Funktionalanalysis 1 – Anwendungen bei elliptischen RWP und Sobolevräume

Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen

Bemerkung: Sei \(\Omega \subset \real ^n\) ein beschränktes Normalgebiet, d. h. eine beschränkte, offene, nicht-leere und zusammenhängende Teilmenge von \(\real ^n\), sodass der Gaußsche Integralsatz anwendbar ist. Für \(f \in \C ^0(\overline {\Omega })\) sei außerdem \(E(w) := \int _\Omega (\frac {1}{2} |\nabla w|^2 - fw) \dx \).
Zusätzlich sei \(\A _g := \C ^1_g(\overline {\Omega }) \cap \C ^2(\Omega )\), wobei \(g \in \C ^0(\partial \Omega )\) und \(\C ^1_g(\overline {\Omega }) := \{w \in \C ^1(\overline {\Omega }) \;|\; w|_{\partial \Omega } = g\}\).
Das Minimumproblem lautet nun: Nimmt \(E\) auf \(\A _g\) ein Minimum an?

Beispiele aus der Physik beinhalten eingespannte Membranen im Schwerefeld der Erde, elektrische Potentiale oder stationäre Temperaturverteilungen.

Bemerkung: Die Lösung (falls existent) lässt sich wie folgt charakterisieren.

Satz (Charakterisierung der Lösung des Minimumproblems): Für \(u \in \A _g\) sind äquivalent:

\(E(u) = \min _{w \in \A _g} E(w)\)
\(\forall _{\varphi \in \C ^\infty _c(\Omega )}\; \int _\Omega (\nabla u \nabla \varphi - f \varphi )\dx = 0\)
\(-\Delta u = f\) in \(\Omega \), \(u = g\) auf \(\partial \Omega \)

Lemma (Fundamentallemma der Variationsrechnung): Sei \(f \in \C ^0(\Omega )\).
Dann gilt \(\forall _{\varphi \in \C ^\infty _c(\Omega )}\; \int _\Omega f\varphi \dx = 0\) genau dann, wenn \(f \equiv 0\).

Lemma (Greensche Formel): Für alle \(u, w \in \C ^2(\overline {\Omega })\) gilt
\(\int _\Omega \nabla u \nabla w \dx = -\int _\Omega (\Delta u) w \dx + \int _{\partial \Omega } \frac {\partial u}{\partial \nu } w do\), wobei \(\frac {\partial u}{\partial \nu }\) die Ableitung von \(u\) in Richtung des äußeren Einheitsnormalenvektors ist.

Bemerkung: „(1) \(\Rightarrow \) (2)“ kann man wie folgt beweisen: Für \(\varphi \in \C ^\infty _c(\Omega )\) und \(h > 0\) gilt
\(E(u) \le E(u \pm h\varphi ) = \int _\Omega (\frac {1}{2} |\nabla (u \pm h\varphi )|^2 - f(u \pm h\varphi )) \dx \)
\(= \int _\Omega (\frac {1}{2} |\nabla u|^2 + \frac {h^2}{2} |\nabla \varphi |^2 \pm h \nabla u \nabla \varphi - fu \mp h f\varphi ) \dx = E(u) \pm h \int _\Omega (\nabla u \nabla \varphi - f\varphi ) \dx + \frac {h^2}{2} \int _\Omega |\nabla \varphi |^2 \dx \), also \(0 \le \pm \int _\Omega (\nabla u \nabla \varphi - f\varphi ) \dx + \frac {h}{2} \int _\Omega |\nabla \varphi |^2 \dx \). Für \(h \to 0\) fällt der zweite Summand weg und man erhält \(0 \le \pm \int _\Omega (\nabla u \nabla \varphi - f\varphi ) \dx \).

„(2) \(\iff \) (3)“ sieht man wie folgt: Mit der Greenschen Formel ist (2) äquivalent zu
\(\forall _{\varphi \in \C ^\infty _c(\Omega )}\; 0 = \int _\Omega (\nabla u \nabla \varphi - f\varphi ) \dx = \int _\Omega (-\Delta u - f) \varphi \dx \), weil das Integral über \(\partial \Omega \) wegfällt (da \(\varphi = 0\) auf \(\partial \Omega \)). Nach dem Fundamentallemma der Variationsrechnung ist dies äquivalent zu \(-\Delta u = f\) in \(\Omega \). \(u = g\) auf \(\partial G\) gilt immer, da \(u \in \A _g\) nach Voraussetzung.

