Die Definition der Ableitung

Sei \(f: X \subset \mathbb {K} \rightarrow \mathbb {K}^n\) eine Funktion mit \(X\) offen, d. h. für einen Punkt \(x_0 \in X\) ist
\(\exists _{\varepsilon > 0}\; U_\varepsilon (x_0) \subset X\). Daraus folgt \(x_0 + h \in X\) für \(|h| < \varepsilon \).
\(\varphi (h, x_0) =\) \(\frac {f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\) heißt Differenzenquotient (\(|h| < \varepsilon \), \(h \not = 0\)).

\(f\) heißt im Punkt \(x_0 \in X\) differenzierbar, falls der Grenzwert
\(\lim _{h \to 0} \varphi (h, x_0) =: f’(x_0) = f’|_{x=x_0} =\) \(\frac {df}{dx}\)\(\big |_{x=x_0}\) existiert.
\(f\) heißt differenzierbar in \(X\), falls \(f\) in allen Punkten \(x_0 \in X\) differenzierbar ist.

Für Funktionen \(f: X \subset \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}\) kann man für \(x_0 \in X \cap \mathbb {R}\) die komplexe bzw. reelle Ableitung \((\mathbb {C}) - f’(x_0) = \lim _{h \to 0,\; h \in \mathbb {C}} \frac {f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\) bzw. \((\mathbb {R}) - f’(x_0) = \lim _{h \to 0,\; h \in \mathbb {R}} \frac {f|_{\mathbb {R}}(x_0 + h) - f|_{\mathbb {R}}(x_0)}{h}\) betrachten. Existieren die Grenzwerte, so heißt \(f\) komplex bzw. reell differenzierbar.

Satz: Ist \(f: X \subset \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}\) in \(x_0 \in \mathbb {R} \cap X\) \((\mathbb {C})\)-differenzierbar, so ist sie auch \((\mathbb {R})\)-differenzierbar und \((\mathbb {C}) - f’(x_0) = (\mathbb {R}) - f’(x_0)\). Die Umkehrung gilt nicht!

Satz: Eine komplexwertige Funktion \(f: X \subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C}\), \(f = g + ik\) (\(g,k: X \subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}\)) ist genau dann reell differenzierbar, wenn Real- und Imaginärteil reell differenzierbar sind.

Satz: Ist \(f: X \subset \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {R}\) in \(z_0 \in X\) komplex differenzierbar, so ist \((\mathbb {C}) - f’(z_0) = 0\).

Die Landau-Symbole

Seien \(M\) ein metrischer Raum, \(f, g: X \subset M \rightarrow \mathbb {K}^n\) sowie \(x_0 \in \acc (X)\).

Landau-Symbole: \(f \overset {x \to x_0}{=} \mathcal {O}(g) \;\Leftrightarrow \; \exists _{C \in \mathbb {R}} \exists _{\delta > 0} \forall _{x \in X \cap U_\delta (x_0)}\; \Vert f(x) \Vert \le C \Vert g(x) \Vert \),
\(f \overset {x \to x_0}{=} o(g) \;\Leftrightarrow \; \forall _{\varepsilon > 0} \exists _{\delta = \delta (\varepsilon )} \forall _{x \in X \cap U_\delta (x_0)}\; \Vert f(x) \Vert \le \varepsilon \Vert g(x) \Vert \)   (in \(\mathbb {K}\) ist die Norm der Betrag)

Satz: Sei \(x \to x_0 \in \acc (X)\).   Dann gilt \(f = o(g) \;\Rightarrow \; f = \mathcal {O}(g)\),
\(f_1 = \mathcal {O}(g) \land f_2 = \mathcal {O}(g) \;\Rightarrow \; f_1 \pm f_2 = \mathcal {O}(g)\),   \(f_1 = o(g) \land f_2 = o(g) \;\Rightarrow \; f_1 \pm f_2 = o(g)\) sowie \(f_1 = o(g) \land f_2 = \mathcal {O}(g) \;\Rightarrow \; f_1 \pm f_2 = \mathcal {O}(g)\).

