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Topologische Definitionen
Bemerkung: Im Folgenden ist \((X, d)\) ein metrischer Raum.
\(\varepsilon \)-Kugel: Für \(x_0 \in X\) und \(\varepsilon > 0\) heißt \(B_\varepsilon (x_0) := \{x \in X \;|\; d(x, x_0) < \varepsilon \}\) \(\varepsilon \)-Kugel um \(x_0\).
offen: \(O \subset X\) heißt offen, falls \(\forall _{x \in O} \exists _{\varepsilon > 0}\; B_\varepsilon (x) \subset O\).
abgeschlossen: \(A \subset X\) heißt abgeschlossen, falls \(X \setminus A\) offen ist.
Inneres: Für \(M \subset X\) heißt \(\overset {\circ }{M} = \interior {M} := \{x \in M \;|\; \exists _{\varepsilon > 0}\; B_\varepsilon (x) \subset M\}\) Inneres von \(M\).
Abschluss: Für \(M \subset X\) heißt \(\overline {M} := X \setminus \interior {X \setminus M}\) Abschluss von \(M\).
Rand: Für \(M \subset X\) heißt \(\partial M := \overline {M} \setminus \interior {M}\) Rand von \(M\).
dicht: \(B \subset X\) liegt dicht in \(A \subset X\), falls \(\overline {B} = A\).
beschränkt: \(C \subset X\) heißt beschränkt, falls \(\exists _{x \in X} \exists _{R > 0}\; C \subset B_R(x)\).
zusammenhängend: \(Z \subset X\) heißt zusammenhängend, falls es keine Zerlegung von \(Z\) in zwei disjunkte, offene und nicht-leere
Mengen \(Z_1, Z_2 \subset X\) gibt.
Bemerkung: Die Mengen \(Z_1, Z_2 \subset X\) bei der Definition von Zusammenhang müssen offen bzgl. der Teilraumtopologie auf \(Z\) sein, d. h. Schnitte von offenen Mengen in \(X\) mit \(Z\).
Beispiel:
Sei \((X, d) = (\real ^2, \norm {\cdot }_2)\). Dann ist \(B_1(0) = \interior {B_1(0)}\) offen und zusammenhängend und \(\overline {B_1(0)} = \{x \in \real ^2 \;|\; \norm {x}_2
\le 1\}\) ist abgeschlossen und zusammenhängend. Außerdem ist \(\partial B_1(0) = \{x \in \real ^2 \;|\; \norm {x}_2 = 1\}\).
Sei \((X, d) = (\real , |\cdot |)\). Dann ist \(M = \bigcup _{n \in \natural } \left [\frac {1}{2n}, \frac {1}{2n-1}\right ]\) nicht zusammenhängend und weder offen noch
abgeschlossen. Es gilt \(\partial M = \{\frac {1}{m} \;|\; m \in \natural \} \cup \{0\}\).
Bemerkung: Für normierte Räume \(X\) gilt \(\overline {B_\varepsilon (x_0)} = \{x \in X \;|\; \norm {x - x_0} \le \varepsilon \}\).
Konvergenz
Konvergenz: Eine Folge \((x_n)_{n \in \natural }\) in einem metrischen Raum \((X, d)\) heißt konvergent gegen den Grenzwert \(x \in X\) für \(n \to \infty \) (\(x_n \xrightarrow {n \to \infty } x\), \(\lim _{n \to \infty } x_n = x\)), falls \(\lim _{n \to \infty } d(x_n, x) = 0\), also \(\forall
_{\varepsilon > 0} \exists _{n_\varepsilon \in \natural } \forall _{n \ge n_\varepsilon }\; d(x_n, x) < \varepsilon \).
Bemerkung: Der Grenzwert einer Folge \((x_n)_{n \in \natural }\) ist eindeutig bestimmt, wenn er existiert. Sind nämlich \(x\) und \(y\) Grenzwerte der Folge, dann gilt
\(0 \le d(x, y) \le d(x, x_n) + d(x_n, y) = d(x_n, x) + d(x_n, y) \xrightarrow {n \to \infty } 0\), also \(d(x, y) = 0\) und \(x = y\).
