Funktionalanalysis 1 – Kompakte Operatoren und adjungierte Operatoren auf Banachräumen

Jordansche Normalform für kompakte Operatoren

Satz (Jordansche Normalform für kompakte Operatoren):
Seien \(X\) ein Banachraum und \(T \in \K (X)\). Dann gilt:

Die Aussagen aus dem Satz über das Spektrum kompakter Operatoren gelten, d. h.
\(\sigma (T) \setminus \{0\} = \sigma _p(T) \setminus \{0\}\) besteht aus höchstens abzählbar vielen Eigenwerten mit \(0\) als einzigem Häufungspunkt (falls \(|\sigma (T)| = \infty \)), die Vielfachheit von \(\lambda \in \sigma (T) \setminus \{0\}\) ist endlich und für \(\dim X = \infty \) ist \(0 \in \sigma (T)\).
Für \(\lambda \in \sigma (T) \setminus \{0\}\) und \(n_\lambda := \max \{n \in \natural \;|\; \Kern ((\lambda \id - T)^{n-1}) \not = \Kern ((\lambda \id - T)^n)\}\) der Ordnung von \(\lambda \) gilt \(1 \le n_\lambda < \infty \).
Für \(\lambda \in \sigma (T) \setminus \{0\}\) gilt \(X = \Kern ((\lambda \id - T)^{n_\lambda }) \oplus \Bild ((\lambda \id - T)^{n_\lambda })\) (Riesz-Zerlegung). Beide Unterräume sind abgeschlossen und \(T\)-invariant. Der charakteristische Unterraum \(\Kern ((\lambda \id - T)^{n_\lambda })\) von \(T\) zum Eigenwert \(\lambda \) ist endlich-dimensional.
Für \(\lambda \in \sigma (T) \setminus \{0\}\) gilt: Für \(n = 1, \dotsc , n_\lambda \) gibt es Unterräume \(E_n \subset \Kern ((\lambda \id - T)^n)\) mit \(E_n \cap \Kern ((\lambda \id - T)^{n-1}) = \{0\}\), sodass \(\Kern ((\lambda \id - T)^{n_\lambda }) = \bigoplus _{k=1}^{n_\lambda } N_k\) mit
\(N_k := \bigoplus _{\ell =0}^{k-1} (\lambda \id - T)^\ell (E_k)\).
\(N_k\), \(k = 1, \dotsc , n_\lambda \), ist \(T\)-invariant und die Dimensionen \(d_k := \dim ((\lambda \id - T)^{\ell } (E_k))\) sind unabhängig von \(\ell \in \{0, \dotsc , k - 1\}\).
Ist \(\{e_{k,j} \;|\; j = 1, \dotsc , d_k\}\) eine Basis von \(E_k\) für \(k = 1, \dotsc , n_\lambda \), dann ist
\(\{(\lambda \id - T)^\ell e_k \;|\; 0 \le \ell < k \le n_\lambda ,\; 1 \le j \le d_k\}\) eine Basis von \(\Kern ((\lambda \id - T)^{n_\lambda })\).
Mit \(x = \sum _{k,j,\ell } \alpha _{k,j,\ell } (\lambda \id - T)^\ell e_{k,j}\) und \(y = \sum _{k,j,\ell } \beta _{k,j,\ell } (\lambda \id - T)^\ell e_{k,j}\) gilt
\(Tx = y \iff \smallpmatrix {\lambda & -1 & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & \lambda & -1 \\ & & & \lambda } \smallpmatrix {\alpha _{k,j,0} \\ \vdots \\ \alpha _{k,j,k-1}} = \smallpmatrix {\beta _{k,j,0} \\ \vdots \\ \beta _{k,j,k-1}}\).

Folgerung: Seien \(X\) ein Banachraum und \(T \in \K (X)\). Dann gilt:

Für \(\lambda \in \sigma (T) \setminus \{0\}\) gilt \(\sigma (T|_{\Bild ((\lambda \id - T)^{n_\lambda })}) = \sigma (T) \setminus \{\lambda \}\).
Ist \(P_\lambda \) für \(\lambda \in \sigma (T) \setminus \{0\}\) die stetige Projektion auf \(\Kern ((\lambda \id - T)^{n_\lambda })\) gemäß der Riesz-Zerlegung, dann gilt \(\forall _{\lambda , \mu \in \sigma (T) \setminus \{0\}}\; P_\lambda P_\mu = \delta _{\lambda \mu } P_\lambda \).

Folgerung: Seien \(X\) ein Banachraum, \(T \in \K (X)\) und \(\lambda \in \sigma (T) \setminus \{0\}\). Dann hat die Resolventenfunktion \(R(\cdot , T)\) in \(\lambda \) einen isolierten Pol der Ordnung \(n_\lambda \), d. h. \(\mu \mapsto (\mu - \lambda )^{n_\lambda } R(\mu , T)\) kann in \(\lambda \) holomorph fortgesetzt werden und der fortgesetzte Wert in \(\lambda \) ist ungleich Null.

Adjungierter Operator

Adjungierte: Seien \(X, Y\) normierte Räume und \(T \in \Lin (X, Y)\).
Dann heißt der Operator \(T’ \in \Lin (Y’, X’)\) definiert durch \((T’y’)(x) := y’(Tx)\) für \(y’ \in Y’\) und \(x \in X\) der zu \(T\) adjungierte Operator.

