Analysis 1 – Einige Grundbegriffe der Mathematik

Elemente der Aussagenlogik

Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, welches zur Beschreibung und Mitteilung von Sachverhalten dient.

• Eine mathematische Aussage ist wahr oder falsch.
  (Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten)

• Eine mathematische Aussage kann nicht gleichzeitig wahr und falsch sein.
  (Prinzip vom ausgeschlossenen Widerspruch)

Operationen: Negation \(\lnot a\), Konjunktion \(a \land b\), Alternative \(a \lor b\), Implikation \(a \Rightarrow b\), Äquivalenz \(a \Leftrightarrow b\)

logisches Gesetz: Aussagen logisch äquivalent unabhängig von der Belegung der Aussagewerte \(\Rightarrow \) immer wahr.

Aussageform (Prädikat): \(H(x)\) wird durch jedes eingesetztes \(x \in A\) (Subjekt/Variable) aus dem Subjektbereich \(A\) zu einer Aussage.

Quantoren:
Allquantor: \(\forall _{x \in A}\; H(x) \;\Leftrightarrow \; \bigwedge _{x \in A} H(x)\)
Existenzquantor: \(\exists _{x \in A}\; H(x) \;\Leftrightarrow \; \bigvee _{x \in A} H(x)\)

Verknüpfungen mit Quantoren:
\(\lnot \forall _{x \in A}\; H(x) \;\Leftrightarrow \; \exists _{x \in A}\; \lnot H(x)\), \(\quad \lnot \exists _{x \in A}\; H(x) \;\Leftrightarrow \; \forall _{x \in A}\; \lnot H(x)\)
\((\forall _{x \in A}\; H_{1}(x)) \land (\forall _{x \in A}\; H_{2}(x)) \;\Leftrightarrow \; \forall _{x \in A}\; (H_{1}(x) \land H_{2}(x))\)
\((\forall _{x \in A}\; H_{1}(x)) \lor (\forall _{x \in A}\; H_{2}(x)) \;\Rightarrow \; \forall _{x \in A}\; (H_{1}(x) \lor H_{2}(x))\)
\((\exists _{x \in A}\; H_{1}(x)) \lor (\exists _{x \in A}\; H_{2}(x)) \;\Leftrightarrow \; \exists _{x \in A}\; (H_{1}(x) \lor H_{2}(x))\)
\((\exists _{x \in A}\; H_{1}(x)) \land (\exists _{x \in A}\; H_{2}(x)) \;\Leftarrow \; \exists _{x \in A}\; (H_{1}(x) \land H_{2}(x))\)
\(\exists _x (\exists _y\; H(x, y)) \;\Leftrightarrow \; \exists _y (\exists _x\; H(x, y))\), \(\quad \forall _x (\forall _y\; H(x, y)) \;\Leftrightarrow \; \forall _y (\forall _x\; H(x, y))\)

Der Begriff der Menge

hier Beschränkung auf naive Mengenlehre, die auf Georg Cantor zurückgeht

Definition nach Cantor: Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte (unserer Anschauung und unseren Denkens) zu einem Ganzen. Diese Objekte heißen Elemente einer Menge.

• bestimmt: Es ist eindeutig entscheidbar, ob ein Objekt zur Menge gehört oder nicht.

• wohlunterschieden: Eine Menge enthält nicht zwei gleiche Objekte.

Extensionsprinzip: Eine Menge ist bestimmt durch die Elemente, die sie enthält. Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie die gleichen Elemente beinhalten.

\(x \in A \Leftrightarrow H_{A}(x)\) wahr, man schreibt \(A = \{x \;|\; H_{A}(x)\}\)

Zu jeder Menge gibt es eine Aussageform, die sie definiert. Doch nicht jede Aussageform bestimmt eine Menge.

Russellsche Antinomie: \(R\) sei die Familie aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten (\(H_{R}(M) = M \notin M\) bzw. \(R = \{M \;|\; M \notin M\}\)). R ist keine Menge.

Operationen mit Mengen:

• Teilmenge: \(B \subset A \;\Leftrightarrow \; ((x \in B) \Rightarrow (x \in A)) \;\Leftrightarrow \; \forall _{x \in B}\; x \in A\)
  (wobei \(A = B \;\Leftrightarrow \; (A \subset B) \land (B \subset A)\) und \(\emptyset = \{x \in A \;|\; x \notin A\} \subset A\))

• Durchschnitt: \(A \cap B = \{x \;|\; (x \in A) \land (x \in B)\} = B \cap A\)

• Vereinigung: \(A \cup B = \{x \;|\; (x \in A) \lor (x \in B)\} = B \cup A\)

• Differenz: \(A \setminus B = \{x \;|\; (x \in A) \land (x \notin B)\}\)

• Symmetrische Differenz: \(A \,\triangle \, B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = (A \cup B) \setminus (A \cap B)\)