Satz (Linearität des Grenzwerts): Seien \((X, \norm {\cdot })\) ein normierter Raum, \((x_n)_{n \in \natural }\) und \((y_n)_{n
\in \natural }\) Folgen in \(X\) sowie \((\alpha _n)_{n \in \natural }\) eine Folge in \(\KK \), wobei \(x_n \xrightarrow {n \to \infty } x\), \(y_n \xrightarrow {n \to \infty } y\) und \(\alpha _n
\xrightarrow {n \to \infty } \alpha \).
Dann gilt \(\alpha _n x_n + y_n \xrightarrow {n \to \infty } \alpha x + y\).
Satz (Abschluss ist Menge aller Grenzwerte): Seien \((X, d)\) ein metrischer Raum und \(M \subset X\).
Dann gilt \(\overline {M} = \{x \in X \;|\; \exists _{(x_n)_{n \in \natural } \text { Folge in } M}\; x_n \xrightarrow {n \to \infty } x\}\).
Beispiel:
Sei \((X, d) = (\real ^m, \norm {\cdot }_2)\). Dann gilt \(x_n \xrightarrow {n \to \infty } x\) genau dann, wenn
\(\sqrt {\sum _{i=1}^m ((x_n)_i - (x)_i)^2} \xrightarrow {n \to \infty } 0\). Dies ist äquivalent zu \(\forall _{i=1,\dotsc ,m}\; (x_n)_i \xrightarrow {n \to \infty } (x)_i\).
Sei \((X, d) = (\C ^0([0, 1]), d)\) mit \(d(x, y) = \max _{t \in [0, 1]} |x(t) - y(t)|\).
Dann gilt \(x_n \xrightarrow {n \to \infty } x\) genau dann, wenn \(\max _{t \in [0, 1]} |x_n(t) - x(t)| \xrightarrow {n \to \infty } 0\)
\(\iff \forall _{\varepsilon > 0} \exists _{n_\varepsilon \in \natural } \forall _{n \ge n_\varepsilon }\; \max _{t \in [0, 1]} |x_n(t) - x(t)| < \varepsilon \)
\(\iff \forall _{\varepsilon > 0} \exists _{n_\varepsilon \in \natural } \forall _{n \ge n_\varepsilon } \forall _{t \in [0, 1]}\; |x_n(t) - x(t)| < \varepsilon \) (\(x_n\) konvergiert gleichmäßig gegen \(x\)).
Sei \((X, d) = (\C ^0([0, 1]), d)\) mit \(d(x, y) = \left (\int _0^1 |x(t) - y(t)|^p \dt \right )^{1/p}\) für \(p \in [1, \infty )\).
Dann gilt \(x_n \xrightarrow {n \to \infty } x\) genau dann, wenn \(\left (\int _0^1 |x_n(t) - x(t)|^p \dt \right )^{1/p} \xrightarrow {n \to \infty } 0\)
\(\iff \forall _{\varepsilon > 0} \exists _{n_\varepsilon \in \natural } \forall _{n \ge n_\varepsilon }\; \int _0^1 |x_n(t) - x(t)|^p\dt < \varepsilon \) (\(x_n\) konvergiert im \(p\)-ten Mittel gegen \(x\)).
Stetigkeit
Bemerkung:
Im Folgenden sind \((X, d_X)\) und \((Y, d_Y)\) metrische Räume und \(T\colon X \rightarrow Y\) eine Abbildung.
stetig in einem Punkt: \(T\) heißt stetig in \(x_0 \in X\), falls
\(\forall _{\varepsilon > 0} \exists _{\delta = \delta (x_0, \varepsilon ) > 0} \forall _{x \in X,\; d_X(x, x_0) < \delta }\; d_Y(T(x), T(x_0)) < \varepsilon \).
stetig: \(T\) heißt stetig (in \(X\)), falls \(T\) in jedem Punkt \(x_0 \in X\) stetig ist.
Homöomorphismus:
\(T\) heißt Homöomorphismus, falls \(T\) bijektiv ist sowie \(T\) und \(T^{-1}\) stetig sind.
Isomorphismus:
\(T\) heißt Isomorphismus, falls \(T\) bijektiv und linear ist sowie \(T\) und \(T^{-1}\) stetig sind.
Isometrie:
\(T\) heißt Isometrie, falls \(T\) bijektiv und stetig ist und \(\forall _{x_1, x_2 \in X}\; d_Y(T(x_1), T(x_2)) = d_X(x_1, x_2)\).
Bemerkung: Isometrien werden oft ohne Voraussetzung der Bijektivität definiert. Bijektive Isometrien heißen in diesem Fall isometrische Isomorphismen.
