Funktionalanalysis 2 – Überblick über zentrale Resultate zu stark stetigen Halbgruppen

Störungen

Satz (Störung mit beschränktem Operator):
Seien $(A, D(A))$ der Erzeuger einer $\C _0$-Halbgruppe $(T(t))_{t \ge 0}$ auf einem Banachraum $X$,
$M > 1$ und $\omega \in \real $ mit $\forall _{t \ge 0}\; \norm {T(t)}_{\Lin (X)} \le Me^{\omega t}$ und $B \in \Lin (X)$.
Dann erzeugt $(A + B, D(A))$ eine $\C _0$-Halbgruppe $(S(t))_{t \ge 0}$ mit
$\forall _{t \ge 0}\; \norm {S(t)}_{\Lin (X)} \le Me^{(\omega + M\norm {B}_{\Lin (X)}) t}$.
Außerdem gilt $\forall _{t \ge 0} \forall _{x \in X}\; S(t)x = T(t)x + \int _0^t T(t-s)BS(s)x\ds $.

Beispiel: Die Differentialgleichung $\frac {\partial u}{\partial t} = \frac {\partial ^2 u}{\partial x^2} + Vu$ für $x \in \real $ und $t > 0$ sowie $u(0, x) = u_0(x)$ mit $u_0 \in H^2$ und $L^2(\real )$ ist eindeutig klassisch lösbar, da $\frac {\partial ^2}{\partial x^2} + V$ nach dem Satz von eben eine $\C _0$-Halbgruppe erzeugt.

Satz (Dyson-Phillips-Reihe):
Mit den Voraussetzungen des Satzes von eben gilt $S(t) = \sum _{n=0}^\infty S_n(t)$ mit $S_0(t) := T(t)$ und $S_{n+1}(t)x := \int _0^t T(t-s)BS_n(x)x\ds $ für $x \in X$, $t \ge 0$ und $n \in \natural _0$.
Die Reihe konvergiert in $\Lin (X)$ gleichmäßig für $t$ aus kompakten Intervallen in $\real ^+$ und heißt Dyson-Phillips-Reihe.

$A$-beschränkt: Seien $(A, D(A))$ und $(B, D(B))$ Operatoren auf $X$.
Dann heißt $B$ $A$-beschränkt, falls $D(A) \subset D(B)$ und $a_B < \infty $ mit
$a_B := \inf \{a \ge 0 \;|\; \exists _{b \ge 0} \forall _{x \in D(A)}\; \norm {Bx}_X \le a \norm {Ax}_X + b \norm {x}_X\}$.
In diesem Fall heißt $a_B$ $A$-Schranke von $B$.

Satz (Störung mit $A$-beschränktem Operator): Seien $(A, D(A))$ der Erzeuger einer Kontraktionshalbgruppe sowie $(B, D(B))$ dissipativ und $A$-beschränkt mit $A$-Schranke $a_B < 1$.
Dann erzeugt $(A + B, D(A))$ eine Kontraktionshalbgruppe.

Beispiel: Seien $X := \C _0^0(\real )$, $D(B) := \{f \in X \cap \C ^1 \;|\; f’ \in X\}$ und $Bf := \pm f’$ für $f \in X$.
Dann ist $B$ dissipativ (da Erzeuger einer Kontraktionshalbgruppe).
Definiert man $D(A) := D(B^2) \subset D(B)$ und $Af := f’’$ für $f \in D(A)$, so ist $A$ Erzeuger einer Kontraktionshalbgruppe und $B$ ist $A$-beschränkt mit Schranke $0$. Nach dem Satz erzeugt $(A + \alpha B, D(A))$ für beliebiges $\alpha \in \real $ eine Kontraktionshalbgruppe.
Daraus folgt bspw. die Lösbarkeit von $\frac {\partial u}{\partial t} = \frac {\partial ^2 u}{\partial x^2} + \alpha \frac {\partial u}{\partial x}$ für $x \in \real $ und $t > 0$.

Satz (Variante für $A$ Erzeuger einer analyt. HG):
Sei $(A, D(A))$ der Erzeuger einer analytischen Halbgruppe.
Dann gibt es ein $\delta = \delta (A) > 0$, sodass $(A + B, D(A))$ für jeden $A$-beschränkten Operator mit Schranke $a_B < \delta $ eine analytische Halbgruppe erzeugt.

Approximationen

Bemerkung: Im Folgenden sei $G(M, \omega ) := \{\text {$(T(t))_{t \ge 0}$ $\C _0$-HG} \;|\; \forall _{t \ge 0}\; \norm {T(t)}_{\Lin (X)} \le Me^{\omega t}\}$ für $M \ge 1$ und $\omega \in \real $.

