Analysis 1 – Zur Differentialrechnung von Funktionen einer Variablen

Die Definition der Ableitung

Sei $f:X\subset \mathbb{K}\to {\mathbb{K}}^n$ eine Funktion mit $X$ offen, d. h. für einen Punkt $x_0\in X$ ist
${\mathrm{\exists }}_{\epsilon >0}{U}_{\epsilon }(x_0)\subset X$. Daraus folgt $x_0+h\in X$ für $|h|<\epsilon$.
$\phi (h,x_0)=$ $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ heißt Differenzenquotient ($|h|<\epsilon$, $h\ne 0$).

$f$ heißt im Punkt $x_0\in X$ differenzierbar, falls der Grenzwert
$\underset{h\to 0}{lim}\phi (h,x_0)=:f^{\prime }(x_0)=f^{\prime }{|}_{x=x_0}=$ $\frac{df}{dx}$${|}_{x=x_0}$ existiert.
$f$ heißt differenzierbar in $X$, falls $f$ in allen Punkten $x_0\in X$ differenzierbar ist.

Für Funktionen $f:X\subset \mathbb{C}\to \mathbb{C}$ kann man für $x_0\in X\cap \mathbb{R}$ die komplexe bzw. reelle Ableitung $(\mathbb{C})-f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0,h\in \mathbb{C}}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ bzw. $(\mathbb{R})-f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0,h\in \mathbb{R}}{lim}\frac{f{|}_{\mathbb{R}}(x_0+h)-f{|}_{\mathbb{R}}(x_0)}{h}$ betrachten. Existieren die Grenzwerte, so heißt $f$ komplex bzw. reell differenzierbar.

Satz: Ist $f:X\subset \mathbb{C}\to \mathbb{C}$ in $x_0\in \mathbb{R}\cap X$ $(\mathbb{C})$-differenzierbar, so ist sie auch $(\mathbb{R})$-differenzierbar und $(\mathbb{C})-f^{\prime }(x_0)=(\mathbb{R})-f^{\prime }(x_0)$. Die Umkehrung gilt nicht!

Satz: Eine komplexwertige Funktion $f:X\subset \mathbb{R}\to \mathbb{C}$, $f=g+ik$ ($g,k:X\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$) ist genau dann reell differenzierbar, wenn Real- und Imaginärteil reell differenzierbar sind.

Satz: Ist $f:X\subset \mathbb{C}\to \mathbb{R}$ in $z_0\in X$ komplex differenzierbar, so ist $(\mathbb{C})-f^{\prime }(z_0)=0$.

Die Landau-Symbole

Seien $M$ ein metrischer Raum, $f,g:X\subset M\to {\mathbb{K}}^n$ sowie $x_0\in \mathrm{acc}(X)$.

Landau-Symbole: $f\stackrel{x\to x_0}{=}\mathcal{O}(g)\iff {\mathrm{\exists }}_{C\in \mathbb{R}}{\mathrm{\exists }}_{\delta >0}{\mathrm{\forall }}_{x\in X\cap U_{\delta }(x_0)}\parallel f(x)\parallel \le C\parallel g(x)\parallel$,
$f\stackrel{x\to x_0}{=}o(g)\iff {\mathrm{\forall }}_{\epsilon >0}{\mathrm{\exists }}_{\delta =\delta (\epsilon )}{\mathrm{\forall }}_{x\in X\cap U_{\delta }(x_0)}\parallel f(x)\parallel \le \epsilon \parallel g(x)\parallel$   (in $\mathbb{K}$ ist die Norm der Betrag)

Satz: Sei $x\to x_0\in \mathrm{acc}(X)$.   Dann gilt $f=o(g)\Rightarrow f=\mathcal{O}(g)$,
$f_1=\mathcal{O}(g)\wedge f_2=\mathcal{O}(g)\Rightarrow f_1\pm f_2=\mathcal{O}(g)$,   $f_1=o(g)\wedge f_2=o(g)\Rightarrow f_1\pm f_2=o(g)$ sowie $f_1=o(g)\wedge f_2=\mathcal{O}(g)\Rightarrow f_1\pm f_2=\mathcal{O}(g)$.

Satz: Seien $f,g:X\subset M\to {\mathbb{K}}^n$, $\gamma ,\psi :X\subset M\to \mathbb{K}$. Dann gilt
$\psi =\mathcal{O}(\gamma )\wedge f=\mathcal{O}(g)\Rightarrow \psi f=\mathcal{O}(\gamma g)$,   $\psi =o(\gamma )\wedge f=\mathcal{O}(g)\Rightarrow \psi f=o(\gamma g)$ sowie
$\psi =\mathcal{O}(\gamma )\wedge f=o(g)\Rightarrow \psi f=o(\gamma g)$.