Satz: Seien \(f, g: X \subset M \rightarrow \mathbb {K}^n\), \(\gamma , \psi : X \subset M \rightarrow \mathbb {K}\). Dann gilt
\(\psi = \mathcal {O}(\gamma ) \land f = \mathcal {O}(g) \;\Rightarrow \; \psi f = \mathcal {O}(\gamma g)\),   \(\psi = o(\gamma ) \land f = \mathcal {O}(g) \;\Rightarrow \; \psi f = o(\gamma g)\) sowie
\(\psi = \mathcal {O}(\gamma ) \land f = o(g) \;\Rightarrow \; \psi f = o(\gamma g)\).

Schreibweise: \(f_1 - f_2 = \mathcal {O}(g) \;\Leftrightarrow \; f_1 = f_2 + \mathcal {O}(g)\),   \(f_1 - f_2 = o(g) \;\Leftrightarrow \; f_1 = f_2 + o(g)\)

Anmerkung: Ist \(f: X \subset \mathbb {K} \rightarrow \mathbb {K}^n\) und \(x \to x_0 = 0\), dann ist \(f(x) = o(x) \;\Leftrightarrow \; f(x) = x \tilde {f}(x)\) mit \(\tilde {f}(x) = o(1)\)  (bzw. \(f(x) = \mathcal {O}(x) \;\Leftrightarrow \; f(x) = x \tilde {f}(x)\) mit \(\tilde {f}(x) = \mathcal {O}(1)\)).

Anwendungen:

  • \(f \overset {x \to x_0}{=} \mathcal {O}(1)\) \(\;\Leftrightarrow \;\) \(f\) ist in einer geeigneten \(\delta \)-Umgebung von \(x_0\) beschränkt

  • \(f \overset {x \to x_0}{=} o(1)\) \(\;\Leftrightarrow \;\) \((\lim _{x \to x_0} f(x) = 0) \land (x_0 \in X \Rightarrow f(x_0) = 0)\)

  • \(f(x_0 + h) \overset {h \to 0}{=} f(x_0) + o(1)\) \(\;\Leftrightarrow \;\) \(f\) ist stetig in \(x_0\)

  • \(f(x_0 + h) - f(x_0) \overset {h \to 0}{=} hF + o(h)\) \(\;\Leftrightarrow \;\) \(f\) ist in \(x_0\) differenzierbar und \(f’(x_0) = F\)

Folgerung: Ist \(f\) im Punkt \(x_0\) differenzierbar, so ist \(f\) im Punkt \(x_0\) stetig.
Die Umkehrung gilt nicht!

Das Rechnen mit Ableitungen

Seien \(\mathbb {K} \in \{\mathbb {R}, \mathbb {C}\}\), \(X \subset \mathbb {K}\) offen, \(x_0 \in X\),  \(f, f_1, f_2: X \subset \mathbb {K} \rightarrow \mathbb {K}^n\), \(g: X \subset \mathbb {K} \rightarrow \mathbb {K}\),
\(f, f_1, f_2, g\) im Punkt \(x_0 \in X\) differenzierbar,
\(\psi : Y \subset \mathbb {K} \rightarrow \mathbb {K}\), \(Y\) offen, \(y_0 \in Y\) mit \(\psi (y_0) = x_0\), \(\psi \) im Punkt \(y_0 \in Y\) differenzierbar.

Dann ist \((f_1 + f_2)’|_{x=x_0} = f_1’|_{x=x_0} + f_2’|_{x=x_0}\),  \((\alpha f)’|_{x=x_0} = \alpha (f’|_{x=x_0})\),
\((gf)’|_{x=x_0} = g’|_{x=x_0} f(x_0) + g(x_0) f’|_{x=x_0}\)  sowie  \((f \circ \psi )’|_{y=y_0} = f’|_{x=x_0=\psi (y_0)} \cdot \psi ’|_{y=y_0}\).