• Komplement: \(A_M^c = M \setminus A = \{x \in M \;|\; x \notin A\}\)
  (wobei \((A \cap B)_M^c = A_M^c \cup B_M^c\) und \((A \cup B)_M^c = A_M^c \cap B_M^c\))

• Operationen mit Indexmengen:
  \(\bigcup _{\kappa \in K} A_\kappa = \{x \;|\; \exists _{\kappa \in K}\; x \in A_\kappa \}\), \(\bigcap _{\kappa \in K} A_\kappa = \{x \;|\; \forall _{\kappa \in K}\; x \in A_\kappa \}\)

Kreuzprodukt (kartesisches Produkt): \(A \times B = \{(a,\; b) \;|\; (a \in A) \land (b \in B)\}\),
\((a_1, b_1) = (a_2, b_2) \;\Leftrightarrow \; (a_1 = a_2) \land (b_1 = b_2)\), Menge aller geordneten Paare (Tupel)

Relationen und Äquivalenzrelationen

Eine Relation \(R\) zwischen zwei Mengen \(A\) und \(B\) ist eine Teilmenge aus \(A \times B\).
\(R \subset A \times B\), \((a,b) \in R \;\Leftrightarrow \; a R b\)

Vorbereich: \(\Vb (R) = \{a \in A \;|\; \exists _{b \in B}\; a R b\}\)
Nachbereich: \(\Nb (R) = \{b \in B \;|\; \exists _{a \in A}\; a R b\}\)

inverse Relation: \(R^{-1} \subset B \times A\), \((b,a) \in R^{-1} \Leftrightarrow (a,b) \in R\)
\(\Vb (R^{-1}) = \Nb (R)\), \(\Nb (R^{-1}) = \Vb (R)\)

\(R\) voreindeutig \(\;\Leftrightarrow \; \forall _{a_1,a_2 \in A} \forall _{b \in B}\; (a_1 R b \land a_2 R b) \Rightarrow a_1 = a_2\)
\(R\) nacheindeutig \(\;\Leftrightarrow \; \forall _{b_1,b_2 \in B} \forall _{a \in A}\; (a R b_1 \land a R b_2) \Rightarrow b_1 = b_2\)
\(R\) eineindeutig \(\;\Leftrightarrow \; R\) vor- und nacheindeutig

Für \(R \subset A \times A\) (d. h. \(R\) ist in \(A\) gegeben):

• \(R\) reflexiv \(\;\Leftrightarrow \; \forall _{a \in A}\; a R a\) (d. h. \(\Vb (R) = \Nb (R) = A\))

• \(R\) symmetrisch \(\;\Leftrightarrow \; \forall _{a_1,a_2 \in A}\; (a_1 R a_2) \Leftrightarrow (a_2 R a_1)\)

• \(R\) transitiv \(\;\Leftrightarrow \; \forall _{a_1,a_2,a_3 \in A}\; (a_1 R a_2) \land (a_2 R a_3) \Rightarrow (a_1 R a_3)\)

Eine reflexive, symmetrische und transitive Relation heißt Äquivalenzrelation.
\(a_1 R a_2 \;\Leftrightarrow \; a_1 \sim _R a_2 \;\Leftrightarrow \; a_1 \equiv a_2 \; \mod \; R\)

Sei \(R\) Äquivalenzrelation in \(A\). Für jedes \(a \in A\) definiert man die Äquivalenzklasse
\([a]_R = [a]_\sim = \{a’ \in A \;|\; a \sim a’\}\).

\([a]_R \subset A\), \(a’ \in [a]_R\) Repräsentant von \([a]_R\), darstellendes Element

Eigenschaften der Äquivalenzklasse:

• \((a’ \in [a]_R) \land (a’’ \in [a]_R) \;\Rightarrow \; (a’ \sim a’’)\)

• \([a]_R \not = \emptyset \), da \(a \in [a]_R\)

• entweder \([a_1]_R = [a_2]_R\) oder \([a_1]_R \cap [a_2]_R = \emptyset \) (für beliebige \(a_1, a_2 \in A\))

Eine Familie von Mengen \(\mathcal {F} = \{A_\kappa \}_{\kappa \in K}\) heißt Zerlegung von \(A\), falls

• \(\forall _{\kappa \in K}\; A_\kappa \not = \emptyset \)

• \(\forall _{\kappa _1, \kappa _2 \in K, \kappa _1 \not = \kappa _2}\; A_{\kappa _1} \cap A_{\kappa _2} = \emptyset \)

• \(\bigcup _{\kappa \in K} A_\kappa = A\)

Die Familie der (verschiedenen) Äquivalenzklassen bildet eine Zerlegung von \(A\).

\(\{[a]_R \;|\; a \in A\} = A/R = A/\!\!\sim \) ist die Menge der (verschiedenen) Äquivalenzklassen.

