Funktionalanalysis 1 – Skalarprodukte, Normen und Metriken

Skalarprodukte

Bemerkung: Im Folgenden ist \(\KK = \real \) oder \(\KK = \complex \).

Skalarprodukt: Sei \(V\) ein \(\KK \)-Vektorraum.
Eine Abbildung \(\innerproduct {\cdot , \cdot }\colon V \times V \rightarrow \KK \) heißt Skalarprodukt (oder inneres Produkt) auf \(V\), falls

\(\forall _{\alpha \in \KK } \forall _{x, y, z \in V}\; \innerproduct {\alpha x + y, z} = \alpha \innerproduct {x, z} + \innerproduct {y, z}\) (Linearität im ersten Argument),
\(\forall _{x, y \in V}\; \innerproduct {x, y} = \kk {\innerproduct {y, x}}\) (Symmetrie bzw. Hermitesche Symmetrie) und
\(\forall _{x \in V}\; \innerproduct {x, x} \ge 0 \;\land \; \left [\innerproduct {x, x} = 0 \iff x = 0\right ]\) (positive Definitheit).

\(V\) zusammen mit \(\innerproduct {\cdot , \cdot }\) heißt Skalarproduktraum (oder Prä-Hilbertraum).

Bemerkung: Aus (1) und (2) folgt \(\forall _{\alpha \in \KK } \forall _{x, y, z \in V}\; \innerproduct {x, \alpha y + z} = \kk {\alpha } \innerproduct {x, y} + \innerproduct {x, z}\). Ein Skalarprodukt ist also für \(\KK = \real \) bzw. \(\KK = \complex \) eine positiv definite, symmetrische Bilinearform bzw. eine positiv definite, hermitesche Sesquilinearform.

Beispiel: Folgende Vektorräume bilden mit den zugehörigen Abbildungen Skalarprodukträume.

\(V := \real ^n\), \(\innerproduct {x, y} := \sum _{i=1}^n x_i y_i\)
\(V := \complex ^n\), \(\innerproduct {x, y} := \sum _{i=1}^n x_i \kk {y_i}\)
\(V := \left \{\left .x \in \real ^\natural \;\right |\; \innerproduct {x, x} < \infty \right \}\), \(\innerproduct {x, y} := \sum _{i=1}^\infty x_i y_i\)
\(V := \left \{\left .x \in \complex ^\natural \;\right |\; \innerproduct {x, x} < \infty \right \}\), \(\innerproduct {x, y} := \sum _{i=1}^\infty x_i \kk {y_i}\)
\(V := \C ([a,b], \real )\) mit \(a < b\) reell, \(\innerproduct {x, y} := \int _a^b x(t)y(t)\dt \)
\(V := \C ([a,b], \complex )\) mit \(a < b\) reell, \(\innerproduct {x, y} := \int _a^b x(t)\kk {y(t)}\dt \)

Satz (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung): Seien \(X\) ein Skalarproduktraum und \(x, y \in X\).
Dann gilt \(|\innerproduct {x, y}| \le \sqrt {\innerproduct {x, x}} \cdot \sqrt {\innerproduct {y, y}}\). Gleichheit gilt genau dann, wenn \(x\) und \(y\) linear abhängig sind.

Normen

Bemerkung: Ein Skalarprodukt kann zur Abstandsmessung verwendet werden.

Norm: Sei \(X\) ein \(\KK \)-Vektorraum. Eine Abbildung \(\norm {\cdot }\colon X \rightarrow \real \) heißt Norm, falls

\(\forall _{x \in X}\; \norm {x} \ge 0 \;\land \; \left [\norm {x} = 0 \iff x = 0\right ]\) (Positivität und Definitheit),
\(\forall _{\alpha \in \KK } \forall _{x \in X}\; \norm {\alpha x} = |\alpha | \cdot \norm {x}\) (Homogenität) und
\(\forall _{x, y \in X}\; \norm {x + y} \le \norm {x} + \norm {y}\) (Dreiecksungleichung).

\(V\) zusammen mit \(\norm {\cdot }\) heißt normierter Raum.

Satz (induzierte Norm): In jedem Skalarproduktraum \(X\) lässt sich durch \(\norm {x} := \sqrt {\innerproduct {x, x}}\) eine Norm einführen. Man nennt sie die durch das Skalarprodukt induzierte Norm.