Schreibweise: $f_1-f_2=\mathcal{O}(g)\iff f_1=f_2+\mathcal{O}(g)$,   $f_1-f_2=o(g)\iff f_1=f_2+o(g)$

Anmerkung: Ist $f:X\subset \mathbb{K}\to {\mathbb{K}}^n$ und $x\to x_0=0$, dann ist $f(x)=o(x)\iff f(x)=x\tilde{f}(x)$ mit $\tilde{f}(x)=o(1)$  (bzw. $f(x)=\mathcal{O}(x)\iff f(x)=x\tilde{f}(x)$ mit $\tilde{f}(x)=\mathcal{O}(1)$).

Anwendungen:

• $f\stackrel{x\to x_0}{=}\mathcal{O}(1)$ $\iff$ $f$ ist in einer geeigneten $\delta$-Umgebung von $x_0$ beschränkt

• $f\stackrel{x\to x_0}{=}o(1)$ $\iff$ $(\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=0)\wedge (x_0\in X\Rightarrow f(x_0)=0)$

• $f(x_0+h)\stackrel{h\to 0}{=}f(x_0)+o(1)$ $\iff$ $f$ ist stetig in $x_0$

• $f(x_0+h)-f(x_0)\stackrel{h\to 0}{=}hF+o(h)$ $\iff$ $f$ ist in $x_0$ differenzierbar und $f^{\prime }(x_0)=F$

Folgerung: Ist $f$ im Punkt $x_0$ differenzierbar, so ist $f$ im Punkt $x_0$ stetig.
Die Umkehrung gilt nicht!

Das Rechnen mit Ableitungen

Seien $\mathbb{K}\in \{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$, $X\subset \mathbb{K}$ offen, $x_0\in X$,  $f,f_1,f_2:X\subset \mathbb{K}\to {\mathbb{K}}^n$, $g:X\subset \mathbb{K}\to \mathbb{K}$,
$f,f_1,f_2,g$ im Punkt $x_0\in X$ differenzierbar,
$\psi :Y\subset \mathbb{K}\to \mathbb{K}$, $Y$ offen, $y_0\in Y$ mit $\psi (y_0)=x_0$, $\psi$ im Punkt $y_0\in Y$ differenzierbar.

Dann ist $(f_1+f_2{)}^{\prime }{|}_{x=x_0}=f_1^{\prime }{|}_{x=x_0}+f_2^{\prime }{|}_{x=x_0}$,  $(\alpha f{)}^{\prime }{|}_{x=x_0}=\alpha (f^{\prime }{|}_{x=x_0})$,
$(gf{)}^{\prime }{|}_{x=x_0}=g^{\prime }{|}_{x=x_0}f(x_0)+g(x_0)f^{\prime }{|}_{x=x_0}$  sowie  $(f\circ \psi {)}^{\prime }{|}_{y=y_0}=f^{\prime }{|}_{x=x_0=\psi (y_0)}\cdot {\psi }^{\prime }{|}_{y=y_0}$.

Folgerung: Seien $X\subset \mathbb{K}$ offen, $x_0\in X$, $f,g:X\subset \mathbb{K}\to \mathbb{K}$, $g(x)\ne 0$ für alle $x\in X$,
$f,g$ differenzierbar in $x_0\in X$.  Dann ist ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }{|}_{x=x_0}=\frac{f^{\prime }(x_0)g(x_0)-f(x_0)g^{\prime }(x_0)}{(g(x_0){)}^2}$.

Satz: Seien $X,Y\subset \mathbb{K}$ offen, $x_0\in X$, $y_0\in Y$, $f:X\to Y$ bijektiv mit $y_0=f(x_0)$,
$f^{-1}$ stetig im Punkt $y_0$ sowie $f$ differenzierbar in $x_0$ mit $f^{\prime }(x_0)\ne 0$.
Dann ist $f^{-1}$ in $y_0$ differenzierbar mit $(f^{-1}{)}^{\prime }(y_0)=$ $\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$.

Ableitungen wichtiger Funktionen

Die Sätze von Fermat, Rolle, Cauchy und Lagrange

Wir betrachten nun reelle Ableitungen: $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, $a<b$.

Satz von Fermat: Sei $f\in C([a,b])$, $c\in ]a,b[$ mit $f$ in $c$ diffb. sowie
$f(c)=\underset{x\in [a,b]}{max}f(x)$ bzw. $f(c)=\underset{x\in [a,b]}{min}f(x)$.   Dann ist $f^{\prime }(c)=0$.