Abbildungen und Funktionen

Eine Funktion \(f\) zwischen \(A\) und \(B\) ist eine (nach-)eindeutige Relation \(R_f\) in \(A \times B\).
\(f(a) = b \;\Leftrightarrow \; (a, b) \in R_f\)

• Definitionsbereich: \(\operatorname {D}(f) = \Vb (R_f) = \{a \in A \;|\; \exists _{b \in B}\; (a,b) \in R_f\}\)

• Wertebereich: \(\operatorname {W}(f) = \Nb (R_f) = \{b \in B \;|\; \exists _{a \in A}\; (a,b) \in R_f\}\)

\(f = g \;\Leftrightarrow \; R_f = R_g \;\Leftrightarrow \; \operatorname {D}(f) = \operatorname {D}(g) \land \forall _{a \in \operatorname {D}(f)}\; f(a) = g(a)\)

Einschränkung einer Funktion \(f\) zwischen \(A\) und \(B\) auf \(M \subset \operatorname {D}(f)\):
\(f|_M \leftrightarrow R_{f|_M} = \{(a,b) \;|\; (a,b) \in R_f \land a \in M\}\), d. h. \(\operatorname {D}(f|_M) = M\), \(f|_{M}(a) = f(a)\) für \(a \in M\)

\(f: A \rightarrow B \;\Leftrightarrow \; f\) von \(A\) in \(B\) (d. h. \(\operatorname {D}(f) = A\), \(\operatorname {W}(f) \subset B\))

Bezeichnung von Funktionen: \(f\) ist Funktion
aus \(A\) in \(B\), wenn \(\operatorname {D}(f) \subset A\), \(\operatorname {W}(f) \subset B\),   aus \(A\) auf \(B\), wenn \(\operatorname {D}(f) \subset A\), \(\operatorname {W}(f) = B\),
von \(A\) in \(B\), wenn \(\operatorname {D}(f) = A\), \(\operatorname {W}(f) \subset B\),   von \(A\) auf \(B\), wenn \(\operatorname {D}(f) = A\), \(\operatorname {W}(f) = B\).
Für \(\operatorname {D}(f) = A\) ist \(f\) auf \(A\) gegeben.

• \(f\) injektiv \(\;\Leftrightarrow \; R_f\) eineindeutig (vor- und nacheindeutig)
  \(\Leftrightarrow \; \forall _{b \in \operatorname {W}(f)} \exists !_{a \in \operatorname {D}(f)} \) \(f(a) = b \;\Leftrightarrow \; \forall _{a_1, a_2 \in \operatorname {D}(f)}\; f(a_1) = f(a_2) \Rightarrow a_1 = a_2\) (Eindeutigkeit)

• \(f\) surjektiv \(\;\Leftrightarrow \; \operatorname {W}(f) = B \;\Leftrightarrow \; \forall _{b \in B} \exists _{a \in \operatorname {D}(f)}\; f(a) = b\) (Lösbarkeit)

• \(f\) bijektiv \(\;\Leftrightarrow \; f\) injektiv und surjektiv

Umkehrfunktion: Sei \(f: A \rightarrow B\) bijektiv.
Dann definiert \(R_{f^{-1}} = {R_f}^{-1}\) eine Funktion \(f^{-1}: B \rightarrow A\) mit \(f^{-1}\) bijektiv und \((f^{-1})^{-1} = f\).

Sei \(f: A \rightarrow B\), \(A_1 \subset A\), \(B_1 \subset B\). Dann definiert man das
Bild von \(A_1\): \(f(A_1) = \{b \in B \;|\; \exists _{a \in A_1}\; f(a) = b\}\)
Urbild von \(B_1\): \(f^{-1}(B_1) = \{a \in A \;|\; f(a) \in B_1\}\) (\(f\) muss nicht bijektiv sein)

Eigenschaften der Bilder/Urbilder: \(A_1 \subset A_2 \subset A \;\Rightarrow \; f(A_1) \subset f(A_2)\)
\(B_1 \subset B_2 \;\Rightarrow \; f^{-1}(B_1) \subset f^{-1}(B_2)\)
\(f(A_1 \cup A_2) = f(A_1) \cup f(A_2)\)
\(f(A_1 \cap A_2) \subset f(A_1) \cap f(A_2)\)
\(f^{-1}(B_1 \cap B_2) = f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2)\)
\(f^{-1}(B_1 \cup B_2) = f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2)\)

Komposition von Funktionen: Sei \(f\) Funktion zwischen \(A\) und \(B\), \(g\) zwischen \(B\) und \(C\). Dann ist \(g \circ f\) Funktion mit \(\operatorname {D}(g \circ f) = \{a \in \operatorname {D}(f) \;|\; f(a) \in \operatorname {D}(g)\}\),
\((g \circ f)(a) = g(f(a))\) mit \(a \in \operatorname {D}(g \circ f)\) bzw. \(g \circ f \leftrightarrow R_{g \circ f} = \{(a,c) \in A \times C \;|\; \exists _{b \in B}\; (a R_f b) \land (b R_g c)\}\)

Assoziativität der Komposition: Mit \(h\) zwischen \(C\) und \(D\) ist \(h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f\).