Folgerung: Seien \(X \subset \mathbb {K}\) offen, \(x_0 \in X\), \(f, g: X \subset \mathbb {K} \rightarrow \mathbb {K}\), \(g(x) \not = 0\) für alle \(x \in X\),
\(f, g\) differenzierbar in \(x_0 \in X\).  Dann ist \(\left (\frac {f}{g}\right )’\Big |_{x=x_0} = \frac {f’(x_0) g(x_0) - f(x_0) g’(x_0)}{(g(x_0))^2}\).

Satz: Seien \(X, Y \subset \mathbb {K}\) offen, \(x_0 \in X\), \(y_0 \in Y\), \(f: X \rightarrow Y\) bijektiv mit \(y_0 = f(x_0)\),
\(f^{-1}\) stetig im Punkt \(y_0\) sowie \(f\) differenzierbar in \(x_0\) mit \(f’(x_0) \not = 0\).
Dann ist \(f^{-1}\) in \(y_0\) differenzierbar mit \((f^{-1})’(y_0) =\) \(\frac {1}{f’(x_0)}\).

Ableitungen wichtiger Funktionen

\((\text {const.})’ = 0\) \((z)’ = 1\) \((z^\alpha )’ = \alpha z^{\alpha - 1}\)
\((e^z)’ = e^z\) \((\Ln z)’ =\) \(\frac {1}{z}\)
\((\sin z)’ = \cos z\) \((\cos z)’ = -\sin z\) \((\tan z)’ =\) \(\frac {1}{\cos ^2 z}\) \((\cot z)’ =\) \(-\frac {1}{\sin ^2 z}\)
\((\sinh z)’ = \cosh z\) \((\cosh z)’ = \sinh z\) \((\tanh z)’ =\) \(\frac {1}{\cosh ^2 z}\) \((\coth z)’ =\) \(-\frac {1}{\sinh ^2 z}\)
\((\arcsin z)’ =\) \(\frac {1}{\sqrt {1 - z^2}}\) \((\arccos z)’ =\) \(-\frac {1}{\sqrt {1 - z^2}}\) \((\arctan z)’ =\) \(\frac {1}{1 + z^2}\) \((\arccot z)’ =\) \(-\frac {1}{1 + z^2}\)
\((\arsinh z)’ =\) \(\frac {1}{\sqrt {z^2 + 1}}\) \((\arcosh z)’ =\) \(\frac {1}{\sqrt {z^2 - 1}}\) \((\artanh z)’ =\) \(\frac {1}{1 - z^2}\) \((\arcoth z)’ =\) \(\frac {1}{1 - z^2}\)

Die Sätze von Fermat, Rolle, Cauchy und Lagrange

Wir betrachten nun reelle Ableitungen: \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\), \(a < b\).

Satz von Fermat: Sei \(f \in C([a,b])\), \(c \in \left ]a,b\right [\) mit \(f\) in \(c\) diffb. sowie
\(f(c) = \max _{x \in [a,b]} f(x)\) bzw. \(f(c) = \min _{x \in [a,b]} f(x)\).   Dann ist \(f’(c) = 0\).

Satz von Rolle: Sei \(f \in C([a,b])\), \(f\) in \(\left ]a,b\right [\) diffb. sowie \(f(a) = f(b)\).
Dann gibt es ein \(c \in \left ]a,b\right [\), sodass \(f’(c) = 0\).

Satz von Cauchy: Seien \(f,g \in C([a,b])\), \(f,g\) in \(\left ]a,b\right [\) diffb. sowie \(g’(x) \not = 0\) für alle \(x \in \left ]a,b\right [\).
Dann gibt es ein \(c \in \left ]a,b\right [\), sodass \(\frac {f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac {f’(c)}{g’(c)}\).

Satz von Lagrange: Sei \(f \in C([a,b])\) in \(\left ]a,b\right [\) diffb.
Dann gibt es ein \(c \in \left ]a,b\right [\), sodass \(f(b) - f(a) = (b - a) \cdot f’(c)\).

Hauptsatz der Differentialrechnung

Sei \(f: X \subset \mathbb {K} \rightarrow \mathbb {K}^n\), mit \(X\) offen und \(\overline {ab} \subset X\), wobei \(\overline {ab}\) für \(a, b \in X\) definiert ist als \(\overline {ab} = \{x \in \mathbb {K} \;|\; x = a +\) \(\frac {b - a}{|b - a|}\) \(t,\; t \in [0, |b - a|]\}\) und \(\overset {\circ }{\overline {ab}}\) \(= \overline {ab} \setminus \{a, b\}\).

