Algebra – Galoistheorie | Vorlesungsmitschriebe

Zerfällungskörper

Bemerkung: In diesem Abschnitt sollen folgende Fragen geklärt werden:
Es gilt z. B. $(\rational (\sqrt {2}))(\sqrt {3}) = \rational (\sqrt {2} + \sqrt {3})$. Gilt dies für alle $a_1, a_2 \in \rational $, d. h. gibt es immer ein $a_3 \in \rational $ mit $(\rational (a_1))(a_2) = \rational (a_3)$?
Der Satz von Kronecker konstruiert für ein irreduzibles Polynom $f$ einen Körper $K[x]/\erzeugnis {f(x)}$, sodass $f(x)$ mindestens eine Lösung hat. Gibt es einen Körper, der alle Nullstellen enthält?
Was sind die Körpererweiterungen endlicher Körper? Dazu gehören z. B. die Körper $\integer /p\integer $ für $p$ Primzahl (wenn $n$ nicht prim ist, ist $\integer /n\integer $ kein Körper, da Nullteiler vorhanden sind).

Zerfällungskörper: Seien $K$ ein Körper, $f(x) \in K[x] \ K$ ein nicht-konstantes Polynom und $L/K$ eine Körpererweiterung.
Dann heißt $L$ Zerfällungskörper von $f(x)$ über $K$, falls es $a_1, \dotsc , a_n \in L$ und $c \in K$ gibt mit
$f(x) = c \cdot \prod _{i=1}^n (x - a_i)$ und $L = K(a_1, \dotsc , a_n)$.

Bemerkung: Das bedeutet, dass $L$ erzeugt ist über $K$ von den Nullstellen $a_i$ von $f(x)$. $L$ existiert, denn $K$ besitzt einen algebraischen Abschluss $\overline {K}$, in dem alle Nullstellen $a_1, \dotsc , a_n$ existieren.
Der Satz von Kronecker liefert nicht immer einen Zerfällungskörper, z. B. gilt für $f(x) = x^3 - 2$, dass $\rational [x]/\erzeugnis {x^3 - 2} \simeq \rational (\sqrt [3]{2})$. Dabei ist $[\rational (\sqrt [3]{2}) : \rational ] = 3$ (Grad des Minimalpolynoms $f(x)$), allerdings ist die $\rational $-Dimension des Zerfällungskörpers größer als $3$.

Bemerkung: Der Zerfällungskörper $L$ von $f(x)$ ist eindeutig, denn es existiert ein Zerfällungskörper in $\overline {K}$, d. h. $K \subset L \subset \overline {K} \subset \overline {L}$. Weil $L/K$ algebraisch ist (jedes $a_i$ ist Nullstelle von $f(x)$), ist in $K \subset L \subset \overline {L}$ auch $\overline {L}/K$ algebraisch. Da $\overline {K}/K$ ebenfalls algebraisch ist, muss auch $\overline {L}/\overline {K}$ algebraisch sein (siehe Übungsblatt). Es gibt keine echte algebraische Körpererweiterung eines algebraisch abgeschlossenen Körpers, d. h. es muss $\overline {L} = \overline {K}$ gelten. Der algebraische Abschluss $\overline {K} = \overline {L}$ ist eindeutig bis auf Isomorphie, also auch $L$.

Bemerkung: $f(x)$ muss nicht eindeutig sein, d. h. es gibt evtl. eventuell mehrere Polynome, sodass ein Körper Zerfällungskörper von jedem der Polynome ist.

Beispiel: Ein Beispiel ist $f_1(x) = x^2 + 1 \in \real [x]$. Der Zerfällungskörper von $f_1(x)$ ist $\real (\i ) = \complex $. Man kann allerdings auch $f_2(x) = (x^2 + 1)(x - 5)$ wählen (das Polynom muss nicht irreduzibel sein). Ein anderes Beispiel ist das irreduzible Polynom
$f_3(x) = (x - (1 + \i )) (x - (1 - \i )) = x^2 - 2x + 2 \in \real [x]$.