Geordnete Mengen

\(R\) Relation in A, d. h. \(R \subset A \times A\)

\(R\) antisymmetrisch \(\Leftrightarrow \forall _{a_1, a_2 \in A}\; (a_1 R a_2) \land (a_2 R a_1) \Rightarrow a_1 = a_2\)

Eine reflexive, antisymmetrische und transitive Relation heißt Ordnungsrelation.
\(a_1 R a_2 \Leftrightarrow a_1 \prec a_2\)

Die natürlichen Zahlen

Um abstrakte Begriffe wie die natürlichen Zahlen zu beschreiben, gibt man deren Eigenschaften in Axiomensystemen an. Diese müssen folgende Kriterien erfüllen:

• Vollständigkeit: Mit den Axiomen lassen sich alle Eigenschaften zeigen.

• Unabhängigkeit: Kein Axiom lässt sich durch die anderen herleiten.

• Widerspruchsfreiheit: Die Axiome müssen erfüllt werden können, d. h. sie widersprechen einander nicht.

Axiome von Peano:

• 1 ist eine natürliche Zahl
  (Existenz der natürlichen Zahlen, \(\mathbb {N} \not = \emptyset \)).

• Zu jeder natürlichen Zahl \(n\) gibt es genau einen Nachfolger \(n’\)
  (Existenz/Eindeutigkeit des Nachfolgers).

• 1 ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl
  (Existenz von unendlich vielen natürlichen Zahlen).

• \(n’ = m’ \Rightarrow n = m\)
  (Eindeutigkeit des Vorgängers).

• Sei \(M \subset \mathbb {N}\) mit den Eigenschaften \(1 \in M\) (IA), \(n \in M \Rightarrow n’ \in M\) (IS). Dann ist \(M = \mathbb {N}\)
  (Prinzip der vollständigen Induktion).

Addition natürlicher Zahlen:
\((\text {IA})_{\boldsymbol{+}}\) \(n + 1 \overset {\text {def.}}{=} n’\)
\((\text {IS})_{\boldsymbol{+}}\) \(n + m’ \overset {\text {def.}}{=} (n + m)’\)

Multiplikation natürlicher Zahlen:
\((\text {IA})_{\boldsymbol{\cdot }}\) \(n \cdot 1 \overset {\text {def.}}{=} n\)
\((\text {IS})_{\boldsymbol{\cdot }}\) \(n \cdot m’ \overset {\text {def.}}{=} n \cdot m + n\)

Ordnung natürlicher Zahlen: \(n < m \Leftrightarrow \exists _{p \in \mathbb {N}}\; n + p = m\)
Satz: Für beliebige \(m, n \in \mathbb {N}\) ist genau einer der Fälle \(n < m\), \(n = m\), \(m < n\) erfüllt.

Die reellen Zahlen

Betrag: \(|q| = \begin {cases} q, & q \ge 0 \\ -q, & q < 0 \end {cases}\),  Eigenschaften: \(|p \cdot q| = |p| \cdot |q|\),  \(|q| \ge 0\),  \(|q| = 0 \;\Leftrightarrow \; q = 0\), \(|p + q| \le |p| + |q|\) (Dreiecksungleichung),  \(||p| - |q|| \le |p \pm q| \le |p| + |q|\)

Abstand zweier rationaler Zahlen: \(d(p, q) = |p - q|\)
Eigenschaften: \(d(p, q) \ge 0\), \(d(p, q) = 0 \;\Leftrightarrow \; p = q\), \(d(p, q) = d(q, p)\), \(d(p, r) \le d(p, q) + d(q, r)\)

Sei A eine nichtleere Menge. Eine Folge \((a_n)_{n \in \mathbb {N}}\) bzw. \(\{a_n\}_{n \in \mathbb {N}}\) ist eine Abbildung \(f: \mathbb {N} \rightarrow A\), \(a_n = f(n)\), \(n \in \mathbb {N}\).

Konvergenz einer Folge: Seien \(A = \mathbb {Q}\), \(a_n \in \mathbb {Q}\) sowie \(a \in \mathbb {Q}\).
\(a = \lim _{n \to \infty } a_n \Leftrightarrow \forall _{\varepsilon > 0} \exists _{N(\varepsilon ) \in \mathbb {N}} \forall _{n \ge N(\varepsilon )}\; |a_n - a| < \varepsilon \)
Ist \(a = \lim _{n \to \infty } a_n\) (auch \(a_n \xrightarrow {n \to \infty } a\)), so heißt \(\{a_n\}_{n \in \mathbb {N}}\) konvergent mit Grenzwert \(a\), andernfalls divergent.

Eindeutigkeit des Grenzwerts: Falls die Folge der \(a_n \in \mathbb {Q}\) konvergiert, so ist der Grenzwert eindeutig bestimmt.

Grenzwertsätze: Sei \(a_n \in \mathbb {Q}\), \(b_n \in \mathbb {Q}\), \(a, b \in \mathbb {Q}\), \(a_n \to a\), \(b_n \to b\).