Satz (Parallelogrammgleichung): Seien \((X, \innerproduct {\cdot , \cdot })\) ein Skalarproduktraum und \(\norm {\cdot }\) die durch \(\innerproduct {\cdot , \cdot }\) induzierte Norm. Dann gilt \(\forall _{x, y \in X}\; \norm {x + y}^2 + \norm {x - y}^2 = 2(\norm {x}^2 + \norm {y}^2)\).

Bemerkung: Nach dem Satz über die induzierte Norm ist jeder Skalarproduktraum auch ein normierter Raum. Allerdings wird nicht jede Norm von einem Skalarprodukt induziert: Sei \(X := \real ^2\) mit Norm \(\norm {x} := \max _{k = 1, 2} |x_k|\) für \(x \in X\). Für \(x := (1, 2)^T\) und \(y := (2, 0)^T\) gilt \(\norm {x} = \norm {y} = 2\), \(\norm {x + y} = 3\) und \(\norm {x - y} = 2\), also \(\norm {x + y}^2 + \norm {x - y}^2 = 13 \not = 16 = 2(\norm {x}^2 + \norm {y}^2)\). Die Parallelogrammgleichung ist nicht erfüllt, somit kann die Norm nicht von einem Skalarprodukt induziert werden.

Satz (Bedingung für Induktion von Normen durch Skalarprodukte): Genau diejenigen
normierten Räume \(X\), in denen die Parallelogrammgleichung gilt, sind Skalarprodukträume, d. h. genau in diesen Räumen gibt es ein Skalarprodukt, welches die Norm induziert.
In diesem Fall lässt sich für \(\KK = \real \) durch \(\innerproduct {x, y} := \frac {1}{4} (\norm {x + y}^2 - \norm {x - y}^2)\) und für \(\KK = \complex \) durch \(\innerproduct {x, y} := \frac {1}{4} (\norm {x + y}^2 - \norm {x - y}^2 + \iu \cdot (\norm {x + \iu y}^2 - \norm {x - \iu y}^2))\) (Polarisationsformeln) ein Skalarprodukt auf \(X\) erklären, das die Norm induziert.

Bemerkung: Mithilfe von reellen Skalarprodukten kann man einen Winkelbegriff einführen, denn es gilt \(\frac {|\innerproduct {x, y}|}{\norm {x} \cdot \norm {y}} \le 1\) für \(x, y \not = 0\) aufgrund der Cauchy-Schwarz-Ungleichung.

Winkel: Seien \(X\) ein reeller Skalarproduktraum und \(x, y \in X \setminus \{0\}\).
Dann heißt \(\alpha \in [0, \pi ]\) mit \(\cos (\alpha ) = \frac {\innerproduct {x, y}}{\norm {x} \cdot \norm {y}}\) der Winkel zwischen \(x\) und \(y\).

orthogonal: Sei \(X\) ein Skalarproduktraum.

\(x, y \in X\) heißen orthogonal zueinander (\(x \orth y\)), falls \(\innerproduct {x, y} = 0\).
\(X_1, X_2 \subset X\) mit \(X_1, X_2 \not = \emptyset \) heißen orthogonal zueinander (\(X_1 \orth X_2\)), falls
\(\forall _{x \in X_1} \forall _{y \in X_2}\; x \orth y\).

Satz (Pythagoras): Seien \(X\) ein Skalarproduktraum und \(x, y \in X\) mit \(x \orth y\).
Dann gilt \(\norm {x + y}^2 = \norm {x}^2 + \norm {y}^2\).

Beispiele für normierte Räume

Beispiel: \(\KK ^n\) mit der \(p\)-Norm

\(\norm {x}_p := \left (\sum _{k=1}^n |x_k|^p\right )^{1/p}\) für \(p \in [1, \infty )\)
\(\norm {x}_\infty := \max _{k=1,\dotsc ,n} |x_k|\)

Beispiel: Folgenräume

\(\ell ^p := \{x \in \KK ^\natural \;|\; \norm {x}_{\ell ^p} < \infty \}\), \(\norm {x}_{\ell ^p} := \left (\sum _{k=1}^\infty |x_k|^p\right )^{1/p}\) für \(p \in [1, \infty )\)
\(\ell ^\infty := \{x \in \KK ^\natural \;|\; \norm {x}_{\ell ^\infty } < \infty \}\), \(\norm {x}_{\ell ^\infty } := \sup _{k \in \natural } |x_k|\)
\(c_0 := \{x \in \KK ^\natural \;|\; \lim _{k \to \infty } x_k = 0\}\), \(\norm {\cdot }_{\ell ^\infty }\)
\(c := \{x \in \KK ^\natural \;|\; x \text { konvergiert}\}\), \(\norm {\cdot }_{\ell ^\infty }\)
\(c_\ast := \{x \in \KK ^\natural \;|\; x_k = 0 \text { für fast alle } k \in \natural \}\), \(\norm {\cdot }_{\ell ^p}\) für \(p \in [1, \infty ]\)

Beispiel: Funktionenräume
Seien \(M, K, \Omega \subset \real ^n\) nicht-leer mit \(K\) kompakt und \(\Omega \) offen. Die Räume sind auch definiert, falls \(\KK \) weggelassen wird, in diesem Fall gilt \(\KK = \real \).

