Algorithmische Geometrie – Hyperebenenarrangements und Dualität

Hyperebenenarrangements

Äquivalenzrelation ${\sim }_{\mathcal{H}}$ auf ${\mathbb{R}}^d$: Eine Hyperebene $h=\{x\in {\mathbb{R}}^d|⟨x,a_h⟩=c_h\}$ induziert die Partition ${\mathbb{R}}^d=h\dot{\cup }\{x\in {\mathbb{R}}^d|⟨x,a_h⟩>c_h\}\dot{\cup }\{x\in {\mathbb{R}}^d|⟨x,a_h⟩<c_h\}$ von ${\mathbb{R}}^d$.
Definiere ${\sigma }_h:{\mathbb{R}}^d\to \{-1,0,+1\}$ mit ${\sigma }_h(x):=\mathrm{sgn}(⟨x,a_h⟩-c_h)$ (Lage von $x$ bzgl. $h$).
Für eine Familie $\mathcal{H}:=\{h_1,\dots ,h_n\}$ von Hyperebenen sei ${\sigma }_{\mathcal{H}}:{\mathbb{R}}^d\to \{-1,0,+1{\}}^n$ mit
${\sigma }_{\mathcal{H}}(x):=({\sigma }_{h_1}(x),\dots ,{\sigma }_{h_n}(x))$.
Dann ist ${\sim }_{\mathcal{H}}$ eine Äquivalenzrelation auf ${\mathbb{R}}^d$, wobei $x{\sim }_{\mathcal{H}}y$ gelte, falls ${\sigma }_{\mathcal{H}}(x)={\sigma }_{\mathcal{H}}(y)$.

Hyperebenenarrangement: Sei $\mathcal{H}=\{h_1,\dots ,h_n\}$ eine Familie von Hyperebenen.
Dann heißt die Menge ${\mathbb{R}}^d/{\sim }_{\mathcal{H}}\subset \mathcal{P}({\mathbb{R}}^d)$ aller Äquivalenzklassen bzgl. ${\sim }_{\mathcal{H}}$
Hyperebenenarrangement (HE-Arrangement oder HEA).

Jede Äquivalenzklasse ist als Schnitt von (konvexen) Halbräumen konvex.

Fragen:

• Wie kann man HE-Arrangements berechnen?

• Was ist die Komplexität eines HE-Arrangements?

Man nimmt an, dass die Hyperebenen in allgemeiner Lage liegen, d. h. der Schnitt von $k$ Hyperebenen ist stets $(d-k)$-dimensional ($k=1,\dots ,d+1$).

Komplexität eines HE-Arrangements in ${\mathbb{R}}^2$:

• $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})$ Ecken: Jedes Paar zweier Geraden schneidet sich.

• $n^2$ Kanten: Jede Gerade wird durch die anderen $n-1$ Geraden in $n$ Stücke geteilt.

• $1+\frac{n(n+1)}{2}$ Zellen: Induktiv teilt eine neue $n$-te Gerade $n$ Zellen in jeweils zwei Hälften auf. Eine andere Zählung ist, dass jeder Knoten der unterste Punkt genau einer Zelle ist und kein Knoten der unterste Punkt zweier Zellen ist. Es gibt also $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})$ (Anzahl der Punkte) nach unten beschränkte Zellen, es fehlen noch die $n+1$ nach unten unbeschränkten Zellen. Damit erhält man $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})+n+1=1+\frac{n(n+1)}{2}$ Zellen.

Komplexität eines HE-Arrangements in ${\mathbb{R}}^3$:

• $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3})$ Ecken: Jedes Tripel dreier Ebenen schneidet sich.

