Funktionalanalysis 1 – Topologie in Skalarprodukt-, normierten und metrischen Räumen

Topologische Definitionen

Bemerkung: Im Folgenden ist $(X,d)$ ein metrischer Raum.

$\epsilon$-Kugel:  Für $x_0\in X$ und $\epsilon >0$ heißt $B_{\epsilon }(x_0):=\{x\in X|d(x,x_0)<\epsilon \}$ $\epsilon$-Kugel um $x_0$.

offen:  $O\subset X$ heißt offen, falls ${\mathrm{\forall }}_{x\in O}{\mathrm{\exists }}_{\epsilon >0}{B}_{\epsilon }(x)\subset O$.

abgeschlossen:  $A\subset X$ heißt abgeschlossen, falls $X\setminus A$ offen ist.

Inneres:  Für $M\subset X$ heißt $\stackrel{\circ }{M}=\mathrm{int}(M):=\{x\in M|{\mathrm{\exists }}_{\epsilon >0}{B}_{\epsilon }(x)\subset M\}$ Inneres von $M$.

Abschluss:  Für $M\subset X$ heißt $\overline{M}:=X\setminus \mathrm{int}(X\setminus M)$ Abschluss von $M$.

Rand:  Für $M\subset X$ heißt $\partial M:=\overline{M}\setminus \mathrm{int}(M)$ Rand von $M$.

dicht:  $B\subset X$ liegt dicht in $A\subset X$, falls $\overline{B}=A$.

beschränkt:  $C\subset X$ heißt beschränkt, falls ${\mathrm{\exists }}_{x\in X}{\mathrm{\exists }}_{R>0}C\subset B_R(x)$.

zusammenhängend:  $Z\subset X$ heißt zusammenhängend, falls es keine Zerlegung von $Z$ in zwei disjunkte, offene und nicht-leere Mengen $Z_1,Z_2\subset X$ gibt.

Bemerkung: Die Mengen $Z_1,Z_2\subset X$ bei der Definition von Zusammenhang müssen offen bzgl. der Teilraumtopologie auf $Z$ sein, d. h. Schnitte von offenen Mengen in $X$ mit $Z$.

Beispiel:

• Sei $(X,d)=({\mathbb{R}}^2,{\parallel \cdot \parallel }_2)$. Dann ist $B_1(0)=\mathrm{int}(B_1(0))$ offen und zusammenhängend und $\overline{B_1(0)}=\{x\in {\mathbb{R}}^2|{\parallel x\parallel }_2\le 1\}$ ist abgeschlossen und zusammenhängend. Außerdem ist $\partial B_1(0)=\{x\in {\mathbb{R}}^2|{\parallel x\parallel }_2=1\}$.

• Sei $(X,d)=(\mathbb{R},|\cdot |)$. Dann ist $M=\bigcup _{n\in \mathbb{N}}[\frac{1}{2n},\frac{1}{2n-1}]$ nicht zusammenhängend und weder offen noch abgeschlossen. Es gilt $\partial M=\{\frac{1}{m}|m\in \mathbb{N}\}\cup \{0\}$.

Bemerkung: Für normierte Räume $X$ gilt $\overline{B_{\epsilon }(x_0)}=\{x\in X|\parallel x-x_0\parallel \le \epsilon \}$.

Konvergenz

Konvergenz:  Eine Folge $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ in einem metrischen Raum $(X,d)$ heißt konvergent gegen den Grenzwert $x\in X$ für $n\to \mathrm{\infty }$ ($x_n\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{\to }x$, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x$), falls $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}d(x_n,x)=0$, also ${\mathrm{\forall }}_{\epsilon >0}{\mathrm{\exists }}_{n_{\epsilon }\in \mathbb{N}}{\mathrm{\forall }}_{n\ge n_{\epsilon }}d(x_n,x)<\epsilon$.

Bemerkung: Der Grenzwert einer Folge $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ist eindeutig bestimmt, wenn er existiert. Sind nämlich $x$ und $y$ Grenzwerte der Folge, dann gilt
$0\le d(x,y)\le d(x,x_n)+d(x_n,y)=d(x_n,x)+d(x_n,y)\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{\to }0$, also $d(x,y)=0$ und $x=y$.

Satz (Linearität des Grenzwerts): Seien $(X,\parallel \cdot \parallel )$ ein normierter Raum, $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ und $(y_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ Folgen in $X$ sowie $({\alpha }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge in $\mathbb{K}$, wobei $x_n\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{\to }x$, $y_n\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{\to }y$ und ${\alpha }_n\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{\to }\alpha$.
Dann gilt ${\alpha }_n{x}_n+y_n\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{\to }\alpha x+y$.

