Skalarprodukte
Bemerkung: Im Folgenden ist
Skalarprodukt: Sei
Eine Abbildung
(Linearität im ersten Argument), (Symmetrie bzw. Hermitesche Symmetrie) und (positive Definitheit).
Bemerkung: Aus (1) und (2) folgt
Beispiel: Folgende Vektorräume bilden mit den zugehörigen Abbildungen Skalarprodukträume.
, , , , mit reell, mit reell,
Satz (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung): Seien
Dann gilt
Normen
Bemerkung: Ein Skalarprodukt kann zur Abstandsmessung verwendet werden.
Norm: Sei
(Positivität und Definitheit), (Homogenität) und (Dreiecksungleichung).
Satz (induzierte Norm): In jedem Skalarproduktraum
Satz (Parallelogrammgleichung): Seien
Bemerkung: Nach dem Satz über die induzierte Norm ist jeder Skalarproduktraum auch ein normierter Raum. Allerdings wird nicht jede Norm von einem Skalarprodukt induziert: Sei
Satz (Bedingung für Induktion von Normen durch Skalarprodukte): Genau diejenigen
normierten Räume
In diesem Fall lässt sich für
Bemerkung: Mithilfe von reellen Skalarprodukten kann man einen Winkelbegriff einführen, denn es gilt
Winkel: Seien
Dann heißt
orthogonal: Sei
heißen orthogonal zueinander ( ), falls . mit heißen orthogonal zueinander ( ), falls
.
Satz (Pythagoras): Seien
Dann gilt
Beispiele für normierte Räume
Beispiel:
für
Beispiel: Folgenräume
, für , , , , für
Beispiel: Funktionenräume
Seien
, ,
Raum der beschränkten Funktionen auf , ,
Raum der stetigen Funktionen auf , ,
Raum der stetigen, beschränkten Funktionen auf , ,
Raum der stetigen, beschränkten Funktionen mit kompaktem Träger in , ,
Raum der gleichmäßig stetigen, beschränkten Funktionen auf , , ,
, Raum der Hölder-stetigen Funktionen auf ,
für ist der Raum der Lipschitz-stetigen Funktionen auf ,
, Raum der -fach stetig differenzierbaren Funktionen auf
(dabei ist ein Multiindex mit sowie und ) , ,
Raum der -fach stetig diffb., in allen Ableitungen beschränkten Funktionen auf , ,
Raum der -fach stetig diffb. Funktionen mit kompaktem Träger in , ,
Raum der -fach stetig diffb., in allen Ableitungen glm. stetigen Funktionen auf ,
(für ),
Raum der -fach stetig diffb., in den -ten Ableitungen Hölder-stetigen Fkt.en auf
Halbnorm: Sei
Satz (Faktorisierung von halbnormierten Räumen): Sei
ist ein Unterraum von . mit der kanonischen Quotientenvektorraum-Struktur und der Norm
ist ein normierter Raum.
Bemerkung: Dabei ist
Dadurch wird
Gemäß obigem Satz ist
Für
Außerdem legt man fest, dass
konjugierte Zahl: Sei
Dann heißt
Lemma (Youngsche Ungleichung): Seien
Satz (Höldersche Ungleichung): Seien
Dann ist
Satz (Minkowskische Ungleichung): Seien
Dann ist
Bemerkung: Für
Metriken
Metrik: Sei
(Positivität und Definitheit), (Symmetrie) und (Dreiecksungleichung).
Halbmetrik: Erfüllt
(
Bemerkung: Durch Verwendung von Quotientenräumen kann man wie bei halbnormierten Räumen halbmetrische Räume zu metrischen Räumen machen.
Satz (induzierte Metrik):
Sei
ein normierter Raum. Dann ist durch eine Metrik (die sog. induzierte Metrik) definiert, die folgende zusätzliche Eigenschaften besitzt: (Translationsinvarianz) und (Homogenität).
Sei
ein metrischer Raum. Außerdem sei ein -Vektorraum, sodass translationsinvariant und homogen ist. Dann ist durch eine Norm definiert, die die Metrik induziert.
Beispiel: Für