• $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})(n-1)$ Kanten: Die Geraden, auf denen die Kanten liegen, korrespondieren zu allen möglichen Ebenenpaaren (jedes Ebenenpaar schneidet sich in einer Gerade und diese Gerade liegt auf keinen anderen zwei Ebenen). Daher gibt es $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})$ solcher Geraden, von denen jede durch die übrigen $n-2$ Ebenen in $(n-1)$ Kanten unterteilt wird.
  Eine andere Zählung zählt die Kanten auf einer bestimmten Ebene $E$.

• $n((\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{2})+n)$ Facetten: Auf einer bestimmten Ebene $E$ gibt es nach dem ${\mathbb{R}}^2$-Fall genau $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{2})+n$ viele Zellen für $(n-1)$ Geraden. Gehe für $E$ durch alle $n$ Ebenen durch.

• $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})+n+1$ Zellen: Es gibt $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3})$ unterste Punkte. Die nach unten in der $z$-Richtung unbeschränkten Zellen entsprechen genau den ${\mathbb{R}}^2$-Zellen, die entstehen, wenn man die Ebenen von unten in der $z$-Richtung „anschaut“. Von diesen Zellen gibt es nach dem ${\mathbb{R}}^2$-Fall genau $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})+n+1$ Stück.

Inkrementelle Konstruktion und Zonensatz

• naiver Sweepline-Algorithmus: $\mathcal{O}(n^2\log n)$ Zeit ($\mathcal{O}((n+k)\log n)$ und $k=\mathrm{\Theta }(n^2)$ Ereignisse/Schnittpunkte müssen verarbeitet werden)

• RIC-Algorithmus zur Bestimmung von Strecken-Schnittpunkten: erwartet $\mathcal{O}(n^2)$ Zeit

Im Folgenden wird ein Algorithmus gezeigt, mit dem man HE-Arrangements deterministisch in $\mathcal{O}(n^2)$ Zeit bestimmen kann. Dazu verwendet man einen inkrementellen Ansatz. Wegen der „großzügigeren“ Schranke von $\mathcal{O}(n^2)$ benötigt man keine Randomisierung.

$\mathrm{\Omega }(n^2)$ Zeit wird auf jeden Fall benötigt, weil die Ausgabegröße $\mathrm{\Theta }(n^2)$ ist.

inkrementelle Konstruktion von HEAs: Die inkrementelle Konstruktion von HEAs in ${\mathbb{R}}^2$ verläuft für $n$ Geraden $h_1,\dots ,h_n$ in ${\mathbb{R}}^2$ wie folgt. Definiere ${\mathcal{A}}_i$ als das HE-Arrangement der Geraden $h_1,\dots ,h_i$.

• Konstruiere das leere Arrangement ${\mathcal{A}}_0$.

• Für $i=1,\dots ,n$ konstruiere ${\mathcal{A}}_i$ aus ${\mathcal{A}}_{i-1}$ wie folgt:

  • Finde die Zelle ganz links, durch die $h_i$ geht (geht in $\mathcal{O}(i)$ Zeit, wenn die $h_i$ nach ihrer Steigung sortiert sind).

  • Bestimme, wo $h_i$ die Zelle verlässt bzw. welche neue Zelle von $h_i$ betreten wird.

  • Wiederhole, bis die neue Zelle nach rechts unbeschränkt ist.

Die Kosten, um von einer Zelle $c$ in die nächste zu kommen, sind $\mathcal{O}(\mathrm{deg}(c))$ mit $\mathrm{deg}(c)$ der Anzahl von Kanten oder Ecken von $c$. Damit sind die Gesamtkosten für die Einfügung von $h_i$ gleich $\mathcal{O}(\sum _{c\in {\mathcal{A}}_{i-1},C\cap h_i\ne \mathrm{\varnothing }}\mathrm{deg}(c))$. Es ist allerdings nicht direkt klar, ob das in $\mathcal{O}(i)$ ist. Man kann sich z. B. Arrangements vorstellen, in der eine einzelne Zelle bereits durch $\mathcal{O}(i)$ Kanten begrenzt wird.

