Funktionalanalysis 1 – Skalarprodukte, Normen und Metriken

Skalarprodukte

Bemerkung: Im Folgenden ist $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ oder $\mathbb{K}=\mathbb{C}$.

Skalarprodukt:  Sei $V$ ein $\mathbb{K}$-Vektorraum.
Eine Abbildung $⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to \mathbb{K}$ heißt Skalarprodukt (oder inneres Produkt) auf $V$, falls

• ${\mathrm{\forall }}_{\alpha \in \mathbb{K}}{\mathrm{\forall }}_{x,y,z\in V}⟨\alpha x+y,z⟩=\alpha ⟨x,z⟩+⟨y,z⟩$ (Linearität im ersten Argument),

• ${\mathrm{\forall }}_{x,y\in V}⟨x,y⟩=\overline{⟨y,x⟩}$ (Symmetrie bzw. Hermitesche Symmetrie) und

• ${\mathrm{\forall }}_{x\in V}⟨x,x⟩\ge 0\wedge [⟨x,x⟩=0⟺x=0]$ (positive Definitheit).

$V$ zusammen mit $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ heißt Skalarproduktraum (oder Prä-Hilbertraum).

Bemerkung: Aus (1) und (2) folgt ${\mathrm{\forall }}_{\alpha \in \mathbb{K}}{\mathrm{\forall }}_{x,y,z\in V}⟨x,\alpha y+z⟩=\overline{\alpha }⟨x,y⟩+⟨x,z⟩$. Ein Skalarprodukt ist also für $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ bzw. $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ eine positiv definite, symmetrische Bilinearform bzw. eine positiv definite, hermitesche Sesquilinearform.

Beispiel: Folgende Vektorräume bilden mit den zugehörigen Abbildungen Skalarprodukträume.

• $V:={\mathbb{R}}^n$, $⟨x,y⟩:=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i$

• $V:={\mathbb{C}}^n$, $⟨x,y⟩:=\sum _{i=1}^n{x}_i\overline{y_i}$

• $V:=\{x\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}|⟨x,x⟩<\mathrm{\infty }\}$, $⟨x,y⟩:=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_i{y}_i$

• $V:=\{x\in {\mathbb{C}}^{\mathbb{N}}|⟨x,x⟩<\mathrm{\infty }\}$, $⟨x,y⟩:=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_i\overline{y_i}$

• $V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})$ mit $a<b$ reell, $⟨x,y⟩:={\int }_a^{b}x(t)y(t)\mathrm{d}t$

• $V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})$ mit $a<b$ reell, $⟨x,y⟩:={\int }_a^{b}x(t)\overline{y(t)}\mathrm{d}t$

Satz (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung): Seien $X$ ein Skalarproduktraum und $x,y\in X$.
Dann gilt $|⟨x,y⟩|\le \sqrt{⟨x,x⟩}\cdot \sqrt{⟨y,y⟩}$. Gleichheit gilt genau dann, wenn $x$ und $y$ linear abhängig sind.

Normen

Bemerkung: Ein Skalarprodukt kann zur Abstandsmessung verwendet werden.

Norm:  Sei $X$ ein $\mathbb{K}$-Vektorraum. Eine Abbildung $\parallel \cdot \parallel :X\to \mathbb{R}$ heißt Norm, falls

• ${\mathrm{\forall }}_{x\in X}\parallel x\parallel \ge 0\wedge [\parallel x\parallel =0⟺x=0]$ (Positivität und Definitheit),

• ${\mathrm{\forall }}_{\alpha \in \mathbb{K}}{\mathrm{\forall }}_{x\in X}\parallel \alpha x\parallel =|\alpha |\cdot \parallel x\parallel$ (Homogenität) und

• ${\mathrm{\forall }}_{x,y\in X}\parallel x+y\parallel \le \parallel x\parallel +\parallel y\parallel$ (Dreiecksungleichung).

$V$ zusammen mit $\parallel \cdot \parallel$ heißt normierter Raum.

Satz (induzierte Norm): In jedem Skalarproduktraum $X$ lässt sich durch $\parallel x\parallel :=\sqrt{⟨x,x⟩}$ eine Norm einführen. Man nennt sie die durch das Skalarprodukt induzierte Norm.