Satz (äquivalente Beschreibungen von Stetigkeit): Folgende Aussagen sind äquivalent:
\(T\) ist stetig.
\(T\) ist folgenstetig, d. h. \(\forall _{x \in X} \forall _{(x_n)_{n \in \natural } \text { Folge in } X,\; x_n \to x}\; T(x_n)
\xrightarrow {n \to \infty } T(x)\).
Für alle offenen Teilmengen \(O \subset Y\) ist \(T^{-1}(O) \subset X\) offen.
Für alle abgeschlossenen Teilmengen \(A \subset Y\) ist \(T^{-1}(A) \subset X\) abgeschlossen.
Vollständige Räume
Cauchy-Folge: Eine Folge \((x_n)_{n \in \natural }\) in einem metrischen Raum \((X, d)\) heißt
Cauchy-Folge, falls \(\forall _{\varepsilon > 0} \exists _{n_\varepsilon \in \natural } \forall _{n, m \ge n_\varepsilon }\; d(x_n, x_m) < \varepsilon \).
Lemma (konvergente Folgen sind Cauchy-Folgen):
Jede konvergente Folge in einem metrischen Raum ist eine Cauchy-Folge.
vollständig: Ein metrischer Raum \((X, d)\) heißt vollständig, falls jede Cauchy-Folge \((x_n)_{n \in \natural }\) in \(X\) gegen einen
Punkt \(x \in X\) konvergiert.
Fréchet-, Banach-, Hilbertraum: Ein vollständiger metrischer Raum, normierter Raum oder
Skalarproduktraum heißt Fréchet-, Banach- bzw. Hilbertraum.
Beispiel:
\((\real , |\cdot |)\) und \((\complex , |\cdot |)\) sind Banachräume.
\((\rational , d)\) mit \(d(x, y) = |x - y|\) ist nicht vollständig. Wählt man z. B. die Folge \((x_n)_{n \in \natural }\) in \(\rational \) mit \(x_n\) gleich der
Dezimaldarstellung von \(\sqrt {2}\) bis zur \(n\)-ten Nachkommastelle, so konvergiert zwar \(x_n \to \sqrt {2}\) in \(\real \). Die Folge hat aber keinen Grenzwert in \(\rational \) (obwohl sie eine Cauchy-Folge ist).
äquivalent: Zwei Normen \(\norm {\cdot }_a\) und \(\norm {\cdot }_b\) auf \(X\) heißen äquivalent, falls jede Folge, die bzgl. \(\norm {\cdot }_a\) konvergiert, auch bzgl. \(\norm
{\cdot }_b\) konvergiert und umgekehrt.
Äquivalent ist \(\exists _{c_1, c_2 > 0} \forall _{x \in X}\; c_1 \norm {x}_b \le \norm {x}_a \le c_2 \norm {x}_b\).
Satz (äquivalente Normen in endlich-dimensionalen Räumen):
In einem endlich-dimensionalen \(\KK \)-Vektorraum \(X\) sind alle Normen äquivalent.
Folgerung: Jeder endlich-dimensionale normierte Raum ist ein Banachraum.
Bemerkung: Jeder endlich-dimensionale Unterraum \(U\) eines normierten Raums \(X\) ist abgeschlossen. Ist nämlich \((x_n)_{n \in \natural }\) eine Folge in \(U\) und \(x \in X\) mit \(x = \lim _{n
\to \infty } x_n\), dann ist \((x_n)_{n \in \natural }\) eine Cauchy-Folge in \(U\). Weil \(U\) vollständig ist, existiert ein Grenzwert in \(U\), d. h. auch in \(X\). Wegen der Eindeutigkeit von Grenzwerten
muss dieser mit \(x\) übereinstimmen, also \(x \in U\).
Satz (vollständige Funktionenräume): Alle oben definierten, normierten Funktionenräume außer \(C^m_c(\Omega , \KK
)\) sind vollständig, also die Räume \(B(M, \KK )\), \(\C ^m(K, \KK )\), \(\C ^m_b(\Omega , \KK )\), \(\C ^m_\unif (\Omega , \KK )\) und \(\C ^{0,\alpha }(\Omega , \KK )\) für \(M,
K, \Omega \subset \real ^n\) nicht-leer mit \(K\) kompakt, \(\Omega \) offen und \(m \in \natural _0\), \(\alpha \in (0, 1]\).