„(3) \(\Rightarrow \) (1)“ zeigt man folgendermaßen: Für \(w \in \A _g\) beliebig gilt nach der Greenschen Formel \(\int _\Omega (\nabla u \nabla (u - w) - f(u - w))\dx = \int _\Omega ((-\Delta u)(u - w) - f(u - w)) \dx + \int _{\partial \Omega } \frac {\partial u}{\partial \nu } (u - w) do = 0\), weil \(-\Delta u = f\) in \(\Omega \) und \(u|_{\partial \Omega } = w|_{\partial \Omega } = g\). Daraus folgt
\(\int _\Omega (|\nabla u|^2 - fu) \dx = \int _\Omega (\nabla u \nabla w - fw) \dx \le \frac {1}{2} \int _\Omega |\nabla u|^2 \dx + \frac {1}{2} \int _\Omega |\nabla w|^2 \dx - \int _\Omega fw \dx \) wegen der Ungleichung \(0 \le |\nabla u - \nabla w|^2 = |\nabla u|^2 + |\nabla w|^2 - 2 \nabla u \nabla w\).
Damit gilt \(E(u) = \int _\Omega (\frac {1}{2} |\nabla u|^2 - fu) \dx \le \int _\Omega (\frac {1}{2} |\nabla w|^2 - fw) \dx = E(w)\).

Bemerkung: Notwendige Bedingung für die Existenz einer Lösung von (3) (Poisson-Gleichung mit inhomogenen Dirichlet-Randbedingungen) ist die Existenz einer Funktion \(u_g \in \A _g\) (d. h. \(\A _g = \C ^1_g(\overline {\Omega }) \cap \C ^2(\Omega ) \not = \emptyset \)). Existiert eine solche Funktion, dann ist (3) äquivalent zu \(-\Delta \widetilde {u} = \widetilde {f}\) in \(\Omega \), \(\widetilde {u} = 0\) auf \(\partial \Omega \) mit \(\widetilde {u} := u - u_g\), \(\widetilde {f} := f + \Delta u_g\). Daher genügt es, wenn im Folgenden nur homogene Dirichlet-Randbedingungen (also \(g \equiv 0\)) betrachtet werden. (Achtung: \(\C ^1_g = \C ^1_0\) darf nicht mit \(\C ^1_c\) verwechselt werden!)

Bemerkung: Nun zeigt man, dass das Minimum überhaupt existiert.

Satz (Poincaré-Ungleichung): Sei \(\Omega \subset \real ^n\) ein Gebiet, das zwischen zwei parallelen Hyperebenen mit Abstand \(C\) liegt. Dann gilt \(\forall _{u \in \C ^1_0(\overline {\Omega })}\; \norm {u}_{L^2} \le \frac {C}{\sqrt {2}} \norm {\nabla u}_{L^2}\).

Bemerkung: Dabei gilt \(\norm {\nabla u}_{L^2}^2 = \sum _{i=1}^n \int _\Omega |\partial _{x_i} u|^2 \dx = \sum _{i=1}^n \norm {\partial _{x_i} u}_{L^2}^2\).

Lemma (\(\varepsilon \)-Ungleichung): Für \(a, b \in \real \) und \(\varepsilon > 0\) gilt \(ab \le \varepsilon a^2 + \frac {b^2}{4\varepsilon }\).

Satz (Beschränktheit nach unten): \(E\) ist auf \(\A _0\) nach unten beschränkt.

Bemerkung: Da \(E\) auf \(\A _0\) nach unten beschränkt ist, existiert eine Minimalfolge \((u_n)_{n \in \natural }\) in \(\A _0\). Weil \(\A _0\) konvex ist, kann man wie im Beweis des Projektionssatzes mithilfe der Parallelogrammgleichung zeigen, dass \((\partial _{x_i} u_n)_{n \in \natural }\) für alle \(i = 1, \dotsc , n\) eine Cauchy-Folge bzgl. \(\norm {\cdot }_{L^2}\) ist. Aufgrund der Poincaré-Ungleichung folgt, dass auch \((u_n)_{n \in \natural }\) eine Cauchy-Folge bzgl. \(\norm {\cdot }_{L^2}\) ist.