Zerfällungskörper von Polynommenge: Sei $L/K$ eine Körpererweiterung und
$\Lambda \subset K[x] \setminus K$ eine Menge von nicht-konstanten Polynomen.
Dann heißt $L$ Zerfällungskörper von $\Lambda $ über $K$, falls über $L$ alle Polynome in $\Lambda $ in Produkte von Linearfaktoren zerfallen und $L$ minimal mit dieser Eigenschaft ist, d. h. $\forall _{L_0 \text { Körper},\; K \subset L_0 \subset L}$
$((\text {über } L_0 \text { zerfallen alle Polynome in } \Lambda \text { in Produkte von Linearfaktoren}) \Rightarrow L_0 = L)$.

normal: Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt normal, falls es eine Menge $\Lambda \subset K[x] \setminus K$ von nicht-konstanten Polynomen gibt, sodass $L$ der Zerfällungskörper von $\Lambda $ ist.

Proposition (Äquivalenzen zu normal): Für $K \subset L \subset \overline {K}$ sind äquivalent:

$\forall _{f \in K[x]}\; ((f \text { irreduzibel, hat Nullstelle in } L) \Rightarrow (f \text { über } L \text { Produkt von Linearfaktoren}))$.
$L/K$ ist normal.
Für jeden $K$-Homomorphismus $\varphi \colon L \rightarrow \overline {K}$ gilt $\varphi (L) = L$.

Separable Elemente

Bemerkung: Ein Problem ist, dass irreduzible Polynome theoretisch mehrfache Nullstellen haben können. Dieses Problem wird wegdefiniert.

Separabilitätsgrad: Sei $K \subset L \subset \overline {K}$.
Dann ist $[L:K]_S := \#\{\varphi \colon L \rightarrow \overline {K} \;|\; \varphi \; K\text {-Homom.}\}$ der Separabilitätsgrad von $L/K$.

separabel: Seien $K \subset L \subset \overline {K}$ und $L/K$ endlich.
Dann heißt $L/K$ separabel, falls $[L:K]_S = [L:K]$.

separables Element: Sei $K \subset L \subset \overline {K}$.
Ein Element $a \in L$ heißt separabel über $K$, falls $m_{a,K}$ nur einfache Nullstellen in $\overline {K}$ hat.

Bemerkung: Für $L/K$ normal ist $[L:K]_S = |\Aut _K(L)|$, da für $\varphi \colon L \rightarrow \overline {K}$ $K$-Homom. $\varphi (L) = L$ gilt und daher $\varphi |_L\colon L \rightarrow L$ nach obiger Proposition ein $K$-Automorphismus ist.
Für $K(a)/K$ algebraisch gilt $[K(a) : K]_S = \#\text {NS von } m_{a,K}$.
Ist $L/K$ eine endliche Körpererweiterung mit $L = K(a_1, \dotsc , a_n)$, so kann man schrittweise die Elemente dazuadjungieren, d. h. mit $L_0 = K$ und $L_i = L_{i-1}(a_i)$ gilt $[L:K] = \prod _{i=1}^n [L_i : L_{i-1}]$ und ebenso $[L:K]_S = \prod _{i=1}^n [L_i : L_{i-1}]_S$ nach dem letzten Theorem im letzten Abschnitt (Teil (a)). Da $L_i / L_{i-1}$ einfach ist, gilt $L_i \simeq L_{i-1}[x]/\erzeugnis {m_{a_i,L_{i-1}}}$ mit $[L_i : L_{i-1}] = \grad (m_{a_i,L_{i-1}}) \ge \# \text {NS von } m_{a_i,L_{i-1}} = [L_i : L_{i-1}]_S$ nach Teil (b) der Proposition davor, d. h. $[L:K]_S \le [L:K]$.

Beispiel: Für $f(x) \in \rational [x]$ und $a$ Nullstelle von $f(x)$ mit Vielfachheit $\ell $ ist $f(x) = (x - a)^\ell g(x)$ mit $g(a) \not = 0$. Nach Produktregel gilt $f’(x) = \ell (x - a)^{\ell -1} g(x) + (x - a)^\ell g’(x)$.
Ist $\ell > 1$, so ist $f’(a) = 0$. Ist $\ell = 1$, so ist $f’(a) = g(a) \not = 0$.
Daher hat $f(x)$ die Nullstelle $a$ mit Vielfachheit $\ell > 1$ genau dann, wenn $f’(a) = 0$ ist.

