Funktionalanalysis 2 – Elliptische L²-Regularitätstheorie

Bemerkung: Im Folgenden betrachtet man die Lösungen von $-\div (a \nabla u) = f$ in $\Omega $ und $u = 0$ auf $\partial \Omega $, wobei $\Omega \subset \real ^n$ offen sowie $a\colon \Omega \rightarrow \real ^{n \times n}$ mit $\forall _{x \in \Omega }\; [\text {$a(x)$ symmetrisch}]$ und $a$ gleichmäßig elliptisch, d. h. $\exists _{\lambda > 0} \forall _{x \in \Omega } \forall _{\xi \in \real ^n}\; \frac {1}{\lambda } |\xi |^2 \ge \xi a(x) \xi \ge \lambda |\xi |^2$.
Im Fall $a(x) \equiv I$ (Einheitsmatrix) ergibt sich die Poisson-Gleichung.
Dabei ist $\div (F) = \nabla \cdot F := \partial _{x_1} F_1 + \dotsb + \partial _{x_n} F_n$ die Divergenz des Vektorfelds $F$.
Es gilt $\div (a \nabla u) = \sum _{i,j=1,\dotsc ,n} \partial _{x_i} (a_{ij} \partial _{x_j} u)$ mit $a_{ij}(x) := e_i a(x) e_j$.

Bemerkung: Um den Regularitätssatz für $\C ^{m+2}$-berandete Gebiete $\Omega $ zu zeigen, zeigt man eine Modifikation zunächst für den Ganzraum $\real ^n$ und dann für den Halbraum $\{x \in \real ^n \;|\; x_1 > 0\}$.

Regularitätssatz für den Ganzraum

Satz (Ganzraum-Fall):
Seien $m \in \natural _0$, $a \in \C ^{m+1}_b(\real ^n, \real ^{n \times n})$ gleichmäßig elliptisch, $f \in H^m(\real ^n)$ und $u$ die schwache Lösung von $-\div (a \nabla u) = f$ in $\real ^n$, d. h. $u \in H^1(\real ^n)$ mit $\forall _{\varphi \in H^1(\real ^n)}\; \int _{\real ^n} a \nabla u \nabla \varphi \dx = \int _{\real ^n} f\varphi \dx $.
Dann ist $u \in H^{m+2}(\real ^n)$ mit $\norm {u}_{H^{m+2}(\real ^n)} \le C (\norm {f}_{H^m(\real ^n)} + \norm {u}_{H^1(\real ^n)})$ und $C = C(n, a)$.

Bemerkung: Zum Beweis benötigt man ein paar Sätze über Differenzenquotienten.

Differenzenquotient: Seien $v \in H^1(\real ^n)$, $h > 0$ und $e_i$ der $i$-te Einheitsvektor.
Dann heißen $\partial _{x_i}^h v(x) := \frac {1}{h} (v(x + he_i) - v(x))$ und $\partial _{x_i}^{-h} v(x) := \frac {1}{h} (v(x) - v(x - he_i))$ Differenzenquotienten von $v$ zur Schrittweite $h$.

Lemma (Differenzenquotienten): Für $u, v \in H^1(\real ^n)$ gilt $\partial _{x_i}^h v, \partial _{x_i}^{-h} v \in H^1(\real ^n)$ und

$\int _{\real ^n} v (\partial _{x_i}^{-h} u)\dx = -\int _{\real ^n} (\partial _{x_i}^h v) u \dx $ (diskrete partielle Integration),
$\partial _{x_i}^h (vu) = v (\partial _{x_i}^h u) + (\partial _{x_i}^h v) u(\cdot + he_i)$ (diskrete Produktregel) und
$\int _{\real ^n} |\partial _{x_i}^{-h} v|^2 \dx \le \int _{\real ^n} |\nabla v|^2 \dx $, also $\norm {\partial _{x_i}^{-h} v}_{L^2(\real ^n)} \le \norm {\nabla v}_{L^2(\real ^n)}$.

Lemma (abg. Einheitskugel in $L^2(\real ^n)$ schwach folgenkpkt.):
In einem reflexiven Banachraum ist $\overline {B_1(0)}$ schwach folgenkompakt. Jede beschränkte Folge enthält also eine schwach konvergente Teilfolge.
$L^2(\real ^n)$ ist sogar ein reflexiver Hilbertraum und $(L^2(\real ^n))’ \cong L^2(\real ^n)$ mittels des Isomorphismus aus dem Rieszschen Darstellungssatz, d. h. $f_k \rightharpoonup f$ in $L^2(\real ^n)$ genau dann, wenn
$\forall _{g \in L^2(\real ^n)}\; \int _{\real ^n} f_k g\dx \xrightarrow {k \to \infty } \int _{\real ^n} fg\dx $.
Dabei gilt $\norm {f}_{L^2(\real ^n)} \le \liminf _{k \to \infty } \norm {f_k}_{L^2(\real ^n)}$ (Unterhalbstetigkeit der Norm).

Regularitätssatz für den Halbraum

Satz (Halbraum-Fall):
Seien $m \in \natural _0$, $\Omega := \{x \in \real ^n \;|\; x_1 > 0\}$, $a \in \C ^{m+1}_b(\overline {\Omega }, \real ^{n \times n})$ gleichmäßig elliptisch, $f \in H^m(\Omega )$ und $u$ die schwache Lösung von $-\div (a \nabla u) = f$ in $\Omega $ und $u = 0$ auf $\partial \Omega $, d. h. $u \in H^1_0(\Omega )$ mit $\forall _{\varphi \in H^1_0(\Omega )}\; \int _\Omega a \nabla u \nabla \varphi \dx = \int _\Omega f\varphi \dx $.
Dann ist $u \in H^{m+2}(\Omega )$ mit $\norm {u}_{H^{m+2}(\Omega )} \le C (\norm {f}_{H^m(\Omega )} + \norm {u}_{H^1(\Omega )})$ und $C = C(n, a)$.