(\((u_n)_{n \in \natural }\) ist auch eine Cauchy-Folge bzgl. der Norm \(\norm {\cdot }_{H^1}\) mit \(\norm {f}_{H^1} := \norm {f}_{L^2} + \norm {\nabla f}_{L^2}\) sowie bzgl. der (in diesem Fall zur \(H_1\)-Norm äquivalenten) Norm \(\norm {\cdot }_{H^1_0}\) mit \(\norm {f}_{H^1_0} := \norm {\nabla f}_{L^2}\). Allerdings ist \(\A _0\) bzgl. dieser Normen nicht vollständig.)

\(L^2\) ist vollständig, daher existieren \(u \in L^2\) mit \(u_n \xrightarrow {\norm {\cdot }_{L^2}} u\) und „\(\partial _{x_i} u\)“ mit \(\partial _{x_i} u_n \xrightarrow {\norm {\cdot }_{L^2}} \partial _{x_i} u\). „\(\partial _{x_i} u\)“ ist aber nur eine Schreibweise, i. A. besitzt \(u\) keine partiellen Ableitungen. Zwischen \(u\) und den Funktionen „\(\partial _{x_i} u\)“ besteht folgende Beziehung: \(\forall _{\varphi \in \C ^\infty _c(\Omega )}\; \int _\Omega (\partial _{x_i} u) \varphi \dx = -\int _\Omega u \partial _{x_i} \varphi \dx \) (weil \(\int _\Omega (\partial _{x_i} u) \varphi \dx = \lim _{n \to \infty } \int _\Omega (\partial _{x_i} u_n) \varphi \dx = -\lim _{n \to \infty } \int _\Omega u_n (\partial _{x_i} \varphi ) \dx = -\int _\Omega u \partial _{x_i} \varphi \dx \)). Dies motiviert die Definition der Sobolevräume.

Sobolevräume und schwache Ableitungen

Sobolevraum: Seien \(\Omega \subset \real ^n\) offen, \(m \in \natural \) und \(p \in [1, \infty ]\).
Dann heißt der Vektorraum \(W^{m,p}(\Omega ) := \{f \in L^p(\Omega ) \;|\; \forall _{s \in \natural _0^n,\, |s| \le m} \exists _{f^{(s)} \in L^p(\Omega )}\; f^{(0)} = f,\)
\(\forall _{\varphi \in \C ^\infty _c(\Omega )}\; \int _\Omega (\partial _x^s \varphi ) f \dx = (-1)^{|s|} \int _\Omega \varphi f^{(s)} \dx \}\) Sobolevraum der Ordnung \(m\) mit Exponent \(p\).
\(W^{m,p}(\Omega )\) wird mit der Norm \(\norm {f}_{W^{m,p}(\Omega )} := \sum _{|s| \le m} \norm {f^{(s)}}_{L^p(\Omega )}\) versehen. Für \(p = 2\) schreibt man auch \(H^m(\Omega ) := W^{m,2}(\Omega )\) bzw. \(\norm {\cdot }_{H^m(\Omega )} := \norm {\cdot }_{W^{m,2}(\Omega )}\).

schwache Ableitung: Die Funktionen \(f^{(s)}\) für \(|s| \ge 1\) heißen schwache Ableitungen von \(f\) und werden mit \(\partial _x^s f := f^{(s)}\) bezeichnet.

Bemerkung: Eine alternative Definition der Norm lautet \(\norm {f}_{W^{m,p}(\Omega )}’ := \left (\sum _{|s| \le m} \norm {\partial _x^s f}_{L^p(\Omega )}^p\right )^{1/p}\) (bzw. für \(p = \infty \) das Maximum \(\norm {f}_{W^{m,\infty }(\Omega )}’ := \max _{|s| \le m} \norm {\partial _x^s f}_{L^\infty (\Omega )}\)). Allerdings kann man zeigen, dass \(\norm {\cdot }_{W^{m,p}(\Omega )}\) und \(\norm {\cdot }_{W^{m,p}(\Omega )}’\) äquivalent sind.

Sobolevraum mit Nullrandwerten: Der Raum \(W_0^{m,p}(\Omega ) := \overline {\C ^\infty _c(\Omega )}^{\norm {\cdot }_{W^{m,p}(\Omega )}}\) für
\(p \in [1, \infty )\) heißt Sobolevraum mit (verallgemeinerten) Nullrandwerten der Ordnung \(m\) mit Exponent \(p\). Für \(p = 2\) schreibt man auch \(H_0^m(\Omega ) := W_0^{m,2}(\Omega )\).