Ableitung von Polynomen: Seien $K$ ein Körper und $f(x) \in K[x]$. Das Polynom $f’(x)$ ist definiert durch $(x^n)’ := n x^{n-1}$ (dabei ist $n := 1 + \dotsb + 1$) und Additivität von $’$.

Bemerkung: Somit gelten Produkt-/Kettenregel auch allgemein und obiges Argument lässt sich verallgemeinern.

Beispiel: Für $K = \F _p := \integer /p\integer $ und $f(x) = x^p$ gilt $f’(x) = p x^{p-1} = 0$, aber $f(x)$ nicht konstant.

Lemma (Separabilität und Ableitung): Sei $a \in \overline {K}$. Dann ist $a$ separabel über $K$ $\iff $ $m_{a,K}’ \not = 0$.

Charakteristik: Sei $K$ ein Körper. Die Charakteristik $\Char (K)$ ist die kleinste natürliche Zahl $n \in \natural $ mit $1 + \dotsb + 1 = 0$. Falls keine solche Zahl existiert, ist $\Char (K) := 0$.

Beispiel: Es gilt $\Char (\F _p) = p$ für $p$ prim und $\Char (\rational ) = 0$. $\Char (K)$ ist immer eine Primzahl, denn für $\Char (K) = n = ab$ mit $a, b > 1$ gilt $0 = \overset {n\text {-mal}}{1 + \dotsb + 1} = \overset {a\text {-mal}}{(1 + \dotsb + 1)} \cdot \overset {b\text {-mal}}{(1 + \dotsb + 1)}$, d. h. $\overset {a\text {-mal}}{(1 + \dotsb + 1)} = 0$ oder $\overset {b\text {-mal}}{(1 + \dotsb + 1)} = 0$, ein Widerspruch zur Minimalität von $n$.

Proposition (Separabilität):

$L/K$ ist separabel genau dann, wenn $\forall _{a \in L}$ ($a$ ist separabel über $K$).
$L/K$ ist separabel genau dann, wenn $\exists _{a_1, \dotsc , a_n \in L \text { separabel über } K}\; L = K(a_1, \dotsc , a_n)$.
Für $\Char (K) = 0$ und $L/K$ endlich ist $L/K$ separabel.
Für $\Char (K) = p > 0$, $L/K$ endlich und $p \notteilt [L:K]$ ist $L/K$ separabel.
Für $K \subset M \subset L$ ist $L/K$ separabel genau dann, wenn $L/M$ und $M/K$ separabel sind.

Theorem (Satz vom primitiven Element): Sei $L/K$ endlich und separabel.
Dann gibt es ein $a \in L$ mit $L = K(a)$ (d. h. $L/K$ ist einfach).

Endliche Körper

Theorem (Klassifikation der endlichen Körper):

Seien $n \in \natural $ und $p$ eine Primzahl. Dann ist der Zerfällungskörper $L$ von $f(x) = x^{p^n} - x$ ein Erweiterungskörper von $\F _p = \integer /p\integer $ mit $[L:\F _p] = n$.
Es gilt $|L| = p^n$ und $L = \{\text {NS von } f(x)\}$. $L/\F _p$ ist algebraisch, separabel und normal. Man bezeichnet $L =: \F _q$ für $q := p^n$ (es gilt i. A. $L \not = \integer /p^n\integer $ für $n > 1$!).
$\F _q$ ist bis auf Isomorphie der einzige Körper mit $q = p^n$ Elementen.
Jeder endliche Körper ist zu genau einem $\F _q$ isomorph.
Die Gruppe $\Aut _{\F _p}(\F _q)$ ist zyklisch von Ordnung $n$ erzeugt von $Fr\colon \F _q \rightarrow \F _q$, $x \mapsto x^p$
(Frobenius-Automorphismus).

