

Ordnung auf den reellen Zahlen: $x < y \overset{def.}{\Leftrightarrow} \exists_{a_{1}, a_{2} \in Q} \exists_{N_{r, s}} \forall_{n \geq N_{r, s}} r_{n} < a_{1} < a_{2} < s_{n}$
Folgerung: Für jedes $x, y \in R$ mit $x < y$ existiert ein $a \in Q$ mit $x < a < y$ .

Satz: Ist $x, y \in R$ , dann ist genau einer der drei Fälle $x < y$ , $x = y$ und $y < x$ erfüllt.
Folgerung: Für jedes $x \in R$ mit $x > 0$ gibt es ein $a \in Q$ mit $0 < a < x$ und ein $A \in Q$ mit $0 < x < A$ .

Das Axiomensystem der reellen Zahlen

I. Algebraische Struktur: $R$ ist Körper.

	Addition	Multiplikation
	$+ : R \times R \to R, (x, y) \mapsto x + y$	$\cdot : R \times R \to R, (x, y) \mapsto x \cdot y$
Assoziativität	$(x + y) + z = x + (y + z)$	$(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)$
Kommutativität	$x + y = y + x$	$x \cdot y = y \cdot x$
Neutrales Element	$\exists_{0 \in R} \forall_{x \in R} 0 + x = x$	$\exists_{1 \in R} \forall_{x \in R} 1 \cdot x = x$
Inverses Element	$\forall_{x \in R} \exists_{(- x) \in R} x + (- x) = 0$	$\forall_{x \in R ∖ {0}} \exists_{x^{- 1} \in R} x \cdot (x^{- 1}) = 1$
Distributivität	$x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z$

II. Ordnungsstruktur: Auf $R$ ist eine Ordnungsrelation $\leq$ definiert.

$x \leq x \forall_{x \in R}$ (Reflexivität)
$(x \leq y) \land (y \leq x) \Rightarrow (x = y)$ (Antisymmetrie)
$(x \leq y) \land (y \leq z) \Rightarrow (x \leq z)$ (Transitivität)

zusätzlich soll $R$ vollständig geordnet sein: $\forall_{x, y \in R} (x \leq y) \lor (y \leq x)$

Dabei respektieren die Operationen die Ordnungsstruktur und zerstören diese nicht:
$(x \leq y) \Rightarrow \forall_{z \in R} (x + z) \leq (y + z)$ , $(0 \leq x) \land (0 \leq y) \Rightarrow (0 \leq x \cdot y)$

III. Topologische Struktur (Intervallschachtelungsaxiom):

$n$ -tes Intervall $[a_{n}, b_{n}] = {x \in R | a_{n} \leq x \leq b_{n}}$
für das $n + 1$ -te Intervall muss gelten: $\forall_{n \in N} a_{n} \leq a_{n + 1} \leq b_{n + 1} \leq b_{n}$

Intervallschachtelungsaxiom: $⋂_{n \in N} [a_{n}, b_{n}] \neq \emptyset$

IV. Axiom von Eudoxus: $R$ ist archimedisch geordnet, d. h. es gibt keine unendlich kleine Zahl $x > 0$ . Aus dem Lemma $\exists_{a \in Q} 0 < a < x$ kann man dies folgern.

$\forall_{x, y > 0} \exists_{n \in N} y \leq n \cdot x$ ( $x, y \in R$ )

Mächtigkeit von Mengen

Zwei Mengen heißen gleichmächtig, wenn es zwischen diesen eine bijektive Abbildung gibt.

Eine Menge $A$ heißt transfinit (unendlich), wenn eine echte Teilmenge $A_{1} \subset A$ existiert, welche zu $A$ gleichmächtig ist. Sonst heißt sie finit (endlich).

$A, B$ Mengen, Relation $\sim$ mit $a \sim b \Leftrightarrow \exists_{f : A \to B} f$ bijektiv. $\sim$ ist eine Äquivalenzrelation.
Ihre Äquivalenzklassen werden als Kardinalzahlen/Mächtigkeiten bezeichnet.
$card (A) = [A]$ ist die Mächtigkeit der Menge $A$ (Menge der zu $A$ gleichmächtigen Mengen).

finite Kardinalzahlen: zugehörig zu finiten (endlichen) Mengen
transfinite Kardinalzahlen: zugehörig zu transfiniten (unendlichen) Mengen
(d. h. es gibt eine echte Teilmenge $A_{1} \subset A$ , $A_{1} \neq A$ mit $A_{1} \sim A$ ),
z. B. $ℵ_{0} = card (N)$ , $A \in ℵ_{0} \Leftrightarrow A \sim N \Leftrightarrow$ $A$ ist abzählbar unendlich, d. h. es gibt eine vollständige, nummerierte Liste von den Elementen von $A$ : $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$

Vergleich von Kardinalzahlen: $card (A) \leq card (B) \Leftrightarrow \exists_{B_{1} \subset B} A \sim B_{1}$