Satz (Parallelogrammgleichung): Seien $(X,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ ein Skalarproduktraum und $\parallel \cdot \parallel$ die durch $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ induzierte Norm. Dann gilt ${\mathrm{\forall }}_{x,y\in X}{\parallel x+y\parallel }^2+{\parallel x-y\parallel }^2=2({\parallel x\parallel }^2+{\parallel y\parallel }^2)$.

Bemerkung: Nach dem Satz über die induzierte Norm ist jeder Skalarproduktraum auch ein normierter Raum. Allerdings wird nicht jede Norm von einem Skalarprodukt induziert: Sei $X:={\mathbb{R}}^2$ mit Norm $\parallel x\parallel :=\underset{k=1,2}{max}|x_k|$ für $x\in X$. Für $x:=(1,2{)}^T$ und $y:=(2,0{)}^T$ gilt $\parallel x\parallel =\parallel y\parallel =2$, $\parallel x+y\parallel =3$ und $\parallel x-y\parallel =2$, also ${\parallel x+y\parallel }^2+{\parallel x-y\parallel }^2=13\ne 16=2({\parallel x\parallel }^2+{\parallel y\parallel }^2)$. Die Parallelogrammgleichung ist nicht erfüllt, somit kann die Norm nicht von einem Skalarprodukt induziert werden.

Satz (Bedingung für Induktion von Normen durch Skalarprodukte): Genau diejenigen
normierten Räume $X$, in denen die Parallelogrammgleichung gilt, sind Skalarprodukträume, d. h. genau in diesen Räumen gibt es ein Skalarprodukt, welches die Norm induziert.
In diesem Fall lässt sich für $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ durch $⟨x,y⟩:=\frac{1}{4}({\parallel x+y\parallel }^2-{\parallel x-y\parallel }^2)$ und für $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ durch $⟨x,y⟩:=\frac{1}{4}({\parallel x+y\parallel }^2-{\parallel x-y\parallel }^2+\mathrm{i}\cdot ({\parallel x+\mathrm{i}y\parallel }^2-{\parallel x-\mathrm{i}y\parallel }^2))$ (Polarisationsformeln) ein Skalarprodukt auf $X$ erklären, das die Norm induziert.

Bemerkung: Mithilfe von reellen Skalarprodukten kann man einen Winkelbegriff einführen, denn es gilt $\frac{|⟨x,y⟩|}{\parallel x\parallel \cdot \parallel y\parallel }\le 1$ für $x,y\ne 0$ aufgrund der Cauchy-Schwarz-Ungleichung.

Winkel:  Seien $X$ ein reeller Skalarproduktraum und $x,y\in X\setminus \{0\}$.
Dann heißt $\alpha \in [0,\pi ]$ mit $\cos (\alpha )=\frac{⟨x,y⟩}{\parallel x\parallel \cdot \parallel y\parallel }$ der Winkel zwischen $x$ und $y$.

orthogonal:  Sei $X$ ein Skalarproduktraum.

• $x,y\in X$ heißen orthogonal zueinander ($x\mathrm{\perp }y$), falls $⟨x,y⟩=0$.

• $X_1,X_2\subset X$ mit $X_1,X_2\ne \mathrm{\varnothing }$ heißen orthogonal zueinander ($X_1\mathrm{\perp }{X}_2$), falls
  ${\mathrm{\forall }}_{x\in X_1}{\mathrm{\forall }}_{y\in X_2}x\mathrm{\perp }y$.

Satz (Pythagoras): Seien $X$ ein Skalarproduktraum und $x,y\in X$ mit $x\mathrm{\perp }y$.
Dann gilt ${\parallel x+y\parallel }^2={\parallel x\parallel }^2+{\parallel y\parallel }^2$.

Beispiele für normierte Räume

Beispiel: ${\mathbb{K}}^n$ mit der $p$-Norm

• ${\parallel x\parallel }_p:={\left(\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p\right)}^{1/p}$ für $p\in [1,\mathrm{\infty })$

• ${\parallel x\parallel }_{\mathrm{\infty }}:=\underset{k=1,\dots ,n}{max}|x_k|$

Beispiel: Folgenräume

• ${\ell }^p:=\{x\in {\mathbb{K}}^{\mathbb{N}}|{\parallel x\parallel }_{{\ell }^p}<\mathrm{\infty }\}$, ${\parallel x\parallel }_{{\ell }^p}:={\left(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|x_k{|}^p\right)}^{1/p}$ für $p\in [1,\mathrm{\infty })$