Galoiserweiterungen und Galoisgruppen

Bemerkung: Gesucht wird ein Zusammenhang zwischen den Körpererweiterungen $L/K$ und den Automorphismengruppen $\Aut _K(L)$ („Symmetrien“). Dabei sollen Aussagen über die eine Seite Aussagen über die andere Seite ermöglichen. Ein Beispiel, dass für sinnvolle Aussagen allerdings Voraussetzungen notwendig sind, ist $L/K$ mit $K = \rational $ und $L = \rational (\sqrt [3]{2})$. $x^3 - 2$ hat nur eine reelle Wurzel, es gilt $\rational (\sqrt [3]{2}) \subset \real $, d. h. $\Aut _\rational (\rational (\sqrt [3]{2})) = \{\id _{\sqrt [3]{2}}\}$, da $\rational $-Automorphismen $\rational $ punktweise festlassen und Nullstellen von $x^3 - 2$ auf Nullstellen wieder abbilden (hier gibt es allerdings nur eine Wahl). Eine Voraussetzung muss also Normalität sein.

Galoiserweiterung, Galoisgruppe: Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt
Galoiserweiterung oder galoissch, falls $L/K$ normal und separabel ist.
Die Gruppe $\Aut _K(L) =: \Gal (L/K) = G(L/K)$ heißt dann Galoisgruppe von $L/K$.

Bemerkung: Für $L/K$ normal und separabel gilt
$|\Aut _K(L)| = [L:K] = [L:K]_S = \{\varphi \colon L \rightarrow \overline {K} \;|\; \varphi \;K\text {-Homomorphismus}\}$.

Beispiel: Gesucht ist der Zerfällungskörper $L$ von $f(x) = x^3 - 2$ über $K = \rational $. Die Nullstellen von $f(x)$ sind $\{\sqrt [3]{2}, \sqrt [3]{2} e^{2\pi \i /3}, \sqrt [3]{2} e^{4\pi \i /3}\}$. Wählt man $L = \rational (\sqrt [3]{2}, e^{2\pi \i /3})$, so sind alle Nullstellen von $f(x)$ in $L$ enthalten. Es ist $[\rational (\sqrt [3]{2}) : \rational ] = 3$, da das Minimalpolynom von $\sqrt [3]{2}$ gleich $f(x)$ ist. $e^{2\pi \i /3}$ ist eine Nullstelle von $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$, d. h. das Minimalpolynom von $\sqrt [3]{2}$ über $\rational (\sqrt [3]{2})$ ist $x^2 + x + 1$ (bei echt kleinerem Grad wäre $e^{2\pi \i /3}$ in $\rational (\sqrt [3]{2})$).
Somit ist $[\rational (\sqrt [3]{2}, e^{2\pi \i /3}) : \rational (\sqrt [3]{2})] = 2$ und $[L : \rational ] = 6$. Weil $L/\rational $ galoissch ist, muss es $|\Aut _\rational (L)| = [L:\rational ] = 6$ Automorphismen geben.
Ein $\rational $-Automorphismus permutiert immer die Nullstellen von jedem Polynom, d. h. für $f(x)$ gilt $\sqrt [3]{2} \mapsto \dotsb \in \{\sqrt [3]{2}, \sqrt [3]{2} e^{2\pi \i /3}, \sqrt [3]{2} e^{4\pi \i /3}\}$ und für $x^2 + x + 1$ gilt $e^{2\pi \i /3} \mapsto \dotsb \in \{e^{2\pi \i /3}, e^{4\pi \i /3}\}$.
Jeder $\rational $-Automorphismus $\sigma \colon L \rightarrow L$ ist durch die Bilder von $\sqrt [3]{2}$ und $e^{2\pi \i /3}$ festgelegt. Somit gibt es für jede Wahl der Bilder einen Automorphismus und $\Aut _K(L) \simeq \Sigma _3$.

Fixkörper: Seien $L$ ein Körper und $G < \Aut (L)$ eine Untergruppe der Automorphismengruppe von $L$. Dann heißt $L^G := \{a \in L \;|\; \forall _{\varphi \in G}\; \varphi (a) = a\}$ Fixkörper von $G$
($L^G$ ist in der Tat ein Körper).

Proposition ($L^{\Gal (L/K)} = K$): Sei $L/K$ eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G = \Gal (L/K)$.
Dann gilt $L^G = K$, d. h. $K$ ist der Fixkörper der ganzen Galoisgruppe.