Bemerkung: Die \(\C ^m_c\)-Räume sind nicht vollständig, da es Folgen gibt, bei denen der Träger immer breiter wird (die Grenzfunktion hätte keinen kompakten Träger
mehr).
Satz (\(\ell ^p_\KK \) vollständig): Die Räume \((\ell ^p_\KK , \norm {\cdot }_p)\) mit \(p \in [1, \infty ]\) sind
vollständig, insbesondere handelt es sich bei \(p = 2\) um einen Hilbertraum.
Bemerkung: \(\C ^0([0, 1])\) mit \(\norm {f} := \left (\int _0^1 |f(x)|^p \dx \right )^{1/p}\) für \(p \in [1, \infty )\) ist nicht vollständig.
Für \(p = 2\) ist zum Beispiel \((f_n)_{n \in \natural }\) mit \(f_n(x) := n^\alpha \) für \(x \in [0, 1/n]\) und \(f_n(x) := x^{-\alpha }\) für \(x \in (1/n, 1]\) und \(\alpha \in
(0, 1/2)\) eine nicht-konvergente Cauchy-Folge.
Satz (\(L^p\) vollständig): Die Räume \((L^p(\Omega ), \norm {\cdot }_{L^p})\) mit \(p \in [1, \infty ]\) sind
vollständig, insbesondere handelt es sich bei \(p = 2\) um einen Hilbertraum.
Satz (Satz von Beppo-Levi zur monotonen Konvergenz):
Seien \(D\) messbar und \((f_n)_{n \in \natural }\) eine Folge messbarer Funktionen \(f_n\colon D \rightarrow \real _0^+ \cup \{\infty \}\) mit \(f_n \uparrow f\) für \(n \to \infty \) (\(f_n\)
konvergiert monoton gegen \(f\), also \(\forall _{x \in D}\; \lim _{n \to \infty } f_n(x) = f(x),\; f_n(x) \le f_{n+1}(x)\)).
Dann ist \(f\) messbar und \(\int _D f d\lambda = \lim _{n \to \infty } \left (\int _D f_n d\lambda \right )\).
Satz (Satz von Lebesgue zur majorisierten Konvergenz):
Seien \(D\) messbar und \((f_n)_{n \in \natural }\) eine Folge messbarer Funktionen \(f_n\colon D \rightarrow \real \cup \{\pm \infty \}\), sodass \(\lim _{n \to \infty } f_n(x) =: f(x)\) \(\lambda
\)-f.ü. existiert, sowie \(g\) \(\lambda \)-integrierbar mit \(\forall _{n \in \natural }\; |f_n| \le g\).
Dann ist \(f\) messbar und \(\int _D f d\lambda = \lim _{n \to \infty } \left (\int _D f_n d\lambda \right )\) sowie \(\lim _{n \to \infty } \left (\int _D |f - f_n| d\lambda \right ) = 0\).
Lemma (Äquivalenz für Banachraum): Sei \((X, \norm {\cdot })\) ein normierter Raum.
Dann sind äquivalent:
\((X, \norm {\cdot })\) ist ein Banachraum.
Jede absolut konvergente Reihe \(\sum _{i=1}^\infty a_i\) (d. h. \(\sum _{i=1}^\infty \norm {a_i} < \infty \)) ist konvergent.
Beispiel: \((C^\infty _b(\Omega ), d)\) mit \(d(f, g) := \sum _{n=1}^\infty 2^{-n} \cdot \frac {\norm {f^{(n)} - g^{(n)}}_{\C ^0}}{1 + \norm {f^{(n)} - g^{(n)}}_{\C ^0}}\) ist ein Fréchetraum.
Satz (Vervollständigung): Jeder normierte Raum \((X, \norm {\cdot })\) ist isometrisch
isomorph zu einem normierten Raum \((X_\ast , \norm {\cdot }_\ast )\) (d. h. es gibt einen Isomorphismus \(T\colon X \rightarrow X_\ast \), der gleichzeitig eine Isometrie ist), wobei \((X_\ast
, \norm {\cdot }_\ast )\) ein dichter Unterraum eines Banachraums \((\widetilde {X}, \norm {\cdot }_{\widetilde {X}})\) und bis auf isometrische Isomorphie eindeutig bestimmt ist. \((\widetilde {X}, \norm
{\cdot }_{\widetilde {X}})\) heißt Vervollständigung von \((X, \norm {\cdot }_X)\).