Satz (Abschluss ist Menge aller Grenzwerte): Seien $(X,d)$ ein metrischer Raum und $M\subset X$.
Dann gilt $\overline{M}=\{x\in X|{\mathrm{\exists }}_{(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\text{ Folge in }M}{x}_n\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{\to }x\}$.

Beispiel:

• Sei $(X,d)=({\mathbb{R}}^m,{\parallel \cdot \parallel }_2)$. Dann gilt $x_n\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{\to }x$ genau dann, wenn
  $\sqrt{\sum _{i=1}^m((x_n{)}_i-(x{)}_i{)}^2}\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{\to }0$. Dies ist äquivalent zu ${\mathrm{\forall }}_{i=1,\dots ,m}(x_n{)}_i\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{\to }(x{)}_i$.

• Sei $(X,d)=({\mathcal{C}}^0([0,1]),d)$ mit $d(x,y)=\underset{t\in [0,1]}{max}|x(t)-y(t)|$.
  Dann gilt $x_n\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{\to }x$ genau dann, wenn $\underset{t\in [0,1]}{max}|x_n(t)-x(t)|\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{\to }0$
  $⟺{\mathrm{\forall }}_{\epsilon >0}{\mathrm{\exists }}_{n_{\epsilon }\in \mathbb{N}}{\mathrm{\forall }}_{n\ge n_{\epsilon }}\underset{t\in [0,1]}{max}|x_n(t)-x(t)|<\epsilon$
  $⟺{\mathrm{\forall }}_{\epsilon >0}{\mathrm{\exists }}_{n_{\epsilon }\in \mathbb{N}}{\mathrm{\forall }}_{n\ge n_{\epsilon }}{\mathrm{\forall }}_{t\in [0,1]}|x_n(t)-x(t)|<\epsilon$ ($x_n$ konvergiert gleichmäßig gegen $x$).

• Sei $(X,d)=({\mathcal{C}}^0([0,1]),d)$ mit $d(x,y)={({\int }_0^1|x(t)-y(t){|}^p\mathrm{d}t)}^{1/p}$ für $p\in [1,\mathrm{\infty })$.
  Dann gilt $x_n\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{\to }x$ genau dann, wenn ${({\int }_0^1|x_n(t)-x(t){|}^p\mathrm{d}t)}^{1/p}\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{\to }0$
  $⟺{\mathrm{\forall }}_{\epsilon >0}{\mathrm{\exists }}_{n_{\epsilon }\in \mathbb{N}}{\mathrm{\forall }}_{n\ge n_{\epsilon }}{\int }_0^1|x_n(t)-x(t){|}^p\mathrm{d}t<\epsilon$ ($x_n$ konvergiert im $p$-ten Mittel gegen $x$).

Stetigkeit

stetig in einem Punkt:  $T$ heißt stetig in $x_0\in X$, falls
${\mathrm{\forall }}_{\epsilon >0}{\mathrm{\exists }}_{\delta =\delta (x_0,\epsilon )>0}{\mathrm{\forall }}_{x\in X,d_X(x,x_0)<\delta }{d}_Y(T(x),T(x_0))<\epsilon$.

stetig:  $T$ heißt stetig (in $X$), falls $T$ in jedem Punkt $x_0\in X$ stetig ist.

Homöomorphismus: 
$T$ heißt Homöomorphismus, falls $T$ bijektiv ist sowie $T$ und $T^{-1}$ stetig sind.

Isomorphismus: 
$T$ heißt Isomorphismus, falls $T$ bijektiv und linear ist sowie $T$ und $T^{-1}$ stetig sind.

Isometrie: 
$T$ heißt Isometrie, falls $T$ bijektiv und stetig ist und ${\mathrm{\forall }}_{x_1,x_2\in X}{d}_Y(T(x_1),T(x_2))=d_X(x_1,x_2)$.

Bemerkung: Isometrien werden oft ohne Voraussetzung der Bijektivität definiert. Bijektive Isometrien heißen in diesem Fall isometrische Isomorphismen.

Satz (äquivalente Beschreibungen von Stetigkeit): Folgende Aussagen sind äquivalent:

• $T$ ist stetig.

• $T$ ist folgenstetig, d. h. ${\mathrm{\forall }}_{x\in X}{\mathrm{\forall }}_{(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\text{ Folge in }X,x_n\to x}T(x_n)\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{\to }T(x)$.