Proposition (Galoiserweiterung $L/L^H$):
Seien $L$ ein Körper und $H \subset \Aut (L)$ eine endliche Untergruppe.
Dann ist $L/L^H$ eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $\Gal (L/L^H) = H$ und $[L : L^H] = |H|$.

Der Hauptsatz der Galoistheorie

Theorem (Hauptsatz der Galoistheorie):
Seien $L/K$ eine endliche Galoiserweiterung, $\U := \{H \text { Gruppe} \;|\; H < \Gal (L/K)\}$ und
$\Z := \{M \text { Körper} \;|\; K \subset M \subset L\}$. Dann gilt:

Dann gibt es zwei zueinander inverse Bijektionen $\alpha \colon \Z \rightarrow \U $, $M \mapsto \Gal (L/M)$ und $\beta \colon \U \rightarrow \Z $, $H \mapsto L^H$ (dabei ist $L/M$ tatsächlich galoissch).
$\alpha $ und $\beta $ kehren Inklusionen um, d. h. aus $M \subset M’$ folgt $\alpha (M) \supset \alpha (M’)$ und aus $H \subset H’$ folgt $\beta (H) \supset \beta (H’)$.
Für $H \in \U $ und $\varphi \in \Gal (L/K)$ gilt $\varphi (L^H) = L^{\varphi H \varphi ^{-1}}$.
Für $M \in \Z $ ist $M/K$ normal genau dann, wenn $\Gal (L/M) \nt \Gal (L/K)$.
In diesem Fall gibt es einen surjektiven Gruppenhomomorphismus
$\gamma \colon \Gal (L/K) \rightarrow \Gal (M/K)$ mit $\Kern (\gamma ) = \Gal (L/M)$ und es gilt
$\Gal (M/K) \simeq \Gal (L/K)/\Gal (L/M)$.

Beispiel: Als Beispiel betrachtet man den Zerfällungskörper $L$ von $f(x) = x^4 - 2$ über $\rational $. $f(x)$ hat die vier Nullstellen $\pm \sqrt [4]{2}$ und $\pm \i \sqrt [4]{2}$. Es gilt $[\rational (\sqrt [4]{2}):\rational ] = 4$, da $f(x) = x^4 - 2$ das Minimalpolynom von $\sqrt [4]{2}$ ist (irreduzibel). Es gilt $L = \rational (\sqrt [4]{2}, \i )$, wie man sich leicht überlegt. Dabei ist $[\rational (\sqrt [4]{2}, \i ):\rational (\sqrt [4]{2})] = 2$, da $x^2 + 1$ das Minimalpolynom von $\i $ über $\rational (\sqrt [4]{2})$ ist. Also gilt für den Grad der Körpererweiterung $L/\rational $, dass $[L:\rational ] = 8$. $L/\rational $ ist eine Galoiserweiterung (jede Erweiterung über $\rational $ ist wegen $\Char \rational = 0$ separabel) mit $|\Gal (L/\rational )| = [L:\rational ] = 8$.

Wie sehen die acht Automorphismen aus? Automorphismen $\sigma \in \Gal (L/\rational )$ sind durch $\sigma (\sqrt [4]{2})$ und $\sigma (\i )$ eindeutig festgelegt, da $\{1, \sqrt [4]{2}, \sqrt {2}, \sqrt [4]{8}, \i , \i \sqrt [4]{2}, \i \sqrt {2}, \i \sqrt [4]{8}\}$ eine $\rational $-Basis von $L$ ist.
Für $\sigma (\sqrt [4]{2})$ gibt es vier Möglichkeiten, da Nullstellen von Polynomen (z. B. von $f(x)$) auf Nullstellen abgebildet werden müssen. Analog gibt es für $\sigma (\i )$ zwei Möglichkeiten.