\(B(M, \KK ) := \{f\colon M \rightarrow \KK \;|\; \norm {f}_\infty < \infty \}\), \(\norm {f}_\infty := \sup _{x \in M} |f(x)|\),
Raum der beschränkten Funktionen auf \(M\)
\(\C ^0(K, \KK ) := \{f\colon K \rightarrow \KK \;|\; f \text { stetig}\}\), \(\norm {f}_{\C ^0} := \sup _{x \in K} |f(x)|\),
Raum der stetigen Funktionen auf \(K\)
\(\C ^0_b(\Omega , \KK ) := \{f\colon \Omega \rightarrow \KK \;|\; f \text { stetig},\; \norm {f}_{\C _0} < \infty \}\), \(\norm {f}_{\C ^0} := \sup _{x \in \Omega } |f(x)|\),
Raum der stetigen, beschränkten Funktionen auf \(\Omega \)
\(\C ^0_c(\Omega , \KK ) := \{f \in \C ^0_b(\Omega , \KK ) \;|\; \supp f \subset \Omega \text { kompakt}\}\), \(\norm {\cdot }_{\C ^0}\),
Raum der stetigen, beschränkten Funktionen mit kompaktem Träger in \(\Omega \)
\(\C ^0_\unif (\Omega , \KK ) := \BUC (\Omega , \KK ) := \{f \in \C ^0_b(\Omega , \KK ) \;|\; f \text { gleichmäßig stetig auf } \Omega \}\), \(\norm {\cdot }_{\C ^0}\),
Raum der gleichmäßig stetigen, beschränkten Funktionen auf \(\Omega \)
\(\C ^{0,\alpha }(\Omega , \KK ) := \{f \in \C ^0_b(\Omega , \KK ) \;|\; \norm {f}_{\C ^{0,\alpha }} < \infty \}\), \(\alpha \in (0, 1]\), \(\norm {f}_{\C ^{0,\alpha }} := \norm {f}_{\C ^0} + [f]_{\C ^{0,\alpha }}\),
\([f]_{\C ^{0,\alpha }} := \sup _{x, y \in \Omega ,\; x \not = y} \frac {|f(x) - f(y)|}{\norm {x - y}^\alpha }\), Raum der Hölder-stetigen Funktionen auf \(\Omega \),
für \(\alpha = 1\) ist \(\C ^{0,1}(\Omega , \KK ) =: \Lip (\Omega , \KK )\) der Raum der Lipschitz-stetigen Funktionen auf \(\Omega \)
\(\C ^m(K, \KK ) := \{f\colon K \rightarrow \KK \;|\; \partial _x^j f \text { stetig auf } \overset {\circ }{K} = \interior K,\; \text {stetig fortsetzb. auf } K,\; |j| \le m\}\),
\(\norm {f}_{\C ^m} := \sum _{|j| \le m} \norm {\partial _x^j f}_{\C ^0}\), Raum der \(m\)-fach stetig differenzierbaren Funktionen auf \(K\)
(dabei ist \(j = (j_1, \dotsc , j_n) \in \natural _0^n\) ein Multiindex mit \(|j| := j_1 + \dotsb + j_n\) sowie \(x = (x_1, \dotsc , x_n)\) und \(\partial _x^j = \partial _{x_1}^{j_1} \dotsb \partial _{x_n}^{j_n}\))
\(\C ^m_b(\Omega , \KK ) := \{f\colon \Omega \rightarrow \KK \;|\; \partial _x^j f \text { stetig},\; \norm {\partial _x^j f}_{\C ^0} < \infty ,\; |j| \le m\}\), \(\norm {\cdot }_{\C ^m}\),
Raum der \(m\)-fach stetig diffb., in allen Ableitungen beschränkten Funktionen auf \(\Omega \)
\(\C ^m_c(\Omega , \KK ) := \{f \in \C ^m_b(\Omega , \KK ) \;|\; \partial _x^j f \text { stetig},\; \supp f \subset \Omega \text { kompakt}\}\), \(\norm {\cdot }_{\C ^m}\),
Raum der \(m\)-fach stetig diffb. Funktionen mit kompaktem Träger in \(\Omega \)
\(\C ^m_\unif (\Omega , \KK ) := \{f \in \C ^m_b(\Omega , \KK ) \;|\; \partial _x^j f \in \C ^0_\unif (\Omega , \KK ),\; |j| \le m\}\), \(\norm {\cdot }_{\C ^m}\),
Raum der \(m\)-fach stetig diffb., in allen Ableitungen glm. stetigen Funktionen auf \(\Omega \)
\(\C ^{m,\alpha }(\Omega , \KK ) := \{f \in \C ^m_b(\Omega , \KK ) \;|\; \partial _x^j f \in \C ^{0,\alpha }(\Omega , \KK ) \text { für } |j| = m\}\),
\(\norm {f}_{\C ^{m,\alpha }} := \norm {f}_{\C ^{m-1}} + \sum _{|j|=m} \norm {\partial _x^j f}_{\C ^{0,\alpha }}\) (für \(m \ge 1\)),
Raum der \(m\)-fach stetig diffb., in den \(m\)-ten Ableitungen Hölder-stetigen Fkt.en auf \(\Omega \)