• Für alle offenen Teilmengen $O\subset Y$ ist $T^{-1}(O)\subset X$ offen.

• Für alle abgeschlossenen Teilmengen $A\subset Y$ ist $T^{-1}(A)\subset X$ abgeschlossen.

Vollständige Räume

Lemma (konvergente Folgen sind Cauchy-Folgen):
Jede konvergente Folge in einem metrischen Raum ist eine Cauchy-Folge.

vollständig:  Ein metrischer Raum $(X,d)$ heißt vollständig, falls jede Cauchy-Folge $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ in $X$ gegen einen Punkt $x\in X$ konvergiert.

Fréchet-, Banach-, Hilbertraum:  Ein vollständiger metrischer Raum, normierter Raum oder Skalarproduktraum heißt Fréchet-, Banach- bzw. Hilbertraum.

Beispiel:

• $(\mathbb{R},|\cdot |)$ und $(\mathbb{C},|\cdot |)$ sind Banachräume.

• $(\mathbb{Q},d)$ mit $d(x,y)=|x-y|$ ist nicht vollständig. Wählt man z. B. die Folge $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ in $\mathbb{Q}$ mit $x_n$ gleich der Dezimaldarstellung von $\sqrt{2}$ bis zur $n$-ten Nachkommastelle, so konvergiert zwar $x_n\to \sqrt{2}$ in $\mathbb{R}$. Die Folge hat aber keinen Grenzwert in $\mathbb{Q}$ (obwohl sie eine Cauchy-Folge ist).

äquivalent:  Zwei Normen ${\parallel \cdot \parallel }_a$ und ${\parallel \cdot \parallel }_b$ auf $X$ heißen äquivalent, falls jede Folge, die bzgl. ${\parallel \cdot \parallel }_a$ konvergiert, auch bzgl. ${\parallel \cdot \parallel }_b$ konvergiert und umgekehrt.
Äquivalent ist ${\mathrm{\exists }}_{c_1,c_2>0}{\mathrm{\forall }}_{x\in X}{c}_1{\parallel x\parallel }_b\le {\parallel x\parallel }_a\le c_2{\parallel x\parallel }_b$.

Satz (äquivalente Normen in endlich-dimensionalen Räumen):
In einem endlich-dimensionalen $\mathbb{K}$-Vektorraum $X$ sind alle Normen äquivalent.

Folgerung: Jeder endlich-dimensionale normierte Raum ist ein Banachraum.

Bemerkung: Jeder endlich-dimensionale Unterraum $U$ eines normierten Raums $X$ ist abgeschlossen. Ist nämlich $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge in $U$ und $x\in X$ mit $x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n$, dann ist $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Cauchy-Folge in $U$. Weil $U$ vollständig ist, existiert ein Grenzwert in $U$, d. h. auch in $X$. Wegen der Eindeutigkeit von Grenzwerten muss dieser mit $x$ übereinstimmen, also $x\in U$.

Satz (vollständige Funktionenräume): Alle oben definierten, normierten Funktionenräume außer $C_c^m(\mathrm{\Omega },\mathbb{K})$ sind vollständig, also die Räume $B(M,\mathbb{K})$, ${\mathcal{C}}^m(K,\mathbb{K})$, ${\mathcal{C}}_b^m(\mathrm{\Omega },\mathbb{K})$, ${\mathcal{C}}_{\text{unif}}^m(\mathrm{\Omega },\mathbb{K})$ und ${\mathcal{C}}^{0,\alpha }(\mathrm{\Omega },\mathbb{K})$ für $M,K,\mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^n$ nicht-leer mit $K$ kompakt, $\mathrm{\Omega }$ offen und $m\in {\mathbb{N}}_0$, $\alpha \in (0,1]$.

Bemerkung: Die ${\mathcal{C}}_c^m$-Räume sind nicht vollständig, da es Folgen gibt, bei denen der Träger immer breiter wird (die Grenzfunktion hätte keinen kompakten Träger mehr).

Satz (${\ell }_{\mathbb{K}}^p$ vollständig): Die Räume $({\ell }_{\mathbb{K}}^p,{\parallel \cdot \parallel }_p)$ mit $p\in [1,\mathrm{\infty }]$ sind vollständig, insbesondere handelt es sich bei $p=2$ um einen Hilbertraum.