Satz (Zonensatz): Sei $\mathrm{zone}(h,\mathcal{A}):=\{c\in \mathcal{A}|c\cap h\ne \mathrm{\varnothing }\}$ für ein Arrangement $\mathcal{A}$ von $n$ Geraden und eine zusätzliche Gerade $h$. Definiere $z(h,\mathcal{A}):=\sum _{c\in \mathrm{zone}(h,\mathcal{A})}\mathrm{deg}(c)$ sowie
$z(n):=max\{z(h,\mathcal{A})|\mathcal{A}\text{ Arrangement von }n\text{ Geraden, }h\text{ zusätzliche Gerade}\}$.
Dann gilt $z(n)\le 6n$.

Beweis: Seien $\mathcal{A}$ ein beliebiges Arrangement von $n$ Geraden und $h$ eine zusätzliche Gerade. Gezählt werden nun die Kanten der Zellen in $\mathcal{A}$, die $h$ schneidet. Ist die Anzahl nach oben beschränkt durch $6n$, so gilt $z(n)\le 6n$.

Es werden zunächst nur die Linksadjazenzen gezählt. Betrachte die Geraden $h_1,\dots ,h_n$ von $\mathcal{A}$ aufsteigend geordnet nach der $x$-Koordinate ihres Schnittpunkts mit $h$. Die erste Gerade $h_1$ erzeugt eine Linksadjazenz. Jede weitere Gerade $h_i$ teilt die Zelle, die sich bis dahin am weitesten rechts befindet, in zwei Zellen und erzeugt höchstens $3$ Linksadjazenzen. Damit gibt es $\le 3n$ Linksadjazenzen. Für die Rechtsadjazenzen geht die Argumentation analog, so dass es $\le 6n$ Adjazenzen gibt.   ƒ

Zeitbedarf: $\mathcal{O}(n^2)$

Beweis: Nach dem Zonensatz gilt $\mathcal{O}(\sum _{c\in {\mathcal{A}}_{i-1},C\cap h_i\ne \mathrm{\varnothing }}\mathrm{deg}(c))=\mathcal{O}(i)$.
Dadurch erhält man $\sum _{i=1}^n\mathcal{O}(i)=\mathcal{O}(n^2)$ als Gesamtlaufzeit.   ƒ

Dualität und Anwendungen

Dualität

(nicht-vertikale) Gerade: Im Folgenden sind (nicht-vertikale) Geraden in der $x$-$y$-Ebene definiert durch $(y=kx-d):=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|y=kx-d\}$ mit $k,d\in \mathbb{R}$.

Seiten einer Gerade:
Für eine Gerade $\ell :=(y=kx-d)$ sei ${\ell }^{\pm }:=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|y⋛kx-d\}$.
(${\ell }^{+}$ ist die Menge aller Punkte über $\ell$, einschließlich $\ell$ selbst).

Dualitätstransformation: Die Dualitätstransformation $\mathcal{D}$ bildet
Punkte $(p_x,p_y)\in {\mathbb{R}}^2$ auf Geraden $\mathcal{D}(p_x,p_y):=(y=p_{x}x-p_y)$ ab und
Geraden $y=kx-d$ auf Punkte $\mathcal{D}(y=kx-d):=(k,d)$.

Lemma (Dualität): Für einen Punkt $p\in {\mathbb{R}}^2$ und eine Gerade $\ell$ gilt

• $p\in \ell ⟺\mathcal{D}(\ell )\in \mathcal{D}(p)$,

• $p\in {\ell }^{+}⟺\mathcal{D}(\ell )\in \mathcal{D}(p{)}^{+}$ und

• $p\in {\ell }^{-}⟺\mathcal{D}(\ell )\in \mathcal{D}(p{)}^{-}$.