• ${\ell }^{\mathrm{\infty }}:=\{x\in {\mathbb{K}}^{\mathbb{N}}|{\parallel x\parallel }_{{\ell }^{\mathrm{\infty }}}<\mathrm{\infty }\}$, ${\parallel x\parallel }_{{\ell }^{\mathrm{\infty }}}:=\underset{k\in \mathbb{N}}{sup}|x_k|$

• $c_0:=\{x\in {\mathbb{K}}^{\mathbb{N}}|\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_k=0\}$, ${\parallel \cdot \parallel }_{{\ell }^{\mathrm{\infty }}}$

• $c:=\{x\in {\mathbb{K}}^{\mathbb{N}}|x\text{ konvergiert}\}$, ${\parallel \cdot \parallel }_{{\ell }^{\mathrm{\infty }}}$

• $c_{\ast }:=\{x\in {\mathbb{K}}^{\mathbb{N}}|x_k=0\text{ für fast alle }k\in \mathbb{N}\}$, ${\parallel \cdot \parallel }_{{\ell }^p}$ für $p\in [1,\mathrm{\infty }]$

Beispiel: Funktionenräume
Seien $M,K,\mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^n$ nicht-leer mit $K$ kompakt und $\mathrm{\Omega }$ offen. Die Räume sind auch definiert, falls $\mathbb{K}$ weggelassen wird, in diesem Fall gilt $\mathbb{K}=\mathbb{R}$.

• $B(M,\mathbb{K}):=\{f:M\to \mathbb{K}|{\parallel f\parallel }_{\mathrm{\infty }}<\mathrm{\infty }\}$, ${\parallel f\parallel }_{\mathrm{\infty }}:=\underset{x\in M}{sup}|f(x)|$,
  Raum der beschränkten Funktionen auf $M$

• ${\mathcal{C}}^0(K,\mathbb{K}):=\{f:K\to \mathbb{K}|f\text{ stetig}\}$, ${\parallel f\parallel }_{{\mathcal{C}}^0}:=\underset{x\in K}{sup}|f(x)|$,
  Raum der stetigen Funktionen auf $K$

• ${\mathcal{C}}_b^0(\mathrm{\Omega },\mathbb{K}):=\{f:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{K}|f\text{ stetig},{\parallel f\parallel }_{{\mathcal{C}}_0}<\mathrm{\infty }\}$, ${\parallel f\parallel }_{{\mathcal{C}}^0}:=\underset{x\in \mathrm{\Omega }}{sup}|f(x)|$,
  Raum der stetigen, beschränkten Funktionen auf $\mathrm{\Omega }$

• ${\mathcal{C}}_c^0(\mathrm{\Omega },\mathbb{K}):=\{f\in {\mathcal{C}}_b^0(\mathrm{\Omega },\mathbb{K})|\mathrm{supp}f\subset \mathrm{\Omega }\text{ kompakt}\}$, ${\parallel \cdot \parallel }_{{\mathcal{C}}^0}$,
  Raum der stetigen, beschränkten Funktionen mit kompaktem Träger in $\mathrm{\Omega }$

• ${\mathcal{C}}_{\text{unif}}^0(\mathrm{\Omega },\mathbb{K}):=\text{BUC}(\mathrm{\Omega },\mathbb{K}):=\{f\in {\mathcal{C}}_b^0(\mathrm{\Omega },\mathbb{K})|f\text{ gleichmäßig stetig auf }\mathrm{\Omega }\}$, ${\parallel \cdot \parallel }_{{\mathcal{C}}^0}$,
  Raum der gleichmäßig stetigen, beschränkten Funktionen auf $\mathrm{\Omega }$