Satz (Trotter-Kato-Approximationstheorem):
Sei $(T_n(t))_{t \ge 0} \in G(M, \omega )$ mit Erzeuger $(A_n, D(A_n))$ für alle $n \in \natural $. Für ein $\lambda _0 \ge \omega $ betrachtet man die folgenden Aussagen:

Es existiert ein dicht definierter Operator $(A, D(A))$, sodass es ein Gen $D$ von $A$ gibt mit $\forall _{x \in D}\; A_n x \xrightarrow {n \to \infty } Ax$ und $\overline {\Bild (\lambda _0 - A)} = X$.
Es gibt ein $R \in \Lin (X)$ mit $R(\lambda _0, A_n) \xrightarrow {n \to \infty } R$ punktweise in $X$ und $\overline {\Bild (R)} = X$.
Die $\C _0$-Halbgruppen $(T_n(t))_{t \ge 0}$ konvergieren für $n \to \infty $ punktweise in $X$ gleichmäßig für $t \in [0, t_0]$ gegen eine $\C _0$-Halbgruppe $(T(t))_{t \ge 0}$ mit Erzeuger $B$.

Dann gilt (1) $\implies $ (2) $\iff $ (3).
Falls (1) gilt, so gilt $B = \overline {A}$. Falls (3) gilt, so gilt $R = R(\lambda _0, B)$.

Beispiel: Die Yosida-Approximation $A_n := nA R(n, A)$ mit $(A, D(A))$ dicht definiert,
$(\omega , \infty ) \subset \varrho (A)$ und $\norm {R(\lambda , A)^n}_{\Lin (X)} \le \frac {M}{(\lambda - \omega )^n}$ für $n \in \natural $ ist ein Spezialfall des Trotter-Kato-Approximationstheorems.

Satz (Chernoff-Produktformel): Seien $V\colon \real _0^+ \to \Lin (X)$ stark stetig und $D \subset X$, sodass

$V(0) = \id $,
$\forall _{t \ge 0} \forall _{m \in \natural }\; \norm {V(t)^m}_{\Lin (X)} \le M$,
$\forall _{x \in D}\; [\text {$Ax := \lim _{t \to 0+0} \frac {V(t)x - x}{t}$ existiert in $X$}]$ und
$\exists _{\lambda _0 > 0}\; [\text {$D, (\lambda _0 - A)D$ dicht in $X$}]$.

Dann ist $(A, D)$ abschließbar, $\overline {A}$ erzeugt eine beschränkte $\C _0$-Halbgruppe $(T(t))_{t \ge 0}$ mit
$T(t)x := \lim _{n \to \infty } V(\frac {t}{n})^n x$ für $x \in X$ und die Konvergenz ist gleichmäßig für $t$ aus kompakten Intervallen aus $\real ^+_0$.

Beispiel: Sei $(T(t))_{t \ge 0} \in G(M, \omega )$ mit Erzeuger $(A, D(A))$.
Dann gilt $T(t)x = \lim _{n \to \infty } (\id - \frac {t}{n} A)^{-n} x = \lim _{n \to \infty } (\frac {n}{t} R(\frac {n}{t}, A))^n x$ für alle $x \in X$ und $t \ge 0$ gleichmäßig auf kompakten $t$-Intervallen. In diesem Sinne gilt $T(t) = e^{tA}$.

Satz (Trotter-Produktformel): Seien $(T(t))_{t \ge 0}$ und $(S(t))_{t \ge 0}$ $\C _0$-Halbgruppen mit den Erzeugern $(A, D(A))$ bzw. $(B, D(B))$, sodass $\forall _{t \ge 0} \forall _{m \in \natural }\; \norm {(T(t)S(t))^m}_{\Lin (X)} \le Me^{\omega mt}$ und
$\exists _{\lambda _0 > \omega }\; [\text {$(\lambda _0 - A - B)D, D$ dicht in $X$}]$, wobei $D := D(A) \cap D(B)$.
Dann ist $(A + B, D)$ abschließbar und $\overline {A + B}$ erzeugt eine $\C _0$-Halbgruppe $(U(t))_{t \ge 0} \in G(M, \omega )$ mit $U(t)x := \lim _{n \to \infty } (T(\frac {t}{n}) S(\frac {t}{n}))^n x$ für $x \in X$ und $t \ge 0$.

Spektraleigenschaften

Bemerkung: Sei $(A, D(A))$ der Erzeuger einer $\C _0$-Halbgruppe $(T(t))_{t \ge 0}$ auf $X$.
Die Frage ist, ob $\forall _{t \ge 0}\; e^{t \sigma (A)} = \sigma (T(t)) \setminus \{0\}$ (SMT) gilt (spectral mapping theorem).

Satz (Spektralabbildungssatz):
Es gilt $\forall _{t \ge 0}\; e^{t \sigma (A)} \subset \sigma (T(t)) \setminus \{0\}$, im Allgemeinen gilt jedoch keine Gleichheit.
Für normstetige oder analytische Halbgruppen gilt jedoch Gleichheit.
Gilt (SMT), dann ist die Spektralschranke $s(A) := \sup \{\Re \lambda \;|\; \lambda \in \sigma (A)\}$ gleich der Wachstumsschranke $\omega _0((T(t))_{t \ge 0})$. Im Allgemeinen gilt nur $s(A) \le \omega _0((T(t))_{t \ge 0})$.
Gilt $s(A) = \omega _0((T(t))_{t \ge 0})$, dann gilt das Stabilitätskriterium von Lyapunov, d. h.
$s(A) < 0 \iff \omega _0((T(t))_{t \ge 0}) < 0$ (eine negative Spektralschranke ist äquivalent zur asymptotischen Stabilität von $0$).