Satz von Rolle: Sei $f\in C([a,b])$, $f$ in $]a,b[$ diffb. sowie $f(a)=f(b)$.
Dann gibt es ein $c\in ]a,b[$, sodass $f^{\prime }(c)=0$.

Satz von Cauchy: Seien $f,g\in C([a,b])$, $f,g$ in $]a,b[$ diffb. sowie $g^{\prime }(x)\ne 0$ für alle $x\in ]a,b[$.
Dann gibt es ein $c\in ]a,b[$, sodass $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}$.

Satz von Lagrange: Sei $f\in C([a,b])$ in $]a,b[$ diffb.
Dann gibt es ein $c\in ]a,b[$, sodass $f(b)-f(a)=(b-a)\cdot f^{\prime }(c)$.

Hauptsatz der Differentialrechnung

Sei $f:X\subset \mathbb{K}\to {\mathbb{K}}^n$, mit $X$ offen und $\overline{ab}\subset X$, wobei $\overline{ab}$ für $a,b\in X$ definiert ist als $\overline{ab}=\{x\in \mathbb{K}|x=a+$ $\frac{b-a}{|b-a|}$ $t,t\in [0,|b-a|]\}$ und $\stackrel{\circ }{\overline{ab}}$ $=\overline{ab}\setminus \{a,b\}$.

Hauptsatz der Differentialrechnung: Sei $f\circ \psi$ stetig auf $[0,|b-a|]$ und differenzierbar für $t\in ]0,|b-a|[$ (d. h. $f$ stetig auf $\overline{ab}$ und differenzierbar auf $\stackrel{\circ }{\overline{ab}}$), wobei $\psi (t)=a+$ $\frac{b-a}{|b-a|}$ $t$.
Dann ist $\parallel f(b)-f(a)\parallel \le \underset{x\in \stackrel{\circ }{\overline{ab}}}{sup}\parallel f^{\prime }(x)\parallel \cdot |b-a|$.

Ableitungen höherer Ordnung

Sei $f:X\subset \mathbb{K}\to {\mathbb{K}}^n$ mit $X$ offen. Ist diese Funktion in einer $\epsilon$-Umgebung von $x_0\in X$ mit $U_{\epsilon }(x_0)\subset X$ diffb., so kann die Ableitung als Funktion $f^{\prime }:U_{\epsilon }(x_0)\to {\mathbb{K}}^n$ dargestellt werden.

höhere Ableitungen: Ist $f^{\prime }:U_{\epsilon }(x_0)\to {\mathbb{K}}^n$ im Punkt $x_0$ differenzierbar, so heißt $(f^{\prime }{)}^{\prime }(x_0)=:$ $\frac{d^{2}f}{d{x}^2}$${|}_{x=x_0}=f^{}{\prime }^{\prime }(x_0)=f^{(2)}(x_0)$ die zweite Ableitung von $f$.
Die Definition kann iterativ fortgesetzt werden: Ist $f^{(m-1)}:U_{\epsilon }(x_0)\to {\mathbb{K}}^n$ in $x_0$ differenzierbar, so ist analog $(f^{(m-1)}{)}^{\prime }(x_0)=:$ $\frac{d^{m}f}{d{x}^m}$${|}_{x=x_0}=f^{(m)}(x_0)$ die $m$-te Ableitung von $f$.

Schreibweise:
$C^m(X,{\mathbb{K}}^n)=\{f:X\subset \mathbb{K}\to {\mathbb{K}}^n|f\text{ auf }Xm\text{-fach differenzierbar},f^{(m)}\text{ auf }X\text{ stetig}\}$,
$C^{\mathrm{\infty }}(X,{\mathbb{K}}^n)=\{f:X\subset \mathbb{K}\to {\mathbb{K}}^n|f\text{ beliebig oft auf }X\text{ differenzierbar}\}$

Satz von Leibniz: Seien $f:X\subset \mathbb{K}\to {\mathbb{K}}^n$ und $g:X\subset \mathbb{K}\to \mathbb{K}$ ($X$ offen) $m$-fach diffb. in $X$.
Dann ist auch $(g\cdot f)$ $m$-fach differenzierbar und $(gf{)}^{(m)}(x_0)=\sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})g^{(k)}(x_0)f^{(m-k)}(x_0)$ (dabei sei $g^{(0)}=g$ und $f^{(0)}=f$).

Der Satz von Taylor

Sei $f:X\subset \mathbb{K}\to {\mathbb{K}}^n$ ($X$ offen) in $x_0\in X$ $m$-fach differenzierbar.
Dann ist $f(x_0+h)=f(x_0)+\sum _{k=1}^m\frac{1}{k!}{f}^{(k)}(x_0)h^k+r_m(h)$ mit $r_m(h)=o(h^m)$ für $h\to 0$.