Satz (\(\C ^m_c\) dicht in \(L^p\)): Für \(m \in \natural _0 \cup \{\infty \}\) und \(p \in [1, \infty )\) ist \(\C ^m_c(\Omega
)\) dicht in \((L^p(\Omega ), \norm {\cdot }_{L^p})\).
\((L^p(\Omega ), \norm {\cdot }_{L^p})\) kann somit mit der Vervollständigung von \(\C ^m_c(\Omega )\) bzgl. der \(\norm {\cdot }_{L^p}\)-Norm identifiziert werden.
Satz (Banachscher Fixpunktsatz): Seien \((X, d)\) ein vollständiger metrischer Raum und
\(F\colon X \rightarrow X\) eine Kontraktion, d. h. \(\exists _{\lambda \in (0, 1)} \forall _{x, y \in X}\; d(F(x), F(y)) \le \lambda \cdot d(x,
y)\).
Dann besitzt \(F\) genau einen Fixpunkt, d. h. \(\exists !_{x^\ast \in X}\; F(x^\ast ) = x^\ast \).
Kompaktheit
kompakt: Seien \((X, d)\) ein metrischer Raum und \(K \subset X\).
Dann heißt \(K\) kompakt, falls \(\forall _{I \text { Indexmenge}} \forall _{O_i \subset X \text { offen},\; K \subset \bigcup _{i \in I} O_i}
\exists _{i_1, \dotsc , i_n \in I}\; K \subset \bigcup _{j=1}^n O_{i_j}\).
Satz (Äquivalenz zu Kompaktheit): Seien \((X, d)\) ein metrischer Raum und \(K \subset X\).
Dann sind äquivalent:
\(K\) ist kompakt.
\(K\) ist folgenkompakt, d. h. \(\forall _{(x_n)_{n \in \natural } \text { Folge in} K} \exists _{(x_{n_k})_{k \in \natural } \text {
Teilfolge}} \exists _{x \in K}\; x = \lim _{k \to \infty } x_{n_k}\).
\((K, d)\) ist vollständig und präkompakt, d. h. \(\forall _{\varepsilon > 0} \exists _{H \subset X \text { endlich}}\;
K \subset \bigcup _{x \in H} B_\varepsilon (x)\).
Bemerkung: \(\overline {K} \subset X\) ist kompakt \(\iff \forall _{(x_n)_{n \in \natural } \text { Folge in} K} \exists _{(x_{n_k})_{k \in \natural } \text { Teilfolge}} \exists _{x \in
X}\; x = \lim _{k \to \infty } x_{n_k}\).
Satz (kompakt \(\Rightarrow \) beschränkt und abgeschlossen):
Jede kompakte Teilmenge eines metrischen Raumes ist beschränkt und abgeschlossen.
Satz (Äquivalenz für Umkehrung): Sei \((X, \norm {\cdot })\) ein normierter Raum.
Dann sind äquivalent:
Jede beschränkte und abgeschlossene Teilmenge ist kompakt.
\(X\) ist endlich-dimensional.
\(\overline {B_1(0)}\) ist kompakt.
Lemma (Lemma von Riesz): Seien \((X, \norm {\cdot })\) ein normierter Raum und \(Y \subsetneqq X\) ein abgeschlossener Unterraum. Dann
gilt \(\forall _{r \in (0,1)} \exists _{x_r \in X \setminus Y}\; \norm {x_r} = 1,\; \dist (x_r, Y) := \inf _{y \in Y} \norm {x_r - y} \ge r\).
Satz (beste Approximation):
Seien \((X, d)\) ein metrischer Raum und \(K \subset X\) eine nicht-leere, kompakte Teilmenge.
Dann gilt \(\forall _{x_0 \in X} \exists _{y_0 \in K}\; d(x_0, y_0) = \dist (x_0, K) := \inf _{y \in K} d(x_0, y)\).
In diesem Fall heißt \(y_0\) beste Approximation oder bestapproximierendes Element von \(x_0\) in \(K\).
Bemerkung: In nicht-kompakten Mengen gibt es i. A. kein bestapproximierendes Element, z. B. geht dies nicht für \(x_0 = -1\) und \(M_1 = (0, 1]\) oder \(x_0 = -1\) und \(M_2 =
\bigcup _{n \in \natural } \left [\frac {1}{2n}, \frac {1}{2n-1}\right ]\).