Hauptsatz der Differentialrechnung: Sei \(f \circ \psi \) stetig auf \([0, |b - a|]\) und differenzierbar für \(t \in \left ]0, |b - a|\right [\) (d. h. \(f\) stetig auf \(\overline {ab}\) und differenzierbar auf \(\overset {\circ }{\overline {ab}}\)), wobei \(\psi (t) = a +\) \(\frac {b - a}{|b - a|}\) \(t\).
Dann ist \(\Vert f(b) - f(a) \Vert \le \sup _{x \in \overset {\circ }{\overline {ab}}} \Vert f’(x) \Vert \cdot |b - a|\).

Ableitungen höherer Ordnung

Sei \(f: X \subset \mathbb {K} \rightarrow \mathbb {K}^n\) mit \(X\) offen. Ist diese Funktion in einer \(\varepsilon \)-Umgebung von \(x_0 \in X\) mit \(U_\varepsilon (x_0) \subset X\) diffb., so kann die Ableitung als Funktion \(f’: U_\varepsilon (x_0) \rightarrow \mathbb {K}^n\) dargestellt werden.

höhere Ableitungen: Ist \(f’: U_\varepsilon (x_0) \rightarrow \mathbb {K}^n\) im Punkt \(x_0\) differenzierbar, so heißt \((f’)’(x_0) =:\) \(\frac {d^2 f}{dx^2}\)\(\big |_{x=x_0} = f’’(x_0) = f^{(2)}(x_0)\) die zweite Ableitung von \(f\).
Die Definition kann iterativ fortgesetzt werden: Ist \(f^{(m-1)}: U_\varepsilon (x_0) \rightarrow \mathbb {K}^n\) in \(x_0\) differenzierbar, so ist analog \((f^{(m-1)})’(x_0) =:\) \(\frac {d^m f}{dx^m}\)\(\big |_{x=x_0} = f^{(m)}(x_0)\) die \(m\)-te Ableitung von \(f\).

Schreibweise:
\(C^m(X, \mathbb {K}^n) = \{f: X \subset \mathbb {K} \rightarrow \mathbb {K}^n \;|\; f \text { auf } X \text { } m \text {-fach differenzierbar},\; f^{(m)} \text { auf } X \text { stetig}\}\),
\(C^\infty (X, \mathbb {K}^n) = \{f: X \subset \mathbb {K} \rightarrow \mathbb {K}^n \;|\; f \text { beliebig oft auf } X \text { differenzierbar}\}\)

Satz von Leibniz: Seien \(f: X \subset \mathbb {K} \rightarrow \mathbb {K}^n\) und \(g: X \subset \mathbb {K} \rightarrow \mathbb {K}\) (\(X\) offen) \(m\)-fach diffb. in \(X\).
Dann ist auch \((g \cdot f)\) \(m\)-fach differenzierbar und \((gf)^{(m)}(x_0) = \sum _{k=0}^m \binom {m}{k} g^{(k)}(x_0) f^{(m-k)}(x_0)\) (dabei sei \(g^{(0)} = g\) und \(f^{(0)} = f\)).

Der Satz von Taylor

Sei \(f: X \subset \mathbb {K} \rightarrow \mathbb {K}^n\) (\(X\) offen) in \(x_0 \in X\) \(m\)-fach differenzierbar.
Dann ist \(f(x_0 + h) = f(x_0) + \sum _{k=1}^m \frac {1}{k!} f^{(k)}(x_0) h^k + r_m(h)\) mit \(r_m(h) = o(h^m)\) für \(h \to 0\).

Monotonie und Extremwerte von Funktionen

Satz: Sei \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}^n\) stetig auf \([a,b]\) und differenzierbar in \(\left ]a,b\right [\).
Dann ist \(f\) konstant auf \([a,b]\) genau dann, wenn \(f’(x) = 0\) für alle \(x \in \left ]a,b\right [\) ist.