Beweis: Seien $(p_x,p_y):=p$ und $(y=kx-d):=\ell$, d. h. $\mathcal{D}(\ell )=(k,d)$ und $\mathcal{D}(p)=(y=p_{x}x-p_y)$, es gilt also $p\in \ell ⟺p_y=k{p}_x-d⟺d=p_{x}k-p_y⟺\mathcal{D}(\ell )\in \mathcal{D}(p)$. Für (2) und (3) gilt analog $p\in {\ell }^{\pm }⟺p_y⋛k{p}_x-d⟺d⋛p_{x}k-p_y⟺\mathcal{D}(\ell )\in \mathcal{D}(p{)}^{\pm }$.   ƒ

Erkennung von Kollinearität von Punkten

Erkennung von Kollinearität von Punkten:
Gegeben sind $n$ Punkte in ${\mathbb{R}}^2$. Gefragt ist, ob drei der Punkte kollinear sind
(d. h. hier, ob die Punkte auf einer nicht-vertikalen Geraden liegen).

Seien $p_1,p_2,p_3\in {\mathbb{R}}^2$ drei Punkte mit ${\ell }_i:=\mathcal{D}(p_i)$. Dann gilt:
$p_1,p_2,p_3\text{ kollinear}⟺{\mathrm{\exists }}_{\ell \text{ Gerade}}{p}_1,p_2,p_3\in \ell ⟺{\mathrm{\exists }}_{p\in {\mathbb{R}}^2}p\in {\ell }_1\cap {\ell }_2\cap {\ell }_3$, nämlich $p:=\mathcal{D}(\ell )$. Drei der $n$ Punkte sind also kollinear genau dann, wenn sich drei der dualen Geraden in einem Punkt schneiden. Dies kann während der Konstruktion des entsprechenden HE-Arrangements festgestellt werden (wenn die nächste Gerade eine Zelle genau auf einem Randknoten verlässt), d. h. in Zeit $\mathcal{O}(n^2)$.

Bestimmung des flächenkleinsten Dreiecks

flächenkleinstes Dreieck: Gegeben ist $P\subset {\mathbb{R}}^2$ mit $n:=|P|$.
Gesucht ist $p,q,r\in P$ mit $A(\mathrm{△}pqr)$ (Fläche von $\mathrm{△}pqr$) minimal (sowie $|\{p,q,r\}|=3$).

naiv: Teste alle $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3})$ Tupel in $\mathcal{O}(n^3)$ Zeit.

besser: Ein Dreieck $\mathrm{△}pqr$ ist durch eine Strecke $qr$ und einen Punkt $p$ eindeutig bestimmt. Im dualen Raum entspricht dies einem Punkt $\mathcal{D}(qr)$ und einer Gerade $\mathcal{D}(p)$ (wenn man $qr$ mit der Gerade durch $qr$ identifiziert).

Satz: Seien $p,q,r\in P$ mit $\mathrm{△}pqr$ flächenminimal.
Dann gibt es eine Zelle $c$ im dualen Arrangement zu $P$, sodass $\mathcal{D}(qr)$ und $\mathcal{D}(p)$ auf $\partial c$ liegen.

Beweis: Sei $(p_x,p_y)\in {\mathbb{R}}^2$ ein Punkt und $y=kx-d$ eine Gerade. Dann ist der vertikale Abstand von $(p_x,p_y)$ zu $y=kx-d$ ist $D:=p_y-k{p}_x+d$. Der vertikale Abstand von $\mathcal{D}(y=kx-d)=(k,d)$ zu $\mathcal{D}(p_x,p_y)=(y=p_{x}x-p_y)$ gleich $d-p_{x}k+p_y=D$, d. h. $\mathcal{D}$ lässt vertikale Abstände invariant.

$\mathrm{\Delta }pqr$ ist flächenminimal genau dann, wenn $p$ den kleinsten Abstand aller Punkte zu $qr$ besitzt. Dies gilt genau dann, wenn $p$ den kleinsten vertikalen (d. h. vertikal gemessenen) Abstand zu $qr$ besitzt. Dies gilt genau dann, wenn $\mathcal{D}(qr)$ den kleinsten vertikalen Abstand zu $\mathcal{D}(p)$ besitzt.