Halbnorm: Sei \(X\) ein \(\KK \)-Vektorraum. Eine Abbildung \([\cdot ]\colon X \rightarrow \real \) heißt Halbnorm, falls sie alle Norm-Eigenschaften außer die Definitheit (\([x] = 0 \iff x = 0\)) erfüllt.
\(X\) zusammen mit \([\cdot ]\) heißt halbnormierter Raum.

Satz (Faktorisierung von halbnormierten Räumen): Sei \((X, [\cdot ])\) ein halbnormierter Raum.

\(\Kern ([\cdot ]) := \{x \in X \;|\; [x] = 0\}\) ist ein Unterraum von \(X\).
\(X/\Kern ([\cdot ])\) mit der kanonischen Quotientenvektorraum-Struktur und der Norm
\(\norm {x + \Kern ([\cdot ])} := [x]\) ist ein normierter Raum.

Bemerkung: Dabei ist \(X/\Kern ([\cdot ]) := \{\widehat {x} \;|\; x \in X\}\) mit \(\widehat {x} := x + \Kern ([\cdot ]) = \{y \in X \;|\; x \sim y\}\), wobei die Äquivalenzrelation \(\sim \) durch \(x \sim y \iff x - y \in \Kern ([\cdot ])\) definiert ist. Dadurch wird \(X/\Kern ([\cdot ])\) mit den Operationen \(\widehat {x} + \widehat {y} := \widehat {x + y}\) und \(\alpha \widehat {x} := \widehat {\alpha x}\) zu einem Vektorraum mit Nullelement \(\Kern ([\cdot ])\).

\(\L ^p_\KK (\Omega )\)-, \(L^p_\KK (\Omega )\)-, \(\ell ^p_\KK \)-Räume: Sei \((\Omega , \Sigma , \lambda )\) ein Maßraum, also \(\Sigma \) eine \(\sigma \)-Algebra über \(\Omega \) und \(\lambda \) ein Maß über \((\Omega , \Sigma )\). Definiere \(\L ^p_\KK (\Omega ) := \{f\colon \Omega \rightarrow \KK \;|\; f \text { ist } (\Sigma , \lambda )\text {-messbar},\; [f]_{L^p} < \infty \}\), wobei \([f]_{L^p} := \left (\int _\Omega |f|^p d\lambda \right )^{1/p}\) für \(1 \le p < \infty \) und \([f]_{L^\infty } := \inf _{B \in \Sigma ,\; \lambda (B) = 0} \sup _{x \in \Omega \setminus B} |f(x)|\).
Dadurch wird \((\L ^p_\KK (\Omega ), [\cdot ]_{L^p})\) zum halbnormierten Raum.
Gemäß obigem Satz ist \(L^p_\KK (\Omega ) := \L ^p_\KK (\Omega )/\Kern ([\cdot ]_{L^p})\) mit \(\norm {f}_{L^p} := [f]_{L^p}\) ein normierter Raum, wobei \(\Kern ([\cdot ]_{L^p}) = \{f \in \L ^p_\KK (\Omega ) \;|\; f = 0 \;\lambda \text {-f.ü.}\}\).
Für \(\Omega = \natural \), \(\Sigma = \pot (\natural )\) und \(\lambda \) gleich dem Zählmaß (oder Diracmaß), definiert durch \(\lambda (B) := |B|\) für \(B \subset \natural \), definiert man \(\ell ^p_\KK := L^p_\KK (\natural ) \cong \L ^p_\KK (\natural )\).
Außerdem legt man fest, dass \(\KK = \real \) ist, wenn \(\KK \) bei \(\L ^p_\KK (\Omega )\), \(L^p_\KK (\Omega )\) oder \(\ell ^p_\KK \) weggelassen wird.