Bemerkung: Für \(m = 1\) gilt \(W_0^{1,p}(\Omega ) = \{f \in W^{1,p}(\Omega ) \;|\; f|_{\partial \Omega } = 0\}\).
Für \(p = 2\) ist \(\innerproduct {f, g}_{H^m(\Omega )} := \sum _{|s| \le m} \innerproduct {\partial _x^s f, \partial _x^s g}_{L^2(\Omega )} = \sum _{|s| \le m} \int _\Omega (\partial _x^s f) (\partial _x^s g) \dx \) ein Skalarprodukt auf \(H^m(\Omega )\). Für \(m = 1\) und \(p = 2\) ist \(\innerproduct {f, g}_{H^1_0(\Omega )} := \innerproduct {\nabla f, \nabla g}_{L^2(\Omega )} := \sum _{i=1}^n \int _\Omega (\partial _x^{e_i} f) (\partial _x^{e_i} g) \dx \) mit \(e_i := (0, \dotsc , 0, 1, 0, \dotsc , 0) \in \natural _0^n\) ein Skalarprodukt auf \(H^1_0(\Omega )\).
Es gilt \(\innerproduct {f, g}_{H^1(\Omega )} = \innerproduct {f, g}_{L^2(\Omega )} + \innerproduct {\nabla f, \nabla g}_{L^2(\Omega )}\).

Satz (schwache Ableitungen):

Alle schwachen Ableitungen sind eindeutig bestimmt (wenn sie existieren).
Besitzt \(f \in W^{m,p}(\Omega )\) eine partielle Ableitung \(\partial _x^s f\) mit \(|s| \le m\), dann stimmt \(\partial _x^s f\) fast überall mit der schwachen Ableitung \(f^{(s)}\) überein.

Lemma (verallgemeinertes Fundamentallemma der Variationsrechnung):
Seien \(\Omega \subset \real ^n\) offen und \(f \in L^1(\Omega )\).
Dann gilt \(\forall _{\varphi \in \C ^\infty _c(\Omega )}\; \int _\Omega f\varphi \dx = 0\) genau dann, wenn \(f = 0\) f.ü.

Satz (Eigenschaften der Sobolevräume):

\((W^{m,p}(\Omega ), \norm {\cdot }_{W^{m,p}(\Omega )})\) ist ein Banachraum. \((H^m(\Omega ), \norm {\cdot }_{H^m(\Omega )})\) ist ein Hilbertraum.
Für \(p \in [1, \infty )\) ist \(W^{m,p}(\Omega )\) separabel.
\((W^{m,p}(\Omega ), \norm {\cdot }_{W^{m,p}(\Omega )})\) ist (bis auf isometrische Isomorphie) die Vervollständigung der Räume \(W^{m,p}(\Omega ) \cap \C ^\infty (\Omega ) = \{f \in \C ^\infty (\Omega ) \;|\; \norm {f}_{W^{m,p}(\Omega )} < \infty \}\).
Für \(p \in [1, \infty )\) und alle \(f \in W^{m,p}(\Omega )\) gibt es eine Folge \((f_n)_{n \in \natural }\) in \(W^{m,p}(\Omega ) \cap \C ^\infty (\Omega )\) mit \(f_n \xrightarrow {\norm {\cdot }_{W^{m,p}(\Omega )}} f\), es gilt also \(W^{m,p}(\Omega ) = \overline {W^{m,p}(\Omega ) \cap \C ^\infty (\Omega )}^{\norm {\cdot }_{W^{m,p}(\Omega )}}\) für \(p \in [1, \infty )\).

Schwache Lösung der Poisson-Gleichung mit Dirichlet-RB

Satz (verallgemeinerte Poincaré-Ungleichung): Sei \(\Omega \subset \real ^n\) ein Gebiet, das zwischen zwei parallelen Hyperebenen mit Abstand \(C\) liegt. Dann gilt \(\forall _{u \in H^1_0(\Omega )}\; \norm {u}_{L^2} \le \frac {C}{\sqrt {2}} \norm {\nabla u}_{L^2}\),
wobei \(\norm {\nabla u}_{L^2} := \left (\sum _{i=1}^n \norm {\partial _{x_i} u}_{L^2}^2\right )^{1/2}\).