• \(\lim _{n \to \infty } (a_n + b_n) = a + b\)

• \(\lim _{n \to \infty } (a_n \cdot b_n) = a \cdot b\)

• \(\lim _{n \to \infty } (\frac {a_n}{b_n}) = \frac {a}{b}\)  (\(b_n \not = 0\), \(b \not = 0\))

• \(\forall _{n \in \mathbb {N}}\; a_n \le b_n \;\Rightarrow \; a \le b\)

Eine Folge rationaler Zahlen \(\{a_n\}_{n \in \mathbb {N}}\) heißt Fundamentalfolge oder Cauchy-Folge
\(\Leftrightarrow \; \forall _{\varepsilon > 0} \exists _{N(\varepsilon ) \in \mathbb {N}} \forall _{n,m \ge N(\varepsilon )}\; |a_n - a_m| < \varepsilon \)-.
In diesem Fall ist \(\{a_n\}_{n \in \mathbb {N}} \in \CF (\mathbb {Q})\), \(\CF (\mathbb {Q})\) ist die Menge aller Fundamentalfolgen über \(\mathbb {Q}\).

Besitzt eine Folge rationaler Zahlen \(\{a_n\}_{n \in \mathbb {N}}\) einen Grenzwert \(a \in \mathbb {Q}\), so gilt \(\{a_n\}_{n \in \mathbb {N}} \in \CF (\mathbb {Q})\).
D. h. jede konvergente Folge ist eine Fundamentalfolge.

Allerdings besitzt nicht jede Fundamentalfolge aus \(\mathbb {Q}\) einen Grenzwert in \(\mathbb {Q}\), denn es gibt Folgen wie \(a_{n+1} = \frac {1}{a_n} + 1\) (\(a_1 = 1\)), deren Grenzwert \(a^2 - a - 1 = 0\) erfüllen müsste. Man kann zeigen, dass kein \(a \in \mathbb {Q}\) diese Bedingung erfüllt.

Definition der reellen Zahlen: Sei \(A = \CF (\mathbb {Q}) \ni \{r_n\}_{n \in \mathbb {N}}\) , \(r_n \in \mathbb {Q}\) Fundamentalfolge. Zwei Folgen \(\{r_n\}_{n \in \mathbb {N}}\) und \(\{s_n\}_{n \in \mathbb {N}}\) sind bzgl. einer Äquivalenzrelation \(\sim \) genau dann äquivalent, wenn sie gegen denselben Grenzwert zu streben scheinen, d. h.
\(\{r_n\}_{n \in \mathbb {N}} \sim \{s_n\}_{n \in \mathbb {N}} \;\Leftrightarrow \; \lim _{n \to \infty } (r_n - s_n) = 0\).

Die reellen Zahlen sind dann die Menge der Äquivalenzklassen der Cauchy-Folgen bzgl. dieser Äquivalenzrelation, d. h. \(\mathbb {R} = \CF (\mathbb {Q})/\!\!\sim \).

Dabei ist jedes \(q \in \mathbb {Q}\) eine reelle Zahl, denn die konstante rationale Folge \(\{q, q, \ldots \}\) ist Repräsentant einer Äquivalenzklasse \([q]\).

Reelle Zahlen lassen sich dabei als unendliche Dezimalbrüche auffassen. Allerdings ist die Darstellung als Dezimalbruch nicht eindeutig (z. B. ist \(0,\overline {9} = 1\)).

Rechenoperationen auf den reellen Zahlen

\(x, y \in \mathbb {R}\), wir betrachten \(\{r_n\}_{n \in \mathbb {N}} \in x\), \(\{s_n\}_{n \in \mathbb {N}} \in y\) (d. h. \(\{r_n\}, \{s_n\} \in \CF (\mathbb {Q})\)).

Addition auf den reellen Zahlen: \(x + y \overset {\text {def.}}{=} [\{r_n + s_n\}_{n \in \mathbb {N}}]\)

Korrektheit der Definition: \(\{r_n + s_n\} \in \CF (\mathbb {Q})\)
Eindeutigkeit der Definition: \(\{r_n’\} \sim \{r_n\}, \{s_n’\} \sim \{s_n\} \;\Rightarrow \; \{r_n’ + s_n’\} \sim \{r_n + s_n\}\)

Kommutativität: \(x + y = y + x\)
Assoziativität: \((x + y) + z = x + (y + z)\)

Multiplikation auf den reellen Zahlen: \(x \cdot y \overset {\text {def.}}{=} [\{r_n \cdot s_n\}_{n \in \mathbb {N}}]\)

Ordnung auf den reellen Zahlen: \(x < y \overset {\text {def.}}{\;\Leftrightarrow \;} \exists _{a_1, a_2 \in \mathbb {Q}} \exists _{N_{r,s}} \forall _{n \ge N_{r,s}}\; r_n < a_1 < a_2 < s_n\)
Folgerung: Für jedes \(x, y \in \mathbb {R}\) mit \(x < y\) existiert ein \(a \in \mathbb {Q}\) mit \(x < a < y\).