Satz von Cantor und Bernstein: $A \sim B \Leftrightarrow card (A) \leq card (B) \land card (B) \leq card (A)$

alle Kardinalzahlen sind vergleichbar, d. h. $card (A) \leq card (B) \lor card (B) \leq card (A)$
für jede transfinite Menge $A$ gilt $ℵ_{0} \leq card (A)$

abzählbar unendliche Mengen:

Hinzufügen endlicher Mengen ändert nichts, d. h.
$card (A) = ℵ_{0}$ und $B = {b_{1}, \dots, b_{m}}$ $\Rightarrow card (A \cup B) = ℵ_{0}$
$Z$ , d. h. $card (A) = card (B) = ℵ_{0} \Rightarrow card (A \cup B) = ℵ_{0}$
$Q$ , d. h. $card (A_{n}) = ℵ_{0}$ $\Rightarrow card (⋃_{n \in N} A_{n}) = ℵ_{0}$

Die Menge der reellen Zahlen $R$ ist nicht abzählbar (d. h. überabzählbar), $ℵ_{1} = card (R)$ .

Menge $A$ , $P (A) = 2^{A}$ Potenzmenge
es zeigt sich: $card (A) < card (2^{A})$ , z. B. $ℵ_{1} = card (2^{N})$ , $ℵ_{2} = card (2^{R})$ usw.

Die komplexen Zahlen

$z = (x, y) \in R$
$+ : z_{1} + z_{2} = (x_{1}, y_{1}) + (x_{2}, y_{2}) = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2})$
$\cdot : z_{1} \cdot z_{2} = (x_{1}, y_{1}) \cdot (x_{2}, y_{2}) = (x_{1} \cdot x_{2} - y_{1} \cdot y_{2}, x_{1} \cdot y_{2} + x_{2} \cdot y_{1})$

$(R^{2}, +, \cdot)$ bildet den Körper der komplexen Zahlen $C$ . Insbesondere gilt Kommutativität, Assoziativität und Distributivität.

Bezüglich der Grundrechenarten sind $R$ und ${(x, y) \in C | y = 0}$ isomorph.

Schreibweise: $(x, 0) \hat{=} x$ , $(0, 1) \hat{=} i$ , $(x, y) = x + i y = z$ , $i^{2} = - 1$

Komplexes Konjugat: $z = (x, y) = x + i y$ , $\bar{z} = (x, - y) = x - i y$
Regeln: $\bar{z_{1} + z_{2}} = \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}$ , $\bar{z_{1} \cdot z_{2}} = \bar{z_{1}} \cdot \bar{z_{2}}$ , $\bar{z^{- 1}} = {\bar{z}}^{- 1}$ ( $z \neq 0$ )
außerdem: $\bar{\bar{z}} = z$ , $\bar{z} = z \Leftrightarrow z = (x, 0)$ , $z \cdot \bar{z} = x^{2} + y^{2} \geq 0$ , $z \cdot \bar{z} = 0 \Leftrightarrow z = 0$

Absolutbetrag: $| z | = \sqrt{z \cdot \bar{z}} = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$
Regeln: $| z | \geq 0$ , $| z | = 0 \Leftrightarrow z = 0$ , $| z_{1} \cdot z_{2} | = | z_{1} | \cdot | z_{2} |$ , $| z_{1} + z_{2} | \leq | z_{1} | + | z_{2} |$ , $| | z_{1} | - | z_{2} | | \leq | z_{1} - z_{2} |$

Regeln für die Addition: $Re (z_{1} + z_{2}) = Re (z_{1}) + Re (z_{2})$ , $Im (z_{1} + z_{2}) = Im (z_{1}) + Im (z_{2})$

Regeln für die Multiplikation mit reellen Zahlen:
$Re (α \cdot z) = α \cdot Re (z)$ , $Im (α \cdot z) = α \cdot Im (z)$ (nur für $α \in R$ )

Darstellung in Polarkoordinaten:
$z = x + i y = r \cdot \cos φ + i \cdot r \cdot \sin φ = r \cdot (\cos φ + i \cdot \sin φ) = r \cdot e^{i φ}$ ,
$r = | z |$ Betrag von $z$ , $φ = \arg z$ Argument von $z$ (nur bis auf $2 π n$ , $n \in Z$ bestimmt)
Regeln: $| e^{i φ} | = 1$ , $\bar{e^{i φ}} = e^{- i φ}$

Additionstheoreme:
$\sin (φ_{1} + φ_{2}) = \sin φ_{1} \cos φ_{2} + \sin φ_{2} \cos φ_{1}$ , $\cos (φ_{1} + φ_{2}) = \cos φ_{1} \cos φ_{2} - \sin φ_{1} \sin φ_{2}$
$\sin 2 φ = 2 \sin φ \cos φ$ , $\cos 2 φ = \cos^{2} φ - \sin^{2} φ$
$\sin^{2}$ $\frac{φ}{2}$ $=$ $\frac{1 - \cos φ}{2}$ , $\cos^{2}$ $\frac{φ}{2}$ $=$ $\frac{1 + \cos φ}{2}$