• ${\mathcal{C}}^{0,\alpha }(\mathrm{\Omega },\mathbb{K}):=\{f\in {\mathcal{C}}_b^0(\mathrm{\Omega },\mathbb{K})|{\parallel f\parallel }_{{\mathcal{C}}^{0,\alpha }}<\mathrm{\infty }\}$, $\alpha \in (0,1]$, ${\parallel f\parallel }_{{\mathcal{C}}^{0,\alpha }}:={\parallel f\parallel }_{{\mathcal{C}}^0}+[f{]}_{{\mathcal{C}}^{0,\alpha }}$,
  $[f{]}_{{\mathcal{C}}^{0,\alpha }}:=\underset{x,y\in \mathrm{\Omega },x\ne y}{sup}\frac{|f(x)-f(y)|}{{\parallel x-y\parallel }^{\alpha }}$, Raum der Hölder-stetigen Funktionen auf $\mathrm{\Omega }$,
  für $\alpha =1$ ist ${\mathcal{C}}^{0,1}(\mathrm{\Omega },\mathbb{K})=:\text{Lip}(\mathrm{\Omega },\mathbb{K})$ der Raum der Lipschitz-stetigen Funktionen auf $\mathrm{\Omega }$

• ${\mathcal{C}}^m(K,\mathbb{K}):=\{f:K\to \mathbb{K}|{\partial }_x^{j}f\text{ stetig auf }\stackrel{\circ }{K}=\mathrm{int}(K),\text{stetig fortsetzb. auf }K,|j|\le m\}$,
  ${\parallel f\parallel }_{{\mathcal{C}}^m}:=\sum _{|j|\le m}{\parallel {\partial }_x^{j}f\parallel }_{{\mathcal{C}}^0}$, Raum der $m$-fach stetig differenzierbaren Funktionen auf $K$
  (dabei ist $j=(j_1,\dots ,j_n)\in {\mathbb{N}}_0^n$ ein Multiindex mit $|j|:=j_1+\cdots +j_n$ sowie $x=(x_1,\dots ,x_n)$ und ${\partial }_x^j={\partial }_{x_1}^{j_1}\cdots {\partial }_{x_n}^{j_n}$)

• ${\mathcal{C}}_b^m(\mathrm{\Omega },\mathbb{K}):=\{f:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{K}|{\partial }_x^{j}f\text{ stetig},{\parallel {\partial }_x^{j}f\parallel }_{{\mathcal{C}}^0}<\mathrm{\infty },|j|\le m\}$, ${\parallel \cdot \parallel }_{{\mathcal{C}}^m}$,
  Raum der $m$-fach stetig diffb., in allen Ableitungen beschränkten Funktionen auf $\mathrm{\Omega }$

• ${\mathcal{C}}_c^m(\mathrm{\Omega },\mathbb{K}):=\{f\in {\mathcal{C}}_b^m(\mathrm{\Omega },\mathbb{K})|{\partial }_x^{j}f\text{ stetig},\mathrm{supp}f\subset \mathrm{\Omega }\text{ kompakt}\}$, ${\parallel \cdot \parallel }_{{\mathcal{C}}^m}$,
  Raum der $m$-fach stetig diffb. Funktionen mit kompaktem Träger in $\mathrm{\Omega }$

• ${\mathcal{C}}_{\text{unif}}^m(\mathrm{\Omega },\mathbb{K}):=\{f\in {\mathcal{C}}_b^m(\mathrm{\Omega },\mathbb{K})|{\partial }_x^{j}f\in {\mathcal{C}}_{\text{unif}}^0(\mathrm{\Omega },\mathbb{K}),|j|\le m\}$, ${\parallel \cdot \parallel }_{{\mathcal{C}}^m}$,
  Raum der $m$-fach stetig diffb., in allen Ableitungen glm. stetigen Funktionen auf $\mathrm{\Omega }$

• ${\mathcal{C}}^{m,\alpha }(\mathrm{\Omega },\mathbb{K}):=\{f\in {\mathcal{C}}_b^m(\mathrm{\Omega },\mathbb{K})|{\partial }_x^{j}f\in {\mathcal{C}}^{0,\alpha }(\mathrm{\Omega },\mathbb{K})\text{ für }|j|=m\}$,
  ${\parallel f\parallel }_{{\mathcal{C}}^{m,\alpha }}:={\parallel f\parallel }_{{\mathcal{C}}^{m-1}}+\sum _{|j|=m}{\parallel {\partial }_x^{j}f\parallel }_{{\mathcal{C}}^{0,\alpha }}$ (für $m\ge 1$),
  Raum der $m$-fach stetig diffb., in den $m$-ten Ableitungen Hölder-stetigen Fkt.en auf $\mathrm{\Omega }$

Halbnorm:  Sei $X$ ein $\mathbb{K}$-Vektorraum. Eine Abbildung $[\cdot ]:X\to \mathbb{R}$ heißt Halbnorm, falls sie alle Norm-Eigenschaften außer die Definitheit ($[x]=0⟺x=0$) erfüllt.
$X$ zusammen mit $[\cdot ]$ heißt halbnormierter Raum.