Man stellt fest, dass man alle Automorphismen in $\Gal (L/\rational )$ als Komposition von zwei Automorphismen $\sigma , \tau $ mit $\sigma \colon \sqrt [4]{2} \mapsto \i \sqrt [4]{2}$ und $\tau \colon \i \mapsto -\i $ schreiben kann:
Es gilt $\sigma ^0 = \id $, $\sigma ^1\colon \sqrt [4]{2} \mapsto \i \sqrt [4]{2}$, $\sigma ^2\colon \sqrt [4]{2} \mapsto -\sqrt [4]{2}$, $\sigma ^3\colon \sqrt [4]{2} \mapsto -\i \sqrt [4]{2}$ sowie
$\tau \colon \i \mapsto -\i $, $\tau \circ \sigma \colon \sqrt [4]{2} \mapsto -\i \sqrt [4]{2},\; \i \mapsto -\i $, $\tau \circ \sigma ^2\colon \sqrt [4]{2} \mapsto -\sqrt [4]{2},\; \i \mapsto -\i $,
$\tau \circ \sigma ^3\colon \sqrt [4]{2} \mapsto \i \sqrt [4]{2},\; \i \mapsto -\i $. Das sind die gesuchten acht Automorphismen.
Die zyklische Untergruppe $H_1 = \{\id = \sigma ^0, \sigma ^1, \sigma ^2, \sigma ^3\}$ von $\Gal (L/\rational )$ ist ein Normalteiler, da sie Index $2$ hat. Die Galoisgruppe $\Gal (L/\rational )$ ist isomorph zur Symmetriegruppe eines Quadrats (Diedergruppe), wobei $\sigma $ die Drehung und $\tau $ die Spiegelung ist.

Was sind die Untergruppen von $\Gal (L/\rational )$? Diese haben Ordnung $1$, $2$, $4$ oder $8$.
Gruppen $H = \{\id , g\}$ der Ordnung $2$ besitzen zwei selbstinverse Elemente. Von den oben aufgezählten Elementen besitzen $\id $ Ordnung $1$, $\sigma $ und $\sigma ^3$ Ordnung $4$ und alle anderen Ordnung $2$. Also gibt es $5$ Untergruppen der Ordnung $2$.
Gruppen der Ordnung $4$ sind zum einen $H_1 = \erzeugnis {\sigma }$. Alle anderen Gruppen sind aufgrund der Primzahlquadratordnung abelsch, d. h. diese sind isomorph zu $\integer /2\integer \times \integer /2\integer $, erzeugt von kommutierenden Elementen der Ordnung $2$.
Dies sind z. B. $\sigma ^2$ zusammen mit $\tau $ und $\sigma ^2$ zusammen mit $\sigma \circ \tau $, also gibt es $3$ Untergruppen der Ordnung $H$.

$(4.1–4.0) \{begin}{align*} \begin{xy} \xymatrix { & & \Gal (L/\rational ) \\ & H_2 \ar @{-}[ur] & H_1 \ar @{-}[u] & H_3 \ar @{-}[ul] \\ J_4 \ar @{-}[ur] & J_2 \ar @{-}[u] & J_1 \ar @{-}[ul] \ar @{-}[u] \ar @{-}[ur] & J_3 \ar @{-}[u] & J_5 \ar @{-}[ul] \\ & & \{\id \} \ar @{-}[ull] \ar @{-}[ul] \ar @{-}[u] \ar @{-}[ur] \ar @{-}[urr] } \end {xy} \{end}{align*}$

Dabei ist $J_4 = \{\id , \sigma ^2 \circ \tau \}$, $J_2 = \{\id , \tau \}$, $J_1 = \{\id , \sigma ^2\}$, $J_3 = \{\id , \sigma \circ \tau \}$ und $J_5 = \{\id , \sigma ^3 \circ \tau \}$ sowie $H_2 = \{\id , \sigma ^2, \tau , \sigma ^2 \circ \tau \}$, $H_1 = \{\id , \sigma , \sigma ^2, \sigma ^3\}$ und $H_3 = \{\id , \sigma ^2, \sigma \circ \tau , \sigma ^3 \circ \tau \}$.