Satz (Eigenschaften der Adjungierten):

\(T \mapsto T’\) ist eine lineare, isometrische Einbettung von \(\Lin (X, Y)\) nach \(\Lin (Y’, X’)\).
Seien \(X, Y, Z\) normierte Räume, \(T_1 \in \Lin (X, Y)\) und \(T_2 \in \Lin (Y, Z)\).
Dann ist \((T_2 T_1)’ = T_1’ T_2’\).
Seien \(J_X\colon X \rightarrow X’’\), \(x_0 \mapsto J_{x_0}\) mit \(J_{x_0}(x’) := x’(x_0)\) für \(x’ \in X’\) und analog \(J_Y\colon Y \rightarrow Y’’\).
Dann gilt \(T’’ J_X = J_Y T\).

Beispiel:

Für \(X = Y = \real ^n\) mit der euklidischen Norm und \(T = (a_{ij})_{i,j=1,\dotsc ,n}\) ist
\(T’ = (a_{ji})_{i,j=1,\dotsc ,n} = T^\ast \), wobei \(T^\ast \) die Hilbertraum-Adjungierte ist.
Für \(X = Y = \complex ^n\) mit der euklidischen Norm und \(T = (a_{ij})_{i,j=1,\dotsc ,n}\) ist
\(T’ = (a_{ji})_{i,j=1,\dotsc ,n} \not = (\overline {a_{ji}})_{i,j=1,\dotsc ,n} = T^\ast \).
Für \(X = Y = L^2([0,1], \complex )\) und \(T\colon X \rightarrow X\), \((Tf)(y) := \int _0^1 K(x, y)f(x)\dx \) ist
\((T’g)(x) := \int _0^1 K(x, y)g(y)\dy \) (nicht gleich \((T^\ast g)(x) = \int _0^1 \overline {K(x, y)} g(y) \dy \)).
Sind \(X, Y\) Hilberträume und \(\R _X\colon X \rightarrow X’\) und \(\R _Y\colon Y \rightarrow Y’\) die Isometrien aus dem Rieszschen Darstellungssatz (z. B. \((\R _X x_1)(x_2) := \innerproduct {x_2, x_1}_X\)), dann gilt \(T^\ast = \R _X^{-1} T’ \R _Y\).
Für \(x \in X\) und \(y \in Y\) gilt nämlich \(((T’ \R _Y)(y))(x) = (T’(\R _Y y))(x) = (\R _Y y)(Tx)\)
\(= \innerproduct {Tx, y}_Y = \innerproduct {x, T^\ast y}_X = (\R _X (T^\ast y))(x) = ((\R _X T^\ast )(y))(x)\).

Fredholmsche Alternative

Satz (Satz von  Schauder): Seien \(X, Y\) Banachräume und \(T \in \Lin (X, Y)\).
Dann gilt \(T \in \K (X, Y)\) genau dann, wenn \(T’ \in \K (Y’, X’)\).

Annihilator: Seien \(X\) ein Banachraum und \(Z \subset X\) ein Unterraum.
Dann heißt \(Z^\circ := \{x’ \in X’ \;|\; x’|_Z = 0\}\) Annihilator von \(Z\).

Kodimension: Seien \(X\) ein \(\KK \)-Vektorraum und \(Z \subset X\) ein Unterraum.
Dann ist \(\codim Z := \dim X/Z\) die Kodimension von \(Z\) in \(X\).

Bemerkung: Ist \(Y\) ein Komplement von \(Z\) in \(X\) (d. h. \(X = Y \oplus Z\)), dann gilt \(\codim Z = \dim Y\).

Satz (Eigenschaften des Annihilators): Seien \(X, Y\) Banachräume und \(Z \subset X\) ein Unterraum.

Ist \(X\) ein Hilbertraum, dann ist \(Z^\circ = \R _X(Z^\orth )\).
Für \(T \in \Lin (X, Y)\) gilt \(\Kern (T’) = \Bild (T)^\circ \).
Ist \(Z\) abgeschlossen und \(\codim Z < \infty \), dann ist \(\dim Z^\circ = \codim Z\).

Satz (Inverse der Adjungierten): Seien \(X, Y\) Banachräume und \(T \in \Lin (X, Y)\).
Dann existiert \(T^{-1} \in \Lin (Y, X)\) genau dann, wenn \((T’)^{-1} \in \Lin (X’, Y’)\) existiert.
In diesem Fall gilt \((T^{-1})’ = (T’)^{-1}\).

Satz (Fredholmsche Alternative): Seien \(X\) ein Banachraum, \(T \in \K (X)\) und \(\lambda \in \KK \setminus \{0\}\).
Dann gilt: Zu \(y \in X\) besitzt die Gleichung \(Tx - \lambda x = y\) eine Lösung \(x \in X\) genau dann, wenn \(x’(y) = 0\) für alle Lösungen \(x’ \in X’\) der homogenen adjungierten Gleichung \(T’x’ - \lambda x’ = 0\) gilt. Die dadurch gegebene endliche Anzahl der Nebenbedingungen an \(y\) ist gleich der Anzahl linear unabhängiger Lösungen \(z\) der homogenen Gleichung \(Tz - \lambda z = 0\).

Bemerkung: Der Satz lässt sich auch wie folgt formulieren: Entweder

\(Tz - \lambda z = 0\) besitzt nur die triviale Lösung,
\(T’x’ - \lambda x’ = 0\) besitzt nur die triviale Lösung und
\(Tx - \lambda x = y\) ist für alle \(y \in Y\) eindeutig lösbar

oder

\(Tz - \lambda z = 0\) besitzt \(n := \dim (\Kern (\lambda \id - T))\) (\(1 \le n < \infty \)) linear unabhängige Lösungen,
\(T’x’ - \lambda x’ = 0\) besitzt \(n\) linear unabhängige Lösungen und
\(Tx - \lambda x = y\) ist für \(y \in Y\) genau dann lösbar, wenn \(x’(y) = 0\) für alle \(x’ \in \Kern (\lambda \id ’ - T’)\).