Folgerung: Die Normen \(\norm {\cdot }_{H^1(\Omega )}\) und \(\norm {\cdot }_{H_0^1(\Omega )}\) auf \(H_0^1(\Omega )\) sind äquivalent, wenn \(\Omega \) ein Gebiet wie im vorherigen Satz ist.

Satz (schwache Lösung):
Seien \(\Omega \subset \real ^n\) ein beschränktes Normalgebiet, \(f \in L^2(\Omega )\) und \(E(w) := \int _\Omega (\frac {1}{2} |\nabla w|^2 - fw)\dx \).
Dann besitzt \(E\) auf \(H_0^1(\Omega )\) eine eindeutige Minimalstelle \(u\) und \(u\) ist die eindeutige schwache Lösung des Dirichlet-Problems für die Poisson-Gleichung \(-\Delta u = f\) in \(\Omega \), \(u = 0\) auf \(\partial \Omega \), d. h. es gilt \(\forall _{\varphi \in H_0^1(\Omega )}\; \int _\Omega (\nabla u \nabla \varphi - f\varphi )\dx = 0\).

Bemerkung: Es gibt eine nur von \(\Omega \) abhängige Konstante \(C > 0\) mit \(\norm {u}_{H^1} \le C \norm {f}_{L^2}\).

Zusatz: Poisson-Gleichung mit Neumann-Randbedingungen

Bemerkung: Sei \(\Omega \subset \real ^n\) ein beschränktes Normalgebiet.
Für \(f \in \C ^0(\overline {\Omega })\) und \(g \in \C ^0(\partial \Omega )\) sei außerdem \(E_g(w) := \int _\Omega (\frac {1}{2} |\nabla w|^2 - fw) \dx - \int _{\partial \Omega } gw do\).
Zusätzlich sei \(\A := \C ^1(\overline {\Omega }) \cap \C ^2(\Omega )\).

Das Minimumproblem lautet nun: Nimmt \(E_g\) auf \(\A \) ein Minimum an?

Satz (Charakterisierung der Lösung des Minimumproblems): Sei \(u \in \A \). Dann sind äquivalent:

\(E_g(u) = \min _{w \in \A } E_g(w)\)
\(\forall _{\varphi \in \C ^\infty (\Omega )}\; \int _\Omega (\nabla u \nabla \varphi - f \varphi )\dx - \int _{\partial \Omega } g\varphi do = 0\)
\(-\Delta u = f\) in \(\Omega \), \(\frac {\partial u}{\partial \nu } = g\) auf \(\partial \Omega \)

In diesem Fall gilt notwendigerweise \(\int _\Omega f\dx + \int _{\partial \Omega } g do = 0\).

Satz (Poincaré-Ungleichung mit Mittelwert): Sei \(\Omega \subset \real ^n\) ein beschränktes und konvexes Gebiet mit Durchmesser \(h\). Dann gibt es ein \(C > 0\) mit \(\forall _{u \in \C ^1(\overline {\Omega })}\; \norm {u - Mu}_{L^2} \le Ch \norm {\nabla u}_{L^2}\), wobei \(Mu := \frac {\int _\Omega u\dx }{\int _\Omega 1\dx }\) der Mittelwert von \(u\) auf \(\Omega \) ist.

Satz (Beschränktheit nach unten): Seien \(\Omega \subset \real ^n\) ein beschränktes und konvexes Normalgebiet und \(\int _\Omega f\dx + \int _{\partial \Omega } g do = 0\). Dann ist \(E_g\) auf \(\A \) nach unten beschränkt.

Satz (schwache Lösung): Seien \(\Omega \subset \real ^n\) ein beschränktes und konvexes Normalgebiet,
\(f \in L^2(\Omega )\) mit \(\int _\Omega f\dx = 0\) und \(E_0(w) := \int _\Omega (\frac {1}{2} |\nabla w|^2 - fw)\dx \).
Dann besitzt \(E_0\) auf \(H^1(\Omega )\) eine eindeutige Minimalstelle \(u\) und \(u\) ist die eindeutige schwache Lösung des Neumann-Problems für die Poisson-Gleichung \(-\Delta u = f\) in \(\Omega \), \(\frac {\partial f}{\partial \nu } = 0\) auf \(\partial \Omega \), d. h. es gilt \(\forall _{\varphi \in H^1(\Omega )}\; \int _\Omega (\nabla u \nabla \varphi - f\varphi )\dx = 0\).