Satz: Ist \(x, y \in \mathbb {R}\), dann ist genau einer der drei Fälle \(x < y\), \(x = y\) und \(y < x\) erfüllt.
Folgerung: Für jedes \(x \in \mathbb {R}\) mit \(x > 0\) gibt es ein \(a \in \mathbb {Q}\) mit \(0 < a < x\) und ein \(A \in \mathbb {Q}\) mit \(0 < x < A\).

Das Axiomensystem der reellen Zahlen

I. Algebraische Struktur: \(\mathbb {R}\) ist Körper.

II. Ordnungsstruktur: Auf \(\mathbb {R}\) ist eine Ordnungsrelation \(\le \) definiert.

\(x \le x \quad \forall _{x \in \mathbb {R}}\) (Reflexivität)
\((x \le y) \land (y \le x) \;\Rightarrow \; (x = y)\) (Antisymmetrie)
\((x \le y) \land (y \le z) \;\Rightarrow \; (x \le z)\) (Transitivität)

zusätzlich soll \(\mathbb {R}\) vollständig geordnet sein: \(\forall _{x, y \in \mathbb {R}}\; (x \le y) \lor (y \le x)\)

Dabei respektieren die Operationen die Ordnungsstruktur und zerstören diese nicht:
\((x \le y) \;\Rightarrow \; \forall _{z \in \mathbb {R}}\; (x + z) \le (y + z)\),   \((0 \le x) \land (0 \le y) \;\Rightarrow \; (0 \le x \cdot y)\)

III. Topologische Struktur (Intervallschachtelungsaxiom):

\(n\)-tes Intervall \([a_n, b_n] = \{x \in \mathbb {R} \;|\; a_n \le x \le b_n\}\)
für das \(n+1\)-te Intervall muss gelten: \(\forall _{n \in \mathbb {N}}\; a_n \le a_{n+1} \le b_{n+1} \le b_n\)

Intervallschachtelungsaxiom: \(\bigcap _{n \in \mathbb {N}}\; [a_n, b_n] \not = \emptyset \)

IV. Axiom von Eudoxus: \(\mathbb {R}\) ist archimedisch geordnet, d. h. es gibt keine unendlich kleine Zahl \(x > 0\). Aus dem Lemma \(\exists _{a \in \mathbb {Q}}\; 0 < a < x\) kann man dies folgern.

\(\forall _{x, y > 0} \exists _{n \in \mathbb {N}}\; y \le n \cdot x \quad \) (\(x, y \in \mathbb {R}\))

Mächtigkeit von Mengen

Zwei Mengen heißen gleichmächtig, wenn es zwischen diesen eine bijektive Abbildung gibt.

Eine Menge \(A\) heißt transfinit (unendlich), wenn eine echte Teilmenge \(A_1 \subset A\) existiert, welche zu \(A\) gleichmächtig ist. Sonst heißt sie finit (endlich).

\(A, B\) Mengen, Relation \(\sim \) mit \(a \sim b \;\Leftrightarrow \; \exists _{f: A \rightarrow B}\; f\) bijektiv. \(\sim \) ist eine Äquivalenzrelation.
Ihre Äquivalenzklassen werden als Kardinalzahlen/Mächtigkeiten bezeichnet.
\(\card (A) = [A]\) ist die Mächtigkeit der Menge \(A\) (Menge der zu \(A\) gleichmächtigen Mengen).

• finite Kardinalzahlen: zugehörig zu finiten (endlichen) Mengen

• transfinite Kardinalzahlen: zugehörig zu transfiniten (unendlichen) Mengen
  (d. h. es gibt eine echte Teilmenge \(A_1 \subset A\), \(A_1 \not = A\) mit \(A_1 \sim A\)),
  z. B. \(\aleph _0 = \card (\mathbb {N})\), \(A \in \aleph _0 \;\Leftrightarrow \; A \sim \mathbb {N} \;\Leftrightarrow \;\) \(A\) ist abzählbar unendlich, d. h. es gibt eine vollständige, nummerierte Liste von den Elementen von \(A\): \(a_1, a_2, a_3, \ldots \)

Vergleich von Kardinalzahlen: \(\card (A) \le \card (B) \Leftrightarrow \exists _{B_1 \subset B}\; A \sim B_1\)

Satz von Cantor und Bernstein: \(A \sim B \;\Leftrightarrow \; \card (A) \le \card (B) \land \card (B) \le \card (A)\)

alle Kardinalzahlen sind vergleichbar, d. h. \(\card (A) \le \card (B) \lor \card (B) \le \card (A)\)
für jede transfinite Menge \(A\) gilt \(\aleph _0 \le \card (A)\)

abzählbar unendliche Mengen:

• Hinzufügen endlicher Mengen ändert nichts, d. h.
  \(\card (A) = \aleph _0\) und \(B = \{b_1, \ldots , b_m\}\) \(\;\Rightarrow \; \card (A \cup B) = \aleph _0\)

• \(\mathbb {Z}\), d. h. \(\card (A) = \card (B) = \aleph _0 \;\Rightarrow \; \card (A \cup B) = \aleph _0\)

• \(\mathbb {Q}\), d. h. \(\card (A_n) = \aleph _0\) \(\;\Rightarrow \; \card (\bigcup _{n \in \mathbb {N}} A_n) = \aleph _0\)

Die Menge der reellen Zahlen \(\mathbb {R}\) ist nicht abzählbar (d. h. überabzählbar), \(\aleph _1 = \card (\mathbb {R})\).