Nun müssen die nach dem Hauptsatz der Galoistheorie entsprechenden Zwischenkörper zugeordnet werden. Für $L^{H_1}$ gilt wegen $H_1 = \erzeugnis {\sigma }$, $[L^{H_1}:\rational ] = \frac {[L:\rational ]}{[L:L^{H_1}]} = \frac {[L:\rational ]}{|H_1|} = \frac {8}{4} = 2$ und $\sigma (\i ) = \i $, d. h. $\i \in L^{H_1}$ und somit $L^{H_1} = \rational (\i )$.
$L^{H_2}$ kann aus obiger Basis berechnet werden (Koeffizientenvergleich): Analog gilt ebenfalls $[L^{H_2}:\rational ] = 2$ und $\sqrt {2} \in L^{H_2}$, da $\sqrt {2}$ fest unter $\tau $ und $\sigma ^2$ bleibt. Also ist $L^{H_2} = \rational (\sqrt {2})$.
Auf analoge Weise ist $L^{H_3} = \rational (\i \sqrt {2})$, da $H_3$ das Basiselement $\i \sqrt {2}$ festlässt.

$L^{J_1}$ bestimmt man, indem man die Inklusionen betrachtet: Wegen $L^{H_i} \subset L^{J_1}$ für $i = 1, 2, 3$ ist $\i , \sqrt {2} \in L^{J_1}$, d. h. $\rational (\i , \sqrt {2}) \subset L^{J_1}$. Die Erweiterung $\rational (\i , \sqrt {2})/\rational $ hat allerdings schon Grad $4$ (und $[L^{J_1}:\rational ] = 4$), weswegen $L^{J_1} = \rational (\i , \sqrt {2})$ gilt.
Da $\rational (\sqrt [4]{2})$ ein echter Erweiterungskörper von $L^{H_2} = \rational (\sqrt {2})$ ist (und dieser Körper kein Erweiterungskörper von $L^{H_3}$ ist), muss $L^{J_2}$ oder $L^{J_4}$ gleich $\rational (\sqrt [4]{2})$ sein. Wegen $\tau (\sqrt [4]{2}) = \sqrt [4]{2}$ und $J_2 = \erzeugnis {\tau }$ gilt daher $\rational (\sqrt [4]{2}) = L^{J_2}$.
Der andere Körper $L^{J_4}$ ist dann gleich $\rational (\i \sqrt [4]{2})$ aus analogen Gründen.

Wegen $J_3 = \{\id , \sigma \circ \tau \}$ und $\sigma \circ \tau \colon \i \mapsto -\i $, $\sqrt [4]{2} \mapsto \i \sqrt [4]{2}$ gilt $\i \sqrt [4]{2} \mapsto \sqrt [4]{2}$, also
$\sqrt [4]{2} + \i \sqrt [4]{2} \mapsto \sqrt [4]{2} + \i \sqrt [4]{2}$. Somit ist $(1 + \i )\sqrt [4]{2} \in L^{J_3}$. Da die Erweiterung $\rational ((1 + \i )\sqrt [4]{2})/\rational $ bereits Grad $4$ besitzt (da $((1 + \i )\sqrt [4]{2})^2 = 2\i \sqrt {2}$ und $(2\i \sqrt {2})^2 = -8 \in \rational $), muss $L^{J_3} = \rational ((1 + \i )\sqrt [4]{2})$ gelten.
Der andere Körper ist $L^{J_5} = \rational ((1 - \i )\sqrt [4]{2})$ aus analogen Gründen.

Somit sieht das vollständige Diagramm aller Zwischenkörper von $L/\rational $ folgendermaßen aus:

$(4.1–4.0) \{begin}{align*} \begin{xy} \xymatrix { & & \rational \\ & \rational (\sqrt {2}) \ar @{-}[ur] & \rational (\i ) \ar @{-}[u] & \rational (\i \sqrt {2}) \ar @{-}[ul] \\ \rational (\i \sqrt [4]{2}) \ar @{-}[ur] & \rational (\sqrt [4]{2}) \ar @{-}[u] & \rational (\i , \sqrt {2}) \ar @{-}[ul] \ar @{-}[u] \ar @{-}[ur] & \rational ((1 + \i )\sqrt [4]{2}) \ar @{-}[u] & \rational ((1 - \i )\sqrt [4]{2}) \ar @{-}[ul] \\ & & L = \rational (\sqrt [4]{2}, \i ) \ar @{-}[ull] \ar @{-}[ul] \ar @{-}[u] \ar @{-}[ur] \ar @{-}[urr] } \end {xy} \{end}{align*}$