Folgerung: Seien \(f, g: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}^n\) stetig auf \([a,b]\) und differenzierbar in \(\left ]a,b\right [\).
Dann folgt aus \(f’(x) = g’(x)\) für alle \(x \in \left ]a,b\right [\), dass \(f(x) = g(x) + \text {const.}\) ist.

Monotonie von Funktionen: Sei \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\).
\(f\!\!\uparrow \quad \Leftrightarrow \quad (x_1 < x_2 \;\Rightarrow \; f(x_1) \le f(x_2))\),   \(f\!\!\upuparrows \quad \Leftrightarrow \quad (x_1 < x_2 \;\Rightarrow \; f(x_1) < f(x_2))\)

Satz: Sei \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\) stetig auf \([a,b]\) sowie differenzierbar in \(\left ]a,b\right [\).
Dann ist \(f\!\!\uparrow \quad \Leftrightarrow \quad \forall _{x \in \left ]a,b\right [}\; f’(x) \ge 0\)  sowie
\(f\!\!\upuparrows \quad \Leftrightarrow \quad (\forall _{x \in \left ]a,b\right [}\; f’(x) \ge 0) \land \lnot (\exists _{\alpha , \beta \in \left ]a,b\right [,\; \alpha < \beta } \forall _{x \in [\alpha , \beta ]}\; f’(x) = 0)\).

globale Extremwerte: \(f: X \subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}\) nimmt im Punkt \(c \in X\) ein globales Maximum (bzw. Minimum) an, falls \(f(c) \ge f(x)\) (bzw. \(f(c) \le f(x)\)) für alle \(x \in X\).

notwendige Bedingung (globale Extrema) (Satz von Fermat): Seien \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\) stetig, in \(\left ]a,b\right [\) diffb. und \(c \in \left ]a,b\right [\) mit \(f(c) = \max _{x \in [a,b]} f(x)\).   Dann ist \(f’(c) = 0\).

hinreichende Bedingung (globale Extrema): Seien \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\) stetig, in \(\left ]a,b\right [\) diffb. und \(c \in \left ]a,b\right [\) mit \(f’(c) = 0\), wobei \(f’(x) \ge 0\) für \(x < c\) und \(f’(x) \le 0\) für \(x > c\) (\(x \in \left ]a,b\right [\)).
Dann ist \(f(c) = \max _{x \in [a,b]} f(x)\).

Folgerung (doppelte Ableitung): Seien \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\) stetig, in \(\left ]a,b\right [\) 2-fach diffb. und \(c \in \left ]a,b\right [\) mit \(f’(c) = 0\) sowie \(f’’(x) \le 0\) für alle \(x \in \left ]a,b\right [\).   Dann ist \(f(c) = \max _{x \in [a,b]} f(x)\).

lokale Extremwerte: \(f: X \subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}\) nimmt im Punkt \(c \in X\) ein lokales Maximum (bzw. Minimum) an, falls \(\exists _{\varepsilon > 0} \forall _{x \in X \cap U_\varepsilon (c)}\; f(c) \ge f(x)\) (bzw. \(f(c) \le f(x)\)).

notwendige Bedingung (lokale Extrema): Sei \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\) stetig, in \(\left ]a,b\right [\) diffb. und \(c \in \left ]a,b\right [\), wobei \(f\) in \(c\) einen lokalen Extremwert annimmt.   Dann ist \(f’(c) = 0\).

hinreichende Bedingung (lokale Extrema): Sei \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\) stetig, in \(\left ]a,b\right [\) diffb. sowie in \(c \in \left ]a,b\right [\) 2-fach diffb., wobei \(f’(c) = 0\) und \(f’’(c) < 0\).
Dann nimmt \(f\) in \(c\) ein lokales Maximum an.