Angenommen, $\mathcal{D}(p)$ und $\mathcal{D}(qr)$ würden an verschiedenen Zellen anliegen. Dann gäbe es einen Punkt $p^{\prime }\in P$, sodass die Gerade $\mathcal{D}(p^{\prime })$ zwischen $\mathcal{D}(p)$ und $\mathcal{D}(qr)$ liegt, d. h. $\mathcal{D}(qr)$ hätte zu $\mathcal{D}(p^{\prime })$ einen kleineren vertikalen Abstand, also $A(\mathrm{△}{p}^{\prime }qr)<A(\mathrm{△}pqr)$, ein Widerspruch zu $\mathrm{△}pqr$ flächenminimal.   ƒ

Algorithmus: Es müssen nur alle Kanten im dualen Arrangement jeweils zusammen mit den Ecken der beiden Zellen, die an der Kante anliegen, inspiziert werden. Dies geht in $\mathcal{O}(n^2)$ Zeit während der Konstruktion des HE-Arrangements: Wenn die neue Gerade $g$ eine Zelle $c$ betritt, dann inspiziere $g$ zusammen mit allen Ecken von $c$. Außerdem erzeugt $g$ mit $c$ zwei neue Schnittpunkte, diese müssen zusammen mit allen Kanten von $c$ inspiziert werden. Nach dem Zonensatz wird für $g$ die Zeit $\mathcal{O}(n)$ benötigt (Anzahl Kanten/Punkte der Zellen, durch die $g$ geht), d. h. insgesamt $\mathcal{O}(n^2)$ Zeit.

Es ist unbekannt, ob es einen Algorithmus gibt, der das Problem in $o(n^2)$ löst. Man geht aber davon aus, dass dies nicht der Fall ist, weil das Problem 3SUM-schwer ist. Man glaubt, dass $\mathrm{\Omega }(n^2)$ die untere Schranke für 3SUM ist.

3SUM: Gegeben sei $S\subset \mathbb{Z}$ mit $n:=|S|$. Gefragt ist, ob $a,b,c\in S$ existieren mit $a+b+c=0$.

3SUM $\le$ „flächenkleinstes Dreieck“: Sei $S\subset \mathbb{Z}$ eine Instanz von 3SUM. Dann gilt für $a,b,c\in S$, dass $a+b+c=0$ genau dann, wenn $(a,a^3),(b,b^3),(c,c^3)\in {\mathbb{R}}^2$ kollinear sind.

Das Problem des flächenkleinsten Dreiecks ist eine Verallgemeinerung der Kollinearität von Punkten (drei Punkte sind kollinear $⟺$ das flächenkleinste Dreieck besitzt Fläche $0$).

Polarität: Dualität von Halbraumschnitten und konvexen Hüllen

Polytop: Ein Polytop ist die konvexe Hülle einer endlichen Punktmenge $S\subset {\mathbb{R}}^d$, d. h.
$\mathrm{CH}(S):=\{\sum _{p\in S}{\lambda }_{p}p|{\lambda }_p\ge 0,\sum _{p\in S}{\lambda }_p=1\}$.

Polyeder: Ein Polyeder ist der Schnitt einer endlichen Menge von abg. Halbräumen in ${\mathbb{R}}^d$.