Elliptischer L²-Regularitätssatz (C^{m+2}-berandete Gebiete)

Satz (elliptischer $L^2$-Regularitätssatz): Seien $m \in \natural _0$, $\Omega \subset \real ^n$ offen, beschränkt und $\C ^{m+2}$-berandet, $a \in \C ^{m+1}(\overline {\Omega }, \real ^{n \times n})$ gleichmäßig elliptisch, $f \in H^m(\Omega )$ und $u$ die schwache Lösung von $-\div (a \nabla u) = f$ in $\Omega $ und $u = 0$ auf $\partial \Omega $, d. h. $u \in H^1_0(\Omega )$ mit $\forall _{\varphi \in H^1_0(\Omega )}\; \int _\Omega a \nabla u \nabla \varphi \dx = \int _\Omega f\varphi \dx $.
Dann ist $u \in H^{m+2}(\Omega )$ mit $\norm {u}_{H^{m+2}(\Omega )} \le C \norm {f}_{H^m(\Omega )}$ und $C = C(\Omega , a)$.

Bemerkung: Der Satz gilt auch, wenn $\Omega \subset \real ^n$ offen, beschränkt und Lipschitz-berandet ist.

Bemerkung: Der Beweis erfolgt mittels Diffeomorphismen und Rückführung auf den Ganz- und den Halbraum-Fall.

Weil $\Omega $ $\C ^{m+2}$-berandet ist, gilt $\exists _{N \in \natural } \forall _{k = 1, \dotsc , N} \exists _{U_k \subset \real ^n \text { offen}} \exists _{\phi _k\colon \real ^n \rightarrow \real ^n}$ $\phi _k(\Omega \cap U_k) \subset \{y_1 > 0\}$ und $\phi _k(\partial \Omega \cap U_k) \subset \{y_1 = 0\}$, sodass $\partial \Omega \subset \bigcup _{k=1}^N U_k$. Dabei sind die $\phi _k$ $\C ^{m+2}_b$-Diffeomorphismen, d. h. $\phi _k$ ist bijektiv und $\phi _k, \phi _k^{-1} \in \C ^{m+2}_b(\real ^n)$. Definiert man $U_0 := \Omega $, so gilt $\overline {\Omega } \subset \bigcup _{k=0}^N U_k$.

Wegen $\norm {u}_{L^2(\Omega )} \le C(\Omega , a) \norm {\nabla u}_{L^2(\Omega )} \le C’(\Omega , a) \norm {f}_{L^2(\Omega )}$ reicht es aus, die Normen $\norm {\partial _x^\alpha u}_{L^2(\Omega )}$ der höheren Ableitungen mit $2 \le |\alpha | \le m + 2$ nach $\norm {f}_{H^m(\Omega )} + \norm {u}_{H^1(\Omega )}$ abzuschätzen.

Es gibt eine Partition der Eins, d. h. $\forall _{k=0,\dotsc ,N} \exists _{\eta _k \in \C ^\infty _c(U_k)}\; \eta _k \ge 0$ und $\sum _{k=0}^N \eta _k = 1$ auf $\overline {\Omega }$. Definiert man $u_k := \eta _k u$ für $k = 0, \dotsc , N$, so gilt $\sum _{k=0}^N u_k = u$ in $\Omega $ und $u_k \in H^1_0(\Omega )$ mit $\norm {u_k}_{H^1(\Omega )} \le C \norm {u}_{H^1(\Omega )}$. Hat man die Abschätzung für alle $u_k$ bewiesen, dann gilt
$\norm {\partial _x^\alpha u}_{L^2(\Omega )} \le \sum _{k=0}^N \norm {\partial _x^\alpha u_k}_{L^2(\Omega )} \le \sum _{k=0}^N C’ (\norm {f}_{H^m(\Omega )} + \norm {u_k}_{H^1(\Omega )}) \le C’’ (\norm {f}_{H^m(\Omega )} + \norm {u}_{H^1(\Omega )})$. Daher reicht es, die Abschätzung nur für $u_k$, $k = 0, \dotsc , N$ zu zeigen.

Bemerkung: Durch Kombination des Satzes von Lax-Milgram, des elliptischen $L^2$-Regularitätssatzes und des Sobolevschen Einbettungssatzes erhält man die Existenz von klassischen Lösungen des elliptischen Dirichlet-Problems, falls $f \in H^m(\Omega )$ und $m = m(n) \in \natural $ hinreichend groß ist. Für $m = \infty $ ist die Lösung unendlich oft differenzierbar, d. h. $u \in \C ^\infty (\Omega )$. Man kann die Beweis-Strategie auch verallgemeinern, sodass man unendlich oft differenzierbare Lösungen des Eigenwertproblems für den Laplace-Operator erhält.

Bemerkung: Man kann die elliptische $L^2$-Regularitätstheorie zur elliptischen $L^p$-Regularitätstheorie für $p \in (1, \infty )$ verallgemeinern. Diese Verallgemeinerung heißt Calderón-ZygmundTheorie und man bekommt dann Abschätzungen der $W^{m,p}$-Normen von $u$ gegen $f$.