Menge \(A\), \(P(A) = 2^A\) Potenzmenge
es zeigt sich: \(\card (A) < \card (2^A)\), z. B. \(\aleph _1 = \card (2^{\mathbb {N}})\), \(\aleph _2 = \card (2^{\mathbb {R}})\) usw.

Die komplexen Zahlen

\(z = (x,\; y) \in \mathbb {R}\)
\(\boldsymbol{+}: z_1 + z_2 = (x_1,\; y_1) + (x_2,\; y_2) = (x_1 + x_2,\; y_1 + y_2)\)
\(\boldsymbol{\cdot }: z_1 \cdot z_2 = (x_1,\; y_1) \cdot (x_2,\; y_2) = (x_1 \cdot x_2 - y_1 \cdot y_2,\; x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_1)\)

\((\mathbb {R}^2, +, \cdot )\) bildet den Körper der komplexen Zahlen \(\mathbb {C}\). Insbesondere gilt Kommutativität, Assoziativität und Distributivität.

Bezüglich der Grundrechenarten sind \(\mathbb {R}\) und \(\{(x,\; y) \in \mathbb {C} \;|\; y = 0\}\) isomorph.

Schreibweise: \((x,\; 0) \mathrel {\widehat {=}} x\),  \((0,\; 1) \mathrel {\widehat {=}} i\),  \((x,\; y) = x + iy = z\),  \(i^2 = -1\)

Komplexes Konjugat: \(z = (x,\; y) = x + iy\),  \(\overline {z} = (x,\; -y) = x - iy\)
Regeln: \(\overline {z_1 + z_2} = \overline {z_1} + \overline {z_2}\),  \(\overline {z_1 \cdot z_2} = \overline {z_1} \cdot \overline {z_2}\),  \(\overline {z^{-1}} = \overline {z}^{-1}\) (\(z \not = 0\))
außerdem: \(\overline {\overline {z}} = z\),  \(\overline {z} = z \Leftrightarrow z = (x,\; 0)\),  \(z \cdot \overline {z} = x^2 + y^2 \ge 0\),  \(z \cdot \overline {z} = 0 \Leftrightarrow z = 0\)

Absolutbetrag: \(|z| = \sqrt {z \cdot \overline {z}} = \sqrt {x^2 + y^2}\)
Regeln: \(|z| \ge 0\), \(|z| = 0 \Leftrightarrow z = 0\), \(|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\), \(|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|\), \(||z_1| - |z_2|| \le |z_1 - z_2|\)

Regeln für die Addition: \(\Re (z_1 + z_2) = \Re (z_1) + \Re (z_2)\),  \(\Im (z_1 + z_2) = \Im (z_1) + \Im (z_2)\)

Regeln für die Multiplikation mit reellen Zahlen:
\(\Re (\alpha \cdot z) = \alpha \cdot \Re (z)\),  \(\Im (\alpha \cdot z) = \alpha \cdot \Im (z)\) (nur für \(\alpha \in \mathbb {R}\))

Darstellung in Polarkoordinaten:
\(z = x + iy = r \cdot \cos {\varphi } + i \cdot r \cdot \sin {\varphi } = r \cdot (\cos {\varphi } + i \cdot \sin {\varphi }) = r \cdot e^{i\varphi }\),
\(r = |z|\) Betrag von \(z\), \(\varphi = \arg {z}\) Argument von \(z\) (nur bis auf \(2 \pi n\), \(n \in \mathbb {Z}\) bestimmt)
Regeln: \(|e^{i\varphi }| = 1\), \(\overline {e^{i\varphi }} = e^{-i\varphi }\)

Additionstheoreme:
\(\sin (\varphi _1 + \varphi _2) = \sin \varphi _1 \cos \varphi _2 + \sin \varphi _2 \cos \varphi _1\),  \(\cos (\varphi _1 + \varphi _2) = \cos \varphi _1 \cos \varphi _2 - \sin \varphi _1 \sin \varphi _2\)
\(\sin 2\varphi = 2 \sin \varphi \cos \varphi \),  \(\cos 2\varphi = \cos ^2 \varphi - \sin ^2 \varphi \)
\(\sin ^2\) \(\frac {\varphi }{2}\) \(=\) \(\frac {1 - \cos {\varphi }}{2}\),  \(\cos ^2\) \(\frac {\varphi }{2}\) \(=\) \(\frac {1 + \cos {\varphi }}{2}\)