Verallgemeinerung auf elliptische Randwertprobleme

elliptische DGL: Sei \(\Omega \subset \real ^n\) ein beschränktes Normalgebiet.
Gesucht sind Funktionen \(u \in \C ^2(\Omega )\), die die elliptische DGL \(-\div (A \nabla u + h) + bu + f = 0\)
(d. h. \(-\sum _{i=1}^n \partial _{x_i} \!\left (\sum _{j=1}^n a_{ij} \partial _{x_j} u + h_i\right ) + bu + f = 0\)) erfüllen.
Dabei ist \(a_{ij}, h_i \in \C ^1(\Omega )\) für \(i, j = 1, \dotsc , n\), \(f, b \in \C ^0(\Omega )\) und \((a_{ij}(x))_{i,j=1,\dotsc ,n}\) sei gleichmäßig elliptisch in \(x\), d. h. \(\exists _{c_0 > 0} \forall _{x \in \Omega } \forall _{\xi \in \real ^n}\; \xi ^T A(x) \xi = \sum _{i,j=1}^n a_{ij}(x) \xi _i \xi _j \ge c_0 |\xi |^2\). (Für jedes \(c > 0\) und \(x \in \Omega \) beschreibt die Menge \(\left \{\xi \in \real ^n \;\left |\; \xi ^T A(x) \xi = c\right .\right \}\) eine Ellipse.)
Die Matrix \((a_{ij}(x))_{i,j=1,\dotsc ,n}\) kann auch unsymmetrisch sein.

Bemerkung: Ohne zusätzliche Bedingungen sind elliptische DGL nicht eindeutig lösbar. Meist bekommt man die eindeutige Lösbarkeit durch Einführung von Randbedingungen. Es folgen die beiden Randbedingungen, die in der mathematischen Physik am häufigsten vorkommen.

Dirichlet-Randbedingungen:
\(u\) löst die elliptische DGL in \(\Omega \) und erfüllt \(u = g\) auf \(\partial \Omega \) mit \(g \in \C ^0(\partial \Omega )\).

Neumann-Randbedingungen:
\(u\) löst die elliptische DGL in \(\Omega \) und erfüllt \(-\nu (A \nabla u + h) = -\sum _{i=1}^n \nu _i \left (\sum _{j=1}^n a_{ij} \partial _{x_j} u + h_i\right ) = g\) auf \(\partial \Omega \) mit \(g \in \C ^0(\partial \Omega )\), wobei \(\nu \) der äußere Einheitsnormalenvektor an \(\partial \Omega \) ist.

Bemerkung: Wie bei der Poisson-Gleichung führt man den Begriff einer schwachen Lösung ein. Seien dafür nun \(a_{ij} \in L^\infty (\Omega )\) und \((a_{ij}(x))_{i,j=1,\dotsc ,n}\) erfülle die Bedingung der gleichmäßigen Elliptizität fast überall auf \(\Omega \), \(b \in L^\infty (\Omega )\) und \(h_i, f \in L^2(\Omega )\). Aus denselben Gründen wie bei der Poisson-Gleichung genügt es, wenn man nur den Fall \(g = 0\) betrachtet.

schwache Lösung des Dirichlet-Problems: \(u \in H_0^1(\Omega )\) heißt schwache Lösung des
Dirichlet-Problems, falls \(\forall _{\varphi \in H_0^1(\Omega )}\; \int _\Omega (\nabla \varphi (A \nabla u + h) + \varphi (bu + f))\dx = 0\).

schwache Lösung des Neumann-Problems: \(u \in H^1(\Omega )\) heißt schwache Lösung des
Neumann-Problems, falls \(\forall _{\varphi \in H^1(\Omega )}\; \int _\Omega (\nabla \varphi (A \nabla u + h) + \varphi (bu + f))\dx = 0\).

Bemerkung: Zusätzlich sei vorausgesetzt, dass \(b \ge 0\) für das Dirichlet-Problem und \(b \ge b_0 > 0\) für das Neumann-Problem gilt. Dann gilt folgender Satz.