Fall ${\mathbb{R}}^3$: In ${\mathbb{R}}^3$ ist der Rand eines Polytops beschrieben durch seinen planeren Oberflächengraph (bestehend aus $v$ Ecken, $e$ Kanten und $f$ Facetten). Nach dem Eulerschen Polyedersatz gilt $v-e+f=2$. Ein Polytop/Polyeder heißt simpliziell, falls jede Facette ein Dreieck ist, und simpel, falls jeder Knoten Grad 3 hat.

duale Hyperebene/dualer Halbraum: Sei $p\in {\mathbb{R}}^d$ ein Punkt.
Dann ist $\mathcal{D}(p):=\{x\in {\mathbb{R}}^d|⟨x,p⟩=1\}$ die duale Hyperebene und
$\mathcal{H}(p):=\{x\in {\mathbb{R}}^d|⟨x,p⟩\le 1\}$ der duale Halbraum.

dualer Halbraumschnitt: Sei $P$ ein Polytop in ${\mathbb{R}}^d$ mit $0\in \mathrm{int}(P)$.
Dann ist $P^{\ast }:=\bigcap _{p\in P}\mathcal{H}(p)=\bigcap _{p\text{ Ecke von }P}\mathcal{H}(p)$ der duale Halbraumschnitt.

Die Voraussetzung $0\in \mathrm{int}(P)$ benötigt man, damit der Halbraumschnitt beschränkt ist.

Bijektion: Sei $S\subset {\mathbb{R}}^d$ eine Punktmenge und $P:=\mathrm{CH}(S)$ mit $0\in \mathrm{int}(P)$.
Dann gibt es eine Bijektion zwischen der Menge aller Facetten von $P$ und der Menge aller Facetten von $P^{\ast }$ (jeweils von den Dimensionen $0,\dots ,d-1$), sodass $k$-dimensionale Facetten von $P$ auf $(d-k-1)$-dimensionale Facetten von $P^{\ast }$ abgebildet werden ($k=0,\dots ,d-1$).

Genauer gilt: Falls eine $(k+1)$-elementige Teilmenge $F\subset S$ eine $k$-dimensionale Facette von $P$ aufspannt, dann bildet der Schnitt der $(k+1)$-vielen dualen Halbräume eine $(d-k-1)$-dimensionale Facette des Halbraumschnitts $P^{\ast }$.

Letzteres zeigt man, indem man beweist, dass das $(d-k-1)$-dimensionale Schnittobjekt in allen dualen Halbräumen liegt.

zusammenhängende Probleme:

• Gegeben ist $S\subset {\mathbb{R}}^d$ mit $|S|=n$. Berechne $\mathrm{CH}(S)$.

• Gegeben ist eine Menge $\mathcal{H}$ von $n$ Halbräumen in ${\mathbb{R}}^d$. Berechne $\bigcap _{h\in \mathcal{H}}h$.

Reduktion von (1) auf (2): Um (1) mithilfe von (2) zu lösen, geht man wie folgt vor.

• Verschiebe zunächst $S$, sodass oBdA $0\in \mathrm{int}(\mathrm{CH}(S))$ gilt (z. B. um $-\frac{1}{n}\sum _{p\in S}p$).

• Wende die Dualitätsabbildung an, d. h. berechne $\mathcal{H}(p)$ für $p\in S$.

• Berechne $\bigcap _{p\in S}\mathcal{H}(p)$.

• Wende die inverse Dualitätsabbildung an und mache evtl. die Verschiebung rückgängig.

Umkehrung: Die Umkehrung ist nicht so einfach, weil nicht jede beliebige Halbraumschnitt-Instanz zu einem CH-Problem dual ist (leer, unbeschränkt und $0$ nicht im Schnitt möglich). Damit $0$ im Schnitt ist, muss man einen Punkt im Halbraumschnitt kennen, was i. A. nicht der Fall ist.

Weil i. A. die Komplexität zur Beschreibung der konvexen Hülle von $S$ gleich $\mathrm{\Theta }(n^{\lfloor d/2\rfloor })$ ist und daher auch die Komplexität von Halbraumschnitten exponentiell wächst, ist man oft nicht in einer vollständigen Beschreibung des Halbraumschnitts interessiert, sondern nur in einem Extrempunkt des Polyeders. Diesen erhält man mit linearer Programmierung.