Satz (Satz von Arzelà-Ascoli):
Seien \((K, d)\) ein kompakter metrischer Raum und \(A \subset \C ^0(K, \KK )\). Dann sind äquivalent:
\(A\) ist relativ kompakt in \(\C ^0(K, \KK )\), d. h. \(\overline {A}\) ist kompakt in \(\C ^0(K, \KK )\).
\(A\) ist beschränkt (d. h. \(\sup _{f \in A} \norm {f}_{\C ^0} < \infty \)) und gleichgradig stetig, d. h.
\(\forall _{x \in K} \forall _{\varepsilon > 0} \exists _{\delta = \delta (x, \varepsilon ) > 0} \forall _{y \in B_\delta (x)} \forall _{f \in A}\; |f(x) - f(y)| < \varepsilon \).
Bemerkung: Da \(K\) kompakt ist, gilt \(\C ^0(K, \KK ) = \C ^0_\unif (K, \KK )\), d. h. das \(\delta (x)\) kann unabhängig von \(x\) gewählt werden. Diesen als Satz von
Heine-Cantor bekannten Sachverhalt kann man so beweisen: Sei \(\varepsilon > 0\) beliebig. Zu \(x \in K\) sei \(\delta (x) := \delta (x, \varepsilon )\) wie in der Definition der Stetigkeit. Weil \(K\) kompakt ist,
gibt es \(x_1, \dotsc , x_n \in K\) mit \(K \subset \bigcup _{k=1}^n B_{\delta (x_k)/2}(x_k)\). Wähle \(\delta := \min _{k=1,\dotsc ,n} \frac {\delta (x_k)}{2}\). Seien \(x \in K\) und \(y \in
B_\delta (x)\) beliebig. Dann gibt es ein \(\ell \in \{1, \dotsc , n\}\), sodass \(x \in B_{\delta (x_\ell )/2}(x_\ell )\). Aus \(y \in B_\delta (x)\) folgt, dass \(y \in B_{\delta (x_\ell )/2}(x)\). Insgesamt
gilt also \(y \in B_{\delta (x_\ell )}(x_\ell )\). Damit erhält man \(|f(x) - f(y)| \le |f(x) - f(x_\ell )| + |f(x_\ell ) - f(y)| < 2\varepsilon \), wobei man jeweils die Stetigkeit von \(f\) in
\(x_\ell \) anwendet (\(d(x, x_\ell ) < \frac {\delta (x_\ell )}{2} < \delta (x_\ell )\) und \(d(x_\ell , y) < \delta (x_\ell )\)).
Beispiel: Die Menge \(A := B_1(0)\) in \((\C ^1([-1, 1]), \norm {\cdot }_{\C ^1})\) ist beschränkt in \((\C ^0([-1, 1]), \norm {\cdot }_{\C ^0})\) (da \(\norm {f}_{\C ^0} \le \norm
{f}_{\C ^1} < 1\) für alle \(f \in A\)) und gleichgradig stetig, da
\(\forall _{x \in [-1, 1]} \forall _{\varepsilon > 0} \exists _{\delta = \delta (x, \varepsilon ) > 0} \forall _{y \in B_\delta (x)} \forall _{f \in A}\; |f(x) - f(y)| \le |x - y| \cdot
\sup _{\xi \in [-1, 1]} |f’(\xi )| < \varepsilon \) für \(\delta (x, \varepsilon ) := \varepsilon \), weil \(\sup _{\xi \in [-1, 1]} |f’(\xi )| \le 1\) für alle \(f \in A\).
Nach dem Satz von Arzelà-Ascoli ist \(A\) relativ kompakt in \((\C ^0([-1, 1]), \norm {\cdot }_{\C ^0})\).
Satz (Satz von Fréchet-Kolmogorov, Riesz):
Für \(p \in [1, \infty )\) ist \(A \subset L^p(\real ^m, \KK )\) relativ kompakt genau dann, wenn
\(\sup _{f \in A} \norm {f}_{L^p} < \infty \),
\(\sup _{f \in A} \norm {f(\cdot + h) - f(\cdot )}_{L^p} \xrightarrow {h \in \real ^m,\; \norm {h} \to 0} 0\) und
\(\sup _{f \in A} \norm {f}_{L^p(\real ^m \setminus B_R(0))} \xrightarrow {R \to \infty } 0\).