Monotonie und Extremwerte von Funktionen

Satz: Sei $f:[a,b]\to {\mathbb{R}}^n$ stetig auf $[a,b]$ und differenzierbar in $]a,b[$.
Dann ist $f$ konstant auf $[a,b]$ genau dann, wenn $f^{\prime }(x)=0$ für alle $x\in ]a,b[$ ist.

Folgerung: Seien $f,g:[a,b]\to {\mathbb{R}}^n$ stetig auf $[a,b]$ und differenzierbar in $]a,b[$.
Dann folgt aus $f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)$ für alle $x\in ]a,b[$, dass $f(x)=g(x)+\text{const.}$ ist.

Monotonie von Funktionen: Sei $f:[a,b]\to \mathbb{R}$.
$f\uparrow \iff (x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\le f(x_2))$,   $f\upuparrows \iff (x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2))$

Satz: Sei $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ stetig auf $[a,b]$ sowie differenzierbar in $]a,b[$.
Dann ist $f\uparrow \iff {\mathrm{\forall }}_{x\in ]a,b[}{f}^{\prime }(x)\ge 0$  sowie
$f\upuparrows \iff ({\mathrm{\forall }}_{x\in ]a,b[}{f}^{\prime }(x)\ge 0)\wedge \mathrm{\neg }({\mathrm{\exists }}_{\alpha ,\beta \in ]a,b[,\alpha <\beta }{\mathrm{\forall }}_{x\in [\alpha ,\beta ]}{f}^{\prime }(x)=0)$.

globale Extremwerte: $f:X\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ nimmt im Punkt $c\in X$ ein globales Maximum (bzw. Minimum) an, falls $f(c)\ge f(x)$ (bzw. $f(c)\le f(x)$) für alle $x\in X$.

notwendige Bedingung (globale Extrema) (Satz von Fermat): Seien $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ stetig, in $]a,b[$ diffb. und $c\in ]a,b[$ mit $f(c)=\underset{x\in [a,b]}{max}f(x)$.   Dann ist $f^{\prime }(c)=0$.

hinreichende Bedingung (globale Extrema): Seien $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ stetig, in $]a,b[$ diffb. und $c\in ]a,b[$ mit $f^{\prime }(c)=0$, wobei $f^{\prime }(x)\ge 0$ für $x<c$ und $f^{\prime }(x)\le 0$ für $x>c$ ($x\in ]a,b[$).
Dann ist $f(c)=\underset{x\in [a,b]}{max}f(x)$.

Folgerung (doppelte Ableitung): Seien $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ stetig, in $]a,b[$ 2-fach diffb. und $c\in ]a,b[$ mit $f^{\prime }(c)=0$ sowie $f^{}{\prime }^{\prime }(x)\le 0$ für alle $x\in ]a,b[$.   Dann ist $f(c)=\underset{x\in [a,b]}{max}f(x)$.

lokale Extremwerte: $f:X\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ nimmt im Punkt $c\in X$ ein lokales Maximum (bzw. Minimum) an, falls ${\mathrm{\exists }}_{\epsilon >0}{\mathrm{\forall }}_{x\in X\cap U_{\epsilon }(c)}f(c)\ge f(x)$ (bzw. $f(c)\le f(x)$).

notwendige Bedingung (lokale Extrema): Sei $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ stetig, in $]a,b[$ diffb. und $c\in ]a,b[$, wobei $f$ in $c$ einen lokalen Extremwert annimmt.   Dann ist $f^{\prime }(c)=0$.

hinreichende Bedingung (lokale Extrema): Sei $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ stetig, in $]a,b[$ diffb. sowie in $c\in ]a,b[$ 2-fach diffb., wobei $f^{\prime }(c)=0$ und $f^{}{\prime }^{\prime }(c)<0$.
Dann nimmt $f$ in $c$ ein lokales Maximum an.

$n$-fache Ableitung (Extrema): Sei $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ in $]a,b[$ $n-1$-fach diffb. sowie in $c\in ]a,b[$ $n$-fach diffb., wobei $f^{\prime }(c)=\cdots =f^{(n-1)}(c)=0$ und $f^{(n)}\ne 0$.
Dann ist, falls $n$ gerade ist, $c$ ein lokales Maximum falls $f^{(n)}(c)<0$ bzw. ein lokales Minimum falls $f^{(n)}(c)>0$.   Ist $n$ ungerade, so ist $c$ kein lokaler Extremwert.