\(n\)-fache Ableitung (Extrema): Sei \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\) in \(\left ]a,b\right [\) \(n-1\)-fach diffb. sowie in \(c \in \left ]a,b\right [\) \(n\)-fach diffb., wobei \(f’(c) = \cdots = f^{(n-1)}(c) = 0\) und \(f^{(n)} \not = 0\).
Dann ist, falls \(n\) gerade ist, \(c\) ein lokales Maximum falls \(f^{(n)}(c) < 0\) bzw. ein lokales Minimum falls \(f^{(n)}(c) > 0\).   Ist \(n\) ungerade, so ist \(c\) kein lokaler Extremwert.

Konvexe und konkave Funktionen

Sei \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\).

konvexe und konkave Funktionen: \(f\) heißt konvex
\(\;\Leftrightarrow \; \forall _{x_1, x_2 \in [a,b],\; x_1 < x_2} \forall _{t \in [0,1]}\; f(tx_1 + (1 - t)x_2) \le t f(x_1) + (1 - t) f(x_2)\).
\(f\) heißt konkav \(\;\Leftrightarrow \;\) \(-f\) ist konvex.

Äquivalente Definition (Ableitung): Sei \(f\) stetig auf \([a,b]\) und differenzierbar in \(\left ]a,b\right [\).
Dann ist \(f\) konvex \(\;\Leftrightarrow \; f’\!\!\uparrow \)   und   \(f\) konkav \(\;\Leftrightarrow \; f’\!\!\downarrow \).

doppelte Ableitung: Sei \(f\) stetig auf \([a,b]\), 2-fach diffb. in \(\left ]a,b\right [\) sowie \(f’’(x) \ge 0\) für alle \(x \in \left ]a,b\right [\).   Dann ist \(f\) konvex.

Wendepunkt: Sei \(f\) in \(\left ]a,b\right [\) differenzierbar.
\(c \in \left ]a,b\right [\) heißt Wendepunkt, falls \(f’(c)\) ein lokales Extremum ist.

notwendige Bedingung (Wendepunkte): Seien \(f\) in \(\left ]a,b\right [\) 2-fach diffb. und \(c \in \left ]a,b\right [\) ein Wendepunkt.   Dann ist \(f’’(c) = 0\).

\(n\)-fache Ableitung (Wendepunkte): Sei \(f\) in \(\left ]a,b\right [\) \(n\)-fach diffb. sowie in \(c \in \left ]a,b\right [\) \(n+1\)-fach diffb., wobei \(f^{(2)}(c) = \cdots = f^{(n)}(c) = 0\) und \(f^{(n+1)}(c) \not = 0\).
Dann ist \(c\) ein Wendepunkt, falls \(n\) gerade, und kein Wendepunkt, falls \(c\) ungerade ist.

Das Auflösen von Unbestimmtheiten vom Typ 0/0 und ∞/∞

Typ \(0/0\): Seien \(f, g: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\) (\(\mathbb {C}\), \(\mathbb {R}^n\), \(\mathbb {C}^n\)) und \(x_0 \in \left ]a,b\right [\) mit \(f, g\) in \(x_0\) diffb.,
\(f(x_0) = g(x_0) = 0\) sowie \(g’(x_0) \not = 0\).   Dann existiert der Grenzwert \(\lim _{x \to x_0}\) \(\frac {f(x)}{g(x)} = \frac {f’(x_0)}{g’(x_0)}\).

Verallgemeinerung: Seien \(f, g: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\) (\(\mathbb {C}\)) und \(x_0 \in \left ]a,b\right [\) mit \(f(x_0) = g(x_0) = 0\), \(f’(x_0) = g’(x_0) = 0\), …, \(f^{(n-1)}(x) = g^{(n-1)}(x) = 0\), \(\exists f^{(n)}(x_0)\), \(\exists g^{(n)}(x_0)\), wobei \(g^{(n)}(x_0) \not = 0\). Dann existiert der Grenzwert \(\lim _{x \to x_0}\) \(\frac {f(x)}{g(x)} = \frac {f^{(n)}(x_0)}{g^{(n)}(x_0)}\).