Satz (Faktorisierung von halbnormierten Räumen): Sei $(X,[\cdot ])$ ein halbnormierter Raum.

• $\text{Kern}([\cdot ]):=\{x\in X|[x]=0\}$ ist ein Unterraum von $X$.

• $X/\text{Kern}([\cdot ])$ mit der kanonischen Quotientenvektorraum-Struktur und der Norm
  $\parallel x+\text{Kern}([\cdot ])\parallel :=[x]$ ist ein normierter Raum.

Bemerkung: Dabei ist $X/\text{Kern}([\cdot ]):=\{\hat{x}|x\in X\}$ mit $\hat{x}:=x+\text{Kern}([\cdot ])=\{y\in X|x\sim y\}$, wobei die Äquivalenzrelation $\sim$ durch $x\sim y⟺x-y\in \text{Kern}([\cdot ])$ definiert ist. Dadurch wird $X/\text{Kern}([\cdot ])$ mit den Operationen $\hat{x}+\hat{y}:=\widehat{x+y}$ und $\alpha \hat{x}:=\widehat{\alpha x}$ zu einem Vektorraum mit Nullelement $\text{Kern}([\cdot ])$.

${\mathcal{L}}_{\mathbb{K}}^p(\mathrm{\Omega })$-, $L_{\mathbb{K}}^p(\mathrm{\Omega })$-, ${\ell }_{\mathbb{K}}^p$-Räume:  Sei $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },\lambda )$ ein Maßraum, also $\mathrm{\Sigma }$ eine $\sigma$-Algebra über $\mathrm{\Omega }$ und $\lambda$ ein Maß über $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma })$. Definiere ${\mathcal{L}}_{\mathbb{K}}^p(\mathrm{\Omega }):=\{f:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{K}|f\text{ ist }(\mathrm{\Sigma },\lambda )\text{-messbar},[f{]}_{L^p}<\mathrm{\infty }\}$, wobei $[f{]}_{L^p}:={\left({\int }_{\mathrm{\Omega }}|f{|}^{p}d\lambda \right)}^{1/p}$ für $1\le p<\mathrm{\infty }$ und $[f{]}_{L^{\mathrm{\infty }}}:=\underset{B\in \mathrm{\Sigma },\lambda (B)=0}{inf}\underset{x\in \mathrm{\Omega }\setminus B}{sup}|f(x)|$.
Dadurch wird $({\mathcal{L}}_{\mathbb{K}}^p(\mathrm{\Omega }),[\cdot {]}_{L^p})$ zum halbnormierten Raum.
Gemäß obigem Satz ist $L_{\mathbb{K}}^p(\mathrm{\Omega }):={\mathcal{L}}_{\mathbb{K}}^p(\mathrm{\Omega })/\text{Kern}([\cdot {]}_{L^p})$ mit ${\parallel f\parallel }_{L^p}:=[f{]}_{L^p}$ ein normierter Raum, wobei $\text{Kern}([\cdot {]}_{L^p})=\{f\in {\mathcal{L}}_{\mathbb{K}}^p(\mathrm{\Omega })|f=0\lambda \text{-f.ü.}\}$.
Für $\mathrm{\Omega }=\mathbb{N}$, $\mathrm{\Sigma }=\mathfrak{P}(\mathbb{N})$ und $\lambda$ gleich dem Zählmaß (oder Diracmaß), definiert durch $\lambda (B):=|B|$ für $B\subset \mathbb{N}$, definiert man ${\ell }_{\mathbb{K}}^p:=L_{\mathbb{K}}^p(\mathbb{N})\cong {\mathcal{L}}_{\mathbb{K}}^p(\mathbb{N})$.
Außerdem legt man fest, dass $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ist, wenn $\mathbb{K}$ bei ${\mathcal{L}}_{\mathbb{K}}^p(\mathrm{\Omega })$, $L_{\mathbb{K}}^p(\mathrm{\Omega })$ oder ${\ell }_{\mathbb{K}}^p$ weggelassen wird.

konjugierte Zahl:  Sei $p\in [1,\mathrm{\infty }]$.
Dann heißt $p^{\prime }\in [1,\mathrm{\infty }]$ mit $\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime }}=1$ die zu $p$ konjugierte Zahl (wobei $\frac{1}{\mathrm{\infty }}:=0$).