Bemerkung: ${\mathcal{C}}^0([0,1])$ mit $\parallel f\parallel :={({\int }_0^1|f(x){|}^p\mathrm{d}x)}^{1/p}$ für $p\in [1,\mathrm{\infty })$ ist nicht vollständig.
Für $p=2$ ist zum Beispiel $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ mit $f_n(x):=n^{\alpha }$ für $x\in [0,1/n]$ und $f_n(x):=x^{-\alpha }$ für $x\in (1/n,1]$ und $\alpha \in (0,1/2)$ eine nicht-konvergente Cauchy-Folge.

Satz ($L^p$ vollständig): Die Räume $(L^p(\mathrm{\Omega }),{\parallel \cdot \parallel }_{L^p})$ mit $p\in [1,\mathrm{\infty }]$ sind vollständig, insbesondere handelt es sich bei $p=2$ um einen Hilbertraum.

Satz (Satz von Beppo-Levi zur monotonen Konvergenz):
Seien $D$ messbar und $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge messbarer Funktionen $f_n:D\to {\mathbb{R}}_0^{+}\cup \{\mathrm{\infty }\}$ mit $f_n\uparrow f$ für $n\to \mathrm{\infty }$ ($f_n$ konvergiert monoton gegen $f$, also ${\mathrm{\forall }}_{x\in D}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x)=f(x),f_n(x)\le f_{n+1}(x)$).
Dann ist $f$ messbar und ${\int }_{D}fd\lambda =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left({\int }_D{f}_{n}d\lambda \right)$.

Satz (Satz von Lebesgue zur majorisierten Konvergenz):
Seien $D$ messbar und $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge messbarer Funktionen $f_n:D\to \mathbb{R}\cup \{\pm \mathrm{\infty }\}$, sodass $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x)=:f(x)$ $\lambda$-f.ü. existiert, sowie $g$ $\lambda$-integrierbar mit ${\mathrm{\forall }}_{n\in \mathbb{N}}|f_n|\le g$.
Dann ist $f$ messbar und ${\int }_{D}fd\lambda =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left({\int }_D{f}_{n}d\lambda \right)$ sowie $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}({\int }_D|f-f_n|d\lambda )=0$.

Lemma (Äquivalenz für Banachraum): Sei $(X,\parallel \cdot \parallel )$ ein normierter Raum.
Dann sind äquivalent:

• $(X,\parallel \cdot \parallel )$ ist ein Banachraum.

• Jede absolut konvergente Reihe $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_i$ (d. h. $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\parallel a_i\parallel <\mathrm{\infty }$) ist konvergent.

Beispiel: $(C_b^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega }),d)$ mit $d(f,g):=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-n}\cdot \frac{{\parallel f^{(n)}-g^{(n)}\parallel }_{{\mathcal{C}}^0}}{1+{\parallel f^{(n)}-g^{(n)}\parallel }_{{\mathcal{C}}^0}}$ ist ein Fréchetraum.

Satz (Vervollständigung): Jeder normierte Raum $(X,\parallel \cdot \parallel )$ ist isometrisch isomorph zu einem normierten Raum $(X_{\ast },{\parallel \cdot \parallel }_{\ast })$ (d. h. es gibt einen Isomorphismus $T:X\to X_{\ast }$, der gleichzeitig eine Isometrie ist), wobei $(X_{\ast },{\parallel \cdot \parallel }_{\ast })$ ein dichter Unterraum eines Banachraums $(\tilde{X},{\parallel \cdot \parallel }_{\tilde{X}})$ und bis auf isometrische Isomorphie eindeutig bestimmt ist. $(\tilde{X},{\parallel \cdot \parallel }_{\tilde{X}})$ heißt Vervollständigung von $(X,{\parallel \cdot \parallel }_X)$.

Satz (${\mathcal{C}}_c^m$ dicht in $L^p$): Für $m\in {\mathbb{N}}_0\cup \{\mathrm{\infty }\}$ und $p\in [1,\mathrm{\infty })$ ist ${\mathcal{C}}_c^m(\mathrm{\Omega })$ dicht in $(L^p(\mathrm{\Omega }),{\parallel \cdot \parallel }_{L^p})$.
$(L^p(\mathrm{\Omega }),{\parallel \cdot \parallel }_{L^p})$ kann somit mit der Vervollständigung von ${\mathcal{C}}_c^m(\mathrm{\Omega })$ bzgl. der ${\parallel \cdot \parallel }_{L^p}$-Norm identifiziert werden.