Regel von Bernoulli und l’Hôspital: Seien \(f, g: \left ]a,b\right [ \rightarrow \mathbb {R}\) in \(\left ]a,b\right [\) diffb.,
\(\lim _{x \to a} f(x) = \lim _{x \to a} g(x) = 0\) und \(g’(x) \not = 0\) für \(x \in \left ]a,b\right [\). Außerdem existiere der Grenzwert \(\lim _{x \to a}\)\(\frac {f’(x)}{g’(x)}\) \(=: A\).   Dann existiert der Grenzwert \(\lim _{x \to a}\)\(\frac {f(x)}{g(x)}\) \(= A\).

Dieser Satz gilt nur für reellwertige (nicht für komplexwertige) Funktionen!

Anwendung: bei Funktionen \(f, g: \left [b,+\infty \right [ \rightarrow \mathbb {R}\), \(b > 0\), wobei
\(\lim _{x \to +\infty } f(x) = \lim _{x \to +\infty } g(x) = 0\) und \(A = \lim _{x \to +\infty } \frac {f’(x)}{g’(x)}\). Dann ist \(\lim _{x \to +\infty } \frac {f(x)}{g(x)} = A\).
(Variablentransformation mit \(x = \frac {1}{t}\))

Typ \(\infty /\infty \): Seien \(f, g: \left ]a,b\right [ \rightarrow \mathbb {R}\) in \(\left ]a,b\right [\) diffb., \(\lim _{x \to a} f(x) = \infty \), \(\lim _{x \to a} g(x) = \infty \) und es existiere der Grenzwert \(\lim _{x \to a}\)\(\frac {f’(x)}{g’(x)}\) \(=: A\).   Dann existiert der Grenzwert \(\lim _{x \to a}\)\(\frac {f(x)}{g(x)}\) \(= A\).

Grenzwerte \(f(x) \cdot g(x)\) vom Typ \(\mathrel {\widehat {=}} 0 \cdot \infty \mathrel {\widehat {=}}\) \(\frac {f(x)}{\frac {1}{g(x)}}\) kann man auf \(0/0\) zurückführen. Grenzwerte \(f(x)^{g(x)}\) mit \(1^\infty \), \(0^0\) oder \(\infty ^0\) kann man mit \(f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \cdot \ln f(x)}\) auf \(0 \cdot \infty \) zurückführen.

Weitere Anwendungen der Differentialrechnung

Tangente: \(y = f’(x_0) \cdot (x - x_0) + y_0\),   Normale: \(y = -\)\(\frac {1}{f’(x_0)}\) \(\cdot \; (x - x_0) + y_0\)

Differentiation parametrisch gegebener Kurven: Gegeben seien die differenzierbaren Funktionen \(\psi : \left ]\alpha ,\beta \right [ \rightarrow \left ]a,b\right [\) sowie \(f: \left ]a,b\right [ \rightarrow \mathbb {R}\). Durch \(x(t) = \psi (t)\) und \(y(t) = f(\psi (t))\) sei für \(t \in \left ]\alpha , \beta \right [\) eine Kurve gegeben. Dann ist \(f’(x_0) =\) \(\frac {\dot {y}(t_0)}{\dot {x}(t_0)}\) für \(x_0 = x(t_0)\).

geradlinige Asymptote: \(g(x) = ax + b\) ist eine (lokale) geradlinige Asymptote von \(f(x)\) für \(x \to +\infty \) (bzw. \(x \to -\infty \)), falls \(\lim _{x \to +\infty \; (\text {bzw. }-\infty )} (f(x) - g(x)) = 0\).
Dann ist \(a = \lim _{x \to \pm \infty } \frac {f(x)}{x}\) und \(b = \lim _{x \to \pm \infty } (f(x) - ax)\).

Der Satz von Darboux

Satz: Seien \(f: \left ]a,b\right [ \rightarrow \mathbb {R}\) diffb. und \(x_1, x_2 \in \left ]a,b\right [\) mit \(x_1 < x_2\), wobei \(f’(x_1) \cdot f’(x_2) < 0\) ist.
Dann gibt es ein \(x_0 \in \left ]x_1,x_2\right [\), sodass \(f’(x_0) = 0\).