Multiplikation in Polarschreibweise: $z_{1} \cdot z_{2} = (r_{1} \cdot e^{i φ_{1}}) \cdot (r_{2} \cdot e^{i φ_{2}}) = (r_{1} r_{2}) \cdot e^{i (φ_{1} + φ_{2})}$ ,
d. h. $| z_{1} z_{2} | = | z_{1} | | z_{2} |$ , $\arg z_{1} z_{2} = \arg z_{1} + \arg z_{2}$ ,
$z_{1} \cdot z_{2} = 0 \Leftrightarrow z_{1} = 0 \lor z_{2} = 0$

Division in Polarschreibweise:
$z^{- 1} = r^{- 1} \cdot e^{- i φ}$ ( $z \neq 0$ , d. h. $r > 0$ ), $\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{i (φ_{1} - φ_{2})}$ ( $z_{2} \neq 0$ )

Elementare Funktionen komplexer Variablen: ( $z \in C$ , $n \in N$ )

Potenzen: $z^{n} = r^{n} \cdot e^{i \cdot n φ} = r^{n} \cdot (\cos n φ + i \cdot \sin n φ)$
Wurzeln: $w_{k} = \sqrt[n]{z} =$ $r^{\frac{1}{n}} \cdot e^{i \cdot (\frac{φ}{n} + \frac{2 k π}{n})}$ , $k = 0, \dots, n - 1$ ( $n$ Lösungen)
Exponentialfunktion: $e^{z} \overset{def.}{=} e^{Re z} \cdot e^{i \cdot Im z} = e^{x} \cdot e^{i y}$
Sinus und Kosinus: $\sin z =$ $\frac{e^{i z} - e^{- i z}}{2 i}$ , $\cos z =$ $\frac{e^{i z} + e^{- i z}}{2}$
Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus:
$\sinh z =$ $\frac{e^{z} - e^{- z}}{2}$ $= - i \sin i z$ , $\cosh z =$ $\frac{e^{z} + e^{- z}}{2}$ $= \cos i z$
Natürlicher Logarithmus: $w_{k} = Ln z = \ln | z | + i \cdot (\arg z + 2 π k)$ , $k \in Z$
Potenzen mit komplexen Exponenten: $z^{w} = e^{w \cdot Ln z}$

Zur Faktorisierung von Polynomen

Polynom:

P (z) = a_{n} z^{n} + a_{n - 1} z^{n - 1} + \dots + a_{1} z + a_{0}

z \in C

a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n} \in C

n \in N \cup {0}

Polynom vom Grad

n

, n =

\deg (P)

Nullstellen: $z \in C$ ist eine Nullstelle von $P$ $\Leftrightarrow P (z) = 0$

Hauptsatz der Algebra:
Jedes Polynom $P$ vom Grad $n \geq 1$ besitzt mindestens eine Nullstelle $z \in C$ .

Lemma: Sei $P_{n} (z)$ ein Polynom vom Grad $n \geq 1$ , $a_{j} \in C$ , $z \in C$ .
Dann existiert für jedes $c \in C$ ein Polynom $Q_{n - 1} (z; c)$ vom Grad $n - 1$ , sodass
$P_{n} (z) = (z - c) \cdot Q_{n - 1} (z; c) + P_{n} (c)$ .

Sei $c_{1} \in C$ mit $P_{n} (c_{1}) = 0$ $\Rightarrow P_{n} (z) = (z - c_{1}) \cdot Q_{n - 1} (z; c_{1})$
Wiederholen: $P_{n} (z) = (z - c_{1}) (z - c_{2}) \dots (z - c_{n}) \cdot a_{n}$

dabei können manche dieser $c_{j}$ gleich sein:
$P (z) = a_{n} (z - \tilde{c_{1}})^{ν_{1}} (z - \tilde{c_{2}})^{ν_{2}} \dots (z - \tilde{c_{ℓ}})^{ν_{ℓ}}$ , $ν_{1} + \dots + ν_{ℓ} = n$

Ein Polynom $n$ -ter Ordnung hat höchstens $n$ verschiedene Nullstellen.

reeller Spezialfall $a_{j} \in R$ ( $j = 0, \dots, n$ ):
$P (\bar{z}) = \bar{P (z)}$ , daraus folgt $P (c) = 0 \Leftrightarrow P (\bar{c}) = 0$
Es ist also $P (z) = a_{n} \cdot \prod_{j = 1}^{n_{1}} (z - x_{j})^{κ_{j}} \cdot \prod_{ℓ = 1}^{n_{2}} (z^{2} + a_{ℓ} z + b_{ℓ})^{p_{ℓ}}$ mit $\sum_{j = 1}^{n_{1}} κ_{j} + 2 \cdot \sum_{ℓ = 1}^{n_{2}} p_{ℓ} = n$ .