Satz (Banachscher Fixpunktsatz): Seien $(X,d)$ ein vollständiger metrischer Raum und
$F:X\to X$ eine Kontraktion, d. h. ${\mathrm{\exists }}_{\lambda \in (0,1)}{\mathrm{\forall }}_{x,y\in X}d(F(x),F(y))\le \lambda \cdot d(x,y)$.
Dann besitzt $F$ genau einen Fixpunkt, d. h. $\mathrm{\exists }{!}_{x^{\ast }\in X}F(x^{\ast })=x^{\ast }$.

Kompaktheit

kompakt:  Seien $(X,d)$ ein metrischer Raum und $K\subset X$.
Dann heißt $K$ kompakt, falls ${\mathrm{\forall }}_{I\text{ Indexmenge}}{\mathrm{\forall }}_{O_i\subset X\text{ offen},K\subset \bigcup _{i\in I}{O}_i}{\mathrm{\exists }}_{i_1,\dots ,i_n\in I}K\subset \bigcup _{j=1}^n{O}_{i_j}$.

Satz (Äquivalenz zu Kompaktheit): Seien $(X,d)$ ein metrischer Raum und $K\subset X$.
Dann sind äquivalent:

• $K$ ist kompakt.

• $K$ ist folgenkompakt, d. h. ${\mathrm{\forall }}_{(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\text{ Folge in}K}{\mathrm{\exists }}_{(x_{n_k}{)}_{k\in \mathbb{N}}\text{ Teilfolge}}{\mathrm{\exists }}_{x\in K}x=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{n_k}$.

• $(K,d)$ ist vollständig und präkompakt, d. h. ${\mathrm{\forall }}_{\epsilon >0}{\mathrm{\exists }}_{H\subset X\text{ endlich}}K\subset \bigcup _{x\in H}{B}_{\epsilon }(x)$.

Bemerkung: $\overline{K}\subset X$ ist kompakt $⟺{\mathrm{\forall }}_{(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\text{ Folge in}K}{\mathrm{\exists }}_{(x_{n_k}{)}_{k\in \mathbb{N}}\text{ Teilfolge}}{\mathrm{\exists }}_{x\in X}x=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{n_k}$.

Satz (kompakt $\Rightarrow$ beschränkt und abgeschlossen):
Jede kompakte Teilmenge eines metrischen Raumes ist beschränkt und abgeschlossen.

Satz (Äquivalenz für Umkehrung): Sei $(X,\parallel \cdot \parallel )$ ein normierter Raum.
Dann sind äquivalent:

• Jede beschränkte und abgeschlossene Teilmenge ist kompakt.

• $X$ ist endlich-dimensional.

• $\overline{B_1(0)}$ ist kompakt.

Lemma (Lemma von Riesz): Seien $(X,\parallel \cdot \parallel )$ ein normierter Raum und $Y⫋X$ ein abgeschlossener Unterraum. Dann gilt ${\mathrm{\forall }}_{r\in (0,1)}{\mathrm{\exists }}_{x_r\in X\setminus Y}\parallel x_r\parallel =1,\mathrm{dist}(x_r,Y):=\underset{y\in Y}{inf}\parallel x_r-y\parallel \ge r$.

Satz (beste Approximation):
Seien $(X,d)$ ein metrischer Raum und $K\subset X$ eine nicht-leere, kompakte Teilmenge.
Dann gilt ${\mathrm{\forall }}_{x_0\in X}{\mathrm{\exists }}_{y_0\in K}d(x_0,y_0)=\mathrm{dist}(x_0,K):=\underset{y\in K}{inf}d(x_0,y)$.
In diesem Fall heißt $y_0$ beste Approximation oder bestapproximierendes Element von $x_0$ in $K$.

Bemerkung: In nicht-kompakten Mengen gibt es i. A. kein bestapproximierendes Element, z. B. geht dies nicht für $x_0=-1$ und $M_1=(0,1]$ oder $x_0=-1$ und $M_2=\bigcup _{n\in \mathbb{N}}[\frac{1}{2n},\frac{1}{2n-1}]$.

Satz (Satz von Arzelà-Ascoli):
Seien $(K,d)$ ein kompakter metrischer Raum und $A\subset {\mathcal{C}}^0(K,\mathbb{K})$. Dann sind äquivalent:

• $A$ ist relativ kompakt in ${\mathcal{C}}^0(K,\mathbb{K})$, d. h. $\overline{A}$ ist kompakt in ${\mathcal{C}}^0(K,\mathbb{K})$.