Satz von Darboux: Seien \(f: \left ]a,b\right [ \rightarrow \mathbb {R}\) diffb. und \(x_1, x_2 \in \left ]a,b\right [\) mit \(x_1 < x_2\), wobei \(f’(x_1) \not = f’(x_2)\). Sei außerdem \(\lambda \in \mathbb {R}\) mit \(f’(x_1) < \lambda < f’(x_2)\) bzw. \(f’(x_2) < \lambda < f’(x_1)\).
Dann gibt es ein \(x_0 \in \left ]x_1,x_2\right [\), sodass \(f’(x_0) = \lambda \).

Satz: Sei \(f: \left ]a,b\right [ \rightarrow \mathbb {R}\) differenzierbar.  Dann besitzt \(f’\) keine Unstetigkeit der ersten Art.

Nullstellenberechnung

Gegeben sei eine Funktion \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}\) stetig mit \(f(a) f(b) < 0\), \(f\) zweimal stetig diffb. und \(f’(x) \not = 0\), \(f’’(x) \not = 0\) für alle \(x \in \left ]a,b\right [\) (d. h. \(f’, f’’\) haben konstantes Vorzeichen).

Satz: \(\exists !_{\xi \in \left ]a,b\right [}\; f(\xi ) = 0\)

Regula falsi (Sehnenmethode): Bei der Sehnenmethode versucht man, \(f\) durch die Sehne durch \((a, f(a))\) und \((b, f(b))\) anzunähern. Deren Gleichung lautet \(g(x) = f(a) +\) \(\frac {f(b) - f(a)}{b - a}\) \((x - a)\).
Für die Nullstelle \(x_1 = a \;-\) \(\frac {b - a}{f(b) - f(a)}\) \(f(a) \in \left ]a,b\right [\) gilt, dass \(\xi \in \left ]x_1,b\right [\) bzw. \(\xi \in \left ]a,x_1\right [\) (wenn \(f’, f’’\) die gleichen bzw. unterschiedliche Vorzeichen haben). Nun muss man nur noch in dem Intervall \([x_1,b]\) bzw. \([a,x_1]\) nach der Nullstelle \(\xi \) suchen.

Fehlerabschätzung: Sei \(x_0 = a\), \(x_n = x_{n-1} \;-\) \(\frac {b - x_{n-1}}{f(b) - f(x_{n-1})}\) \(f(x_{n-1})\) bzw.
\(x_0 = b\), \(x_n = x_{n-1} \;-\) \(\frac {x_{n-1} - a}{f(x_{n-1}) - f(a)}\) \(f(x_{n-1})\).
Dann ist \(\lim _{n \to \infty } x_n = \xi \), wobei \(|x_n - \xi | \le \) \(\frac {|f(x_n)|}{\min _{x \in [a,b]} |f’(x)|}\).

Newton-Verfahren (Tangentenmethode): Beim Newton-Verfahren versucht man, die Nullstelle \(\xi \) durch Nullstellen der Ableitung zu bestimmen. Für den Fall \(\sgn (f’) = \sgn (f’’)\) gilt für die Tangentengleichung in \(x_0 = b\), dass \(g(x) = f(b) + f’(b) \cdot (x - b)\), deren Nullstelle ist \(x_1 = b \;-\) \(\frac {f(b)}{f’(b)}\). Es gilt \(x_1 \in [a,b]\). Analog ist \(x_1 = a \;-\) \(\frac {f(a)}{f’(a)}\) \(\in [a,b]\) für \(\sgn (f’) \not = \sgn (f’’)\) (dann muss die Tangente in \(x_0 = a\) bestimmt werden). Wiederum muss nun nur noch im Intervall \([a,x_1]\) bzw. \([x_1,b]\) nach der Nullstelle \(\xi \) gesucht werden.

Fehlerabschätzung: Sei \(x_0 = b\) bzw. \(x_0 = a\) und \(x_n = x_{n-1} \;-\) \(\frac {f(x_{n-1})}{f’(x_{n-1})}\).
Dann ist \(\lim _{n \to \infty } x_n = \xi \), wobei \(\exists _{M > 0} \forall _{n \in \mathbb {N}}\; |x_{n+1} - \xi | \le M |x_n - \xi |^2\).