Multiplikation in Polarschreibweise: \(z_1 \cdot z_2 = (r_1 \cdot e^{i\varphi _1}) \cdot (r_2 \cdot e^{i\varphi _2}) = (r_1 r_2) \cdot e^{i(\varphi _1 + \varphi _2)}\),
d. h. \(|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|\), \(\arg {z_1 z_2} = \arg {z_1} + \arg {z_2}\),
\(z_1 \cdot z_2 = 0 \;\Leftrightarrow \; z_1 = 0 \lor z_2 = 0\)

Division in Polarschreibweise:
\(z^{-1} = r^{-1} \cdot e^{-i\varphi }\) (\(z \not = 0\), d. h. \(r > 0\)),   \(\frac {z_1}{z_2} = \frac {r_1}{r_2} \cdot e^{i(\varphi _1 - \varphi _2)}\) (\(z_2 \not = 0\))

Elementare Funktionen komplexer Variablen: (\(z \in \mathbb {C}\), \(n \in \mathbb {N}\))

• Potenzen: \(z^n = r^n \cdot e^{i \cdot n\varphi } = r^n \cdot (\cos {n \varphi } + i \cdot \sin {n \varphi })\)

• Wurzeln: \(w_k = \sqrt [n]{z} =\) \(r^{\frac {1}{n}} \cdot e^{i \cdot (\frac {\varphi }{n} + \frac {2k\pi }{n})}\), \(\quad k = 0, \ldots , n-1\) (\(n\) Lösungen)

• Exponentialfunktion: \(e^z \overset {\text {def.}}{=} e^{\Re {z}} \cdot e^{i \cdot \Im {z}} = e^x \cdot e^{iy}\)

• Sinus und Kosinus: \(\sin {z} =\) \(\frac {e^{iz} - e^{-iz}}{2i}\), \(\quad \cos {z} =\) \(\frac {e^{iz} + e^{-iz}}{2}\)

• Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus:
  \(\sinh {z} =\) \(\frac {e^{z} - e^{-z}}{2}\) \(= -i \sin {iz}\), \(\quad \cosh {z} =\) \(\frac {e^{z} + e^{-z}}{2}\) \(= \cos {iz}\)

• Natürlicher Logarithmus: \(w_k = \Ln {z} = \ln {|z|} + i \cdot (\arg {z} + 2 \pi k)\), \(\quad k \in \mathbb {Z}\)

• Potenzen mit komplexen Exponenten: \(z^w = e^{w \cdot \Ln {z}}\)

Zur Faktorisierung von Polynomen

Nullstellen: \(z \in \mathbb {C}\) ist eine Nullstelle von \(P\) \(\Leftrightarrow P(z) = 0\)

Hauptsatz der Algebra:
Jedes Polynom \(P\) vom Grad \(n \ge 1\) besitzt mindestens eine Nullstelle \(z \in \mathbb {C}\).

Lemma: Sei \(P_n(z)\) ein Polynom vom Grad \(n \ge 1\), \(a_j \in \mathbb {C}\), \(z \in \mathbb {C}\).
Dann existiert für jedes \(c \in \mathbb {C}\) ein Polynom \(Q_{n-1}(z; c)\) vom Grad \(n-1\), sodass
\(P_n(z) = (z - c) \cdot Q_{n-1}(z; c) + P_n(c)\).

Sei \(c_1 \in \mathbb {C}\) mit \(P_n(c_1) = 0\) \(\Rightarrow P_n(z) = (z - c_1) \cdot Q_{n-1}(z; c_1)\)
Wiederholen: \(P_n(z) = (z - c_1) (z - c_2) \cdots (z - c_n) \cdot a_n\)

dabei können manche dieser \(c_j\) gleich sein:
\(P(z) = a_n (z - \widetilde {c_1})^{\nu _1} (z - \widetilde {c_2})^{\nu _2} \cdots (z - \widetilde {c_\ell })^{\nu _\ell }\),  \(\nu _1 + \cdots + \nu _\ell = n\)

Ein Polynom \(n\)-ter Ordnung hat höchstens \(n\) verschiedene Nullstellen.

reeller Spezialfall \(a_j \in \mathbb {R}\) (\(j = 0, \ldots , n\)):
\(P(\overline {z}) = \overline {P(z)}\),  daraus folgt \(P(c) = 0 \Leftrightarrow P(\overline {c}) = 0\)
Es ist also \(P(z) = a_n \cdot \prod _{j=1}^{n_1} (z - x_j)^{\kappa _j} \cdot \prod _{\ell =1}^{n_2} (z^2 + a_\ell z + b_\ell )^{p_\ell }\)  mit \(\sum _{j=1}^{n_1} \kappa _j + 2 \cdot \sum _{\ell =1}^{n_2} p_\ell = n\).