• $A$ ist beschränkt (d. h. $\underset{f\in A}{sup}{\parallel f\parallel }_{{\mathcal{C}}^0}<\mathrm{\infty }$) und gleichgradig stetig, d. h.
  ${\mathrm{\forall }}_{x\in K}{\mathrm{\forall }}_{\epsilon >0}{\mathrm{\exists }}_{\delta =\delta (x,\epsilon )>0}{\mathrm{\forall }}_{y\in B_{\delta }(x)}{\mathrm{\forall }}_{f\in A}|f(x)-f(y)|<\epsilon$.

Bemerkung: Da $K$ kompakt ist, gilt ${\mathcal{C}}^0(K,\mathbb{K})={\mathcal{C}}_{\text{unif}}^0(K,\mathbb{K})$, d. h. das $\delta (x)$ kann unabhängig von $x$ gewählt werden. Diesen als Satz von Heine-Cantor bekannten Sachverhalt kann man so beweisen: Sei $\epsilon >0$ beliebig. Zu $x\in K$ sei $\delta (x):=\delta (x,\epsilon )$ wie in der Definition der Stetigkeit. Weil $K$ kompakt ist, gibt es $x_1,\dots ,x_n\in K$ mit $K\subset \bigcup _{k=1}^n{B}_{\delta (x_k)/2}(x_k)$. Wähle $\delta :=\underset{k=1,\dots ,n}{min}\frac{\delta (x_k)}{2}$. Seien $x\in K$ und $y\in B_{\delta }(x)$ beliebig. Dann gibt es ein $\ell \in \{1,\dots ,n\}$, sodass $x\in B_{\delta (x_{\ell })/2}(x_{\ell })$. Aus $y\in B_{\delta }(x)$ folgt, dass $y\in B_{\delta (x_{\ell })/2}(x)$. Insgesamt gilt also $y\in B_{\delta (x_{\ell })}(x_{\ell })$. Damit erhält man $|f(x)-f(y)|\le |f(x)-f(x_{\ell })|+|f(x_{\ell })-f(y)|<2\epsilon$, wobei man jeweils die Stetigkeit von $f$ in $x_{\ell }$ anwendet ($d(x,x_{\ell })<\frac{\delta (x_{\ell })}{2}<\delta (x_{\ell })$ und $d(x_{\ell },y)<\delta (x_{\ell })$).

Beispiel: Die Menge $A:=B_1(0)$ in $({\mathcal{C}}^1([-1,1]),{\parallel \cdot \parallel }_{{\mathcal{C}}^1})$ ist beschränkt in $({\mathcal{C}}^0([-1,1]),{\parallel \cdot \parallel }_{{\mathcal{C}}^0})$ (da ${\parallel f\parallel }_{{\mathcal{C}}^0}\le {\parallel f\parallel }_{{\mathcal{C}}^1}<1$ für alle $f\in A$) und gleichgradig stetig, da
${\mathrm{\forall }}_{x\in [-1,1]}{\mathrm{\forall }}_{\epsilon >0}{\mathrm{\exists }}_{\delta =\delta (x,\epsilon )>0}{\mathrm{\forall }}_{y\in B_{\delta }(x)}{\mathrm{\forall }}_{f\in A}|f(x)-f(y)|\le |x-y|\cdot \underset{\xi \in [-1,1]}{sup}|f^{\prime }(\xi )|<\epsilon$ für $\delta (x,\epsilon ):=\epsilon$, weil $\underset{\xi \in [-1,1]}{sup}|f^{\prime }(\xi )|\le 1$ für alle $f\in A$.
Nach dem Satz von Arzelà-Ascoli ist $A$ relativ kompakt in $({\mathcal{C}}^0([-1,1]),{\parallel \cdot \parallel }_{{\mathcal{C}}^0})$.

Satz (Satz von Fréchet-Kolmogorov, Riesz):
Für $p\in [1,\mathrm{\infty })$ ist $A\subset L^p({\mathbb{R}}^m,\mathbb{K})$ relativ kompakt genau dann, wenn

• $\underset{f\in A}{sup}{\parallel f\parallel }_{L^p}<\mathrm{\infty }$,

• $\underset{f\in A}{sup}{\parallel f(\cdot +h)-f(\cdot )\parallel }_{L^p}\stackrel{h\in {\mathbb{R}}^m,\parallel h\parallel \to 0}{\to }0$ und

• $\underset{f\in A}{sup}{\parallel f\parallel }_{L^p({\mathbb{R}}^m\setminus B_R(0))}\stackrel{R\to \mathrm{\infty }}{\to }0$.