Satz (eindeutige Lösung von elliptischen DGL): Unter obigen Voraussetzungen existiert genau eine schwache Lösung des Dirichlet- bzw. des Neumann-Problems.

Bemerkung: Unter zusätzlichen Regularitätsannahmen an die Daten \(a_{ij}\), \(h_i\), \(b\), \(f\) und \(\partial \Omega \) kann man zeigen, dass die schwache Lösung so regulär ist, dass sie auch eine klassische Lösung ist. Beispielsweise folgt aus \(a_{ij} \in \C ^{m,1}(\Omega )\), \(h_i \in H^{m+1}(\Omega )\), \(f \in H^m(\Omega )\) und \(\partial \Omega \) lokal als Graph von \(\C ^{m+1,1}\)-Funktionen darstellbar, dass \(u \in H^{m+2}(\Omega )\), und damit für hinreichend großes \(m = m(n)\), dass \(u \in \C ^2(\Omega )\). Details siehe elliptische Regularitätstheorie (\(L^2\)-, \(L^p\)- und \(\C ^{0,\alpha }\)-Theorie) mithilfe der Sobolevschen Einbettungssätze (siehe Funktionalanalysis 2).

Ritz-Galerkin-Approximation für elliptische RWP

Satz (Ritz-Galerkin-Approximation): Sei \(u \in H^1_0(\Omega )\) bzw. \(u \in H^1(\Omega )\) die schwache Lösung des Dirichlet- bzw. Neumann-Problems. Für \(N \in \natural \) sei \(X_N\) ein \(N\)-dimensionaler Unterraum von \(H_0^1(\Omega )\) bzw. von \(H^1(\Omega )\) mit der Basis \(\{\varphi _k^{(N)} \;|\; k = 1, \dotsc , N\}\).
Dann existiert genau ein \(u_N \in X_N\) (Ritz-Galerkin-Approximation), sodass
\(\forall _{\varphi \in X_n}\; \int _\Omega (\nabla \varphi (A \nabla u + h) + \varphi (bu_N + f))\dx = 0\).
Es gilt \(u_N = \sum _{k=1}^N u_{N,k} \varphi _k^{(N)}\), wobei sich die Koeffizienten \(u_{N,k} \in \real \) als eindeutige Lösung des LGS \(\sum _{\ell =1}^N a_{k\ell }^{(N)} u_{N,\ell } + c_k^{(N)} = 0\), \(k = 1, \dotsc , N\) mit \(c_k^{(N)} := \int _\Omega (\nabla \varphi _k^{(N)} h + \varphi _k^{(N)} f)\dx \) und \(a_{k\ell }^{(N)} := \int _\Omega (A \nabla \varphi _k^{(N)} \nabla \varphi _\ell ^{(N)} + b\varphi _k^{(N)} \varphi _\ell ^{(N)}) \dx \) bestimmen lassen.

Bemerkung: Die Nachweis der Struktur des LGS erfolgt durch direktes Nachrechnen. Der Beweis der eindeutigen Existenz von \(u_N\) kann man mit Lax-Milgram (angewendet im Hilbertraum \(X_N\)) durchführen oder man zeigt, dass die Voraussetzungen an \(a_{ij}\), insbesondere die gleichmäßige Elliptizitätsbedingung, die Invertierbarkeit der Matrix des LGS implizieren.

Lemma (Céa-Lemma): Es gilt \(\norm {u - u_N}_{H^1} \le C \cdot \inf _{v \in X_N} \norm {u - v}_{H^1}\), wobei die Konstante \(C > 0\) nur von den Konstanten im Satz von Lax-Milgram abhängt.

Bemerkung: Das Céa-Lemma ist die zentrale Fehlerabschätzung für Ritz-Galerkin-Approximationen. Es besagt, dass die Ritz-Galerkin-Approximation bis auf eine multiplikative Konstante die beste Approximation ist. Weil \(H^1\) separabel ist, können die \(X_N\) so gewählt werden, dass \(\inf _{v \in X_N} \norm {u - v}_{H^1} \xrightarrow {N \to \infty } 0\).
Für weitere Fehlerabschätzungen bzgl. numerischer Verfahren, die bei der numerischen Berechnung der Ritz-Galerkin-Approximation eingesetzt werden (Interpolation, numerische Integration, iterative LGS-Löser) siehe Numerik-Veranstaltungen.