konjugierte Zahl: Sei \(p \in [1, \infty ]\).
Dann heißt \(p’ \in [1, \infty ]\) mit \(\frac {1}{p} + \frac {1}{p’} = 1\) die zu \(p\) konjugierte Zahl (wobei \(\frac {1}{\infty } := 0\)).

Lemma (Youngsche Ungleichung): Seien \(a, b \ge 0\) und \(p \in (1, \infty )\). Dann ist \(ab \le \frac {1}{p} a^p + \frac {1}{p’} b^{p’}\).

Satz (Höldersche Ungleichung): Seien \(p \in [1, \infty ]\), \(f \in L^p(\Omega )\) und \(g \in L^{p’}(\Omega )\).
Dann ist \(fg \in L^1(\Omega )\) und \(\norm {fg}_{L^1} \le \norm {f}_{L^p} \norm {g}_{L^{p’}}\).

Satz (Minkowskische Ungleichung): Seien \(p \in [1, \infty ]\) und \(f, g \in L^p(\Omega )\).
Dann ist \(f + g \in L^p(\Omega )\) und \(\norm {f + g}_{L^p} \le \norm {f}_{L^p} + \norm {g}_{L^p}\).

Bemerkung: Für \(\lambda (\Omega ) < \infty \) (d. h. \(\lambda \) ist ein endliches Maß) und \(p, q \in [1, \infty ]\) mit \(p < q\) gilt \(L^q(\Omega ) \subset L^p(\Omega )\), genauer \(\exists _{C > 0} \forall _{f \in L^q(\Omega )}\; \norm {f}_{L^p} \le C \norm {f}_{L^q}\).

Metriken

Metrik: Sei \(X \not = \emptyset \). Eine Abbildung \(d\colon X \times X \rightarrow \real \) heißt Metrik, falls

\(\forall _{x, y \in X}\; d(x, y) \ge 0 \;\land \; [d(x, y) = 0 \iff x = y]\) (Positivität und Definitheit),
\(\forall _{x, y \in X}\; d(x, y) = d(y, x)\) (Symmetrie) und
\(\forall _{x, y, z \in X}\; d(x, y) \le d(x, z) + d(z, y)\) (Dreiecksungleichung).

\(X\) zusammen mit \(d\) heißt metrischer Raum.

Halbmetrik: Erfüllt \(d\) alle Metrik-Eigenschaften außer die Definitheit
(\(d(x, y) = 0 \iff x = y\)), so heißt \(d\) Halbmetrik.
\(X\) zusammen mit \(d\) heißt halbmetrischer Raum.

Bemerkung: Durch Verwendung von Quotientenräumen kann man wie bei halbnormierten Räumen halbmetrische Räume zu metrischen Räumen machen.

Satz (induzierte Metrik):

Sei \((X, \norm {\cdot })\) ein normierter Raum. Dann ist durch \(d(x, y) := \norm {x - y}\) eine Metrik (die sog. induzierte Metrik) definiert, die folgende zusätzliche Eigenschaften besitzt:
- \(\forall _{x, y, z \in X}\; d(x + z, y + z) = d(x, y)\) (Translationsinvarianz) und
- \(\forall _{x, y \in X} \forall _{\alpha \in \KK }\; d(\alpha x, \alpha y) = |\alpha | \cdot d(x, y)\) (Homogenität).
Sei \((X, d)\) ein metrischer Raum. Außerdem sei \(X\) ein \(\KK \)-Vektorraum, sodass \(d\) translationsinvariant und homogen ist. Dann ist durch \(\norm {x} := d(x, 0)\) eine Norm definiert, die die Metrik \(d\) induziert.

Beispiel: Für \(X \not = \emptyset \) ist \(d(x, y) := 0\) für \(x = y\) und \(d(x, y) := 1\) sonst eine Metrik, die diskrete Metrik. Falls \(X\) ein \(\KK \)-Vektorraum ist, wird sie von keiner Norm induziert, wenn \(|X| \ge 2\).