Lemma (Youngsche Ungleichung): Seien $a,b\ge 0$ und $p\in (1,\mathrm{\infty })$. Dann ist $ab\le \frac{1}{p}{a}^p+\frac{1}{p^{\prime }}{b}^{p^{\prime }}$.

Satz (Höldersche Ungleichung): Seien $p\in [1,\mathrm{\infty }]$, $f\in L^p(\mathrm{\Omega })$ und $g\in L^{p^{\prime }}(\mathrm{\Omega })$.
Dann ist $fg\in L^1(\mathrm{\Omega })$ und ${\parallel fg\parallel }_{L^1}\le {\parallel f\parallel }_{L^p}{\parallel g\parallel }_{L^{p^{\prime }}}$.

Satz (Minkowskische Ungleichung): Seien $p\in [1,\mathrm{\infty }]$ und $f,g\in L^p(\mathrm{\Omega })$.
Dann ist $f+g\in L^p(\mathrm{\Omega })$ und ${\parallel f+g\parallel }_{L^p}\le {\parallel f\parallel }_{L^p}+{\parallel g\parallel }_{L^p}$.

Bemerkung: Für $\lambda (\mathrm{\Omega })<\mathrm{\infty }$ (d. h. $\lambda$ ist ein endliches Maß) und $p,q\in [1,\mathrm{\infty }]$ mit $p<q$ gilt $L^q(\mathrm{\Omega })\subset L^p(\mathrm{\Omega })$, genauer ${\mathrm{\exists }}_{C>0}{\mathrm{\forall }}_{f\in L^q(\mathrm{\Omega })}{\parallel f\parallel }_{L^p}\le C{\parallel f\parallel }_{L^q}$.

Metriken

Metrik:  Sei $X\ne \mathrm{\varnothing }$. Eine Abbildung $d:X\times X\to \mathbb{R}$ heißt Metrik, falls

• ${\mathrm{\forall }}_{x,y\in X}d(x,y)\ge 0\wedge [d(x,y)=0⟺x=y]$ (Positivität und Definitheit),

• ${\mathrm{\forall }}_{x,y\in X}d(x,y)=d(y,x)$ (Symmetrie) und

• ${\mathrm{\forall }}_{x,y,z\in X}d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$ (Dreiecksungleichung).

$X$ zusammen mit $d$ heißt metrischer Raum.

Halbmetrik:  Erfüllt $d$ alle Metrik-Eigenschaften außer die Definitheit
($d(x,y)=0⟺x=y$), so heißt $d$ Halbmetrik.
$X$ zusammen mit $d$ heißt halbmetrischer Raum.

Bemerkung: Durch Verwendung von Quotientenräumen kann man wie bei halbnormierten Räumen halbmetrische Räume zu metrischen Räumen machen.

Satz (induzierte Metrik):

• Sei $(X,\parallel \cdot \parallel )$ ein normierter Raum. Dann ist durch $d(x,y):=\parallel x-y\parallel$ eine Metrik (die sog. induzierte Metrik) definiert, die folgende zusätzliche Eigenschaften besitzt:

  • ${\mathrm{\forall }}_{x,y,z\in X}d(x+z,y+z)=d(x,y)$ (Translationsinvarianz) und

  • ${\mathrm{\forall }}_{x,y\in X}{\mathrm{\forall }}_{\alpha \in \mathbb{K}}d(\alpha x,\alpha y)=|\alpha |\cdot d(x,y)$ (Homogenität).

• Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Außerdem sei $X$ ein $\mathbb{K}$-Vektorraum, sodass $d$ translationsinvariant und homogen ist. Dann ist durch $\parallel x\parallel :=d(x,0)$ eine Norm definiert, die die Metrik $d$ induziert.

Beispiel: Für $X\ne \mathrm{\varnothing }$ ist $d(x,y):=0$ für $x=y$ und $d(x,y):=1$ sonst eine Metrik, die diskrete Metrik. Falls $X$ ein $\mathbb{K}$-Vektorraum ist, wird sie von keiner Norm induziert, wenn $|X|\ge 2$.