Konvexe und konkave Funktionen

Sei $f:[a,b]\to \mathbb{R}$.

konvexe und konkave Funktionen: $f$ heißt konvex
$\iff {\mathrm{\forall }}_{x_1,x_2\in [a,b],x_1<x_2}{\mathrm{\forall }}_{t\in [0,1]}f(t{x}_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2)$.
$f$ heißt konkav $\iff$ $-f$ ist konvex.

Äquivalente Definition (Ableitung): Sei $f$ stetig auf $[a,b]$ und differenzierbar in $]a,b[$.
Dann ist $f$ konvex $\iff f^{\prime }\uparrow$   und   $f$ konkav $\iff f^{\prime }\downarrow$.

doppelte Ableitung: Sei $f$ stetig auf $[a,b]$, 2-fach diffb. in $]a,b[$ sowie $f^{}{\prime }^{\prime }(x)\ge 0$ für alle $x\in ]a,b[$.   Dann ist $f$ konvex.

Wendepunkt: Sei $f$ in $]a,b[$ differenzierbar.
$c\in ]a,b[$ heißt Wendepunkt, falls $f^{\prime }(c)$ ein lokales Extremum ist.

notwendige Bedingung (Wendepunkte): Seien $f$ in $]a,b[$ 2-fach diffb. und $c\in ]a,b[$ ein Wendepunkt.   Dann ist $f^{}{\prime }^{\prime }(c)=0$.

$n$-fache Ableitung (Wendepunkte): Sei $f$ in $]a,b[$ $n$-fach diffb. sowie in $c\in ]a,b[$ $n+1$-fach diffb., wobei $f^{(2)}(c)=\cdots =f^{(n)}(c)=0$ und $f^{(n+1)}(c)\ne 0$.
Dann ist $c$ ein Wendepunkt, falls $n$ gerade, und kein Wendepunkt, falls $c$ ungerade ist.

Das Auflösen von Unbestimmtheiten vom Typ 0/0 und ∞/∞

Typ $0/0$: Seien $f,g:[a,b]\to \mathbb{R}$ ($\mathbb{C}$, ${\mathbb{R}}^n$, ${\mathbb{C}}^n$) und $x_0\in ]a,b[$ mit $f,g$ in $x_0$ diffb.,
$f(x_0)=g(x_0)=0$ sowie $g^{\prime }(x_0)\ne 0$.   Dann existiert der Grenzwert $\underset{x\to x_0}{lim}$ $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{\prime }(x_0)}{g^{\prime }(x_0)}$.

Verallgemeinerung: Seien $f,g:[a,b]\to \mathbb{R}$ ($\mathbb{C}$) und $x_0\in ]a,b[$ mit $f(x_0)=g(x_0)=0$, $f^{\prime }(x_0)=g^{\prime }(x_0)=0$, …, $f^{(n-1)}(x)=g^{(n-1)}(x)=0$, $\mathrm{\exists }{f}^{(n)}(x_0)$, $\mathrm{\exists }{g}^{(n)}(x_0)$, wobei $g^{(n)}(x_0)\ne 0$. Dann existiert der Grenzwert $\underset{x\to x_0}{lim}$ $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{(n)}(x_0)}{g^{(n)}(x_0)}$.

Regel von Bernoulli und l’Hôspital: Seien $f,g:]a,b[\to \mathbb{R}$ in $]a,b[$ diffb.,
$\underset{x\to a}{lim}f(x)=\underset{x\to a}{lim}g(x)=0$ und $g^{\prime }(x)\ne 0$ für $x\in ]a,b[$. Außerdem existiere der Grenzwert $\underset{x\to a}{lim}$$\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ $=:A$.   Dann existiert der Grenzwert $\underset{x\to a}{lim}$$\frac{f(x)}{g(x)}$ $=A$.

Dieser Satz gilt nur für reellwertige (nicht für komplexwertige) Funktionen!

Anwendung: bei Funktionen $f,g:[b,+\mathrm{\infty }[\to \mathbb{R}$, $b>0$, wobei
$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}g(x)=0$ und $A=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$. Dann ist $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=A$.
(Variablentransformation mit $x=\frac{1}{t}$)

Typ $\mathrm{\infty }/\mathrm{\infty }$: Seien $f,g:]a,b[\to \mathbb{R}$ in $]a,b[$ diffb., $\underset{x\to a}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$, $\underset{x\to a}{lim}g(x)=\mathrm{\infty }$ und es existiere der Grenzwert $\underset{x\to a}{lim}$$\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ $=:A$.   Dann existiert der Grenzwert $\underset{x\to a}{lim}$$\frac{f(x)}{g(x)}$ $=A$.